函数与几何综合题的解题方法

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1、函数与几何综合题的解题措施函数与几何综合题重要有两类,一类是几何元素间的函数关系问题,简称“几函”问题,其特点是根据已知几何图形间的位置和数量关系（如平行、全等、相似,特别是成比例)建立自变量与函数所示的几何元素间的等量关系,求出函数关系式，运用函数的性质去解决几何图形中的问题。另一类是函数图像中的几何图形的问题,简称“函几”问题，其特点是根据已知函数图像中的几何图形的位置特性,运用数形结合措施解决有关函数、几何问题。下面，笔者就上述两类典型试题为例，谈谈函数与几何综合题的解题方略。一、综合使用分析法和综合法就是从条件与结论出就是从条件与结论出发进行联想、推理,“由已知得可知”,“从规定到需求

2、”，通过对问题的“两边夹击”，使它们在中间的某个环节上产生联系，从而使问 题得以解决。如本文例5中的第(2）、（3）问的解答就使用了此种措施。【例】已知二次函数y=x+bx+c的顶点在直线y=4x上，并且图象通过点A（,)。 (）求这个二次函数的解析式;(2）设此二次函数与轴的另一种交点为B,与y轴的交点 为C,求通过M、 B、三点的的直径长; (3）设O与y轴的另一种交点为，通过P(-,)、N两点的直线为l则圆心O与否在直线l上,请阐明理由请阐明理由。二、运用方程的思想就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系，建立已知量与未知量间的方程,通过解方程从而使问题得到解决;在运用这种思想时,要注

3、意充足挖掘问题的的隐藏条件，寻找等量关系建立方程或方程组;如本文例中的第(2）个问题的解决就用到了此种思想。【例2】如图所示，已知A、B两点的坐标分别为(28，0）和(0，8)，动点P从A点开始在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向原点O运动,动直线F从轴开始以每秒个单位长度的速度向上平移(即Ex轴），并且分别与轴、线段交于E、F点,连结FP,设动点与动直线EF同步出发,运动时间为t秒。(1)当t1时,求梯形OPFE的面积。t为什么值时，梯形FE的面积最大，最大面积是多少? (2)当梯形OPFE的面积等于三角形APF的面积时,求线段P的长。 (3)设t的值分别取1、t时，(t1t2），所相应的

4、三角形分别是 AF1P1和 AFP，试判断这两个三角形与否相似；请证明你的判断。三、注意使用分类讨论的思想函数与几何结合的综合题中往往注意考察学生的分类讨论的数学思想，因此在解决此类问题时，一定要多一种心眼儿,多从侧面进行缜密地思考,用分类讨论的思想探讨浮现结论的一切也许性,从而使问题的解答完整无遗。如本文例中的第(2）、(3)问,要从直角的顶点的位置、矩形的第四个顶点的位置进行讨论,例第(2)问中,求面积S与间的函数关系式时，也要分直线l在点C的左边和右边两种状况来讨论,千万不能一蹴而就。【例3】已知二次函数的图象如图所示，(1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M的坐标 ；（)若点N为线段M

5、上的一点，过点N作轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段BM上运动时（点不与点B、点M重叠),设NQ的长为t，四边形NQA的面积为，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范畴；（3)在对称轴右侧的抛物线上与否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在,请阐明理由;(4)将OAC补成矩形,使OA的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边的对边上，试直接写出矩形的未知顶点的坐标（不需要计算过程)。四、运用数形结合的思想在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表目前：“数”可以精确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算；使用数

6、形结合的思想来解决问题时,要时刻注意由图形联想其性质,由性质联想相应的图形，从而使问题得以简化；如本文中的例4，在解决与间的函数关系时，一方面根据图形的性质，建立起线段间的关系式,然后再运用线段间的关系,建立y与x间的函数关系;在求自变量的取值范畴时,把自变量所相应的几何元素推到两个极端的位置，求出相应的值,再结合几何量的实际意义和题目中的已知条件加以拟定。【例4】 如图,AB为半圆的直径,为圆心，A6,延长B到，使FAAB,若P为线段AF上的一种动点(不与A重叠),过P点作半圆的切线，切点为C,过点作 EP交P的延长线于E设AC，CBE=y,求与 的函数关系式及的取值范畴。评析:这是一道集圆

