相似综合题(解析版)

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1、相似综合题(解析版）一.解答题(共35小题）.(娄底)如图,在RtA中,AC=90,以BC为直径的交A于点D,E是A的中点，交CD于点.(1）若CD=36，C1，求的长;（2）判断直线DE与的位置关系，并阐明理由;(）求证：2CEAB【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;B：直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】（)连接OD，根据弧长公式,求出圆心角OB即可解决问题;（）欲证明DE是切线，只要证明ODDE即可;（3）一方面证明F是ADC的中位线，再证明ACABC即可解决问题;【解答】解:（1)连接ODBCD=3，DOB=2的长=.(2)连接AE=EC,B=OC，OEA,CDAB，OECD，O

2、D=OC，OO，在EO和EOC中,，EDOC，EO=EC=90,ODDE,是O的切线(3)ECD，DFCF,A=EC，A2EF，AD=B,AD=ACB=90,CDABC，AC2AAB，AC=2E，4CE2=2EAB，2CE2=EFAB【点评】本题考察相似三角形的鉴定和性质、切线的鉴定、三角形的中位线定理、全等三角形的鉴定和性质等知识，解题的核心是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考常考题型. .(攀枝花）如图，AC中,以BC为直径的交B于点D，AE平分BAC交C于点E，交CD于点F.且C=CF（1)求证：直线CA是O的切线；(2）若BDD,求的值【考点】S9：相似三角形的鉴定与

3、性质；ME:切线的鉴定与性质.菁优网版权所有【分析】（)若要证明直线CA是O的切线，则只要证明ACB=0即可;(2）易证ADA，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值.【解答】解:（1)证明：BC为直径，BDCA=90,+3=90AE平分BAC,CE，1=2，45，2+3=90，3=4,+5=90，AC=90，即ABC，直线CA是O的切线;（2)由(）可知，12，3,ACE，,BD=DC,taABC=,BC+BAC=90,CD+B=90，AACD,tanAD=，inAD=,.【点评】本题考察了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质,熟记切线的判断和性质是

4、解题的核心. 3（十堰)已知A为O的直径,BAB于B，且C=AB,D为半圆O上的一点，连接并延长交半圆O的切线AE于E.（1)如图1，若C=CB,求证:D是O的切线；(2)如图2，若F点在OB上,且DD,求的值.【考点】9:相似三角形的鉴定与性质；2:垂径定理；E:切线的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】(1)连接DO,O，易证CDOCBO，即可解题；（2)连接AD,易证AFBC和ADEA,根据相似三角形相应边成比例的性质即可解题【解答】解:(1)连接DO，O,BAB于B,AB=90,在CO与CBO中,，CDOCB,O=CO0，OCD,D是O的切线;（）连接AD，A是直径,AD90，DF+BF9

5、，DB+DB=90,DF+BC=0，CDB=0，AD=BDC，DBCB,在DF和BD中，,ABC，=，DE+DB=90,EDAE90,E=DAB,在ADE和BDA中,DEBDA，,=,即,B=BC,=1.【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质,考察了全等三角形的鉴定和性质,本题中求证AFBC和ADA是解题的核心.4.（广东)如图，AB是O的直径，AB=4,点E为线段OB上一点（不与O，重叠）,作CEB,交于点C,垂足为点E，作直径CD，过点C的切线交DB的延长线于点P，PC于点,连接B.（1)求证:CB是EP的平分线;（)求证:CF=E；(）当时，求劣弧的长度（成果保存）【考点】S：相似三角

6、形的鉴定与性质；M2:垂径定理;MC:切线的性质;:弧长的计算.菁优网版权所有【分析】(1）根据等角的余角相等证明即可;(）欲证明C=E，只要证明ACFA即可；(）作BMPF于M.则E=CM=F，设=CM=4a，PC=4a,PM=a，运用相似三角形的性质求出BM，求出tCM的值即可解决问题;【解答】(1）证明:C=OB,O=OBC，PF是的切线，EAB,OP=CE=9,PB+O=90,BEO=90，BE=BCP，BC平分CE.()证明:连接AC是直径,AB9，BP+AF=90，CE+BE=90,CPE，AC=ACE，F=AEC9，ACAC,ACFACE，CF=C（)解:作MPF于M则E=CM=

