第1届国际数学奥林匹克(IMO)

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1、第1届国际数学奥林匹克(MO)1. 求证(1n4）(1n+3) 对每个自然数 n都是最简分数。 2设(x+（2x1)）+(x-(-)）=，试在如下3种状况下分别求出的实数解： （a) A=2；(b)=;(c)A=。 .、b、c都是实数，已知 cos x的二次方程 a cos2 + cos x c = 0,试用a,，作出一种有关 cs2x的二次方程,使它的根与本来的方程同样。当a=4,b=,c=-时比较cs x和cs 2x的方程式。4试作始终角三角形使其斜边为已知的c，斜边上的中线是两直角边的几何平均值。 5. 在线段B上任意选用一点M，在AB的同一侧分别以AM、MB为底作正方形AC、MBF，这

2、两个正方形的外接圆的圆心分别是P、Q，设这两个外接圆又交于M、N, ()求证 F、B相交于N点； (b.) 求证 不管点M如何选用直线MN 都通过一定点 S; （c.） 当在A与之间变动时，求线断 PQ的中点的轨迹。 两个平面P、Q交于一线p，A为p上给定一点,C为Q上给定一点,并且这两点都不在直线p上。试作一等腰梯形ABCD(B平行于C)，使得它有一种内切圆，并且顶点B、D分别落在平面P和上。第2届国际数学奥林匹克(IO). 找出所有具有下列性质的三位数 N:N能被11整除且 N/11等于N的各位数字的平方和。 2. 寻找使下式成立的实数x：4x2/(1 - (1 + 2)）2 + 9. 直

3、角三角形AC的斜边C的长为a,将它提成 等份（n为奇数)，令a为从A点向中间的那一小段线段所张的锐角，从到BC边的高长为,求证： ta a = 4nh(an2 -a）.4. 已知从、引出的高线长度以及从A引出的中线长,求作三角形ABC。 5 正方体ADACD(上底面CD，下底面ABCD)。X是对角线A上任意一点,Y是BD上任意一点。 a. 求X中点的轨迹； b. 求()中轨迹上的、并且还满足Z=2Z的点Z的轨迹。 一种圆锥内有一内接球,又有一圆柱体外切于此圆球,其底面落在圆锥的底面上。令V1为圆锥的体积，V2为圆柱的体积。 （a). 求证：不等于 2 ;（b）. 求V1V2的最小值;并在此状况

4、下作出圆锥顶角的一般。7等腰梯形ACD，B平行于DC，BC=D。令AB=a,CDc,梯形的高为 h。X点在对称轴上并使得 角X、AXD都是直角。试作出所有这样的X点并计算X到两底的距离；再讨论在什么样的条件下这样的X点的确存在。 第3届国际数学奥林匹克(IMO) 设、b是常数，解方程组 y + z =a; x2+ y +z2 =b2; xz2并求出若使x、y、z是互不相似的正数，a、b应满足什么条件?. 设a、c是某三角形的边，A是其面积,求证: a + 2 43A. 并求出等号何时成立。3解方程 osnx si 1， 其中n是一种自然数。 4. 是三角形C内部一点,PA交BC于D，P交AC于

5、,PC交AB于，求证APP, P/E， P/PF中至少有一种不不小于,也至少有一种不不不小于2。5. 作三角形AB使得 AC=b， Bc,锐角AM a，其中M是线断C的中点。求证这个三角形存在的充要条件是 b n(a2) = c 1/2. 正方体 ABCDABCD（ABC、BCD分别是上下底)。一点 沿着正方形ACD的边界以方向ABCDA作匀速运动;一点以同样的速度沿着正方形BCB的边界以方向BCB运动。点X、Y在同一时刻分别从点A、B开始运动。求线断XY的中点的轨迹。4.解方程cs2x + cos22x cos3x = 1。 在圆K上有三个不同的点A、C。试在K上再作出一点使得这四点所形成的

6、四边形有一种内切圆。 6. 一种等腰三角形，设R为其外接圆半径,内切圆半径为 r，求证这两个圆的圆心的距离是（(R-2)。7. 求证：正四周体有5个不同的球,每个球都与这六条边或其延长线相切; 反过来,如果一种四周体有5个这样的球，则它必然是正四周体。第5届国际数学奥林匹克(IMO)1. 找出下列方程的所有实数根（其中 p是实参数):(x-p）+2(x21) x. 2.给定一点A及线断BC,设空间中一点P使得存在线段BC上有一点满足 角APX是直角,试求出所有这样的点的轨迹。 3. 在一种 n边形中,所有内角都相等,边长依次是 a1 = .a,求证:所有边长都相等。4. 设 是一种参数,试找出

