2018-2019学年高中数学 第一章 三角函数 1.1 任意角和弧度制1课件 新人教A版必修4

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1、1 1.1 1.1 1任意角任意角一二三思维辨析一、角的概念问题思考1.(1)初中所学的角是如何定义的?初中学过哪些角?初中学过的角的范围是什么?提示具有公共顶点的两条射线组成的图形;锐角、直角、钝角、平角、周角;0360.(2)在奥运会比赛中,跳水项目是极具观赏性的项目,其中解说员经常播报出场运动员完成的动作难度系数和一些动作名称.比如说“107B”就表示向前翻腾3周半屈体,“107C”就是向前翻腾3周半抱膝(第三位数字表示翻腾的周数).若一位跳水运动员做了一个“5253B”动作,你知道这位运动员翻腾的周数吗?怎样度量这种形式的角呢?提示5253B中第3位数是5,说明该运动员翻腾两周半,对这

2、样的角的认识必须将以前学过的角的概念进行推广.一二三思维辨析2.填空:(1)角的概念:平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.(2)角的分类:按旋转方向可将角分为三类一二三思维辨析3.做一做:每周一早晨,光明中学都会在操场上举行升旗仪式,若升旗仪式需要15分钟,则15分钟的时间,钟表的分针走过的角度是.答案-90 一二三思维辨析二、象限角问题思考1.如果将一个角放到平面直角坐标系中,那么如何区分不同大小、不同范围的角呢?提示固定其顶点和始边的位置,根据其终边的位置来确定角的大小与范围.2.填空:象限角的定义(1)前提:角的顶点与原点重合;角的始边与x轴的非负半轴重合.(

3、2)结论:角的终边在第几象限,就说这个角是第几象限角;角的终边在坐标轴上,就说这个角不属于任何一个象限.一二三思维辨析3.做一做:在平面直角坐标系中,指出下列各角分别是第几象限角.(1)30;(2)120;(3)-60;(4)225.答案(1)第一象限角;(2)第二象限角;(3)第四象限角;(4)第三象限角.一二三思维辨析三、终边相同的角问题思考1.在同一平面直角坐标系内作出30,390,-330,750角,观察它们的终边有什么关系,这些角之间相差多少度?提示终边在相同的位置,它们之间相差360的整数倍.2.填空:一般地,所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合:S=|=+k360,k

4、Z,即任何一个与角终边相同的角,都可以表示成角与周角的整数倍的和.3.做一做:与-40角终边相同的角的集合是()A.|=k360-40,kZB.|=k360+40,kZC.|=k36040,kZD.|=k360+80,kZ答案A一二三思维辨析4.终边落在x轴的非负半轴、x轴的非正半轴、x轴、y轴的非负半轴、y轴的非正半轴、y轴、坐标轴上的角的集合终边落在x轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360,kZ;终边落在x轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360+180,kZ;终边落在x轴上的角的集合为x|x=k180,kZ;终边落在y轴的非负半轴上的角的集合为x|x=k360+90,kZ;终边落在

5、y轴的非正半轴上的角的集合为x|x=k360-90,kZ;终边落在y轴上的角的集合为x|x=k180+90,kZ;终边落在坐标轴上的角的集合为x|x=k90,kZ.一二三思维辨析思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”.(1)第一象限的角都是锐角.()(2)小于90的角一定是锐角.()(3)终边相同的角一定相等.()(4)第四象限角可以是负角.()(5)三角形的内角必是第一、二象限的角.()(6)第二象限的角都是钝角.()(7)-435是第三象限角.()(8)若角是第一象限角,则角是第一、三象限的角.()答案(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)探究一探

6、究二探究三核心素养提升思维辨析任意角的概念及其表示任意角的概念及其表示【例1】经过2个小时,钟表的时针和分针转过的角度分别是()A.60,720B.-60,-720C.-30,-360D.-60,720解析钟表的时针和分针都是顺时针旋转,因此转过的角度都是负的,而360=60,2360=720,故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60,-720.答案B探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析确定任意角的方法:(1)定方向:明确该角是由顺时针方向还是逆时针方向旋转形成的,由逆时针方向旋转形成的角为正角,顺时针方向旋转形成的角为负角.(2)定大小:根据旋转角度的绝对量确定角的大小.探究一探究二探究三