7、CF，设CE=CF=3a,P,a，BMPMB，=，BM2=CPM3a2，BM=a,taC=,BCM=0,B=OBC=BOC=60,的长=【点评】本题考察切线的性质、角平分线的鉴定、全等三角形的鉴定和性质、相似三角形的鉴定和性质、锐角三角函数、弧长公式等知识，解题的核心是灵活运用所学知识解决问题,学会添加常用辅助线，属于中考常考题型. 5（泰安）如图,四边形BCD中，B=AC=AD，平分D,点P是AC延长线上一点，且PDA（1)证明：BDCPC;（2）若AC与BD相交于点，AB=1,C：P=2:3，求AE的长.【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质.菁优网版权所有【分析】（1)直接运用等腰三角形的

8、性质结合互余的定义得出DC=PD；(2)一方面过点C作MPD于点M,进而得出CAPD,求出EC的长即可得出答案【解答】(）证明：AB=AD，A平分BA，ACBD，ACD+DC=90,AC=AD,ACDAD,DC+B=90,PDD，C+DC0,DC=C;（）解:过点C作CMD于点M,BD=PD，E=CM,M=D90,P=P,CPMAP,=，设CCE=，CE：CP=2:3,Cx,AB=ADAC=1，=，解得:x=，故AE=【点评】此题重要考察了相似三角形的鉴定与性质以及等腰三角形的性质等知识,对的得出CPAPD是解题核心6.（天水）BC和DF是两个全等的等腰直角三角形,BACEDF9，DEF的顶点

9、与C的斜边B的中点重叠,将DEF绕点旋转，旋转过程中，线段DE与线段B相交于点P，线段F与射线CA相交于点Q.（1)如图,当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：BPECQ；()如图,当点Q在线段CA的延长线上时，求证：BCQ;并求当BP=2,CQ=9时BC的长【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质；KD:全等三角形的鉴定与性质；W：等腰直角三角形;R2：旋转的性质菁优网版权所有【分析】(1）由AC是等腰直角三角形,易得B=C=45，AB=AC,又由APAQ,E是B的中点，运用SS,可证得:BPEQ;（）由AB和DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得B=C=DE=5，然后运用三角形的外角的性质

10、，即可得BPEQC,则可证得:BPEQ；根据相似三角形的相应边成比例,即可求得BE的长，即可得C的长，【解答】(1）证明：AB是等腰直角三角形,B=，A=AC,PQ，PCQ，E是BC的中点,BE=CE，在BE和CE中,，BPECE（SAS）;(2)解:A和DEF是两个全等的等腰直角三角形，C=EF45,BEQE+，即BEP+EFEQC+C,E+45=EC4，EP=EQC,BPECEQ,=，BP，CQ=9,BECE，E2,E=CE=,BC6.【点评】此题考察了相似三角形的鉴定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的鉴定与性质以及勾股定理此题难度较大，注意数形结合思想的应用.(滨州)如图，点是A

11、B的内心，AE的延长线交B于点F,交BC的外接圆于点D,连接B，过点作直线M，使DM=DAC.(）求证：直线DM是的切线;（2)求证：D2=DA【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;2:垂径定理;5:圆周角定理;ME：切线的鉴定与性质;MI：三角形的内切圆与内心菁优网版权所有【分析】（）根据垂径定理的推论即可得到ODBC，再根据BDMDBC,即可鉴定M，进而得到DD,据此可得直线D是O的切线;(2)根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到BDEB，即可得出DB=DE,再鉴定BFDAB，即可得到B=DFDA,据此可得DE2DFA【解答】解：(1）如图所示,连接D，点E是ABC的内心,BADCD，

12、=，DC,又BDM=DA，DAC=DB,BD=DC，BM，ODDM,直线D是O的切线；（2)如图所示,连接BE,点E是A的内心，B=CAECBD,BECBE，BAE+ABE=CBD+BE,即BEBD，DB=D,BF=DAB，BD=A，FDAB，即DB2=F，DE2DDA.【点评】本题重要考察了三角形的内心与外心,圆周角定理以及垂径定理的综合应用,解题时注意:平分弦所对一条弧的直径,垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧;三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角8.（衢州）如图,为半圆O的直径,C为BA延长线上一点,CD切半圆O于点D，连接OD作BEC于点E,