7、方程组xi + +2 y x+1 (i = , . ， )的所有解 x,. ,x5。5.求证 co /- cosp7 + cs pi/7 = 1/2.6. 五个同窗、B、C、D、E参与竞赛,一种猜想说比赛成果的名次仍然是BDE。但是事实上没有一位同窗的名次被猜中，并且预测中名次相邻的同窗也没有真的相邻（例如,C、D两位同窗名次不是(1,）、（2,3）、(3,4)、（4,5)中的任何一种)。尚有一种猜想说成果会是DAB的顺序。事实上是正好有两个同窗所得的名次与预测的同样；并且有两对同窗（个不同的同窗)的名次像预测中的同样是相连。试讨论最后的名次如何?第6届国际数学奥林匹克(IO）1. (a) 求

8、所有正整数 n 使得 2n - 能被 整除; (b) 求证不存在正整数 使得 2 + 1 能被 7 整除。2 假设a、b、是某三角形的三边长,求证:a2（b c-a)+ b2（c + - ） + c(a +b c) 及任何 0 有 (x + a） = 1/2 （x)-（x) 求证 是周期函数，并且当 =1时请给出一种非常值函数的例子。 6. 对任何自然数n，试计算下式的值 (n+1)/2 + (n+)/ + (n4）/8 . +(n2k)/2+ . 其中x表达不超过 的最大整数。 第1届国际数学奥林匹克(IO)1. 对任意正整数 n，求证有无穷多种正整数 m 使得 n +不是质数。 2.令 f

9、(）= o(+ x) +1/2co(2 + x) + 1/4 co(a3+x）+. + 12n-1co(an +)，其中 i 是实数常量,x是实数变量。现已知 f（x1) f(2) = ,求证 x1 - x 是 的整数倍。3对每一种 =,， ， ， ，试找出 应满足的充要条件使得存在一种四周体，其中k个边长均为 a，其他 -k个边的长度均为 1。 4以B为直径的半圆弧，是其上不同于A、的一点,D是C向AB作垂线的垂足。K 是三角形AC的内切圆，圆2 与CD、DA以及半圆都相切,圆K3与D、D及半圆相切。求证：圆K1、 K2 、K3 除AB外尚有一条公切线。 5.平面上已给定了 n4个点，无三点

10、共线。求证至少有 (-3）(n-4)/个凸四边形，其顶点都是已给点集中的点。 . 给定实数x1, x2, y1,2, z1, z2, 满足x1 0，2 ,xy1 12， x2222，求证: 8 +1 （x1 + x)(y1 +y2) - (z1+ z2)21y-z2x2y - 2并给出等号成立的充足必要条件。第12届国际数学奥林匹克（I）. M 是三角形AB的边A上的任何一点,r、r1、r2分别是三角形A、MC、MC的内切圆的半径， 是A外旁切圆的半径(即与B边相切，与C、CB的延长线上相切的圆)，类似的， q1、q分别是AC、BC外旁切圆的圆心。求证： rr2q= rq1q。 2. 已知0

11、i 0。如果 b,xnxn-1. 是数在a进制下的表达、也是在进制下的表达,则 x-xn-.x0 表达了 在a进制下的表达、B在进制下的表达。求证:BAB。3 实数 a0, , a2,.满足 1 0= a1= a2 =.,并定义n =( - ak-1k)/其中求和是从到n。a. 求证0 n2; b. 设c满足 成立。 4.试找出所有的正整数 n 使得集合 , n, +2,n+3, n+, n+5可被分拆成两个子集合，每个子集合的元素的乘积相等。 5. 四周体CD,角BDC是直角,向平面C作垂线的垂足正好是三角形B的垂心。求证: （B + BC + CA)2 6(A2 BD2 + CD2). 并

