-流体动力学基础-4流体动力学基础

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1、3 流体运动学基本一、学习目的和任务.理解拉格朗日(Lrage)措施和欧拉(le）措施的基本思想。2.掌握流体动力学中的若干基本概念。3掌握流体运动的持续性方程的积分形式及其应用。4理解持续性方程的微分形式和圆柱坐标系、球面坐标系中的持续性方程。5.理解流体微元的运动分析的基本措施，理解亥姆霍兹速度分解定理。. 理解流体微元运动的四种形式。二、重点、难点.重点欧拉(Eulr)措施、持续性方程的积分形式、亥姆霍兹速度分解定理、微元运动的四种形式。2.难点持续性方程、亥姆霍兹速度分解定理。流体运动学重要讨论流体的运动参数（例如速度和加速度）和运动描述等问题。运动是物体的存在形式，是物体的本质特性。

2、流体的运动无时不在,百川归海、风起云涌是自然界流体运动的壮丽景色。而在工程实际中,诸多领域都需要对流体运动规律进行分析和研究。因此,相对于流体静力学,流体运动学的研究具有更加深刻和广泛的意义。3.1 描述流体运动的二种措施为研究流体运动,一方面需要建立描述流体运动的措施。从理论上说,有二种可行的措施：拉格朗日（Lagrange）措施和欧拉(Eer)措施。流体运动的各物理量如位移、速度、加速度等等称为流体的流动参数。对流体运动的描述就是要建立流动参数的数学模型,这个数学模型能反映流动参数随时间和空间的变化状况。拉格朗日措施是一种“质点跟踪”措施，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动状况

3、。欧拉措施则是一种“观测点”措施,通过度布于各处的观测点,记录流体质点通过这些观测点时的流动参数,同样可以描述整个流体的流动状况。下面分别简介这二种措施。3.1.拉格朗日（Lagrange）措施这是一种基于流体质点的描述措施。通过描述各质点的流动参数变化规律，来拟定整个流体的变化规律。无数的质点运动构成流体运动,那么如何辨别每个质点呢?辨别各质点措施是根据它们的初始位置来鉴别。这是由于在初始时刻(t=t0),每个质点所占的初始位置（a，,c)各不相似,因此可以据此区别。这就像长跑运动员同样，在比赛前给她们编上号码，在任何时刻就不至于混淆身份了。当通过时间后，= t0+，初始位置为,b,c）的某

4、质点达到了新的位置(x,y,z)，因此，拉格朗日措施需要跟踪质点的运动,以拟定该质点的流动参数。拉格朗日措施在直角坐标系中位移的数学描述是: （3-1）式中，初始坐标（,b，c）与时间变量无关,(a,b,c,）称为拉格朗日变数。类似地,对任一物理量，都可以描述为: (3-）显然，对于流体使用拉格朗日措施困难较大，不太合适。.1.2欧拉(ue)措施欧拉措施描述适应流体的运动特点,在流体力学上获得广泛的应用。欧拉措施运用了流场的概念。所谓流场,是指流动的空间布满了持续的流体质点,而这些质点的某些物理量的分布在整个流动空间,形成物理量的场，如速度场、加速度场、温度场等，这些场统称为流场。通过在流场中

5、不同的空间位置（,y,）设立许多“观测点”，对流体的流动状况进行观测,来拟定通过该观测点时流体质点的流动参数，得到物理量随时间的函数(,y,t),（x，y,z,t)称为欧拉变数。欧拉措施在直角坐标系中位置的数学描述是: (3-3)类似地,对任一物理量,都可以描述为： （3)需要注意的是,“观测点”的空间位置(x,y,z)是固定的,当质点从一种观测点运动到另一种观测点，质点的位移是时间函数(同样地,其她物理量也是),只但是这种函数是用观测点和时间t为变量，即欧拉变数（x,y,z,t)表达出来的。因此,欧拉变数(x,y,z，t)中的、y、不是独立变量,它们也是t的函数，即有： (35)欧拉措施对流

6、场的体现式举例如下:描述速度场的体现式： ,或写成分量形式: （36) （37)压强场的体现式： （3-8)密度场的体现式: (39）温度场的体现式: (310）可以用河流上的水文站来理解欧拉措施。为测绘河流的水情,需要在河流沿线设立许多水文站，即水情观测点,综合各水文站的数据,即可懂得整个河流的水文状况(如水位分布、流速分布等)。如果将观测点的区域合适扩大,这样的观测点又称为控制体。与观测点同样，控制体的空间坐标和形状一经拟定,即固定不变。控制体的表面称为控制面，流体质点通过控制面进出控制体。控制体是研究流体运动的常用措施。3.13拉格朗日措施与欧拉措施的等价关系上述二种措施的着眼点尽管不同

