全等三角形中做辅助线总结

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1、全等三角形中做辅助线技巧要点大汇总口诀:三角形图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称后来关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可实验。线段和差不等式,移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。一、 由角平分线想到的辅助线 口诀：图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称后来关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质:a、对称性;b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法,

2、一般有两种。从角平分线上一点向两边作垂线；运用角平分线,构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。一般状况下,浮现了直角或是垂直等条件时,一般考虑作垂线；其他状况下考虑构造对称图形。至于选用哪种措施,要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线(一)、截取构全等如图-，AO=BO,如取EF，并连接E、F,则有EDOF,从而为我们证明线段、角相等发明了条件。例1 如图1-2，/，平分BCD,E平分BC,点E在AD上，求证：BC=AB+D。例2 已知：如图3,A=AC，BA=C,ADB,求证C例3 已知:如图1-4,在AB中,=2，AD平分BA,求证:-A=CD分析:此题的条件中尚有角的平分线

3、,在证明中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的和差倍分问题。用到的是截取法来证明的,在长的线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的延长来证明呢?练习1 已知在BC中，AD平分BAC，B=C,求证：ABDAC2 已知:在ABC中,ABB，A平分AB交C于E,AB=2C，求证:AE=2C3 已知：在AB中,A,AD为BC的平分线，M为A上任一点。求证:BMCMBAC4 已知:是A的的外角的平分线上的任一点,连接D、DC。求证:+CDAB+C。(二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，运用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图21，已知AB,

4、BACFC,=BC。求证:ADC+B=80分析:可由C向BAD的两边作垂线。近而证AD与B之和为平角。例2 如图22,在AB中,90,AB=AC,AD=C。求证：=AAD分析:过D作DEBC于E,则DDE=C，则构造出全等三角形,从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题,从中运用了相称于截取的措施。例3 已知如图23,C的角平分线M、C相交于点。求证：C的平分线也通过点P。分析：连接,证平分BAC即可，也就是证P到B、AC的距离相等。练习:1.如图2-4AOPBOP=5,C/A,PD, 如果PC=4,则PD=( ) 4 B 3 C 2 12.已知在ABC中,=9，AD平分A，CD1.5,B=.求

5、C。3已知：如图2-5, BAC=CAD,BAD,CEAB，A=(ABA）.求证:D+=1。4.已知:如图-6，在正方形ABCD中,为CD 的中点,为B上的点,A=DA。求证：=+CF。5 已知:如图-7,在RABC中,AC=9,AB,垂足为D,AE平分CA交CD于F，过F作F/A交BC于H。求证CF=H。（三）:作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线,使之与角的两边相交，则截得一种等腰三角形,垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以运用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段,则延长该线段与角的另一边相交)。例1

6、已知:如图3-1，BD=AC，ABC，D于，H是中点。求证:DH=(B-C)分析:延长C交于点E,则可得全等三角形。问题可证。例2 已知:如图,AB=AC,BC90,AD为ABC的平分线,CEE求证：B=2CE。例3已知:如图3-3在ABC中,A、AE分别BC的内、外角平分线,过顶点作FAD，交AD的延长线于，连结C并延长交AE于M。求证:AME。分析：由AD、AE是BC内外角平分线,可得EAF,从而有BF/AE,因此想到运用比例线段证相等。例4 已知:如图-，在A中，D平分BAC,AD=AB，CD交A延长线于。求证:AM=(ABAC)分析:题设中给出了角平分线AD,自然想到以D为轴作对称变换

7、，作D有关AD的对称E,然后只需证DM=C,此外由求证的成果M(+AC)，即2=BAC,也可尝试作CM有关M的对称CM,然后只需证=C即可。练习:1 已知：在ABC中,AB,=3,D是B中点，AE是A的平分线,且C于E，连接DE,求E。2 已知E、F分别是BC的ABC的内角与外角的平分线，FBF于，EE于E,连接EF分别交B、AC于M、N，求证M=C(四)、以角分线上一点做角的另一边的平行线有角平分线时,常过角平分线上的一点作角的一边的平行线,从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与此外一边的反向延长线相交,从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示。12ACDB例 如图，

8、ABC，1=2，求证:AACBD-CD。例 如图，BBA，D平分ABC，且AD=CD,求证：A+C180。BDCAABECD例6 如图，ACD,AE、E分别平分AD各AD，求证:AD=BC。练习:1 已知，如图,C=A,AC。求证：ABC是直角三角形。CAB2.已知：如图,A=2AC，1=2,DA=DB,求证:DCACABDC12 已知CE、A是ABC的角平分线,B=0，求证:C=AE+CAEBDC4已知:如图在AC中,A=,=AC,BD是AC的平分线，求证：BC=B+DABCD二、 由线段和差想到的辅助线口诀:线段和差及倍半,延长缩短可实验。线段和差不等式，移到同一三角去。遇到求证一条线段等