12、问何时等号成立？ 平面上给定100个点，无三点共线,求证：这些点构成的三角形中至多7%是锐角三角形。 第13届国际数学奥林匹克(IM）.令E = (a1 - a)(a1 - ). （a1-an)+ ( - a)(a2 - a3).( - an） +.+(a a)(a - 2).(an - n-1). 求证 =0对于n=3或5成立,而对于其她自然数n2不成立。 2 凸多边形 P 的顶点是 A1， A， . ， ,若将顶点 A1 平移至A 时则 P1 平移成了多边形 Pi ,求证 P1, P2,. ，9之中至少有两个具有一共同内点。 3.求证可以找到一种由形式 n - 3 （n是正整数）的整数构成

13、的集合并满足任何两个元素互质。4四周体BC的所有面都是锐角三角形,在线段AB上取一内点X,目前BC上取内点Y,C上取内点Z,上内点T。求证： a. 如果 DAB+BCD CA+AC，则没有一条闭途径ZTX具有最小值; b. 如果 DAB+BD=A+AC,则有无穷多最短途径XYZTX，它们的长度是 2AC sin(k2)，其中=BAC+CD+DAB。 5. 对任何自然数 m ，求证存在平面上一有限点集 S，满足：对中的每一种点 A，存在中的正好 m 个点与 A的距离为单位长。6. 设 = (ai），其中i, j = , 2,. , n,是一种方阵，元素a 都是非负整数。若 i、j使得ij ,则第

14、i行和第j列的元素之和 不小于或等于n。求证:该方阵中所有元素之和 不小于或等于n/2。第14届国际数学奥林匹克(IMO)1有十个互不相似的二位数,求证必可从中选出两个不相交的子集，使得这两个子集中的元素之和相等。 2设 4，求证每一种圆内接四边形都可以分割成 n 个圆内接四边形。 3. m,是任意非负整数,求证下式是一整数。(m）！(2)！ m!(+n)!4.试找出下述方程组的所有正实数解： (x12 -x35）(x2 - 3x5） = 0 (2 - x4x1)（32 - x4x1) = 0 (x32 - x5x)(42- x52) = 0 (42 - 13)(x52- x3) =0 （x5

15、2 x2x4）（x12- xx4） = 0 5 、g都是定义在实数上并取值实数的函数,并且满足方程 f( + ) f(x - y) = 2f()g(y),又已知 f不恒等于且 |f（x)|=1 。求证对所有同样有 |(x) =1 。. 给定四个不相似的平行平面,求证存在一种正四周体，它的四个定点分别在这四个平面上。 第15届国际数学奥林匹克(MO). OP1, P2， ., OP+1 是平面上的单位向量，其中点 P1, P2， . , P2n+1 都是位于通过点O的一条直线的同一侧，求证|OP1 + . 2n+1| = 1.2. 问能否在空间中找到一种不共面的有限点集M使得,对M中的任何两点、

16、，都可以再在M中寻找到两点C、D,而直线AB、CD是不相似的并且是互相平行的。3考虑所有这样的实数a、使得方程x4 ax3 + bx2+ ax + 1= 0至少有一种实根。试找出 a2 + 2 的最小值。. 一种士兵需要在一种等边三角形的区域内探测有无地雷,她的扫雷器的半径是三角形高的一半,士兵从三角形的一种定点出发，试问如果要完毕任务且使行程最短她应当走什么样的途径? . G是具有下述形式且非常值的函数的集合: f(x) =ax + ，其中,b,都是实数。并且已知G具有这些性质： 如果f，都属于，则g() = f（g（x) 也属于G； 如果f属于G，则 f-1(x) x/ - b/a 也属于

17、G； 对任何f属于G,存在一种实数 使得 f(xf) = xf成立。求证：存在实数 使得 (M）=M对所有G中的函数f都成立。6.a1, a2,. ， an是正实数，实数q 满足0 1,试求出n格实数 b1， b2, . , bn使得: a. bi，i = ,2, . , n; b. q bi1/bi 1/q ， = 1,2， . , -； c. b +b+ . +b (a+ a2 + . a)(+ q)/(1 -q）第6届国际数学奥林匹克（IMO). 三个玩家玩游戏。在三张扑克牌上分别写上一种正整数,并且每张牌上的数都不相似。在每一轮游戏中都是随机的把卡片分给这些玩家，然后每个玩家拿到所分得

