【高考必备】2017年高考数学（理）热点题型和提分秘籍专题33空间向量及其运算word版含解析

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1、1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置2.会简单应用空间两点间的距离公式3.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示4.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示5.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直热点题型一 空间向量的运算例1、如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC的中点。(1)化简：；(2)设E是棱DD1上的点，且，若xyz，试求x、y、z的值。【解析】(1)，()。(2)()，x，y，z。【提分秘籍】空间向量的表示方法用已知不共面的向量表示某一向量时，应结合图形，将已知向量和未知向量转

2、化至三角形或平行四边形中，然后利用三角形法则或平行四边形法则，把所求向量用已知向量表示出来。【举一反三】 如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若a，b，c，则下列向量中与相等的向量是()AabcB.abcC.abcDabc【解析】()()c(ab)abc。【答案】A热点题型二 共线、共面向量定理的应用 例2、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD平面EFGH。(2)因为()，所以EHBD。又EH平面EFGH，BD平面EFGH，所以BD平面EFGH。【提分秘籍】 应用共线向量

3、定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面xy对空间任一点O，t(t为参数)对空间任一点O，xy对空间任一点O，(1t)t(t为参数)对空间任一点O，(1xy)xy 【举一反三】 已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足()。(1)判断，三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内。热点题型三 空间向量数量积的运算例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算： (1)。(2)。abc，ca。所以(ca)a2abbcc2ac。【提分秘籍】1空间向

4、量数量积计算的两种方法(1)基向量法：ab|a|b|cosa，b。(2)坐标法：设a(x1，y1，z1)，b(x2，y2，z2)，则abx1x2y1y2z1z2。2利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题(1)a0，b0，abab0。(2)|a|。(3)cosa，b。【举一反三】 已知A(1,0,0)，B(0，1,1)，与的夹角为120，则的值为()A B. C D【解析】(1，)，cos120，得。经检验不合题意，舍去，。【答案】C 1.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.由得

5、.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，是.2.【2016高考山东理数】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH平面ABC；（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.【答案】（）见解析；（）【解析】（II）解法一：连接,则平面，又且是圆的直径，所以以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得，过点作于点，所以可得因为平面的一个法向量所以.所以二面角的余弦值为.解法二：连接，过点作于点，则有,又平面，所以FM平

6、面ABC,所以从而，可得所以二面角的余弦值为.3.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（II）求二面角O-EF-C的正弦值；（III）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明：依题意，.设为平面的法向量，则又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的

7、法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正平面所成角的正弦值为.4.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.5.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.(I)求证：EF平

8、面ACFD；(II)求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】（）延长，相交于一点，如图所示因为平面平面，且，所以平面，因此又因为，所以为等边三角形，且为的中点，则所以平面取的中点，则，又平面平面，所以，平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系由题意得，因此，设平面的法向量为，平面的法向量为由，得，取；由，得，取于是，所以，二面角的平面角的余弦值为6.【2016年高考四川理数】（本小题满分12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，ADBC，ADC=PAB=90，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90. （

9、）在平面PAB内找一点M，使得直线CM平面PBE，并说明理由；（）若二面角P-CD-A的大小为45，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【答案】（）详见解析；（）.所以CM平面PBE.（说明：延长AP至点N，使得AP=PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点）（）方法一：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所以CD平面PAD.从而CDPD.所以PDA是二面角P-CD-A的平面角.所以PDA=45.所以APH是PA与平面PCE所成的角.在RtAEH中，AEH=45，AE=1，所以AH=.在RtPAH中，PH= ，所以sinAPH= =.方法二：由已知，CDPA，CDAD，PAAD=A，所

10、以CD平面PAD.坐标系A-xyz，则A（0,0,0），P（0,0,2），C(2,1,0)，E(1,0,0)，所以=（1,0,-2），=（1,1,0），=（0,0,2）设平面PCE的法向量为n=(x,y,z)，由 得 设x=2，解得n=(2,-2,1).设直线PA与平面PCE所成角为，则sin= = .所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 .【2015高考湖南，理19】如图，已知四棱台上、下底面分别是边长为3和6的正方形，且底面，点，分别在棱，BC上.（1）若P是的中点，证明：；（2）若平面，二面角的余弦值为，求四面体的体积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】解法一 由题设知，两两垂