7、，实质上它们是等价的。如果编号为（a，b,c）的质点，在t时刻正好达到空间位置（x,y,z),则根据(3-1）和（3）有： (11)因此,用一种方式描述的质点流动规律完全可以转化为另一种方式。本书中的描述重要是用欧拉措施。3.2 流体动力学中的基本概念为背面论述以便，本节集中简介流体动力学中常常使用的几种概念。3.1定常场与非定常场如果流场中的各物理量的分布与时间t无关,即: (12)则称为定常场或定常流动。定常场各物理量分布具有时间不变性。如果任何一种物理量分布不具有时间不变性，则称为非定常场或非定常流动。.22均匀场与非均匀场如果流场中的各物理量的分布与空间无关,即: (313) 则称为均

8、匀场或均匀流动。均匀场各物理量分布具有空间不变性。如果任何一种物理量分布不具有空间不变性,则称为非均匀场或非均匀流动。3.2.3质点导数将式(34)对时间t求导，因其中的变量x、又是的复合函数，见式（3-），故有： （3-1)我们称上式为质点导数。考虑到位移对时间的导数就是速度,即: （15)因此质点导数又可写成: （-16)若令： （317)则(-16)又可写成： (3-18）式中,称为哈密顿(Hiltn）算子，是按照式(3-)进行微分的记号。分析式（3-18),知质点导数由二部分构成:（1） ：称为本地导数，反映是物理量随时间的变化率。在定常场中,各物理量均不随时间变化，故本地导数必为零。

9、（）或：称为迁移导数,反映是物理量随空间的变化率。在均匀场中,各物理量均不随空间变化，故迁移导数必为零。下面以物理量速度为例，进一步阐明质点导数的物理意义。由式(3)，速度的质点导数为: （3-19）直角坐标系中，也可写成： （320）式(320）中，速度的质点导数就是质点的加速度,它同样由本地导数（本地加速度)和迁移导数（迁移加速度)构成。例如，在x向,本地导数 表达随时间t的变化率，即由时间引起的加速度。迁移导数是三项之和，其中的表达由x方向位移引起的加速度, 表达由y方向位移引起的加速度,表达由z方向位移引起的加速度。由此可见,在用欧拉措施描述流体运动时，质点加速度不再是简朴的速度对时间

10、求导，还要涉及位移引起加速度。图31所示装置可以阐明质点加速度的概念。装在水箱中的水通过水箱底部的一段等径管路a及变径喷嘴段b，由喷嘴喷出。除速度和加速度外不考虑其她物理量，也不考虑管路截面上的流动，则流动方向只有沿管路s方向，是通过管路的平均速度。在水位高维持不变的条件下，管路a段的速度是匀速运动，即速度与时间t和空间位置s无关，形成的流场是定常场和均匀场，因空间位置s变化引起的迁移加速度和因时间t引起的本地加速度都是零。管路段的速度沿逐渐加快,但不随时间t变化，因此形成的流场是定常场和非均匀场,因空间位置s变化引起的迁移加速度不为零，因时间引起的本地加速度是零。依此，读者可以分析在水位高持

11、续下降的状况下，二段的迁移加速度和本地加速度的状况。 图31 本地加速度与迁移加速度3.24迹线与流线3.2.4. 迹线与流线的定义迹线是流体质点运动轨迹线，是拉格朗日措施描述的几何基本，用此措施描述时,体现式就是式（1）。流线是流场中假想的这样一条曲线：某一时刻,位于该曲线上的所有流体质点的运动方向都与这条曲线相切。可见,流线是欧拉措施描述的几何基本。同一时刻,流场中会有无数多条流线（流线簇)构成流动图景，称为流线谱或流谱。图32流线谱中显示的流线形状虽然流线是假想的，但采用流场可视化技术仍然可以观测到流线的存在。例如,在流场中均匀投入适量的轻金属粉末，用合适的曝光时间拍摄照片，则许多依次首

12、尾相连的短线就构成流场中的流线谱。如图3-，流体通过二种不同的管中窄口处浮现的流现形状。.2.4. 流线的作法在流场中任取一点(如图3)，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量v，再画出距点很近的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量v,如此继续下去，得一折线234 n,若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。图34流线微分方程式图33流线的作法3.2.流线微分方程式参见图34，设流线上某质点A的瞬时速度为 （31）流线上微小线段长度的矢量为 (3-22)根据流线定义，速度矢量v与流线矢量ds方向一致,矢量的积为零，于是有 （3-23）写成投影形式,得 (324）这就是最常用的流线微分方程

13、式。例题3 已知流场中质点的速度为 试求流场中质点的加速度及流线方程。解: 从和知,流体运动只限于Oxy平面的上半部分，质点速度为由(3-20）可以得质点加速度为从流线方程 消去k,积分得即 图35双曲线型流线作流线方程的曲线如图3-5所示,是一族双曲线,质点离原点越近,即越小，其加速度与加速度均越小，在r0点处,速度与加速度均为零。流体力学上称速度为零的点为驻点(或滞止点)，如图中O点即是。在的无穷远处,质点速度与加速度均趋于无穷。流体力学上称速度趋于无穷的点为奇点。 驻点和奇点是流场中的两种极端状况，一般流场中不一定存在。3.2.4.3流线的性质流线具有如下性质：（1） 定常流动中流线形状