18、卡片上数目的筹码。当游戏进行时,玩家手上的筹码自然是越来越多。假设游戏至少进行了两轮以上。在最后一轮结束时，第一种玩家有筹码2个,第二个玩家有10个，第三个玩家有9个。又已知在最后一轮游戏中第三个玩家拿到的是最大数目的筹码。试问,在第一轮游戏中哪个玩家收到了中间数量的筹码？ 2.三角形AB，求证在边A上存在一点D使得CD是AD、DB的几何平均值的充要条件是si s B 0的整系数多项式，n是(X)=1或-1的不同整根的个数，则有 n d + 2.第17届国际数学奥林匹克(MO)1.已知1 = x2= . = n， 以及y = y2 =. = yn 都是实数，求证若z1 ,z2 ,.,n 是yi

19、的任意排列则有 (xi-i） = (xi-z)2上式中左右两边的求和都是i从1到n。 2. 令a 2 a .是一递增正整数序列，求证对所有i1,存在无穷多种 an 可以写成 an ra s的形式，其中,s是正实数且j i。 3任意三角形A的边上,向外作三角形AR,B,CAQ,使角CB、角CQ都是5度，角B、角ACQ都是3度，角A、角AR都是15度。求证角QRP是直角并且QR=P。4.令是将444444写成十进制数字时的各位数字之和,令时A的各位数字之和，求B的各位数字之和。 . 鉴定并证明能否在单位圆上找到19个点使得任意两点间的距离为有理数。 6 找出所有两个变量的多项式P(x,y)使其满足

20、: I. 对某一正整数n及所有实数t、x、y有P(tx, ty) nP(x， )成立; II. 对所有实数x、y、有 (y + , ) P（z + , ) + P(x + y，z） = 0;III. P(1， 0) = 。第1届国际数学奥林匹克(IMO). 平面上一凸四边形的面积是32,两对边与一对角线之和为16，求此外一种对角线的所有也许的长度。 2.令P1(x） x2 - 2,Pi+1 = P1（Pi（x)）, i , 2, 3, .,求证对任何一种正整数，方程式P(x） = x 的所有根都是互不相似的实数。 .一种长方形的箱子可以用单位正方体完全装满，如果用体积为2的正方体来尽量装填，使

21、得每个边都与箱子的边平行，则恰能装满箱子的40%，求所有这种箱子的也许尺寸(长、宽、高）。 4试将9分解成某些正整数之和，求这些正整数乘积的最大值，并加以证明。 n是一种正整数,m 2, aij 0、或-1 (1= i = n, = = m）。尚有m个未知数x1,x2, . ，xm满足下面n个方程: aix1+ ai2x2 + . aimm = 0, 其中 = 1, ， .， n。求证这n个方程有一组不全为的整数解(x1， x2, . , xm)使得xi2是一给定整数，n 是所有+kn形式的整数构成的集合,其中k是正整数，对于Vn 中的一种数m,如果不存在n中的两个数p、q使得m=q，则称是不

22、可分解的。求证：V 中存在一数r，它可有多于一种的方式表达为Vn 中不可分解数的乘积。(乘积中若仅仅是因数的顺序不同则视为是同一种分解。） 4.定义（x)-a co x- binx - A co 2 B sin2x，其中,b,A，B都是实数常量。如果f()=0对所有实数x都成立，求证 a 2 = 2 且 A2 +B2= 1. a,b是正整数,设a2 + b2除以a+ b得到商为q,余数是r。试求出所有的正整数对(,）使得q2 + r=19。 . f是定义在所有正整数上且取值也是正整数的函数,求证如果f（+1) f(f（)对所有正整数都成立，则(n)= n对每个n都成立。 第20界国际数学奥林匹

23、克(IMO) 1. m、都是正整数且nm。如果1978m和978n的十进制表达法的末三位数字相似，试求满足此条件并使m+n达到最小的m与n。 2.P是某已知球内部一点,A、B、是球面上三点,且有PA、PB、PC互相垂直，由PA、P、P决定的平行六面体与P点对角相向的顶点为Q,试求出Q点的轨迹。. 两不交集合f（1), (2),（), .和g(1)， g（2），g(）, . 的并集是所有的正整数,其中f(） f(2） (3) .，g（1) g（2) = 1/k;上式中两边的求和都是k从1到n。6某国际组织共有来自六个国家的共1978名会员，会员编号分别是，2,.,978。求证至少有某一会员的编号

