双曲线知识点及题型总结精华

《双曲线知识点及题型总结精华》由会员分享，可在线阅读，更多相关《双曲线知识点及题型总结精华（14页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、双曲线知识点及题型总结精华撮要好成绩我来帮您x2y 2=1 （a0， b0）a 2b2范围：|x|2a, yWR对称性：关于x、y轴均对称，关于原点中心对称顶点：轴端点A （a， 0）， A2 （a， 0） 渐近线：MiKiM2 PF2双曲线知识点1双曲线定义： 到两个定点匚与F2的距离之差的绝对值等于定长（v |吓2|）的点的轨迹（|PFj-|PFj| = 2a 1 FiF2 1时，动点轨迹不存在. 动点到一定点F的距离与它到一条定直线l的距离之比是常数e（e 1）时，这个动点的轨迹是双曲线这定 点叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线2双曲线的标准方程：竺-竺=1和22-兰=1（a0，

2、b0）.这里b2 = c2 -a2，其中a2 b2a2 b2I F F |=2c要注意这里的a、b、c及它们之间的关系与椭圆中的异同.3双曲线的标准方程判另lj方法是：如果x2项的系数是正数，则焦点在x轴上；如果y 2项的系 数是正数，则焦点在y轴上对于双曲线，a不一定大于b,因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦 点在哪一条坐标轴上.4求双曲线的标准方程，应注意两个问题：（1）正确判断焦点的位置；（2）设出标准方程后，运用待 定系数法求解.5.曲线的简单几何性质PFa2=e(cx) = ex - a（点P在双曲线的右支上x a ）；x2y 2x2y2b若双曲线方程为-】=1 =渐近线

3、方程一 一 0 = y = -xa2b2a2b2ax yx2y 2若渐近线方程为y = -x = = 0 =双曲线可设为一厂=九a a ba2b2x2 y2x2 y 2 若双曲线与一学=1有公共渐近线，可设为一-=九（九0，焦点在x轴上，九 0，焦点在y轴a2 -2a2 -2上） _ 特别地当a =-时O离心率e = *2 o两渐近线互相垂直，分别为y= x,此时双曲线为等轴双曲线，可设-y= x，y= xaa准线： x=-夕，l2： x=，两准线之距为K1K2=2-牛 焦半径：?= *+-）=ex+a，（点p在双曲线的右支上x之a）；当焦点在y轴上时，标准方程及相应性质（略）x2 y2x2

4、y 2与双曲线一 0,b 0)的内部 1.0 0a2 b2a2 b2x2y 2x2 y2点P(x , y )在双曲线一厂=1(a 0,b 0)的外部亠 1.0 0a2 b2a2 b27曲线的方程与渐近线方程的关系x2y 2x2y2b(1)若双曲线方程为一 J = 1 =渐近线方程：一】=0o y = 匕x.a2b2a2 b2abxyx2y 2若渐近线方程为y = x o = 0 =双曲线可设为一一=入.aaba2b2x2y 2x2y2若双曲线与一-1 = 1有公共渐近线，可设为-=九(九0，焦点在X轴上，九0,b0)上一点P(x ,y )处的切线方程是亠a2 b20 0a 2b2x2 y 2x

5、 x y y(2) 过双曲线一=1(a0,b0)外一点P(x ,y )所引两条切线的切点弦方程是一上=1.a2 b20 0a 2b2x2 y2(3) 双曲线一 一厂=1(a 0,b 0)与直线Ax + By + C = 0相切的条件是A2 a2 B 2b2 = c2.a2 b29线与椭圆相交的弦长公式lAB = J(x-x2)2 + ( yi- y2)2若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB, A、B两点分别为A(xi，yi). B(x2，y2)，则弦长 |ab| 二 v1 + k2 - |x 一 x I = (1 + k2)(x + x )2 一 4x x 211212=,1 +丄 |y