7、核心素养提升思维辨析变式训练变式训练1把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是()A.120B.-120C.240D.-240解析一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240所形成的角是-240,故选D.答案D探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析任意角的概念及其表示任意角的概念及其表示角度1终边相同的角的求解【例2】写出与75角终边相同的角的集合,并求在3601080范围内与75角终边相同的角.分析根据与角终边相同的角的集合为S=|=k360+,kZ,写出与75角终边相同的角的集合,再取适当的k值,求出3601080范围内的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解与75角终边相同的

8、角的集合为S=|=k360+75,kZ.当3601080时,即360k360+751080,又kZ,所以k=1或k=2.当k=1时,=435;当k=2时,=795.综上所述,与75角终边相同且在3601080范围内的角为435角和795角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析求与已知角终边相同的角时,要先将这样的角表示成k360+(kZ)的形式,然后采用赋值法求解或解不等式,确定k的值,求出满足条件的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2终边在某条直线上的角的集合【例3】写出终边在如图所示的直线上的角的集合.分析定0360范围内终边在所给直线上的两个角分别写出与两个角终边相同的角的

9、集合写出两个集合的并集即可探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)在0360范围内,终边在直线y=0上的角有两个,即0和180,又所有与0角终边相同的角的集合为S1=|=0+k360,kZ,所有与180角终边相同的角的集合为S2=|=180+k360,kZ,于是,终边在直线y=0上的角的集合为S=S1S2=|=k180,kZ.(2)由图形易知,在0360范围内,终边在直线y=-x上的角有两个,即135和315,因此,终边在直线y=-x上的角的集合为S=|=135+k360,kZ|=315+k360,kZ=|=135+k180,kZ.(3)终边在直线y=x上的角的集合为|=45+k180,

10、kZ,结合(2)知所求角的集合为S=|=45+k180,kZ|=135+k180,kZ=|=45+2k90,kZ|=45+(2k+1)90,kZ=|=45+k90,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析求解终边在某条直线上的角的集合的基本原则1.若所求角的终边在某条射线上,则集合的形式为|=k360+,kZ.2.若所求角的终边在某条直线上,则集合的形式为|=k180+,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3区域角的求解【例4】如图所示,写出顶点在原点,终边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(包括边界).分析(1)要注意角的起始边界与终止边界的书写;(2)注意角

11、的终边所出现的规律性是每隔180就会重复出现.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解(1)对于阴影部分,先取-60,75这一范围,再结合其规律性可得终边落在阴影部分内角的集合为|-60+k36075+k360,kZ.(2)对于阴影部分,先取60,90这一范围,再结合其出现的规律性可知集合为|60+k18090+k180,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析区域角是指终边落在坐标系的某个区域内的角.其写法可分为三步:(1)借助图形,在直角坐标系中先按逆时针的方向找到区域的起始边界和终止边界;(2)按由小到大的顺序分别标出起始边界和终止边界对应的-360360范围内的角和;(3)分别将起

12、始边界,终止边界的对应角,加上360的整数倍,即可求得区域角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析变式训练变式训练2已知角=2018.(1)把改写成k360+(kZ,0360)的形式,并指出它是第几象限角;(2)求,使与终边相同,且-360720.解(1)由2018除以360,得商为5,余数为218.取k=5,=218,=5360+218.又=218是第三象限角,为第三象限角.(2)与2018终边相同的角为k360+2018(kZ).令-360k360+2018720(kZ),k=-6,-5,-4.将k的值代入k360+2018中,得角的值为-142,218,578.探究一探究二探究三核心素

13、养提升思维辨析象限角及其应用象限角及其应用角度1给定一个角判断它是第几象限角【例5】已知角的顶点与直角坐标系的原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,作出下列各角,指出它们是第几象限角,并指出在0360范围内与其终边相同的角.(1)405;(2)-45;(3)495;(4)-520.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解作出各角的终边如图所示.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析由图可知:(1)405是第一象限角;(2)-45是第四象限角;(3)495是第二象限角;(4)-520是第三象限角角.(1)405=45+360,所以在0360范围内,与405角终边相同的角是45.(2)-45=315