13、交半圆O于点已知CE=12，BE()求证:CDCB（2)求半圆O的半径r的长.【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质；M：切线的性质菁优网版权所有【分析】()由切线的性质和垂直的定义得出E=CDO,再由C=C，得出ODCB(2）由勾股定理求出BC=15，由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案.【解答】（1)证明：CD切半圆O于点D,CDO,CDO=90,ECD，E=9=CDO,又=C，ODBE(2）解:在BEC中，C=2，BE=9,C=15,O，即，解得：r=.【点评】本题考察了切线的性质、相似三角形的鉴定及其性质、勾股定理;纯熟掌握相似三角形的鉴定与性质是解决问题的核心9.（黄冈)已知:如

14、图,MN为O的直径,ME是O的弦,垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分DM求证：（1）E是O的切线；(2）ME2=DMN.【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质;E:切线的鉴定与性质.菁优网版权所有【分析】（1)求出EDM,求出OEDE，根据切线的鉴定得出即可;(2)连接EN,求出MD=EN，求出MDMEN,根据相似三角形的鉴定得出即可.【解答】证明:(1）ME平分DMN,OED，OM=OE，OMEOE,DME=OM,EDM，DMDE,OED，O过O，D是O的切线;(2）连接N,DMDE，N为O的直径，MDEME=90，NE=DE,MDEMEN,=,2=MDM【点评】本题考察了切线的鉴

15、定，圆周角定理，相似三角形的性质和鉴定等知识点,能综合运用知识点进行推理是解此题的核心.1.（阿坝州)如图，ABC和ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，BAC=AE=,点P为射线B,CE的交点（1)求证:DCE；(2）若=2,D=,把AE绕点A旋转，当A=90时，求PB的长；【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;KD:全等三角形的鉴定与性质;W:等腰直角三角形；R：旋转的性质.菁优网版权所有【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到AC,=AE，根据同角的余角相等得到DAB=CE，然后根据SS可证明DBAEC，最后,根据全等三角形的性质可得到B=CE;（2）分为点在AB上和点E在AB的延长线上两种

16、状况画出图形，然后再证明PEBAC，最后根据相似三角形的性质进行证明即可【解答】解：（1）BC和ADE是等腰直角三角形，BAC=E=0,AB=AC，ADAE,B=A.ADBAEC.BD=C（)解：当点E在AB上时，BE=ABAE=1EAC=9，CE=同（1）可证DBAEC.D=ECAPB=EC，PEBAE.=.B=.当点E在BA延长线上时，B=3EC=9,CE=同（1)可证ADBAEDBA=ECBEP=CE，PEBAE=.P.综上所述,PB的长为或【点评】本题重要考察的是旋转的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的性质和鉴定、相似三角形的性质和鉴定,证明得PEBC是解题的核心 1（眉山)如图，点

17、是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结E，过顶点作FD,垂足为,BF分别交AC于H，交CD于G（1)求证:BDE;(）若点G为CD的中点,求的值【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质；:全等三角形的鉴定与性质;L:正方形的性质菁优网版权所有【分析】(1）由于BFDE,因此GD=0,从而可知CBG=CD，根据全等三角形的鉴定即可证明BCGDCE，从而可知B=DE；（2）设CG,从而知C=C=1,由勾股定理可知：DE=BG=,由易证AHCGH,因此，从而可求出HG的长度,进而求出的值.【解答】解：（1)FE,GFD=0,90,BGC=GF,CGCD，在BC与D中，BGDCE（SA）,B=DE,(

18、)设G=1，G为CD的中点，D=CG=，由()可知：BCGE(AA)，=，由勾股定理可知：DEB,snDE=,G=，ABCG，ABCGH,=，B=,H，【点评】本题考察相似三角形的综合问题，波及相似三角形的鉴定与性质，全等三角形的鉴定与性质，勾股定理等知识，综合限度较高,属于中档题型.12(毕节市）如图,在ABC中 过点A作AEDC,垂足为E,连接E，F为E上一点,且AFE=D(1）求证：ABFBE；(2）若AD=5,=8，snD，求F的长.【考点】9：相似三角形的鉴定与性质;L5：平行四边形的性质;T7:解直角三角形菁优网版权所有【分析】(1)由平行四边形的性质得出BCD，ADC，A=C，得