11、直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图b所示的空间直角坐标系，则相关各点的坐标为， ， ，其中，（1）若是的中点，则，于是，即；（2）由题设知，是平面内的两个不共线向量.设是平面的一个法向量，则，即，取，得，又平面的一个法向量是，而二面角的余弦值为，因此，解得，或者（舍去），此时，设，而，由此得点，平面，且平面的一个法向量是，即，亦即，从而，于是，将四面体视为以为底面的三棱锥，则其高，故四面体的体积.解法二 （1）如图c，取的中点，连结，是梯形的两腰，是的中点，于是由知，四点共面，由题设知，平面，因此，因此，于是，再由即知平面，又平面，故；（2）如图d，过点作交于点，则平面，平面

12、，平面，过点作于点，连结，则，为二面角的平面角，即，从而 ，则为矩形，因此，于是，再由得，解得，因此，故四面体的体积.【2015高考上海，理19】（本题满分12分）如图，在长方体中，、分别是、的中点证明、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小.【答案】 【解析】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、因为，所以，因此直线与共面，即、共面1（2014广东卷）已知向量a(1，0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1，1，0) B(1，1，0) C(0，1，1) D(1，0，1)【答案】B【解析】本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示设所求向量是b，若b与a成60夹角，

13、则根据数量积公式，只要满足即可，所以B选项满足题意2（2014重庆卷如图13所示，四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，AB2，BAD，M为BC上一点，且BM，MPAP.(1)求PO的长；(2)求二面角APMC的正弦值图13【解析】解：(1)如图所示，连接AC，BD，因为四边形ABCD为菱形，所以AC BDO，且ACBD.以O为坐标原点，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系O xyz.因为BAD，所以OAABcos，OBABsin1，所以O(0，0，0)，A(，0，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，(0，1，0)，(，1，量为n1(x1，y1，z

14、1)，平面PMC的法向量为n2(x2，y2，z2)由n10, n10，得故可取n1.由n20，n20，得故可取n2(1，2)从而法向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2，故所求二面角APMC的正弦值为.1若a，b，c为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析：若c、ab、ab共面，则c(ab)m(ab)(m)a(m)b，则a、b、c为共面向量，此与a、b、c为空间向量的一组基底矛盾，故c，ab，ab可构成空间向量的一组基底。 【答案】C2在正方体ABCDA1B1C1D1中，给出以下向量表达式：(

15、)； ()；()2； ()。其中能够化简为向量的是()A B C D【解析】()；()；()22；()，所以选A。 【答案】A3若向量a(1，2)，b(2，1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则等于()A2 B2C2或 D2或【解析】由已知得，83(6)，解得2或。 【答案】C4平行六面体ABCDABCD中，若x2y3z，则xyz()A1 B.C. D.【解析】x2y3z，故x1，y，z，xyz1。 【答案】B5已知直线AB、CD是异面直线，ACCD，BDCD，且AB2，CD1，则异面直线AB与CD夹角的大小为()A30 B45C60 D75【解析】cos，与所成角为60。 【答案】C6正方体A

16、BCDA1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.aC.a D.a【解析】以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N。设M(x，y，z)。点M在上且， (xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z，得M，|a。 【答案】A7如图所示，已知空间四边形ABCD，F为BC的中点，E为AD的中点，若()，则_。 【答案】8已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当最小时，点Q的坐标是_。【解析】设(，2)，则(1，2，32)，(2，1，22)。(1)(2)(

17、2)(1)(32)(22)62161062。当时，取得最小值，此时。点Q的坐标是。【答案】9在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面给出四个命题：()23()2；()0；与的夹角为60；此正方体的体积为|。则正确命题的序号是_(填写所有正确命题的序号)。0，正确的应是|。 【答案】10如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)。【解析】(1)P是C1D1的中点，aacacb。aabc。又ca，abc。11已知a(x,4,1)，b(2，y，1)，c(3，2，z)，ab，bc，求

18、：(1)a，b，c；(2)(ac)与(bc)所成角的余弦值。【解析】(1)因为ab，所以，解得x2，y4，这时a(2,4,1)，b(2，4，1)。又因为bc，所以bc0，即68z0，解得z2，于是c(3，2,2)。(2)由(1)得ac(5,2,3)，bc(1，6,1)，设(ac)与(bc)所成角为，因此cos。12如图所示，在空间直角坐标系中，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标是(，0)，点D在平面yOz内，且BDC90，DCB30。(1)求的坐标；(2)设和的夹角为，求cos的值。【解析】(1)如图所示，过D作DEBC，垂足为E。在RtBDC中，由BDC90，DCB30，BC2，得BD1，CD。设和的夹角为，则cos。cos。