14、不随时间变化，并且流体质点的迹线与流线重叠。定常流动时,质点通过空间各点的速度不随时间变化，因而形成的流线簇图景必然固定不变。目前解释迹线与流线重叠的理由:见图33,如果有一质点在初始时刻的位置处在1点,因流线的切线方向是其运动的方向，在通过t时间后,这个质点必然运动到相邻点2点。依次类推，质点必然沿流线运动,也就是说，迹线和流线场合。但是在非定常流动的状况下,流线的形状随时间而变化,迹线也没有固定的形状,两者不会重叠。（2） 在实际流场中,除了驻点和奇点以外，流线既不能相交,也不能忽然转折。 如图3-6,若某时刻流场中存在两条相交流线1和2,则流经交点A处的质点此时刻有两种速度，一是l1的切

15、线方向，另一是l的切线方向，但是在牛顿力学中,在某一时刻,一种质点只也许以一种速度运动,故流线不也许相交。若流线在点忽然转折,因B点不存在切线,故流经B点的质点速度方向可以是任意方向，这显然也是不也许的。图37飞行的子弹图36流线不能相交或转折图38流管与流束如果流场中存在着奇点或驻点，则流线可以相交,这是一种例外。如图7，子弹在大气中飞行，在前缘尖处,空气被子弹推动一起运动，形成驻点，此处流线相交。可解释为,驻点处的空气不也许被无限推动下去（这将导致空气被无限压缩)，在某个时刻将发生流动，但向上还是向下（仅从平面上看),由偶尔因素拟定，这样就形成了相交的二条流线。在子弹的尾部，流线不能转折,

16、因此形成涡流,涡流旋转的能量消耗了子弹运营的部分能量，即增大了子弹运营的阻力。为了减少流体对运动物体的阻力，需要把物体表面做成所谓的“流线型”,使其表面曲线符合流线的性质。.25 流管与流束在流场中任意取出一种有流线从中通过的封闭曲线,如图-8中的，l上的所有流线围成一种封闭管状曲面,称为流管。流管内所涉及的所有流体称为流束。当流管的横断面积无穷小时,所涉及的流束称为元流，最小的元流就退化为一条流线。如果封闭曲线取在管道内壁周线上，则流束就是管道内部的所有流体,这种状况称为总流。3.25过流断面、流量和净通量.2.1过流截面流管内与流线到处垂直的截面称为过流截面（或过流断面)，过流截面可以是平

17、面或曲面，如图39所示。3.5.2 流量 单位时间内流过某过流截面的流体体积称为体积流量，也简朴称为流量，如果流过的流体按质量计量，则称为质量流量。图310流量与净通量图39过流截面选择用来计算流量的截面称为控制面。当控制面为过流截面时（不管是平面还是曲面)，由于速度方向与面积垂直,因此流量的计算式如下:在微元面积dA上质点速度大小为,则dA上流量为 （-25）在当控制面是平面时 (326）在当控制面是曲面时 (327）如果控制面不是过流截面时,需要将面积向过流截面上投影再计算流量。见图30,设面积矢量的法矢与质点速度方向的夹角为，则有d上流量为 (3-)在当控制面是平面时 (3-29)在当控

18、制面是曲面时 （330)3.3 净通量如果控制面取为封闭曲面,如图-10所示,这时整个控制面上，有的面积是流体流入,同步,也有面积是流出。矢量的法矢与质点速度方向的夹角为，则dA上流量qv可用式(38)表达。可见,当流出时，dv,流入时，qv 0,整个封闭控制面上的流量 (331)则qv称为封闭曲面上的体积净通量（简称净通量或净流量）。同理,质量净通量为 （-32)净通量q反映了微面积上流出、流入流量的代数和，若 0，表达流出不小于流入,控制体内流体减少；qv 0,因此 (3-5)运用分部积分和式（3-34)，有 (-3)式（334）、(335)和(3-6）在下面的动能修正系数和动量修正系数一

19、节中将要用到。3.2.动能修正系数和动量修正系数.71 动能修正系数单位时间内，若dA上通过的质点动能为，则通过通流截面A的流体质点总动能 （-3）式中,，是用平均速度替代瞬时质点速度计算动能时所乘的一种系数,称为动能修正系数。327.2 动量修正系数单位时间内,若dA上通过的质点动量为，则通过通流截面A的流体质点总动 (3）式中，是用平均速度替代瞬时质点速度计算动量时所乘的一种系数，称为动量修正系数。动能修正系数和动量修正系数在背面章节中的伯努利方程和动量方程将要用到。具体取值与流态(流态的概念见第五章管中流动)有关:管中层流时取,；管中湍流时取,。.8三元流、二元流和一元流除时间t外，如果