19、出D+=10，BF=EC,证出=A,即可得出结论;(）由勾股定理求出BE，由三角函数求出AE，再由相似三角形的性质求出AF的长.【解答】（)证明:四边形ACD是平行四边形,AC,DBC,AD=C，+C=80，BF=BEC，AB+AFE=180,C=AFB,ABFBEC;(）解：ADC，ABD，AD=BAE=90，在RtABE中，根据勾股定理得：E=4，在tAD中，A=ADi5=4,B=AD=5,由(）得:BE,即,解得：AF=2【点评】此题考察了相似三角形的鉴定与性质，以及平行四边形的性质，纯熟掌握相似三角形的鉴定与性质是解本题的核心13.(河池）（）如图，在正方形ABD中,点E，分别在BC,

20、CD上，AE于点M,求证：AE=BF；(2）如图2，将 （1)中的正方形ACD改为矩形ABCD,AB=2,BC3，AEBF于点M,探究AE与F的数量关系,并证明你的结论【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质；KD：全等三角形的鉴定与性质;:正方形的性质.菁优网版权所有【分析】(1）根据正方形的性质,可得C与C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得AMB的度数,根据直角三角形锐角的关系,可得M与A的关系,根据同角的余角相等，可得AM与CBF的关系,根据ASA，可得AB，根据全等三角形的性质,可得答案；(2)根据矩形的性质得到AB=C,由余角的性质得到AM=F,根据相似三角形的性质即可得到结

21、论【解答】(1）证明:四边形ABD是正方形,ABC，AB=C.EF，AM=BAMBM9,BM+BF,MB在AE和C中,，AEBCF(ASA），AE=F；（)解:AE=F，理由:四边形ACD是矩形，AB=,EB,AB=AM+ABM9，+CF=90,BAM=CB，BEBCF,=，AE=BF【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质，全等三角形的鉴定和性质，矩形的性质,纯熟掌握相似三角形的鉴定和性质是解题的核心. 14.(常德）如图，直角AC中,BA=90，D在BC上，连接AD，作BAD分别交D于E,AC于.(1)如图,若B=BA，求证：AEDB；(2）如图2，若D=4C,取B的中点G,连接C交AD于

22、M,求证:GM2MC；A2AC.【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;KD：全等三角形的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】（）根据全等三角形的鉴定定理即可得到结论;（2)过G作GHAD交BC于H，由AGBG，得到BDH,根据已知条件设C=1，D,得到B=DH=2，根据平行线分线段成比例定理得到=,求得GM=MC;过作NAD交AD的延长线于N,则CNAG,根据相似三角形的性质得到=,由知GM=M，得到2C=AG,根据相似三角形的性质得到结论【解答】证明：（1）在RtA和RtDE中，AEBE;（2）过G作GHAD交BC于,A=G,BH=H,B=4D,设DC=,BD=，BH=DH=，GHD,=,GM=

23、MC;过作CC交AD的延长线于，则CNAG，AGMNCM，=,由知GM=2MC，N=AG，A=AB=90,ABF=CAN90BAE,ACNBAF,=,B2G,，2CNAG=AAC，AG2=FAC【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质，全等三角形的鉴定和性质,等腰三角形的性质，纯熟掌握相似三角形的鉴定与性质是解题的核心.15（绥化)如图，在矩形ABCD中，E为AB边上一点,E平分EB，F为C的中点,连接A，B，过点E作EHBC分别交AF，CD于G，H两点（1)求证:=DC;(2）求证:AFBF;(3）当AGF=28时，请直接写出C的长【考点】S:相似三角形的鉴定与性质;KD:全等三角形的鉴定与

24、性质；LB：矩形的性质.菁优网版权所有【专项】52:几何综合题【分析】（）根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到DCEDEC，进而得出DED；(2）连接D,根据等腰三角形的性质得出DF=9，再根据直角三角形斜边上中线的性质得出B=F=EF=E,再根据SA鉴定BDCF,即可得出AFB=DC=90,据此可得FBF;(3)根据等角的余角相等可得BAF=F，再根据公共角EFG=F,即可鉴定FG,进而得出EF2=AGF=28,求得EF=2,即可得到CE2EF=4.【解答】解:(1)四边形AD是矩形，ABD,CECE，EC平分DB，DCEB,DCE=EC，DE=D；(2)如图，连接D，DE=DC，为

