matlab电子教案doc (4)new

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1、新疆大学重点课程电子教案 32 页 共 32 页VII 符号计算（4课时）一、符号对象：1. 建立符号变量和符号常数(1)sym函数 sym函数用来建立单个符号量，例如，a=sym(a)建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。例 考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a);b=sym(b);c=sym(c);d=sym(d); %定义4个符号变量w=10;x=5;y=-8;z=11; %定义4个数值变量A=a,b;c,d %建立符号矩阵AB=w,x;y,z %建立数值矩阵Bdet(A) %计算符号矩阵A的行列式det(B) %

2、计算数值矩阵B的行列式例 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。在 MATLAB命令窗口，输入命令：pi1=sym(pi);k1=sym(8);k2=sym(2);k3=sym(3); % 定义符号变量pi2=pi;r1=8;r2=2;r3=3; % 定义数值变量sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值sqrt(k1) % 计算符号表达式值sqrt(r1) % 计算数值表达式值sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值sqrt(r3+sqrt(r2) % 计算数值表达式值(2)syms函数syms函数的一般调用格式为：syms var1

3、 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。2. 建立符号表达式例 用两种方法建立符号表达式。在MATLAB窗口，输入命令：(1) 直接用sym函数建立符号表达式U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U(2) 先用syms函数定义符号变量，然后再建立符号表达式syms x y; %建立符号变量x、yV=3*x2+5*y+2*x*y+6 %定义符号表达式V（3）符号表达式的值2*U-V+6 %求符号表达式的值例 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变

4、量a,b,c确定的范得蒙矩阵。命令如下：syms a b c;U=a,b,c;A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵det(A) %计算A的行列式值二、基本的符号运算：1. 符号表达式运算(1)符号表达式的四则运算例 符号表达式的四则运算示例。在 MATLAB命令窗口，输入命令：syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %符号表达式的结果为最简形式f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2，而是(x+y)*(x-y)simple(f)(2)因式分解与展开factor(S) 对S分解因式，S是符号表

5、达式或符号矩阵。expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。例 对符号矩阵A的每个元素分解因式。命令如下：syms a b x y;A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4,3*x*y-5*x2;4,a3-b3;factor(A) %对A的每个元素分解因式例 计算表达式S的值。命令如下：syms x y;s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2);expand(s) %对s展开collect(s,x) %对

6、s按变量x合并同类项(无同类项)factor(ans) % 对ans分解因式(3)表达式化简MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有：simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。例 化简命令如下：syms x y;s=(x2+y2)2+(x2-y2)2;simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行化简，并显示每步结果2. 符号矩阵运算S 返回S矩阵的转置矩阵。det (S) 返回S矩阵的行列式值。colspace(S) 返回S矩阵列空间的基。Q,D=eig(S) Q返回S矩阵的特征向量，D

7、返回S矩阵的特征值。三、符号表达式中变量的确定：MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n)函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。四、函数的极限：limit函数的调用格式为：limit(f,x,a)limit函数的另一种功能是求单边极限

8、，其调用格式为：limit(f,x,a,right) 或 limit(f,x,a,left)例 求极限:在MATLAB命令窗口，输入命令：syms a m x;f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a);limit(f,x,a) %求极限(1)f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x;limit(f) %求极限(2)limit(f,inf) %求极限(3)f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a);limit(f,x,a,right) %求极限(4)五、符号函数求导及其应用：MATLAB中的求导的函数为：diff(f,x,n)diff函数求函数f

9、对变量x的n阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。例 求函数的导数:命令如下：syms a b t x y z;f=sqrt(1+exp(x);diff(f) %求(1),未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理f=x*cos(x);diff(f,x,2) %(2),求f对x的二阶导数diff(f,x,3) %(2),求f对x的三阶导数f1=a*cos(t);f2=b*sin(t); %参数方程diff(f2)/diff(f1) %(3),按参数方程求导公式求y对x的导数(diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff

10、(f2)/(diff(f1)3 %(3),求y对x的二阶导数f=x*exp(y)/y2;diff(f,x) %(4),z对x的偏导数diff(f,y) %(4),z对y的偏导数f=x2+y2+z2-a2;zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %(5),按隐函数求导公式求z对x的偏导数zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %(5),按隐函数求导公式求z对y的偏导数例 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。命令如下：x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数f=diff(y); %对曲线求导数g=f-4;x=solve(g) %求方程f-