24、，恰为与她同国家的此外两位会员编号的和，或者是她同国家的两外一名会员编号的两倍。 第2界 国际数学奥林匹克(MO) 1，n是满足下述条件的正整数: m/n = - 1/2 + 1/3 / + . - 1/1318 +1/131. 求证:m可被179整除。 2. 一种棱柱的上底和下底分别是正五边形A123AA5、B1BB3B5 。这两个正五边形的每条边以及每个 AiBj边都被染上红色或蓝色。又已知每个边都被着色的三角形(其顶点即这个棱柱的顶点)必有两边着不同色,求证：上、下底的十条边都被染上了同一种颜色。 3. 平面上的两个圆相交,是其中一种交点。既有两质点同步从A出发各自以恒定的速度，同以顺时

25、针方向或同以逆时针方向绕各自的圆移动,在绕过一周之后这两点又同步回到了点。求证:在这个平面上一定存在某个固定的点P使得在任意时刻P点都与这两动点的距离相等。4.给定一平面k,在这个平面上有一点P，平面外有一点Q,试找出平面k上的所有的点使得(QP + PR）/QR 为最大值。 5.试求出所有的实数,使得存在非负实数x1, x2, 3, x, x满足下列关系式: x1 + 2x2 +3x3+ 4x4 +5x5 =；x1 +2x2 33 + 43 53x5 2；1 + 25x2 3 + 45x+ 55a3。 令A、E是一种正八边形的两相对顶点，一只青蛙从点开始跳动，除了点外，从八边形中的其她每一种

26、顶点都可以跳至与它相邻两顶点中的任何一种。当它跳到E点时就停止运动。设 a 为正好通过n步跳动后来达到E点的所有也许线路的个数,求证: a2n-1= 0 a2n = (2 + 2)n-/ （-)n-1/2。第22界国际数学奥林匹克(IMO) 1.P是三角形AB内部一点，D、分别是从点向边BC、CA、A所引垂线的垂足。试找出 BC/PD + A/PE B/P 式达到最小值的所有点。. 取r满足 2,问 a. n为什么值时，存在一种由n个持续的正整数构成的集合使得其中的最大元是其他 -1个元素最小公倍数的因子?b. n为什么值时,正好值存在一种满足条件的集合? 三个都通过点O的等半径的圆位于一种给

27、定三角形的内部，并且每个圆都相切于这个三角形的两条边。求证:这个三角形的内心、外心、点三点共线。 6函数f(x,)，对于任何非负整数x，y都满足f（0,y) y+ ,f(x+,0) （x,1), f(x+1，y1)= f(x,f(+1,y)）。试计算f(4, 1981)的值。第23届国际数学奥林匹克（IMO) 1.f(n)是定义在正整数上且取值为非负整数的函数，f()= 0， f(3) 0, (9999) = 333，并对所有m，有f(m+n) - f(m)-f（n) 0 或 。试求出f(9)。 2. A1A2A是不等腰三角形,其三边为a1,a2, a3 ,其中ai 是角Ai的对边, 设 Mi

28、 是边 i的中点,Ti是三角形的内切圆在边 ai上的切点，记i为点 Ti 有关内角Ai的角平分线的对称点，求证线M11， M2S2和M3S3共点。3. 考虑无限正实数序列 xn 满足x0 1及 x0 x1= x2 = . , a. 求证对每个这样的序列均有存在一种n = 1使得x02/1 + x12/x+ . + n12/xn =.99 b. 试寻找一种这样的序列使其满足 x02/x1 + x12x2 + . +xn-12/xn 对所有成立。4 n使正整数,求证如果方程 - 3xy + 3 = 有有关整数x,y的一种解，则其至少有三个解；当n=21时再证明这个方程无整数解。 . 正六边形BCD

29、F的对角线AC、CE上分别有分点M、N并且 AMA = CN/CE r,如果B、M、N共线,试求的值。 6 设S是边长为100的正方形,L是在S内部不自交的系列线段A0A， A12， A2A, .,An-n 并且0 与 An不重叠。已知对于每一种在S边界上的点P，L中存在一种点与P之间的距离不不小于1/2。求证:L中存在两点X、Y，X与的距离不不小于1，并且L上位于和Y之间的部分不少于198。第4届国际数学奥林匹克(IMO) 1. 试找出所有定义在正实数并取值正实数的函数 f,使其满足 (x（(y)） = yf(x)对所有x, 成立，并且当 x 趋向于无穷大时(） 趋向于0.圆1、C2 的圆心

