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1、等腰三角形的性质例1已知：如图9，点D，E在ABC中的边BC上，AB=AC，AD=AE.求证：BD=CE.分析：(1)证明思路可利用“等边对等角”来证明ABDACE，也可用“三线合一”作辅助线解决.(2)作辅助线时，可让学生比较几种辅助线作法的优劣，最好作底边上的高线.(3)纠正作辅助线的几种错误：如“作AF平分BC和DE交BC于F”，“作AF平分BAC和DAE”等.练习1 已知：如图10，AB=AC，DB=DC.求证ABD=ACD说明：(1)证明思路为添辅助线证明三角形全等(连结AD)或利用等量公理(连结BC).(2)引导学生比较总结，克服见到证明线段或角相等，就证明三角形全等的思维定势，开
2、阔解题思路. 例2 已知：如图1(a)，在ABC中，AB=AC，BDAC于D求证：分析：找到DBC与A之间的联系，得到(2)证明角的倍半关系的基本思考方法是加倍法和折半法.通过加倍或折半，将问题转化为证明两个角相等证法三(折半法)如图1(c)，作AEBC于E，将A折半，只需证DBC=CAE即可，利用同角的余角相等可以实现.(3)此题是一个基本结论：等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半.(对于钝角等腰三角形照样适用.)例3 已知：如图2(a)，AB=AC，在BA延长线上取一点E使AE=AF.求证：EFBC.分析：图中有两个等腰三角形ABC与AEF.要证的结论“两直线垂直”与“三线合一”
3、性质有关，在两等腰三角形中，ABC的BC边上的高与BC垂直，或AEF的EF上的高与EF垂直.根据图形的这些特征，可添加辅助线，证明有关直线的平行或垂直关系(证三)，也可直接利用“等边对等角”进行角度之间的运算，推算出90，得到垂直关系(证一、二).教师应充分发挥学生的主动性进行发散思维.证法一 如图2(b)，延长EF交BC于D，直接证明EDBC. AE=AF，AB=AC， E=1，B=C.又1=2，EDB=180-E-B，FDC=180-2-C. EDB=FDC=1802=90 EFBC.证法二：利用方程思想，证法三 如图2(c)，延长FA到D，使AD=AF，连结DE.DAE=BAC， D=C，DEBC，D+DEA+AEF+F=180.在DEF中，D=DEA，AEF=F，DEA+AEF=DEF=90，DEEF， EFBC.证法四 如图2(d)，作ADBC于D. AB=AC，ADBC，AD平分BAC.(等腰三角形底边高平分顶角)又 AE=AF，E=AFE. BAC=E+AFE，即2DAC=2AFE， DAC=AFE， ADEF， EFBC.说明：EF可看成是底边上高AD平移而来，若让EF继续平移下去，还会出现典型位置图2(e)和(f)，其中(e)是基本图形，直角三角形斜边中线等于斜边之半，逆命题也成立.4
等腰三角形的性质 (2)