11、4=0的根，即求曲线何处的导数为4%图形描述a=-2:0.1:2;b=a.3+3.*a-2;yy=subs(y,x)c=yy-4*xc1=4.*a+c(1)c2=4.*a+c(2)plot(a,b,a,double(c1),r-, a,double(c2),r-)六、不定积分：在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x)int函数求函数f对变量x的不定积分。参数x可以缺省，缺省原则与diff函数相同。例 求不定积分: (1) (2)命令如下：x=sym(x);f=(3-x2)3;int(f) %求不定积分(1)%f=sqrt(x3+x4);int(f) %求不定积

12、分(2)g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简七、符号函数的定积分：定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b)例 求定积分：命令如下：x=sym(x);t=sym(t);int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1)%f=1/(1+x2);int(f,-inf,inf) %求定积分(2)%int(4*t*x,x,2,sin(t) %求定积分(3)%f=x3/(x-1)100;I=int(f,2,3) %用符号积分的方法求定积分(4)double(I) %将上述符号结果转换为数值例 求椭球的体积：命令如下：syms

13、 a b c x;f=pi*b*c*(1-x2/a2);V=int(f,x,-a,a)例 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。(1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令：syms x;f=6+0.3*x;m=int(f,0,10)(2)数值积分。先建立一个函数文件fx.m：function fx=fx(x)fx=6+0.3*x;再在MATLAB命令窗口，输入命令：m=quad(fx,0,10,1e-6)例 求空间曲线c:从点(0，0，0)到点(3，3，2)的长度。第一类曲线积分的计算：设函数在光滑曲线上有定

14、义且连续，的方程为则。命令如下：syms t;x=3*t;y=3*t2;z=2*t3; %t的取值范围为(0,1)f=diff(x,y,z,t) %求x,y,z对参数t的导数g=sqrt(f*f) %计算一型积分公式中的根式部分l=int(g,t,0,1) %计算曲线c的长度八、积分变换：1. 傅立叶(Fourier)变换在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是：fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶像函数F(t)的原函数f(x)。例 求函数y=|x|的傅立叶变换及其逆变换。命令如下：syms x t;y=abs(x);

15、Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换 2. 拉普拉斯(Laplace)变换在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是：laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。例 计算y=x2的拉普拉斯变换及其逆变换.命令如下：x=sym(x);y=x2;Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换3. Z变换对数列f(n)进行z变换的MA

16、TLAB函数是：ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z)iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n)例 求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。命令如下：syms n zfn=exp(-n);Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换f=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换实习：1) 计算矩阵的行列式值、逆，并用simple函数化简；2) 求微分 3) 通过符号计算求y=|sin(t)|的导数，然后，求导函数y(0-)和y(0+)，以及y(pi/2)。它们与理论值相符吗？4) 求多重积分 九、级数的符号求和：级数符号求和函数symsum

17、，调用格式为：symsum(a,n,n0,nn)例 求级数之和：命令如下：n=sym(n);s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求（1），常数项级数s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求（2），交错级数，未指定求和变量，缺省为ns3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求（3），函数项级数，此处的求和变量n不能省略。s4=symsum(n2,1,100) %求（4），计算有限级数的和十、函数的泰勒级数：MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为：taylor(f,n,v,a)f为待展开函数表达式，v为自变量，n为展开阶数(

18、正整数)，a则指定对f在v=a处进行泰勒展开。例 求函数的泰勒展开式：命令如下：x=sym(x);f1=(1+x+x2)/(1-x+x2);f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3);taylor(f1,5,x) %求(1)。展开到x的4次幂时应选择n=5taylor(f2,6) %求(2)。例 将多项式1+3x+5x2-2x3表示成x+1的幂的多项式。命令如下：x=sym(x);p=1+3*x+5*x2-2*x3;f=taylor(p,4,x,-1)例 应用泰勒公式近似计算： 命令如下：x=sym(x);f=(1-x)(1/12); %定义函数，4000(1/12)=

19、2f(96/212)g=taylor(f,4) %求f的泰勒展开式gv=subs(g,x,96/212) %计算g(96/212) ,P135v1=simple(v) %化简计算结果2*vpa(v1,8) %求4000(1/12)的近似值,小数点后保 %留8位有效数字，4000(1/12)2*g(96/212) %P1364000(1/12) %用MATLAB的乘方运算直接计算 十一、函数的傅立叶级数：MATLAB 5.x版中，尚未提供求函数傅立叶级数的内部函数。下面我们自己设计一个简化的求任意函数的傅立叶级数的函数文件。function mfourier=mfourier(f,n)syms

