实验一线性方程组迭代法实验

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1、实验一 线性方程组迭代法实验一、 实验目的 .掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算环节;2能纯熟地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计;3理解迭代法的基本原理及特点,并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SO迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；.掌握acobi迭代auss-Seid迭代和迭代算法的MAA程序实现措施，及理解松弛因子对SR迭代的影响;5.用SR迭代法求解线性方程组时,超松弛因子的取值大小会对方程组的解导致影响,目的就是可以摸索超松弛因子如何对解导致影响，通过这个实验我们可以理解的大体取值范畴。二、 实验题目1、迭

2、代法的收敛速度用迭代法分别对n=2,n=200解方程组A=b,其中（1)选用不同的初值x0和不同的右端向量b,给定迭代误差,用两种迭代法计算,观测得到的迭代向量并分析计算成果给出结论;(2）取定初值x0和右端向量，给定迭代误差,将A的主对角元成倍放大，其他元素不变，用Jaobi迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算成果并给出结论。2、SOR迭代法松弛因子的选用（1）给定迭代误差,选用不同的超松弛因子，从1.00到2.0,观测不同的松弛因子对解得影响。然后运用雅可比迭代求的的解与它们比较; ()给定迭代误差，选用不同的低松弛因子,从.0到2.0，观测不同的松弛因子对解得影响。然后运用雅可比迭代求

3、的的解与它们比较。三、 实验原理1、迭代法的收敛速度运用了Jacbi迭代,Gauss-Se迭代）acobi迭代算法：1. 取初始点（0），精度规定,最大迭代次数,置k:=；2. 由,计算出x（k+);3. 若，则停算，输出x（k+1）作为方程组的近似解；4. 若=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置k:=k+1，转步2。）GausSeidel迭代算法：1.输入矩阵，右端向量b,初始点x(),精度规定，最大迭代次数N，置:=0；2.计算3.若,则停算，输出x作为方程组的近似解;4. 若k=N，则停算，输出迭代失败信息;否则置（）:=x,k:=k+1，转环节2。2、SOR迭代法松弛因子的选用（1）

4、逐次超松弛迭代法是Guss-Seidel迭代法的加速。Gauss-dl迭代格式为:X(k)-1L*x（+1)D-1*U(k)+ -1*b（2)O迭代格式为X(+1)=（IwD-1*）-1*（1w）I+w -1*U*x(k)+w(I-wD-1*L)-1* D-1*b其中，w叫做松弛因子，当1时叫超松弛，当1w0时叫低松弛。W=1是Gauss-edel迭代法;（3)SR迭代法的算法：输入矩阵A，向量b，初始点x（0),精确度，最大迭代次数N,松弛因子的选用;进行迭代;判断迭代的状况。四、 实验内容1、迭代法的收敛速度1.1实验环节：(）打开mat软件,新建一种M文献,编写程序(如下)，运营程序,记

5、录成果；()把程序中x0=es(n,1)改为0=ey(n,1）,运营程序,记录成果；（3）把程序中A(i,i)=m改为A(i，i)2*,注释掉x1cobi(A,b);1背面的部分，运营程序,记录成果;(4）仿照(）再把主对角元成倍放大，运营程序,记录成果。1.实验程序：cl=0;A=zero（n);=4；ori=1：n A(i，i）=；enfor i=1:n-1 （，i1）=-1/; (i+，)-1/3;edfor i1:2 A(i,i2)=-1/; A(i+2,i)=-1/5;enx0=ns（n,1);b=A*0；=majacoi（A,b);x2aeiel(,);x2or(x1-x2）.实验

6、设备: lab软件。2、O迭代法松弛因子的选用2.1实验环节：(） 数据准备：=12*ee（20,200）;for i=1:9 A（i,i+1)=-； A(i+1，i）=-2;or j：98 A(j,j+2)=； A(j+2,)=1;endb=ones（200,);()给定迭代误差1e-6,取=1.00,1.10,1.20,1.0，.40,1.50,160,1.0,.80,1.90,19，1.92,19，.97,1.9,1.,2.0，代入xmasor(A,b,)，x0=mjacobi(A,b)并运用norm(xx20)分别分析与雅可比迭代求的解的误差；() 给定迭代误差-,取=0.2,003,