9、于另两条线段之和时，一般措施是截长补短法：1、截长:在长线段中截取一段等于另两条中的一条,然后证明剩余部分等于另一条；2、补短：将一条短线段延长,延长部分等于另一条短线段,然后证明新线段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等式，一般会联系到三角形中两线段之和不小于第三边、之差不不小于第三边,故可想措施放在一种三角形中证明。一、 在运用三角形三边关系证明线段不等关系时,如直接证不出来,可连接两点或廷长某边构成三角形,使结论中浮现的线段在一种或几种三角形中,再运用三角形三边的不等关系证明,如:例1、 已知如图11：D、E为BC内两点,求证:+BD+DE+CE.证明:(法一）将D两边延长分别交A、A

10、C于、N,在MN中,A+ANM+DNE;（)在BDM中,B+MD;(2）在CEN中,N+NECE;（)由(1)+(2)+()得:M+ANMB+MCN+ED+D+NED+EAACB+E+E（法二:图-2）延长BD交C于，廷长CE交BF于G,在和GFC和G中有:B+AFB+G+GF(三角形两边之和不小于第三边)(）G+FGE+E(同上)()+EDE(同上）（3)由(1）+（）+（3)得：A+A+GFC+DG+GB+G+GF+E+CE+DEABACBD+DE+EC。二、 在运用三角形的外角不小于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时,可连接两点或延长某边,构造三角形,使求证的大角在某个三角形的外角的

11、位置上,小角处在这个三角形的内角位置上,再运用外角定理:例如:如图2-1:已知为AB内的任一点,求证:DCBAC。分析：由于BDC与AC不在同个三角形中，没有直接的联系,可合适添加辅助线构造新的三角形,使BD处在在外角的位置,BAC处在在内角的位置;证法一:延长BD交AC于点，这时DC是EC的外角，BCC,同理ECBA,CBC证法二：连接AD,并廷长交BC于F,这时BD是ABD的外角，DBD，同理，CDFD,BDFCDFAD+CA,即:BDCBC。注意:运用三角形外角定理证明不等关系时，一般将大角放在某三角形的外角位置上,小角放在这个三角形的内角位置上，再运用不等式性质证明。三、 有角平分线时

12、，一般在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：例如：如图3-1:已知D为C的中线，且=，3=4，求证:BE+CF。分析:要证E+CEF,可运用三角形三边关系定理证明，须把BE,CF,E移到同一种三角形中,而由已知12，34,可在角的两边截取相等的线段，运用三角形全等相应边相等，把EN,FN,E移到同个三角形中。证明:在DN上截取DB,连接N,NF,则DN=，在DB和NDE中:DNB（辅助线作法）12(已知)D=D(公共边)DBED(SS)BEN(全等三角形相应边相等)同理可得:CF在F中EN+NE（三角形两边之和不小于第三边)BEF。注意:当证题有角平分线时，常可考虑在角的两边截取相等的

13、线段,构造全等三角形，然后用全等三角形的相应性质得到相等元素。三、截长补短法作辅助线。例如:已知如图6-:在AC中,ABC，2，为AD上任一点求证：B-AB-C。分析：要证:B-AC-PC，想到运用三角形三边关系,定理证之,由于欲证的线段之差,故用两边之差不不小于第三边，从而想到构造第三边ABC，故可在B上截取A等于AC，得ABAC=B,再连接PN，则PC=PN,又在PB中,-PNPC。证明:(截长法)在AB上截取A=A连接N,在AN和APC中AN=AC（辅助线作法)=2(已知)AP=AP(公共边)PAPC（SAS）,PC=PN(全等三角形相应边相等)在BN中,有NBN（三角形两边之差不不小于

14、第三边)B-CPM-C(三角形两边之差不不小于第三边)A-ACP。DAECB例1如图,AC平分AD,CB，且D=1,求证:AE=ADBE。例2如图,在四边形AB中，A平分B，CEAB于E,DAA,求证：ADC+B=180例已知:如图,等腰三角形AB中,B=C,A=18，BD平分ABC。DCBA求证:BADC。MBDCA例4如图，已知RtC中，AC=,A是CAB的平分线,DB于，且M=MB。求证:CDD。【夯实基本】例:中,A是的平分线,且B=CD,求证B措施1：作DEAB于E,作DFAC于，证明二次全等措施：辅助线同上,运用面积措施3:倍长中线AD【措施精讲】常用辅助线添加措施倍长中线 ABC