7、、直角三角形、相似三角形与函数的综合题，由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理;又由于有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。因此，连结B，构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形,然后运用两对相似三角形中的一对建立比例式,再结合勾股定理解决问题。五、运用转化的思想转化的数学思想是解决数学问题的核心思想,由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性，因此在解决此类问题时，要善于把“新知识”转化为“旧知识”,把“未知”化为“已知”，把“抽象”的问题转化为“具体”的问题,把“复杂”的问题转化为“简朴”的问题,上面所有各例,都用到了转化的数学思想

8、,可以大胆地说，不掌握转化的数学思想,就很难对的而全面地解决函数与几何结合的综合问题。一、函数与几何问题的综合题的分类和特点1.几何元素间的函数关系问题此类问题的特点是:2函数图像中的几何图形的问题此类问题的特点是:二、 函数与几何综合题例析（一）几何元素间的函数关系问题1线段与线段之间的函数关系(1)观测几何图形的特性。(2)根据有关图形的性质（如直角三角形的性质、特殊四边形的性质、平行线分线段成比例定理及其推论、相似三角形的性质、圆的基本性质、圆中的比例线段等等)找出几何元素之间的联系。(3)将它们的联系用数学式子表达出来，并整顿成函数关系式,在此函数关系式的基本上再来解决其他的问题；解决

9、此类问题时，要特别注意自变量的取值范畴。【例1】 如图，A为半圆的直径，O为圆心,，延长BA到F,使FA=A，若为线段A上的一种动点(不与重叠)，过P点作半圆的切线,切点为,过点作 BEPC交C的延长线于E设ACx，ABE,求y与 x的函数关系式及x的取值范畴。评析:这是一道集圆、直角三角形、相似三角形与函数的综合题,由于已知条件中有切线，因此可以联想切线的性质、切割线定理、弦切角定理、切线长定理;又由于有直径这一已知条件，又可联想构造直径所对的圆周角。 因此，连结,构造出“双直角三角形”和弦切角定理的典型图形，然后运用两对相似三角形中的一对建立比例式，再结合勾股定理解决问题。2.面积与线段间

10、的函数关系的建立解决此类问题除了掌握第一类型的知外，还要注意到如下两点：(）常用图形的面积公式。（2）学会灵活地将非特殊图形的面积转化为特殊图形的面积，将同底(或等高)的两个三角形的面积之比转化为它们的高(或底)之比,将相似三角形的面积之比转化为相似比(或周长的比、相应边上的高的比、相应边上的中线的比等)的平方。【例2】如图所示,已知A、B两点的坐标分别为(28,0）和（0,28),动点P从点开始在线段AO上以每秒个单位长度的速度向原点O运动,动直线EF从x轴开始以每秒1个单位长度的速度向上平移（即EFx轴）,并且分别与y轴、线段AB交于、F点，连结FP,设动点P与动直线F同步出发,运动时间为

11、t秒。（1）当t=1时,求梯形OPE的面积。为什么值时，梯形OFE的面积最大，最大面积是多少?(2)当梯形OF的面积等于三角形AP的面积时，求线段PF的长。(3)设t的值分别取t、t2时，（t1t2）,所相应的三角形分别是 F1P1和 AP2，试判断这两个三角形与否相似；请证明你的判断。（二）函数图像中的几何图形的问题三类基本初等函数中的图形面积问题解决此类问题时，一般要将坐标系中的图形进行分割,一般状况是将它分割成某些两边(或三边）在坐标轴上或者两边(或三边）平行于坐标轴的三角形（或梯形、矩形）等；同步要注意点到坐标轴的距离与点的坐标间的区别,对的运用点的坐标来表达线段的长度。【例】如图，直