7、0.040.，020，0.30，0.40，.50，060,7,0.8,00，9.0.8,099，代入x=aor（A,b，),20majacob(A,b)并运用nor（x-x20)分别分析与雅可比迭代求的解的误差。五、 实验成果1、迭代法的收敛速度()对于n=20时：n 20Cluns 1 though 12 4.0000 0.33 -0. 0 0 0 0 0 -0.33 000 -0.33 0. 0 0 0 0 0 0 -0 -0.3333 4.000 0333 -. 0 0 0 0 0 0 -0. -0.333 4.0 0.3333 -0. 0 0 0 0 0 0 0 0. -3333 40

8、0 -0.333 0 0 0 0 0 0 0 -. -0.3333 4.000 0.3 -0. 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3333 4.000 -03333 -0. 0 0 0 0 0 0 0. 333 4.000 -0333 -0. 0 0 0 0 0 0 -. -0.33 4.0000 -.333 0 0 0 0 0 0 -0. -0.33 4.000 -0.333 0. 0 0 0 0 0 0 0. -033 4.000 -0.333 0 0 0 0 0 0 0 -. -03333 4000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0. -0.333 0 0 0 0 0 0

9、 0 0 0 0 0 -0. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0omn 13 though 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -. 0 0 0 0 0 -0.3333 -0. 0 0 0 0 0 0 400 -.33

10、3 -0. 0 0 0 0 .3333 0000 03333 -0. 0 . -0.333 .000 -0.33 -0. 0 0 - -03333 4.000 -0333 0. 0 0 . -0.333 4000 0.333 -0. 0 0 0 -0. 0.3333 4.00 .333 - 0 0 0 0 -0. -.333 4.0000 -0.3333 0 0 0 0 -0. -0.33 .000k 11x1=1.000 1.000/有20个.0000k= 8x =1.00 .0000/有0个1.0ans 3.303-7当n=20时:A由于阶数太大省略;k=1x=1.0000 .000 /有

11、200个1.00= x2=.00 1.000 /有00个000ans .138-006(2）k4x1 = 1.0000 1.0000(20阶）= 4x2 1.00 10000(0阶)ans =4.999-082、OR迭代法松弛因子的选用表1-1 的状况kNrm(x20）1.008.7346e07.119.681e071.20121.30e-001.3061.000e-0061.4020.434-0061.50261.69e-0061.361.72e-0617051.36e0061.8081467-0061.917712000619111.74206192242.4e-061.95311.000

12、61.9771.8146006185019950表-2 的状况kNor（x-x0)0.0005000.03863.818e00.0492.8217e-00001261026e-04020644.0889e50.302010-0050，400145-005.50238.65e-60.60180040e-0060.7013.7920e006.80112365e-60901.072e-0060.978.7786e-0070.9889.71e-007.9997361-六、 实验成果分析1、迭代法的收敛速度的实验成果分析:比较实验成果可知,选用不同的初值x0和不同的右端向量b,所求得的成果也会不同，ao

13、bi迭代和Seel迭代的误差也会随之变化,阐明初值对实验成果有影响,由迭代误差可知Seide迭代优于Jcoi迭代。再比较实验成果，由k=6与k5可知,主对角元越大,Jacob迭代收敛越快。2、R迭代法松弛因子的选用的实验成果分析：（1)由表1可以看出，在其他条件不变的状况下,变化的值，会变化解得值，且越接近于1，误差越小,越接近于2,误差越大,并且当的值越大,它的迭代次数越大，就本例而言,当为1.9时，就因迭代次数过大,跳出程序；(2)由表1-2可以看出，在其他条件不变的状况下,变化的值,会变化解得值,且越接近于1，误差越小，越接近于0,误差越大，且迭代次数也越大，就本例而言,当为0.02时,就因迭代次数过大,跳出程序，且不能取值为0;（3）综上(1)(2)所述，的取值范畴为,且越接近1,误差值越小，迭代次数也越小。