15、中 方式1: 延长AD到， D是B边中线 使AD, 连接B 方式2：间接倍长 作CFAD于F, 延长M到N， 作E的延长线于E 使D=MD,连接BE 连接C【典型例题】例1：BC中，A5,AC=3,求中线AD的取值范畴提示：画出图形，倍长中线D,运用三角形两边之和不小于第三边例2:已知在A中,AB=AC,D在上,E在AC的延长线上,E交B于,且DFE，求证:D=CE措施:过D作DGAE交BC于G，证明FEF措施2:过E作EGAB交B的延长线于G,证明FGFB措施3:过作DGB于G,过E作EHBC的延长线于H 证明BDGE例3：已知在AB中，AD是BC边上的中线,E是AD上一点,且BEA,延长B

16、E交A于F,求证:AF=E提示:倍长A至,连接B,证明BDGDA 三角形BEG是等腰三角形例4:已知：如图,在中,，D、E在BC上,且D=EC,过D作交AE于点F，FAC.求证：A平分提示:措施1：倍长至G,连结DG措施2：倍长E至H,连结例：已知C=A,BDABAD，A是ABD的中线，求证：=BAE提示:倍长AE至F，连结F 证明ABEF（AS)进而证明ADC（SS）【融会贯穿】1、在四边形AD中，BC,E为BC边的中点,AEEAF,A与D的延长线相交于点F。试探究线段B与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论提示:延长、DF交于 证明=、F=F 因此ABAF+F2、如图，AD为的中线，D

17、E平分交AB于E,F平分交AC于F求证:提示：措施1：在A上截取DGBD，连结、F 证明BDEGE DFDGF 因此=、CF=G 运用三角形两边之和不小于第三边措施2:倍长E至H，连结CH、H 证明H=EF、CH 运用三角形两边之和不小于第三边3、已知：如图,DBC中,=0,CMAB于M，AT平分AC交CM于D,交B于，过D作DE/B交B于E,求证:TB.提示:过T作TAB于N 证明NED.如图,ABCD，E、DE分别平分BAD各ADE,求证：AAB+D。EDCBA2.如图，BC中,BAC=90,BC，E是过的一条直线,且B,C在E的异侧，BDAE于，AE于E。求证：D=DC四、 由中点想到的

18、辅助线 口诀:三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。在三角形中,如果已知一点是三角形某一边上的中点，那么一方面应当联想到三角形的中线、中位线、加倍延长中线及其有关性质(直角三角形斜边中线性质、等腰三角形底边中线性质）,然后通过摸索,找到解决问题的措施。(一)、中线把原三角形提成两个面积相等的小三角形即如图1,AD是BC的中线,则B=SACSBC(由于AB与ACD是等底同高的)。例.如图2，C中,D是中线,延长AD到E,使EAD,DF是DCE的中线。已知ABC的面积为,求：DF的面积。解：由于是BC的中线,因此A=SAB=21，又因CD是C的中线，故CDE=SACD=1

19、,因DF是DE的中线，因此SD=SCDE=。F的面积为。（二)、由中点应想到运用三角形的中位线例.如图3,在四边形BC中,ACD,、分别是C、AD的中点，BA、C的延长线分别交的延长线、H。求证:B=CE。证明:连结，并取D的中点为M,连结E、F，E是D的中位线,ED，MF=H,F是AD的中位线,AB,MFE=BG,A=CD,MMF,MEF=MFE，从而BGEHE。(三)、由中线应想到延长中线例.图，已知AB中,AB=，AC=3，连B上的中线D=，求BC的长。解:延长AD到,使=D，则AEA224。在D和EB中,D=ED,ADDB，D=，ACDEBD,AC=B,从而E=AC3。在AB中,因E2

20、+B2=4+3225=A2,故E=0,B=,故C=BD=。例4.如图5,已知ABC中,AD是BC的平分线,A又是BC边上的中线。求证：AB是等腰三角形。证明:延长A到,使DE=AD。仿例3可证：BEDCAD,故E=AC,E=,又1，,B=B,从而AAC,即AC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜边中线的性质例5如图,已知梯形BCD中,A/D,CBC,ADBD,求证：A。证明：取AB的中点，连结、CE,则DE、CE分别为tAB，RtABC斜边AB上的中线,故DCE=,因此D=DE。A/DC，CD=,C=2,12,在E和CE中,C,12，A=B，DEBCE，A=B，从而梯形ABD是等腰梯形，因此AC