30、分别是1 、O2，它们相交于两个不同的点,设A是其中一种交点。这两个圆的一条公切线切C、 C2分别于点 P1、P2，此外一条公切线分别切C1、 C2 于点Q1、Q2,再设M、2分别是P1Q1和Q2的中点,求证:角OAO2 = 角 M1AM2。3. a, b,是正整数，并且它们中的任何两个都没有不小于的公约数。求证 2ac -ab - c-a 是不能表达到形式bc y + zab的最大整数，其中x,y, z是非负整数。 4. 等边三角形BC，设集合是该三角形的所有边界点(即边AB，C,C)，任意将E分拆成两个不相交的子集合(它们的并集是),试证明这两个集合中的至少一种包具有三点构成始终角三角形。

31、5. 问与否也许存在不不小于或等于15的183个不同的正整数，任何三个都不构成一等茶数列。 6设,是一种三角形的三边长，求证 a2b(a -b） + b2( ) + 2( - a) = 0. 并判断何时等号成立。第2届国际数学奥林匹克(IMO) 1. 求证 = y + zx xy- 2y 7/27, 其中x， y， z 是非负实数并满足x y + z = 1. . 试找出所有的正整数对(,)满足 ab（a+b）不能被 7 整除, 但 (a) 7 b7 可被7整除。 3.给定平面上的点、。平面上的每个点都被染色成有限种颜色中的一种。设X是平面上一给定点,以O为圆心的圆C()的半径是 OX ( A

32、X)/O，其中角 AOX是用弧度衡量(即范畴是， )）,求证可以找到不在OA上的一点使得它的颜色出目前圆C(X）的圆周上。4. 凸四边形AC的边C与以AB为直径的圆相切，求证:AB与以D为直径的圆相且当且仅当BC和AD是平行的。 5. 设 d 是平面上一凸 n 边形(n）的所有对角线的长度之和,p 是它的周长。求证:n - 3 d/ /2 （n+1)2- 2， 其中x表达不超过的最大整数。 .0 b c d是四个奇数且 ad = b.若a+ = 及 b c = 2m对某k、成立,则 =1.第2届国际数学奥林匹克(M) 1. 圆内接四边形ABD,既有一圆其圆心在边AB上并于其她三边相切，求证D

33、+ BC =AB. 2设kn 时互素的两个正整数。将集合M =1， 2,3, . , - 中的每个数都染成蓝色或白色，保证 和n-的颜色相似，对于不等于的i其颜色又与|i-的颜色相似。求证：M中所有数的颜色都相似。 3 P() 0 a1 + . + kx 是整系数多项式，设其中系数为奇数的个数为o(P)。对于i , ， 2, .,记 Q(x) = (1 + x)i。求证如果i,2， ., i都是整数并满足0= i i . = o(Qi）. 4. 集合由 1985个不同的正整数构成,且每个数均有一种不小于23的素因子，求证M中存在4个元素的积是某个整数的4次方。 5 圆心为O的一种圆通过三角形A

34、BC的顶点A和,并与AB，C分别交于不同的两点、N，三角形ABC的外接圆和三角形KB的外接圆相交于两个不同的点、M，求证角MB是直角。. 对于任何一种实数1，可通过递推式 xn1 = x(xn + 1n)构造序列 x1， .，求证存在唯一的一种x1 满足对所有的均有 0 xn n+1 4时定义 As =As-3 ，现使用如下的措施构造一系列点P1， 2, P,.：P1 是 k 绕 Ak1 顺时针旋转120度得到的点(k= 0， 1，2,.)。如果 96 = P0,求证A12A3是等边三角形。 3.给正五边形的每个顶点赋值一种整数，使这5个整数之和是正的。对于任何三个持续的顶点设它们所赋予的数分

35、别是x,y，z，如果 0则执行下述操作：将x，y,分别替代为x + y， -y, + y。反复执行这样的操作直到这个顶点数中至少有一种是负值。试问能否通过有限步之后操作结束。 4O是正(n )边形的中心 ，设 A,B是一对相邻的顶点。设开始的时候三角形YZ与三角形OAB重叠，现用如下的方式移动三角形XZ：保持Y、始终在多边形的边界上、X在多边形的内部。试求出当、都走遍多边形的边界时X点所形成的轨迹。 5.试找出所有定义在非负实数并取值也是非负实数的函数 f，使其满足(2) = 0;当= x时(x）不等于0；对所有x,y均有f（x()(y)=(x+y）。 .给定平面上的一种有限点集,每个点的坐标