20、流场中的流动参数依赖与空间的三个坐标,则称这样的流动为三元流动。流动参数依赖与空间的二个坐标，称为二元流动。流动参数依赖与空间的一种坐标（可以是曲线坐标），称为一元流动。比较而言,一元流动的情形最为简朴。因此,工程实际中，常常将流动问题简化为一元流动来解决。3流体运动的持续性方程31积分形式的持续性方程如图3,在流场中取任意形状的控制体,则有流线穿入或穿出该控制体。如前所述,控制体一经取定，其形状、大小和空间位置就不得再行变化。图312流场中的控制体现设控制体体积，表面积A,控制体内具有的流体质量m用体积积分表达为随时间t的变化率记为 （3-39)根据质量守恒定律,m的变化必有因素。当控制体不

21、变时，影响其内部流体质量增减的唯一因素就是通过表面流入、流出的质量多少。在单位时间内,当流出不小于流入时,必减小,反之,则增长，且增长或减少的质量就是流出与流入的质量之差。运用质量净通量概念可得等式 (3-0）或者写成 （341）根据质量净通量的意义，表达A上流出质量不小于流入质量,控制体V内质量减少,故，两者符号相反，反之亦然。式（341）就是质量守恒定律在运动流体中的数学表达,称为积分形式的持续性方程，简称持续性方程或持续方程式。实际应用需要使用其简化形式,常用的简化形式有(1）定常流动在定常流动中，流场任何空间点处的密度不随时间变化，故微元的质量也不变化，进而整个控制体内的质量也不变，即

22、,因此，式（341)简化为 （32)上式的意义是：当定常流动时,在单位时间内,从控制体的表面A流出的质量与流入的质量相等。该式对可压缩的和不可压缩的流体都合用。(2)不可压缩的流体流动当流体是不可压缩时,流场中密度到处相等且为恒量,又考虑到控制体不变，故因此，式(-4）简化为 （343）上式的意义是：当流体是不可压缩时,在单位时间内,从控制体的表面流出的体积与流入的体积相等。值得注意的是,该式对定常流动和非定常流动都合用。（）一元流动 如图3，当流体在流管l（工程实际中的管道可以视为流管)内流动,流体只能从过流断面A1流入，A2流出。在断面上取微元dA1A2，则微元内流动就是一元流动，在定常场

23、中,其极限情形是流体沿流线流动。若将整个流管都视为一元流动，则式（3-42）可以写成 （344)这就是一元流动时的持续性方程。在定常流场中，用平均流速替代真实流速，平均密度替代真实密度，上式简化成图313一元流动 或 (34)对既是定常场又不可压缩的流动,，故式(46)可以更简朴地表达为 (346）在工程实际中,被直接使用的公式多是式（36）。*3.2微分形式的持续性方程微分形式的持续性方程可以用二种措施导出：微元控制体分析法和有限控制体分析法,下面分别简介。3.3.2.1 微元控制体分析法采用微元控制体分析法的前提是规定流场中流体物理量时时到处持续可微,对于不同的坐标系,还规定选定相适应的控

24、制体形状。当采用直角坐标系时，选用控制体形状为立方体。如图3-1,在t时刻的流场中,任选一点A(x， y, z)，以A为角点作一种立方体,各面都与相应的坐标面平行,三个边长分别为、d和dz。设该时刻A点的速度为v = （vx, vy，xz），密度为，由于dx、dy和dz很小，可以觉得交于A点的三个面上的速度和密度都和A点相似,而其她三个面上的速度和密度则由多元函数的泰勒展开式取一阶小量得到。例如,在 方向上,平面BCD上的速度为x,平面EFH上的速度则为。目前分析立方控制体内的质量的变化。先考察在x 方向,在t时刻,从平面ABD流入控制体的质量为,平面EFGH上流出的质量则为。这样我们得到:单

25、位时间内,在x 方向从控制体的净流出质量为图314 立方型微元控制体同理,可以得到y、z 方向从控制体的净流出质量为和三者之和为 (3-47） 与此同步,由于控制体的体积是不变的,控制体内流体质量的流失必然导致控制体密度的减少，在单位时间内,由于密度减少使控制体内的质量减少了 (3-8)负号表达增量的变化方向与式（347）相反,即流出质量为正号时，控制体内的质量增量为负。根据质量守恒定律,式（47)与式(348)应当相等，即=化简得 (4）上式即为直角坐标系中微分形式的持续性方程，合用于可压缩流体的三元流动和非定常流动。若是定常流动,流场中各点的密度不随时间而变化,故(3-49）简化为 (35