25、E的中点，DFEC，FC=90,在矩形ABCD中,ABC,C=90，BF=CF=EF=EC,ABF=EB,DCE=CB,AB=D，在ABF和DC中,ABFDCF（SAS),AFB=DFC=9，AFB;（）CE=4理由如下：AFF，BFBF0,EHB，ABC=90,BE90,FH+CEB=90,A=CEB,BFH,G=AF,FGAE,=,即EF2=AFG，AGF=28,EF=2,E=2F=4【点评】本题属于四边形综合题,重要考察了矩形的性质、全等三角形的鉴定与性质、相似三角形的鉴定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质的综合应用，解决问题的核心是作辅助线，构造全等三角形.在鉴定两个三角形相

26、似时，应注意运用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充足发挥基本图形的作用.6(齐齐哈尔）如图，在BC中,ADBC,BA,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点（1)求证:CDBD；(2)当tanABD1，=3时，求BF的长【考点】:相似三角形的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】(1)由C+DB=9，C+DC=90，推出DF=DAC，由此即可证明（2）先证明BD,由ACDFD，得=,即可解决问题【解答】(1）证明:ADBC,A,BDFADC=B=90，CDBF=90,+DC=90,DBF=DA,ACDD(）taBD1,DB91，ADBD，ACBD,=,BF=A=3.【点评】本题考察相似三角形的

27、鉴定和性质、三角函数等知识，解题的核心是纯熟掌握相似三角形的鉴定和性质，属于中考常考题型. 17（桂林)已知：如图,在ABC中,B=BC=10,以AB为直径作O分别交，BC于点D，E,连接DE和D,过点E作EFB，垂足为F，交BD于点P.（）求证:D=E;(2）若CE=2,求线段CD的长;(3）在（2）的条件下,求DE的面积.【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质；H：等腰三角形的性质;Q:勾股定理；M2：垂径定理.菁优网版权所有【分析】(1）根据圆周角定理可得AB=9,再根据等腰三角形的性质可证AD=DE；(2)根据可证CEDCAB，根据相似三角形的性质和已知条件可求C;（3）延长EF交于M,

28、在RBD中，根据勾股定理可求BD,根据A可证BPEBED，根据相似三角形的性质可求BP，进一步求得DP,根据等高三角形面积比等于底边的比可得SDP:SBPE=13:3,SBD：SBCD4：5,再根据三角形面积公式即可求解【解答】(1)证明：AB是O的直径,ADB=90,AB=C，是的中点，ABD=CB,ADE；（2)解：四边形BD内接于O,D=CA，C，AB，=，A=BC10,E=，D是AC的中点,CD=；(3）解：延长E交于M,在RtAB中,AD，A=10,B=,EAB，AB是O的直径，=，E=B，BPED,=,B=,PBBP=，SDPE:SPEP：P=1:32，SCD=3=15，SBE:B

29、CDBE：B=:,SB12，SDE=.【点评】考察了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的鉴定与性质以及勾股定理的知识注意精确作出辅助线、掌握方程思想的应用是解此题的核心. 8（巴中)如图，A是O的直径,AE平分，交于点，过点的直线FGAF，垂足为F，B为半径上一点，点、分别在矩形ABCD的边BC和D上.(1）求证：直线F是O的切线;（2）若F12，B6，求的值.【考点】S：相似三角形的鉴定与性质;LB:矩形的性质；E：切线的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】（1）连接E,证明FG是O的切线，只要证明OE90即可；(2）先根据角平分线的性质得出EF=E=6,再证明FCE,根据相似三角形相应边

30、成比例得出.【解答】(1）证明：如图,连接O，OOE，AO=O,平分FH,EAO=FAE，FE=AEO，AFOE，AFE+OF=1,FGF，AFEOEF=90,OEF，点在圆上，E是半径，GF是O的切线;（2）解：四边形BD是矩形,EBAB，FF，E平分FH,EF6，又四边形ABCD是矩形,D=0,DAF+AD=90，又AFFG，A=90，AD+CFE90，DAF=，又D=C,ADFCE,=,又F=12,EF=6,=【点评】本题考察的是切线的鉴定，解决本题的核心是要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可也考察了相似三角形的鉴定与性质，矩形的性质19（朝阳