12、线OC、BC的函数关系式分别为y和y2x+6,动点（，0）在OB上移动（0x），过点P作直线l与轴垂直.（)求点C的坐标；(2）设OB中位于直线l左侧部分的面积为,写出s与x之间的函数关系式;(3）在直角坐标系中画出（2)中函数的图象;（4）当为什么值时,直线平分OBC的面积?2、三类基本初等函数中的三角形、四边形、圆的问题：此类题目一般由1问构成，第一问往往是求函数的解析式,然后在此基本上再与几何中的三角形(全等、相似或特殊三角形与否存在等问题)四边形(面积的函数关系式、特殊四边形与否存在)和圆（直线与圆的位置关系的判断、圆中的比例式与否成立)结合起来,运用初中的主干知识全面考察学生综合运用

13、所学知识解决问题的能力；解决此类综合性问题时要注意如下几种问题:【例4 】已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点的坐标 ;（2）若点为线段B上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点在线段BM上运动时(点不与点、点重叠），设N的长为t,四边形QAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范畴;（)在对称轴右侧的抛物线上与否存在点，使A为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请阐明理由;(）将AC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点,第三个顶点落在矩形这边的对边上，试直接写出矩形的未知顶点的坐标(不需要计算过程)。【

14、例5】已知二次函数=x2bx+c的顶点在直线y=-x上，并且图象通过点A(1，0)。(1)求这个二次函数的解析式； (2）设此二次函数与轴的另一种交点为B，与y轴的交点 为C，求通过M、 B、三点的O的直径长; （)设O与y轴的另一种交点为N，通过P（2，0)、N两点的直线为l则圆心与否在直线上，请阐明理由请阐明理由。一、 函数与几何综合题的解题方略:、综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出就是从条件与结论出发进行联想、推理，“由已知得可知”,“从规定到需求”,通过对问题的“两边夹击”,使它们在中间的某个环节上产生联系,从而使问 题得以解决。如本文例5中的第（)、()问的解答就使用了此种措

15、施；2、运用方程的思想。就是寻找要解决的问题中量与量之间的等量关系,建立已知量与未知量间的方程，通过解方程从而使问题得到解决;在运用这种思想时,要注意充足挖掘问题的的隐藏条件,寻找等量关系建立方程或方程组；如本文例2中的第（）个问题的解决就用到了此种思想;3、注意使用分类讨论的思想。函数与几何结合的综合题中往往注意考察学生的分类讨论的数学思想，因此在解决此类问题时,一定要多一种心眼儿,多从侧面进行缜密地思考,用分类讨论的思想探讨浮现结论的一切也许性,从而使问题的解答完整无遗。如本文例4中的第(2)、（3）问,要从直角的顶点的位置、矩形的第四个顶点的位置进行讨论，例3第()问中,求面积与x间的函

16、数关系式时，也要分直线l在点C的左边和右边两种状况来讨论，千万不能一蹴而就；4、运用数形结合的思想。在中学数学中，“数”与“形”不是孤立的，它们的辩证统一表目前:“数”可以精确地澄清“形”的模糊，而“形”能直观地启迪“数”的计算;使用数形结合的思想来解决问题时,要时刻注意由图形联想其性质,由性质联想相应的图形,从而使问题得以简化;如本文中的例，在解决y与x间的函数关系时,一方面根据图形的性质,建立起线段间的关系式,然后再运用线段间的关系,建立y与x间的函数关系；在求自变量的取值范畴时，把自变量所相应的几何元素推到两个极端的位置,求出相应的值,再结合几何量的实际意义和题目中的已知条件加以拟定；、运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想,由于函数与几何结合的问题都具有较强的综合性,因此在解决此类问题时,要善于把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”化为“已知”,把“抽象”的问题转化为“具体”的问题，把“复杂”的问题转化为“简朴”的问题，上面所有各例，都用到了转化的数学思想，可以大胆地说,不掌握转化的数学思想，就很难对的而全面地解决函数与几何结合的综合问题；