26、0）若是不可压缩流体,密度为常数,故(349）又简化为 (51）3.2 有限控制体分析法运用高等数学中的基本知识对式(41）中的两项改写。(1）将对面积的曲面积分化为对坐标的曲面积分，运用奥-高公式再化为三重积分,过程如下: （2)(2)运用控制体与时间无关的特性，将中的积分、微分顺序颠倒,即有如下变化过程: （3-53)由式（3-41、(32）和（3-53）得 由于控制体V是在流场中任取的，且被积函数到处持续，故要使上式成立，必然有被积函数为零,即 (54）上式与式（-49)完全相似。*.3.3 圆柱坐标系和球面坐标系中的持续性方程在许多实际的流动问题中,运动物体也许是一种轴对称或球体,流场

27、的边界也许是曲面或曲线，此时运用曲线坐标系更为以便,而圆柱坐标系和球坐标系是最常用的坐标系。为避免繁琐的推导，这里直接给出圆柱坐标系和球坐标系中的持续性方程。3.3.3.1 圆柱坐标系圆柱坐标系一般用坐标来表达，参见图1,易得它与直角坐标系的关系 或者 (35)持续性方程为 （36) 图315 圆柱坐标系图316 球坐标系3.3.3. 圆柱坐标系圆柱坐标系一般用坐标来表达，参见图-16,易得它与直角坐标系的关系 或者 （-5)持续性方程为 （5)3. 流体微元的运动分析由理论力学知,刚体的运动只有两种基本运动形式:平移和旋转运动。对于流体,由于没有一定的形状，且不能承受剪切力,其运动要比刚体复

28、杂的多。可以想像,除了具有平移和旋转二种运动形式之外,流体在运动过程中还要发生变形运动。本小节通过度析流体微元的运动，导出亥姆霍兹速度分解定理，分析流体的运动形式。3.4.1 亥姆霍兹速度分解定理 为推导亥姆霍兹速度分解定理,仍采用流体微元法。如图37，在t时刻,从流场中任取取一种流体的微元A。设点A的空间坐标为r = (x,y, z)，运动速度为V= （x, y,，t)=vx(, y, , t）ivy（x, z,t)j+ vz(x, y,z, t）k同一时刻，在A的邻近处再取微元B,B点的坐标点矢径为r + r =(x+x,yy， z+z）,运动速度为V=V (, y, z, t)= (xx

29、，y+y,zz, ）图317 球坐标系当绝对值 |r| 很小时,VB取VA的一阶增量,即取A点速度的多元函数泰勒级数一阶展开式 (3-59）其中 （360)或 （3-61)写成矩阵形式 （3-62)显然,表达的是在时刻,点B相对于点的相对运动速度。 根据矩阵运算法则,可以把上式中的九个偏导数构成的的方阵分解为一种对称方阵和一种反对称方阵 （33）为使上式简要,定义如下某些符号和量,令 上述各式代入(3-63）和(-2）,得: (3-)写成矢量式： (-65)代入（39)： (6)其中 (3-67） (3-8)这就是流体力学中的亥姆霍兹（elmholt)速度分解定理。有关定理的意义在下一节将进行

30、分析。4.2流体微元运动的四种形式 目前考察式(364）各项的意义。我们无需分析复杂的空间运动状况，而仅需分析一下平面流动就足以阐明式（3-64)各项的意义。图318 流体微元的平面运动 如图3-18，设流体ABCD只在oy平面运动,若A点的速度为(,），根据式（)，可得其她三点的速度并分别标在图上。 由于在t时刻A、C、D各点的速度不同，故通过t时刻后,ABCD矩形将变形为近似矩形BD。这个变形可以分解为四种单一运动的合成，即为平移、线变形、旋转和角变形运动的综合成果，这四种运动如图3-19所示。事实上,亥姆霍兹速度分解定理正是将流体的运动分解为这四种运动。图319 流体微元的四种运动形式由

31、于，故(3-6）可以简化为： (3-)当A(,)点运动到A （x+x, y+)点后,的速度可以表达为 (3-0）此式涉及了(34）中所波及的多种符号,因此完全可以分析亥姆霍兹(emholtz)速度分解定理中各项的含义,下面分析其中涉及的四种运动。34.21平移运动 当式（370）中 (3-71)则有 （3-72)上式表白，微元运动从A运动到C时，包具有平移运动。若流体对象ABCD做平移运动,则保持形状不变，如图3-19所示，ABCD做平移运动到ABD。 、称为平移速度。3.42.2线变形运动 若在流动中，只有方向的速度以及,则在时间通过t后，运动的流体微元只有AB边在x方向发生了相对变化，如图