14、-360,所以在0360范围内,与-45角终边相同的角是315角.(3)495=135+360,所以在0360范围内,与495角终边相同的角是135角.(4)-520=200-2360,所以在0360范围内,与-520角终边相同的角是200角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析(1)作给定的各个角时,可先找出在0360范围内与其终边相同的角,然后根据角的表示方式,利用正角逆时针旋转相应的圈数,负角顺时针旋转相应的圈数,在图形中标注相应的圈数和旋转方向即可.(2)判断角是第几象限角的常用方法为将写成+k360(其中kZ,在0360范围内)的形式,观察角的终边所在的象限即可.探究一探究二探究三

15、核心素养提升思维辨析角度2对 (nN*)所在象限的判定【例6】若角是第二象限角,试确定角2,是第几象限角.分析解是第二象限角,90+k360180+k360(kZ),则(1)180+2k3602360+2k360(kZ),2可能是第三象限角、第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.由所在象限,确定所在象限,也可用如下方法判断:(1)画出区域:将坐标系每个象限二等分,得到8个区域;(2)标号:自x轴正向逆时针方向把每个区域依次标上,(如图所示)

16、;(3)确定区域:找出与角所在象限标号一致的区域,即为所求.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析【案例】(开放探究题)已知集合A=|30+k18090+k180,kZ,集合B=|-45+k36045+k360,kZ,求AB.分析分别作出两集合中角的终边所在的区域,找公共部分,然后写出对应角的集合.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解30+k18090+k180,kZ,当k为偶数,即k=2n(nZ)时,30+n36090+n360,nZ;当k为奇数,即k=2n+1(nZ)时,210+n360270+n360,nZ,集合A中角的终边在图中阴影()区域内.又集合B中角的终边在图中阴影()区域内

17、,集合AB中角的终边在阴影()和()的公共部分内.AB=|30+k36045+k360,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析点评解决与角有关的集合问题的关键是弄清集合中含有哪些元素,其方法有:(1)将集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识,即分类讨论);(2)列举法把集合具体化;(3)数形结合,即在平面直角坐标上分别作出这些角.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对任意角的概念不清导致角的范围写错【典例】写出终边在如图所示阴影部分内的角的集合.错解一终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的

18、集合为|k360+30k360+150,kZ.错解二终边为OA的角为k360+30(kZ),终边为OB的角为k360+150(kZ),所以终边在阴影部分内的角的集合为|k360+150k360+30,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何订正?怎么防范?提示错解一考虑了角的大小,但表示的是终边落在阴影部分以外的角;错解二没有注意到角的大小,写出的集合是空集.正解因为阴影部分含x轴正半轴,所以终边为OA的角为=30+k360,kZ,终边为OB的角为=-210+k360,kZ.所以终边在阴影部分内的角的集合为|-210+k36030+k36

19、0,kZ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析1.用不等式表示区域角的范围时,要注意观察角的集合形式是否能够合并,能合并的一定要合并.2.对于区域角的书写,一定要看其区域是否跨越x轴的正方向.123451.下列叙述正确的是()A.三角形的内角必是第一或第二象限角B.始边相同而终边不同的角一定不相等C.第四象限角一定是负角D.钝角比第三象限角小解析90角是三角形的内角,它不是第一或第二象限角,故A错;280角是第四象限角,它是正角,故C错;-100角是第三象限角,它比钝角小,故D错.答案B123452.把-1485化成k360+(0360,kZ)的形式是()A.315-5360B.45-436

20、0C.-315-4360D.-45-10180解析0360,排除C,D选项,经计算可知选项A正确.答案A123453.给出下列四个命题:-75角是第四象限角;245角是第三象限角;475角是第二象限角;-300角是第一象限角,其中真命题有()A.1个B.2个 C.3个D.4个解析由于-90-750,故-75角为第四象限角;由于180245270,故245角是第三象限角;由于360+90475360+180,故475角是第二象限角;由于-360-300-270,故-300角是第一象限角,所以均为真命题.答案D123454.与-2018角终边相同的最小正角是.解析-2018=-6360+142,所求值为142.答案142123455.若角的终边落在如图所示的阴影部分中,试写出其集合.解以OA为终边的角为75+k360(kZ),以OB为终边的角为k360-30(kZ),因此终边落在阴影部分中的角的集合可以表示为|k360-30k360+75,kZ.