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1、平面法向量的一种简单求法和在求角、距离中的应用一、 法向量的定义：与平面垂直的向量叫平面的法向量（根据定义可知：平面的法向量有多个，方向有两种：向上或向下）二、 向量的数量积ab=a b= 若a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2),则ab= a = 三、 向量积：abab的结果仍然是一个向量（使两个向量的起点相同）方向：右手手指指向a的方向，自然弯向b，则大拇指所指的方向就是向量ab的方向（即：ab垂直平面）大小：等于a,b为邻边的平行四边形的面积。如图所示： ab b a（由此我们可以通过求两个向量的向量积求平面的法向量）ab的坐标计算设 a=(x1, y1, z1 ) b=(x
2、2 , y2, z2)则：ab =（y1 y z1 z,-x1 x z1 z,x1 x y1 y）其中：二阶行列式 a b c d=ad-bc习惯上：作ab时，把a写在上，把b写在下 作ba时，把b写在上，把a写在下练习：已知a=（2，1，0） b =（-1，2，1） （1）求ab。 （2）求ba解：ab= ba= 注：根据上述分析要求一个平面的法向量，只要在平面内找出两个同起点的向量作向量积即可。例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF的一个法向量 解：以D为坐标原点建立坐标系 A（ ） D1 C1 E（ ）A1 B1 F（ ）
3、 E AF=（ ） AE=（ ） D F C A B平面AEF的法向量n=( )四、 法向量在求角中的应用。1、 用法向量求线面角。如图 n a a n= 1 2- =- 1 2两种情况下都有：sin=cos因为 2、 用法向量求二面角 n1 （1） n2 n1 (2) n2 如果两个平面的法向量选取合适，则二面角就等于两个平面的法向量的夹角（如第一种情况）。因此可以用向量的数量积公式的变形 直接求出二面角。例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。求平面AEF和平面ABCD所成的二面角。 解：以D为坐标原点建立坐标系 A（ ） D1 C1 E
4、（ ）A1 B1 F（ ） E AF=（ ） AE=（ ） D F C A B平面AEF的法向量n1=( )A（ ） B（ ） AB=（ ）平面ABCD的法向量n2=（ ）cos=平面AEF和平面ABCD所成的二面角是 五、 法向量在求距离中的应用。1、 利用法向量求点到面的距离。如图所示： A B C设点A到平面的距离为d=AC= 因为AC垂直于平面，所以AC可以看作平面的一个法向量n，但需注意AC与n的方向相同或相反，所以AB，n=（或=-），故cos= 所以d= = （其中B是平面内的任意一点，n是已知平面的法向量）2、 利用法向量求两异面直线之间的距离 如图所示： A C a b B
5、O Da,b是两条异面直线，AB是两异面直线的公垂线，过直线a上任意一点C做平面的垂线于点O，连接BO，所以BO平行于直线a，且AB=CO，在直线b上任意取一点D，连接OD。设CD，CO=，因为CO垂直于平面，所以CO可以看作平面的一个法向量n。但需注意CO与n的方向相同或相反。所以CD，n=（或=-），故cos= 所以两异面直线的距离d=AB=CO= = = （其中C，D分别是两异面直线a,b上的任意一点，n是由直线a的平行线BO与直线b所确定的平面的法向量）例：如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，E、F分别是DD1、DC的中点。（1） 点G是A1B1上的一点，且 B1G =1 4A1B1。求点G到平面AEF的距离。（2） 求异面直线A1D与AC的距离 D1 C1 A1 G B1 E D F C A B
高考数学复习点拨 平面法向量的一种简单求法和在求角