31、）如图,以AB的边AC为直径的交B边于点M,交C边于点N,连接AN,过点C的切线交A的延长线于点P，BC=BAN(1)求证:ABC为等腰三角形()求证：AMCP=ANCB【考点】9:相似三角形的鉴定与性质;J：等腰三角形的鉴定与性质;MC:切线的性质菁优网版权所有【分析】(1）由C为直径，得到AC=90,由切线的性质得到BC=CN，再由CP=BAN,得到BA=CA,于是得到结论.()由等腰三角形的性质得到BC=CB,根据圆内接四边形的性质得到PBC=AN,证出BPCMNA,即可得到结论.【解答】(1)证明:AC为O直径,N90,PC是的切线,BCP=C,BC=BAN,BAN=AN,ABAC，A

32、B为等腰三角形；（2)AC为等腰三角形，ABAC，=ACB，PCBC=AM+AN80,PCAM,由（1)知CP=A,BCMNA,，即CP=ANCB【点评】本题考察了切线的性质，等腰三角形的鉴定与性质，圆周角定理,相似三角形的鉴定和性质,圆内接四边形的性质,解此题的核心是纯熟掌握定理. 20（德州)如图，已知RtABC，=90，D为C的中点,以AC为直径的交AB于点E(1)求证：D是O的切线;(2)若A：E=1:2,C=6,求E的长【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;E：切线的鉴定与性质菁优网版权所有【分析】（1)求出OED=BA=90,根据切线的鉴定得出即可;（2)求出ECCA，得出比例式，

33、代入求出即可【解答】(1）证明:连接OE、，C是O的直径,EC=EC=90，D为BC的中点,EDDCBD，1=2，OE=O，=4，1+3=2+4,即D=ACB,AB,OED=90，DE是O的切线；(）解：由(1）知：B=，在BEC与RtBA中，B=，BECBA，BECBC,=,C=BBA,E:B=1:2，设AEx，则E=2x,BA=3x,BC=6，=2x3，解得：x=,即AE=【点评】本题考察了切线的鉴定和相似三角形的性质和鉴定，能求出OED=BA和BEBCA是解此题的核心 21.(达州)如图，ABC内接于O,D平分AC交O于D，过点D作PQ分别交、CB延长线于P、Q，连接D(1)求证:Q是O

34、的切线;()求证:BD=ACBQ；（）若AC、BQ的长是有关的方程x+=m的两实根，且tanPCD=，求O的半径.【考点】：相似三角形的鉴定与性质;B:分式方程的解；M5:圆周角定理;ME：切线的鉴定与性质;T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】(1)根据平行线的性质和圆周角定理得到ABBDQ=ACD，连接OB，OD,交A于,根据圆周角定理得到OBD=ODB,O=2DCB=BD,根据三角形的内角和得到2ODB+O180,于是得到OD+9,根据切线的鉴定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的鉴定得到AD=BD,根据相似三角形的性质即可得到结论;（3)根据题意得到ACB=4，得

35、到B=2，由(1)知P是O的切线，由切线的性质得到，根据平行线的性质得到ODAB，根据三角函数的定义得到E=3DE，根据勾股定理得到BE=,设OBOD=R，根据勾股定理即可得到结论.【解答】（）证明：PQAB，ABD=DQAD,ACD=CD,BDACD，如图,连接B，D，交AB于E,则BD=ODB,O=2=2DQ,在BD中，OBODB+O=18，DB+2BQ=80,ODO=9，Q是的切线；(2）证明:如图,连接AD，由（1）知PQ是O的切线,BDQDB=ACD=BAD，AD=，DBQC,BDQACD，=,D2=ACQ;（3)解：方程x+=m可化为2mx40，、B的长是有关x的方程+=m的两实根

36、，ACB=4,由（)得BD2=BQ，D4,BD=,由(1）知Q是O的切线,OPQ,PQA，ODA，由（1)得PC=BD，tanPD=,tnAB，B=3DE,E2+(3DE)2BD=4，D=，BE=,设OBD=，OE=,OB2=OE2B2，R2=(R）2+()2,解得：=,O的半径为.【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质，一元二次方程根与系数的关系，圆周角定理，平行线的鉴定和性质,勾股定理,角平分线的定义,对的的作出辅助线是解题的核心.(怀化）如图,已知BC是的直径,点D为B延长线上的一点，点A为圆上一点，且AB=AD,AC=D(）求证:ADBAD;(2）求证:AD是O的切线.【考点】9:相