20、x a b c;mfourier=int(f,-pi,pi)/2; %计算a0for i=1:n a(i)=int(f*cos(i*x),-pi,pi); b(i)=int(f*sin(i*x),-pi,pi); mfourier=mfourier+a(i)*cos(i*x)+b(i)*sin(i*x);endreturn调用该函数时，需给出被展开的符号函数f和展开项数n，不可缺省。例 在-，区间展开函数为傅立叶级数。命令如下：x=sym(x);a=sym(a);f=x;mfourier(f,5) %求f(x)=x的傅立叶级数的前5项f=abs(x);mfourier(f,5) %求f(x)=

21、|x|的傅立叶级数的前5项syms a;f=cos(a*x);mfourier(f,6) %求f(x)=cos(ax)的傅立叶级数的前6项f=sin(a*x);mfourier(f,4) %求f(x)=sin(ax)的傅立叶级数的前4项十二、线性方程组的符号求解：MATLAB中提供了一个求解线性代数方程组的函数linsolve，其调用格式为：linsolve(A,b)例 求线性方程组AX=b的解：解方程组(1)的命令如下：A=34,8,4;3,34,3;3,6,8;b=4;6;2;X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(1)的解sym(A)sym(b) %用另一种方法求(

22、1)的解解方程组(2)的命令如下：syms a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 b1 b2 b3;A=a11,a12,a13;a21,a22,a23;a31,a32,a33;b=b1;b2;b3;X=linsolve(A,b) %调用linsolve函数求(2)的解XX=Ab %用左除运算求(2)的解十三、非线性方程组的符号求解：求解非线性方程组的函数是solve，调用格式为：solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN)例 解方程:命令如下：x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程(

23、1),方程与自变量都为字符串型表达式，结果为符号型f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1);x=solve(f) %解方程(2)，方程为符号型，自变量缺省syms x;x=solve(2*sin(3*x-pi/4)-1) %解方程(3)，这一用法不允许“”号x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程(4)，无符号解时，给出数值解例 求方程组的解:命令如下：x y=solve(1/x3+1/y3=28,1/x+1/y=4,x,y) %解方程组(1)x v=solve(x2+y2-5,2*x2-3*x*y-2*y2) %解方程组(2)十四、常微分方程的符号求解MATLA

24、B的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为：dsolve(eqn1,condition,var)该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。dsolve在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN)函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，

25、var1、varN给出求解变量。例 求微分方程的通解:命令如下：y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解(1)。方程的右端为0时可以不写y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解(2)y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解(3)例 求微分方程的特解:命令如下：y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) %解(1)y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %解(2)例 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较:在MATLAB命令窗口，输入命令：(1) 用符号运算求方程的解析解(

26、即符号解)：y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x) %用符号方法得到方程的解析解(2)用数值运算求方程的数值解：为了求方程的数值解，需要按要求建立一个函数文件fxyy.m：function f=fxyy(x,y)f=(4*x2-2*y)/x; %只能是y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时，要变形。return输入命令： t,w=ode45(fxyy,1,2,2); %得到区间1，2中的数值解，以向量t、w存储。(3) 作出两种结果的图形,对它们进行比较：x=linspace(1,2,100);y=eval(vectorize(char(y) %为作图把符号解的结果向

27、量化;vectorize函数见P344,213plot(x,y,b.,t,w,r-);十五、常微分方程组求解：dsolve在求微分方程组时的调用格式为：dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,condition1,conditionN,var1,varN) 函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1, conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。例 求微分方程组的解：命令如下：x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) %解方程组(1)x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t) %

28、解方程组(2)例32.级数求和syms k t a;f1=t k3; f2=1/(2*k-1)2, (-1)k/k; s1=simple(symsum(f1, t, 0, a-1) %观察结果，注意学习求和函数的使用s2=simple(symsum(f2,k,1,inf) 例33.求微分syms a t x;f=a,t3;t*cos(x),log(x); %定义矩阵df=diff(f,x) 对x求微分dfdt2=diff(f,t,2) 对t求2阶微分dfdxdt=diff(diff(f,x),t) 求混合微分例34.求积分syms A t tao w;yf=int(A*exp(-i*w*t),