32、3-2，其相对变化率就是线变形率,为图320 线变形运动分析 (-73）上式表白：表达的是运动流体沿方向的线变形率。同理可知，表达的是运动流体沿y方向的线变形率,表达的是运动流体沿方向的线变形率。可以推论,微元在空间的体膨胀率应为 (-74)当流体是不可压缩时，上式显然为0，即 (3-)3.4.角变形运动 若在流动中只有x、y方向上的速度、且、，则在xo平面上流体微元将发生如图321的角变形,在t时刻，A点处为直角，到tt时刻，点移动到A点，角度变成了锐角，角减少量为,在t很小时,图321 角变形与旋转运动分析和也很小,因而有定义单位时间内在o平面上角度的平均减小量为运动流体在xoy平面上的角

33、变形速率,即剪切应变率： (3-76)同理可得表达流体在xoz平面上的剪切应变率,表达流体在yoz平面上的剪切应变率。这就是说，式（-68)的中,对角线上以外的其她个分量分别表达了在各坐标平面上的剪切应变率。3.2.4旋转运动分析当流动中只有x、方向上的速度、且、，流体微元除发生上述的角变形外，还将发生旋转运动。参见图321,在t时刻的对角线AC，到t+时刻旋转到了AC位置。以逆时针方向为正,则流体微元在t时间的转角为：，由于，ABCD近似为菱形，则有 ，从而有定义转动角速度分量为可知角速度分量表达了流体微元觉得瞬心,绕平行于轴旋转的平均角速度。同理，角速度分量表达了流体微元觉得瞬心，绕平行于

34、y轴旋转的平均角速度, 表达了流体微元觉得瞬心，绕平行于轴旋转的平均角速度。当流场中到处有 （3-77）时,我们称这样的流场到处无旋,相应的流动为无旋流动，反之，称为有旋流动。综上所述可知,流体微元上任一点的运动可以表达为平移、线变形、角变形和旋转四种运动的叠加。亥姆霍兹定理的重要奉献正是在于找出了这几种运动的数学体现式，并且物理清晰明确。第三章 小 结1.描述流体运动有二种可行的措施:拉格朗日（Lagrange)措施和欧拉(Euler)措施。拉格朗日措施是一种“质点跟踪”措施，即通过描述各质点的流动参数来描述整个流体的流动状况。欧拉措施则是一种“观测点”措施，通过度布于各处的观测点,记录流体

35、质点通过这些观测点时的流动参数，同样可以描述整个流体的流动状况。述二种措施的着眼点尽管不同，实质上它们是等价的。但是，欧拉措施更适合于描述流体运动。2.流体动力学中常常使用的几种概念：定常场与非定常场、均匀场与非均匀场、质点导数、迹线与流线、流管与流束、过流断面、流量、净通量、平均速度、动能修正系数、动量修正系数、三元流、二元流和一元流。 积分形式的持续性方程就是质量守恒定律在运动流体中的数学表达。定常场、不可压缩的一元流动持续性方程在工程实际中被直接使用。4. 微分形式的持续性方程可以用二种措施导出:微元控制体分析法和有限控制体分析法。5.圆柱坐标系和球坐标系中的持续性方程有时在工程实际中也

36、能被用到。6.亥姆霍兹速度分解定理将复杂的流体运动分解为四种运动：即平移、线变形、旋转和角变形运动，给出了这几种运动的数学体现式，并且物理意义清晰明确。思考与练习-什么是描述流体运动的拉格朗日措施和欧拉措施？3-2 为什么说拉格朗日措施和欧拉措施是等价的？-3 什么是定常场?什么是均匀场?3-4 质点导数的本地导数和迁移导数各有什么物理意义？5 迹线与流线有何区别与联系？迹线有哪些性质？3-6 如果控制面不是过流截面,如何计算流量？-7 流量与净通量有何区别与联系?3-8 什么是平均速度？管道内与否存在着以平均速度流动的流体质点？3-9 为什么需要动能修正系数和动量修正系数?310既是定常场又

37、是均匀场的一元流动持续性方程如何表达?-11亥姆霍兹(Hmholtz)速度分解定理的物理意义是什么?12流体运动可以分解为哪四种运动？3-3什么是有旋运动？什么是无旋运动3-14 已知流体的速度分布为;,求t=1时过（0,0）点的流线及t=0时位于（0,0）点的质点轨迹。3-15 给出流速场为,求空间点(3,0,2）在t1时的加速度。3-1 已知流场的速度为，,式中k为常数。试求通过（1，0,）点的流线方程。3-17已知流场的速度为，,试拟定tto时通过(xo,yo）点的流线方程。A为常数。-18 试证明下列不可压缩流体运动中,哪些满足持续方程，哪些不满足持续方程?（1）,。（2),，。（）（

38、是不为零的常数),。（4），(是不为零的常数)。-19 已知，,试求此流场中在，点处的线变率、角变率和角转速。3-2 三元不可压缩流场中,已知且已知z，处 ,试求流场中的的体现式。-21已知圆管过流断面上的速度分布为,为管轴处最大流速,为圆管半径，为某点距管轴的径距。试求断面平均速度。题3.22图3-22 管路AB在点分为两支，已知=45cm,30，=20cm,=15cm，2m/s,4s，试求，。-2送风管的断面面积为5050cm,求通过a，,c,d四个送风口向室内输送空气。已知送风口断面面积为40cm40cm，气体平均速度为ms，试求通过送风管过流断面1-1、2-2、33的流速和流量。题3.