37、似三角形的鉴定与性质；M：切线的鉴定.菁优网版权所有【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到CA=B，由于D=，于是得到CDD;()连接O,根据等腰三角形的性质得到OAB，得到ABAD,由BC是O的直径,得到BA90即可得到结论.【解答】证明：（）AD，BD,C=CD，D=D，CD=B，DD，ACDBAD;（2）连接OA，A=OB，A，OB=AD，是的直径,BA90,AAD，D是的切线.【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质,切线的鉴定,等腰三角形的性质，圆周角定理,对的的作出辅助线是解题的核心 2.(锦州)已知：四边形ABC是菱形,以为圆心作O，与相切于点D,交OA于E，交OC于，连接OD，

38、DF.()求证：AB是的切线；（2）连接F交OD于点,若C=45，求证:G=DG【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;L8:菱形的性质；ME:切线的鉴定与性质.菁优网版权所有【分析】(1)过O作OHB，由菱形的性质可求得OH=O，由切线的性质可知OD为圆O的半径，可得OH为圆O的半径，可证得结论；（2)由条件可证明DFDO,再运用相似三角形的性质可证得结论【解答】证明:（1)如图,过作OHA,四边形OBC为菱形，AB=BC，BC为的切线,ODBC,且O为O的半径，ABH=BO,OH=D，AB为O的切线；（2）由(1）可知DCB,O，AOD=9,DF=AOD=45,C=4,且ODC90，DOF4

39、，在G中，DG为OGF的外角,DGF=DOF+FO=5+GO,DFO=DG+FO=45+GFO,GF=DFO，且GF=FDO，DGFFO,=，即DFFDGOF，OF=O=,FGF，GF2=DGOE【点评】本题重要考察切线的鉴定和性质及相似三角形的鉴定,掌握切线的鉴定措施和相似三角形的鉴定措施是解题的核心,注意等积法的应用. 24（菏泽）如图，AB是的直径，PB与O相切于点,连接交O于点C,连接C.（1)求证：BAC；（2）求证:PB2=PCA；(3)当AC6，3时，求sinPAB的值【考点】S9:相似三角形的鉴定与性质;MC:切线的性质；T7：解直角三角形菁优网版权所有【分析】(1)根据已知条

40、件得到CB=ABP=90,根据余角的性质即可得到结论;()根据相似三角形的鉴定和性质即可得到结论；(3)根据三角函数的定义即可得到结论【解答】解:(1)AB是的直径，PB与O相切于点B，ACB=ABP=90,A+ABC=ABC+BP,BC=CBP;（2）P=BP=90，P=P，ABPBCP，,PB2=PCPA;(3)B=PPA，AC，CP=3,B2=9=2,PB=，inPB=【点评】本题考察了相似三角形的鉴定和性质,切线的性质,圆周角定理,三角函数的定义，对的的辨认图形是解题的核心.2.（德阳）如图，已知AB、CD为O的两条直径，DF为切线,过AO上一点N作NMDF于M，连结DN并延长交于点，

41、连结C(1)求证：DMD.（)设G为点E有关AB对称点，连结G、GN,如果DO5,的半径为3,求DN2N2的值【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质;MC:切线的性质；2：轴对称的性质菁优网版权所有【分析】（1）先运用直径所对的圆周角是直角和切线的性质得：DECNM=0，再证明M，可得NEC，根据两角相应相等可得两三角形相似；（2)先证明GND是直角三角形,再根据是等腰直角三角形得EN4,证明GOD是直角三角形，运用勾股定理可得结论【解答】证明：(1)DF为的切线,DFD，NMD，CD，MD=DC,D为O的直径,MD，D=MD=90，MNCE；（)连接E，G,OC，G为点E有关AB对称点，AO垂

42、直平分EG,=EN,GN=ENA,DNO=45,A=,GE=0，GND=1090=90，GND是直角三角形,D2+G2=D2，EGN是等腰直角三角形,GEN=45，=GN=4，G=OC，CO45,GD=90，OD是直角三角形，DG2=OG+322=,DN2+GN=D=18.【点评】本题考察了切线的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的鉴定与性质、等腰直角三角形的鉴定及性质、勾股定理等知识,第问有难度，证明C=5是解决第（2）小题的核心 2（聊城)如图，O是C的外接圆,O点在BC边上,BC的平分线交O于点D，连接B、CD，过点作BC的平行线，与B的延长线相交于点P（1)求证:D是O的切线;(2）求