36、都是整数，问有无一种将这些点涂成红色或白色的染色措施使得在任何一条平行于坐标轴（两个坐标轴中的任何一种）的直线L上的红点和白点的个数之差不不小于1？ 第28届国际数学奥林匹克(M） 1. 设 pn(k) 是集合1， 2, 3, ,n上具有 k 个固定点的排列的个数,求证 k从0 到n 对(k pn(k) ）的求和是 n!。一种集合的一种排列是从S到它自身的一一映射。元素 i称为是 f 固定点如果 f(i) =i。2.锐交三角形ABC 的内角的角平分线交BC于 L，交的外接圆于 N，从 点向 A，AC做垂线,垂足分别是K、M，求证四边形 AKNM的面积与三角形BC的面积相等。 x1, x2, .

37、 ,n 是实数并且满足x12 + x2 +. xn 1，求证对每个正整数k = 存在不全为0的整数a1, a2,. ,n，使得对每个 有| =k -1 及 |1x + a2x . +anxn = (k - 1)n/(k-1)。4求证不存在从非负整数到非负整数的函数 f满足对所有有 f(n) n + 197成立。 5n是不小于或等于3的整数，求证存在一种由平面上n个点构成的集合满足任何两点的距离都是无理数并且任何三点构成一种面积为有理数的非退化的三角形。6.n是不小于或等于2的整数,如果对所有0=n/3均有+ k + n 是素数,则 当0=k 的圆。P点是小圆上一种固定的点,B使大圆上的动点，P

38、交大圆于C，过点作BP的垂线交小圆于A点（如果相切则A=P），a. 试拟定B2 + C2 +CA2的所有也许值; b. 试拟定中点的轨迹。 2.n是正整数, A，A2, . , A2n+1 都是集合的子集,假设 i. 每个Ai 都恰有2n个元素; ii. 任何两个不同的Ai恰有一种公共元素; iii. 中的每个元素至少属于两个 A。 试问对于什么样的n值有措施将B中的元素都标上或使得每个 Ai都正好涉及n个标的元素。.函数f定义在正整数集上：f(1）=; f（) = 3; 且对每个正整数n 有f(2n) = f（n), f（4n + ) 2f(2 1） - f(n）。试拟定不不小于或等于188

39、并满足 f（n） = n的正整数 n 的个数。4试证明满足 1/(x - ) + 2/(x-2) 3/（x 3）+. 70/(x 0) = 5/. 的所有实数 x 的集合是某些互不相交的区间的并集,并且这些区间的长度之和是 198。 5. 三角形AC, 角A是直角，D是BC边上的高的垂足。三角形ABD、三角形C的内心的连线分别交边AB, AC于K,L。求证：三角形A的面积是三角形AKL的面积的至少两倍。.a,都是正整数,且 a整除 a+ b2 求证(a2 +b2）/(ab +1)是完全平方数。 第30界国际数学奥林匹克(MO）试题1 试证明集合1,.,89可以分拆成7个子集合A,A，.，A11

40、7 （即这些子集合互不相交且并集为整个集合）,满足每个Ai涉及17个元素，并且每个Ai中元素之和都相等。. 锐角B,内角A的角平分线交ABC的外界圆于A_，类似定义B1,C1点。设AA1与 ,C的外交平分线交于A0点，类似定义0,C点。 求证：B0C0的面积是六边形1BA1CB1的 两倍也是ABC面积的至少倍。3 设n,是正整数,S是由平面上个点构成的集合并且无三线共点,对任何中的点至少存在S中的k个点与P等距离。 求证:k/2+2n。4.凸四边形BCD的边AB,，BC满足ABABC，四边形内部有一与直线CD距离为h的点，并且AP=+AD,B+B， 求证：1h1，两个玩家A,B根据下述规则交替的选择整数n1，,n,.：a. 设B已选择n2k，则A选择n2k+满足 n2k=21 =1成立。 若选到了数190就获胜;若B选到了1就获胜。分别求除满足下述条件之一的n： (1) A有必胜方略;(2) B有必胜方略； (3) A，B都没有必胜方略。6 求证存在一种凸1990边形使得所有角都相等并且边长是12,2,.,19902