39、23图3-4平行平板间AA断面上的速度分布为为断面高度,垂直于纸面宽度为单位。试求断面上的平均速度。题24图4 流体动力学基本一、学习目的和任务1.掌握欧拉运动微分方程的推导及应用范畴。.理解纳维-斯托克斯方程及应用范畴。3理解抱负流体元流的伯努利方程和总流上的伯努利方程的推导过程，学会解题环节,纯熟掌握其在工程实际中的应用。4.掌握气体总流伯努利方程的应用。5理解动量方程的推导过程,掌握动量方程在工程实际中的应用。二、重点、难点1.重点伯努利方程及其应用，动量方程及其应用。.难点纳维斯托克斯方程、伯努利方程的应用、动量方程的应用。流体动力学是研究流体的机械运动规律，其理论基本除了能量守恒定律

40、、质量守恒定律和动量守恒定律等基本定律外,尚有牛顿的典型力学定律。流体流动的本质因素是受到了内部或流体容器壁的作用力。流体在静止和流动时的力学特点有很大的区别。静止时流体内部不受切向力，流体的粘性也不能体现出来。而当流体流动时，状况则变得很复杂。流体的受力既可以是正压力,也可以是切向力，流体内部的内摩擦力也不能忽视。并且，流体没有一定的形状，运动的形式非常复杂，在大多数状况只能近似描述。本章将从流体动力学最基本的概念简介开始,重点学习流体动力学基本中最重要的几种定理和公式：欧拉运动微分方程、纳维-斯托克斯方程、伯努利方程和动量定理,并给出这些定理和公式在工程上的某些应用实例。4.1 欧拉运动微

41、分方程欧拉运动微分方程描述的是抱负、不可压缩流体的速度（加速度)与受力关系,因此又称抱负不可压缩流体运动微分方程。自然界中存在的所有真实流体都具有粘性,但是流体力学的发展过程表白，如果任何情形下都考虑流体的粘性,那么,绝大多数的流体力学问题会因数学上的复杂性而难于求解，甚至无法求解。大量的理论分析和实验成果表白，某些流动情形下,忽视流体粘性的影响在工程上是可以接受的,这样使问题容易求解。图41 长方体微元x向受力分析对抱负流体,由于没有粘性的影响，因此流体只能承受法向应力。如图41，取长方体微元研究,在直角坐标下,微元的x、y、z三向长度分别为dx、dy、dz,中心点处的速度、压强和单位质量力

42、分别为,流体的密度为,则沿方向应用牛顿第二定律可得 （4-1)整顿得 （4-2)同理，可以分别得y、z方向的方程 (-3) ( 4-4)综合上述式,可得欧拉运动微分方程 （ 4-5)欧拉运动微分方程是由瑞士出名科学家欧拉在755年提出的。根据公式(320)，可将( 45）式写成 ( 4-6)或将( 4-）写成矢量式 ( -7)其中表达压强梯度。若加速度，则上式就可转化为欧拉平衡微分方程式。式（45)的三个分量方程中涉及三个轴向流速分量、和压强，若再补充一种方程(一般是持续性方程),即可使方程组封闭。从理论上说，抱负不可压缩流体的动力学问题是完全可解的,但事实上，除很少数情形外，一般很难得到这个

43、非线性微分方程组的解析解。4.2纳维-斯托克斯方程纳维斯托克斯方程是考虑了流体的粘性，即针对真实流体而建立的运动微分方程。下面给出其简略推导过程。4.2.1 真实流体微元应力分析如图4,取长方体微元BDEFG,分析其六个面上的压强和切向应力。与点邻近的三个面上，DH面上受切向应力、和法向压强, BD面受切向应力、和法向压强，FE面受切向应力、和法向压强。略去二阶以上无穷小,这三个面的对面上的应力按泰勒展开式分别得到、 图42 真实流体微元受应力分析和，、和, 、和。4.2.2广义牛顿粘性定律在第一章中,我们已经懂得了一元平行剪切流动时的牛顿粘性定律(又称牛顿内摩擦定律）：,那么,流体在空间流动

44、时，我们有 （ 4-8)上是表达的是剪切应力与剪切应变速度之间的关系，可以当作是一元牛顿粘性定律在空间的推广。对真实流体内一点的压强,已经不像无粘性流体那样具有各向同性。运动状态下的真实(或称实际）流体,因流体层间有相对运动,粘性会产生切应力,这时同一点上各向法应力不再相等。直角坐标中,由于粘性的阻碍作用,使各轴向压强存在一粘性影响值，故法向压强可以表达如下 （ 9)式( -8)、（ -）合并用矩阵表达为 (4-1)这就是所谓的广义牛顿粘性定律，其具体的推导过程参见流体力学有关著作。它全面地反映了牛顿流体的应力与应变速度之间的关系（这种方程称为本构方程)。 有关真实不可压缩流体内一点的压强,将