29、t,-tao/2,tao/2);Yf=simple(yf) 以下积分能算么？syms A t tao w;yf=int(A*exp(-w*t2),t,-tao/2,tao/2);Yf=simple(yf) 例35.求积分syms t x;f=1/log(t);F=int(f,t,0,x) %解释计算结果F =-Ei(1,-log(x) %Ei是什么？查maple帮助mhelp Eix=0.5:0.1:0.9F1=-mfun(Ei,1,-log(x) %用函数mfun取x的积分值例36.求积分syms a b x;f=a*x,b*x2;1/x,sin(x);F=int(f,x);disp(The

30、 integral of f is); pretty(int(f) 问题8：观察结果，解释函数pretty的含义例37.求多重积分syms x y z;f=x2+y2+z2;f1=int(f,z,sqrt(x*y),x2*y);f2=int(f1,y,sqrt(x),x2);f3=int(f2,x,1,2) F=vpa(f3) %积分结果用32位数字表示例38.求线性方程组的解H=hilb(5) %生成5阶hilbert矩阵A=sym(H) 符号化矩阵b=sym(1 2 3 4 5) %生成列向量X=Ab %求线性方程组AX=b的解问题9：A=rand(5), B=sym(A), 则B是有理数

31、矩阵么？例39.求方程组关于的通解syms u v w y z;S=solve(u*y2+v*z+w=0,y+z+w=0,y,z) S.y,S.z syms u v w y z;f=u*y2+v*z+w=0;g=y+z+w=0;S=solve(f,g,y,z) S.y,S.z 例40.求欠定方程的解syms d n p q;eq1=d+n/2+p/2-q;eq2=n+d+q-p-10;eq3=q+d-n/4-p;S=solve(eq1,eq2,eq3,d,n,p,q);S.d,S.n,S.p,S.q %第一个变量为自由变量例41.求的解clear all,syms x;s=solve(x+2)

32、x=2,x) 例42.求微分方程的解syms x y t;f=Dx=y, Dy=-x; % Dx，Dny分别表示对函数的1阶，n导数S=dsolve(f,t); % t为因变量disp(S.x,S.y) % 解S是结构变量例43.图示微分方程的通解和奇解的关系clear all, y=dsolve(y=x*Dy-(Dy)2,x) % 求微分方程的解y(1),y(2) % y=y(1),y(2)， y(1) 是通解，而y(2)是奇解clf,hold on, % clf的意义ezplot(y(2),-6,6,-4,8,1) %ezplot为作图函数，1是什么意思？cc=get(gca,Childr

33、en); %gca是y(2)的图形句柄，抓取到ccset(cc,Color,r,LineWidth,5) %对cc的颜色和线宽进行设置for k=-2:0.5:2; ezplot(subs(y(1),C1,k),-6,6,-4,8,1);end %画通解hold off, title(fontname隶书 fontsize16 通解和奇解) 问题10：学习clf,hold on hold off的用法，理解图形句柄的意义例44.解边值问题：y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x);y 例45.Maple的计算能力Matlab的函数solve不能计算递推函数

34、的解，但Matlab可以引用Maple的rsolve函数解决，举例如下：求递推方程的通解f=maple(rsolve(f(n)=-3*f(n-1)-2*f(n-2),f(k););f, 例46.求在处展开的截断8阶小量泰勒近似公式maple(readlib(mtaylor);); %先读maple的mtaylor函数Tl=maple(mtaylor(sin(x2+y2),x=0,y=0,8); %求taylor展式Tl 点评：符号运算的主要对象是函数和矩阵函数，Matlab提供了大量的函数来处理这些对象。函数的使用细节可以通过查帮助获得：help 函数名，mhelp 函数名。符号运算与解析运算

35、的主要区别在于，符号运算首先要定义符号变量和变量函数，然后通过Matlab的符号运算函数解决相关问题符号运算的强大功能为大学生求解高等数学题，复习理解高等数学知识提供了一个有利的工具，同时也减轻了教师大量的计算负担，甚至还为数学研究和实验工作提供了方便。值得一提的是Matlab符号运算工具的使用是以数学基础为前提的。Matlab的符号运算是该软件最重要的一个特点，这里只是它符号运算的一个简介。当然Matlab的符号运算也是有限制的。学习要点：Matlab的符号运算函数很多，但常用的应该记住：simple,diff,int,solve,dsolve,rsolve,mtaylor等注意学习Matlab符号运算中的变量和函数的定义，以及参数的格式和结果的数据结构，这些东西较为烦杂，但可通过查帮助得到。课堂练习：1、例29-42中所有的实例做一遍，并适当改变参数值，观察运算结果。2、用符号运算验证Vandermonde行列式。3、在区间画出曲线4、求微分方程的通解，并绘制常数为1时解的图形。