43、证：PDD;（3）当AB=6，AC=8时，求线段P的长.【考点】S：相似三角形的鉴定与性质；ME:切线的鉴定与性质.菁优网版权所有【专项】1 ：计算题；55A:与圆有关的位置关系【分析】()由直径所对的圆周角为直角得到AC为直角，再由AD为角平分线,得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换拟定出DOC为直角,与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到OD与PD垂直，即可得证；(2）由PD与平行，得到一对同位角相等,再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到P=AC,根据同角的补角相等得到一对角相等,运用两对角相等的三角形相似即可得证;(3)由三角形ABC为直角三角形，运用勾股定

44、理求出BC的长,再由OD垂直平分BC,得到B=C，根据()的相似，得比例,求出所求即可【解答】（）证明：圆心O在B上，B是圆的直径,BAC=90，连接OD，A平分BAC,C=2AC,DOC=2DAC，DOC=AC=90,即DBC，DB，ODP，OD为圆O的半径，PD是圆的切线；(2）证明:PDB，P=C,ABC=ADC,P=AD,PBD+AD=18,CABD=0，PBD=CD,PBDA；()解:AB为直角三角形,BC2=AB2+AC26+8210,BC=10，OD垂直平分BC,BDC,为圆O的直径，DC=,在RB中，DB2+D2=BC,即2DC2C2=10，DC=D=,PBDA,=，则P=.【

45、点评】此题考察了相似三角形的鉴定与性质,切线的鉴定与性质,纯熟掌握各自的鉴定与性质是解本题的核心. 27(宁夏）将一副三角板RtA与RCB（其中BD=9，D=6，C=,AB=5)如图摆放，RtA中D所对直角边与RtAB斜边正好重叠.以AB为直径的圆通过点C，且与AD交于点 ，分别连接B，EC.（）求证：C平分A;(2）求的值.【考点】9:相似三角形的鉴定与性质；M5：圆周角定理.菁优网版权所有【分析】()由tCB中ABC=5，得出BA=ABC45，根据圆周角定理得出AEC=ABC，BECBA,等量代换得出ABC，即EC平分E；()措施1、设B与E交于点.根据角平分线的性质得出=易求BA=30，

46、由直径所对的圆周角是直角得出AE=0，解直角ABE得到AE=E，那么=作FCE于F，BGCE于证明AFBGM,根据相似三角形相应边成比例得出=，进而求出=.措施、易求BAD=30,由直径所对的圆周角是直角得出AB=9,解直角ABE得到ABE,那么=，再用角平分线定理判断出CP=C，即可得出结论【解答】（1)证明:RtAB中，ACB=0，ABC45,BAC=ABC=45,AC=ABC，ECAC，EBC,即平分EB；（2）解:如图，设AB与CE交于点MEC平分AE，=在RtABD中,B=90，D=60，D30，以A为直径的圆通过点E，AEB=9,anBAE=，A=E,=.作AFE于F,G于G在AF

47、M与BGM中,AFMG=90,AMBMG，AFMBGM,=.措施、如图1，在RtAB中,ABD=90,=60,D0，以AB为直径的圆通过点E，EB=90，tanBAE=,AE=BE,过点C作PA于，过点C作CQEB交延长线于Q,由（1)知,EC是的角平分线,CP=Q，=.【点评】本题考察了相似三角形的鉴定与性质,圆周角定理,锐角三角函数定义,通过作辅助线得出=是解题的核心8.（乐山）如图，以B边为直径的O通过点,C是O上一点,连结PC交A于点E，且ACP6,PA=D.（1）试判断PD与O的位置关系，并阐明理由;(2）若点C是弧AB的中点,已知A=，求CCP的值【考点】S9：相似三角形的鉴定与性质；M4:圆心角、弧、弦的关系;MB:直线与圆的位置关系菁优网版权所有【分析】(）连结OP,根据圆周角定理可得AO=ACP=20，然后计算出PA和D的度数,进而可得OP90，从而证明PD是的切线;（2)连结BC，一方面求出CAB=AB=PC