21、=BD。(五)、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线例6.如图7,AB是等腰直角三角形，=0,BD平分A交AC于点D，CE垂直于B，交BD的延长线于点E。求证：BDC。证明：延长B,CE交于点F,在BF和E中,12，BE=B,BEF=BEC=90,BEFBE,EF=EC,从而CF2C。又1+3F=9,故1=3。在BD和AC中,1,A=A,BAD=CAF=90，ABACF,BCF,BD=2E。注:此例中B是等腰BC的底边F的中线。(六）中线延长口诀:三角形中有中线，延长中线等中线。题目中如果浮现了三角形的中线，常延长加倍此线段,再将端点连结,便可得到全等三角形。例一:如图1：为ABC的中

22、线，且1=2,3=4，求证:BE+CFEF。证明:廷长ED至M,使DM=DE,连接CM，F。在BDE和CM中,BD=CD（中点定义）15(对顶角相等)EMD(辅助线作法）BDCM(AS）又1=2,(已知)1+23=18(平角的定义)3+2=9即:DF=90FDMEDF=0在E和M中EDMD（辅助线作法)EDFDM(已证)D=DF（公共边)EDFMF（AS）F=(全等三角形相应边相等)在M中，C+MM(三角形两边之和不小于第三边)+CEF上题也可加倍FD，证法同上。注意：当波及到有以线段中点为端点的线段时,可通过延长加倍此线段，构造全等三角形,使题中分散的条件集中。例二:如图-:A为ABC的中线

23、,求证:B+C2D。分析:要证AAC2D,由图想到:+BAD,AC+CA,因此有A+A+BDDADAD,左边比要证结论多DCD,故不能直接证出此题，而由2D想到要构造2,即加倍中线,把所要证的线段转移到同一种三角形中去证明：延长至E，使EAD,连接BE,CEAD为AC的中线(已知）BD=D（中线定义)在和EBD中BD=CD(已证)1=2（对顶角相等)DE（辅助线作法)ACBD（SA）BE=A（全等三角形相应边相等)在AE中有:B+BE(三角形两边之和不小于第三边)AA2AD。练习： 如图,B=6,A=8，D为BC 的中点,求AD的取值范畴。BADC862 如图,AB=C,为BC的中点,CBCA

24、,求证:AD=2A。BECDA 如图,B=A,AD=A，为B中点,BACAE90。求证：MD。DMCDEDADBD,已知ABC，AD是B边上的中线,分别以B边、C边为直角边各向外作等腰直角三角形，如图52,求证EF2AD。 ABDCEF.已知:如图AD为BC的中线,AE，求证：FAC 常用辅助线的作法有如下几种:1) 遇到等腰三角形,可作底边上的高,运用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”.2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，运用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，运用的思维模式

25、是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.4) 过图形上某一点作特定的平分线,构造全等三角形,运用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条线段延长，是之与特定线段相等,再运用三角形全等的有关性质加以阐明.这种作法,适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊措施:在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，运用三角形面积的知识解答.(一)、倍长中线(线段）造全等1:(“但愿杯”试题)已知，如图AB中，B,AC,则中线的取值范畴是_.:如图,ABC

26、中,E、分别在A、C上,DEDF，是中点，试比较BECF与F的大小. :如图,BC中,BDDC=C,E是DC的中点，求证：AD平分BE.中考应用(09崇文二模)以的两边、C为腰分别向外作等腰和等腰t,连接DE,M、N分别是B、D的中点.探究:AM与的位置关系及数量关系（1)如图 当为直角三角形时，AM与的位置关系是 ,线段A与D的数量关系是 ;(）将图中的等腰R绕点A沿逆时针方向旋转(0BA,ACD，D平分,求证:5:如图在中，ABAC,=2,P为AD上任意一点,求证;B-CBP中考应用(0海淀一模)例题解说：一、运用转化倍角，构造等腰三角形当一种三角形中浮现一种角是另一种角的倍时,我们就可以

27、通过转化倍角寻找到等腰三角形.如图中,若B=2,如果作BD平分A,则DBC是等腰三角形;如图中,若AB=2C,如果延长线CB到D,使BD=B,连结AD，则DC是等腰三角形；BCDABCDABCDA如图中,若B2A,如果以为角的顶点，C为角的一边,在形外作ACD=C,交BA的延长线于点D,则DBC是等腰三角形.DCBA1、如图,C中,AB=AC，BDAC交AC于D.求证：BC=BC.ABC、如图，A中，CB2,BC2A求证:A=0.二、运用角平分线平行线，构造等腰三角形当一种三角形中浮现角平分线和平行线时,我们就可以寻找到等腰三角形.如图中,若AD平分AC,E，则AE是等腰三角形;如图中,D平分