45、式(4-7)三项相加，再考虑到式(3-7),得 ( 4-1)此式阐明,各向同性的压强值（静压强）的等于各向异性压强(真实不可压缩的流动流体压强）的算术平均值。因此,工程计算时,可以用各向同性压强来推算各向异性压强值。.3 纳维斯托克斯方程如图23,流体微元除受六个面上的9个应力外，还受质量力f的作用。根据牛顿第二定律F=a,列出微元在x的运动方程式为两边同除以 ,可得将（48）、（4-9）中的代入，得对于不可压缩流体,考虑式(3-75),可得同理，对 y、z向可以推出此外两个分量式。综合得出 (4-1)引入拉普拉斯算子（只是一种微分计算符号）并根据（30),得 (4-13)这就是真实不可压缩流

46、体的运动微分方程,是由法国人纳维尔(avr）和英国人斯托克斯（Stokes)先后独立提出，因此称为纳维斯托克斯方程，简称N-方程。与欧拉运动微分方程相比，-方程多了一项由粘性引起的因子，使方程变为二阶非线性偏微分方程组,求出其解析解的难度很大。工程应用时采用计算机数值解法，获得近似解。这种运用计算机数值解法来求解流体力学方程的措施已成为流体力学的几种重要研究措施之一。4.3伯努利方程及其应用 S方程因求解难度大,不便于工程应用。工程上应用最为广泛的是另一种方程伯努利方程。本节将从抱负流体元流的伯努利方程开始,导出具有重要实际应用意义的真实总流伯努利方程。43.1抱负不可压缩流体伯努利方程设某时

47、刻流场中存在一条流线s，如图4-3， 现将式( 47)向s上投影。设流线某点速度为u,单位质量力在 上的分力为s，则式（ 47)在s上投影式为 (4-1)对于一元定常流动,所有变量只是流线坐标s的函数，即有图43 流线坐标运动分析又,质量力仅为重力时有因此式（4-14）可以改写成 (4-1）或 （-16)这就是流线型欧拉运动微分方程。将之变形为积分得 (4-17）式中C为常数。这就是出名的抱负不可压缩流体伯努利方程,是瑞士科学家丹尼尔伯努利（ie erouli)于18年刊登的。由于式(4-17)是在任意点导出的，故对流线上任意二点,均有下式成立 (4-18)当速度u为0时，上式就转化为平衡流体

48、的流体静力学基本方程抱负不可压缩流体伯努利方程的物理意义如下：:代表单位重力流体的位能，或简称位置水头。:代表单位重力流体的压能，或简称压强水头。:代表单位重力流体的动能,也简称速度水头。由于抱负流体没有能量损失,抱负不可压缩流体伯努利方程阐明在抱负流体中，流体的总机械能(位能、压能、动能)守恒。由此可见，伯努利方程式实质就是物理学能量守恒定律在流体力学上的具体体现。43.2总流上的伯努利方程公式(4-18）只是在一条流线上成立的方程式,而工程上常常需要的是求解总流（管道内）的问题。参见图3-13，A1、 A分别是总流上的两个过流截面,平均速度分别是、,则在A1截面上，每一点的单位重力流体的平

49、均动能都为，其中为动能修正系数。考虑到穿过A1截面上的流线到处与A1垂直，因而在A1截面的方向上速度投影为零，也就是说,沿A1截面的方向流体是静止的,其上的每一点应当满足平衡流体的流体静力学基本方程因此,截面上每一点的都是相等的。故对A1截面有同理，对A2截面可得类似结论。综上所述,我们将(4-8)式扩为抱负不可压缩流体总流伯努利方程 （4-19)或 (4-)对真实流体,当流体在流动时，由于粘性的存在，由牛顿内摩擦定律可知,流体内部及流体与管壁之间必然存在着切应力,阻碍着流体的运动，做负功,消耗了一部分能量。因此，式(420)需要修正才干适合真实流体。设1截面和A2截面之间消耗的能量以hf表达，修正后的公式是 (4-21)这就是真实不可压缩流体的总流伯努利方程(后来直接简称为流伯努利方程)，它是流体力学中极为重要的公式，在实际工程中有着广泛的应用。4.3伯努利方程的应用伯努利方程(4-21）与持续性方程(3-46）（有时也要与需要与流体静力学方程)联立，可以解决一元流动的断面流速和压强的计算问题。这在工程上有着重要的意义。应用伯努利方程应注意如下几点:（1)要灵活运用伯努利方程。严格地讲,伯努利方程的是在定常流动、不可