28、BAC，DEAC,则ADE是等腰三角形;如图中,D平分BA,CB,则ACE是等腰三角形;ADCBEECBDABACDEABFCDEG如图中，A平分BA,EFAD,则G是等腰三角形3、如图,B中,AB=，在C上取点,过点P作EFC，交A的延长线于点，垂足为点.求证:AAP.FBACPEFCDEBA4、如图,BC中，AD平分BAC,E、分别在B、A上,且ECD,E=AC.求证：EFABE图1ABCD三、运用角平分线+垂线,构造等腰三角形当一种三角形中浮现角平分线和垂线时,我们就可以寻找到等腰三角形.如图中，若A平分BAC，ADD，则E是等腰三角形.、如图2,已知等腰RtAC中,AC，BC=9,BF

29、平分C,D交的延长线于D。求证: F=2C.图2BFDCA四：其她措施总结1.截长补短法ABCDE6、如图,已知：正方形ACD中,BC的平分线交B于E,求证:A+BE=AC.倍长中线法题中条件若有中线，可延长一倍,以构造全等三角形,从而将分散条件集中在一种三角形内。EABCDF 7、如图()AD是A的中线,BE交A于,交D于F，且AEF求证：AC=FAE8、已知ABC，AD是边上的中线,分别以AB边、AC边为直角边各向外作等腰直角三角形,如图,求证E=2。 FB CD 3.平行线法(或平移法） 若题设中具有中点可以试过中点作平行线或中位线,对Rt,有时可作出斜边的中线ABCPQO、C中,BAC

30、6,40AP平分BAC交C于P,BQ平分AC交AC于,求证：B+BQAQ OABCPQD图（1）ABCPQDE图（2）O阐明：本题也可以在AB截取D=Q,连O，构造全等三角形,即“截长补短法”. 本题运用“平行法”解法也较多,举例如下： 如图(1）,过O作ODBC交于D，则ADAO来解决.ABCPQ图（3）DO 如图()，过作E交AB于D，交AC于E,则ADOA，ABOAO来解决 如图（3),过作B交AB的延长线于D,则APD来解决 ABCPQ图（4）DO 如图(4）,过P作PB交AC于D，则ABP来解决. ABCDM10、已知:如图,在ABC中,A的平分线AD交B于D，且A=AD,作MAD交

31、AD的延长于M.求证：M=(AC)巩固练习1、(浙江省绍兴市)如图,分别为的,边的中点,将此三角形沿折叠,使点落在边上的点处.若，则等于( ). B C DCDBA ABCD2（柳州）如图所示，图中三角形的个数共有（）A.1个 B.2个 3 个.43、 (宁夏）如图,的周长为32,且于,的周长为2，那么的长为 .、(达州)长度为2、4、5的四条线段,从中任取三条线段能构成三角形的概率是_DCBA5、如图，在AC中，ADC于D,且AC2求证:CD=AB+BD.、如图,在ABC中，BA、BCA的平分线相交于点O,过点O作DEAC，分别交B、BC于点D、E.试猜想线段AD、C、DE的数量关系,并阐明

32、你的猜想理由CABEDO、(长沙)如图,是平行四边形对角线上两点,，求证：.DCABEF8、AD为 BC的中线,求证:ABAC2D。9、已知为ABC内的任一点,求证:DCBAC。10、（宁德市)如图(1),已知正方形AC在直线N的上方,C在直线M上,E是BC上一点,以A为边在直线的上方作正方形AF.(1)连接D,求证:ADABE;()连接,观测并猜想FCN的度数，并阐明理由；NMBEACDFG图（1）图（2）MBEACDFGN（3）如图(2)，将图(）中正方形D改为矩形D,AB=a,BCb（a、为常数),E是线段BC上一动点(不含端点B、C),以A为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点正好落在射线CD上判断当点E由B向运动时，FCN的大小与否总保持变()遇到等腰三角形，可作底边上的高，运用“三线合一”的性质解题,思维模式是全等变换中的“对折”。1、已知，如图1,在四边形ABCD中,CA,ADDC，BD平分ABC。求证:BAD+BC=10。2、已知,如图2，1=2,P为BN上一点,且C于点D，BC2B。求证：APB180。、已知，如图3,在ABC中,=2B,1=2。求证：A=A+CD。