6、 y |= .(1 +丄)( y + y )2 4 yy ，这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想； k 221k 2121 2高考题型解析题型一：双曲线定义问题1. “ab0”是“曲线ax2+by2=1为双曲线”的()A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件2若k w R，贝y“k 3 ”是“方程 一 ”= 1表示双曲线”的()k3 k +3A. 充分不必要条件. B. 必要不充分条件.C. 充要条件. D. 既不充分也不必要条件.x2 y 23给出问题：F、F是双曲线一丄=1的焦点，点P在双曲线上若点P到焦点F的距离等于9,求点P到焦 1

7、 2 16 20 1点.的距离某学生的解答如下：双曲线的实轴长为8,由| |PF1|-|PF2|=8，即|9|PF2|=8,得|PF=1或17. 该学生的解答是否正确？若正确，请将他的解题依据填在下面横线上；若不正确，将正确结果填在下面横线上.4.过双曲线x2-y2=8的左焦点.有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7, F2是双曲线的右焦点，则 PFf的周长是.题型二：双曲线的渐近线问题1双曲线宁-f=1的渐近线方程是（A.y= 3 x2B.y= 2 x3)9C. y=x4D.y= 4 x92. 过点（2，2）x2且与双曲线飞-y2=1有公共渐近线的双曲线方程是（y 2x2x2y 2y 2 x2

8、A.二一=1 B.一二=1 C.二一=12 44242题型三：双曲线的离心率问题=11已知双曲线 -卡=1 （a0，b）的左右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上，且1 PF1 1 =4 1 PF2 1，则此双曲线的离心率e的最大值为（）45A. 3B. 3C.2D2. 已知F ,F是双曲线仝 空 1 （ 、b、0）的左、右焦点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线的左支交于A、 12-= 1,（a b 0）1a 2 b2B两点，若AABF是正三角形，那么双曲线的离心率为（）2A.迈B. 3C. 2D. 33. 过双曲线 M:X 2 -兰=1b2的左顶点A作斜率为1的直线1，若1与双曲线M的两

9、条渐近线分别相交于B、C,且)_10C. 3D. 2|AB| = |BC|,则双曲线M的离心率是(A. s10B.14. 在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为2，则该双曲线的离心率为（） A.叵B. 2C .迈D. 2 边2x2 y 25.已知双曲线一一=1 （a0,b0）的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一 a 2 b2个交点，则此双曲线离心率的取值范围是A.（ 1,2）B. （1,2）C.2,+s）D.（2,+s）题型四：双曲线的距离问题1设P是双曲线竺一兰=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-2y=0, F、F分别是双曲线的

10、左、右焦点. a 2912若|PFJ=3,则 |PFJ等于（）A.1 或 5B.6C.7D.9x2 y 22已知双曲线_- 丁 = 1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是_A.（一亍 丁）B.(_ 3 v3)C.D.-爲，朽x2y 23. 已知圆C过双曲线二=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是9 16题型五：轨迹问题1已知椭圆X2+2y2=8的两焦点分别为F、F, A为椭圆上任一点。AP是/AF F的外角平分线，且AP - FP =0.1 2 1 2 2则点P的轨迹方程是.2双曲线x2-y2 =4的两焦点分别为

11、F、F2, A为双曲线上任一点。AP是ZFAF2的平分线，且AP- F?P =0. 则点P的轨迹是（）A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分C.圆的一部分D.抛物线的一部分3求与圆（x - 3）2 + y 2二1及（x + 3）2 + y 2二9都外切的动圆圆心的轨迹方程高考例题解析1. 已知F ,F是双曲线片-y2 = 1的左、右焦点,p、q为右支上的两点，直线PQ过F，且倾斜角为a，则1 2 2 2PFJ + QfJ-Ipq| 的值为（）A 4迈 B 8C 22D随a的大小变化答案：A解析：用双曲线定义列方程可解2. 过双曲线2x2 - y2 - 2二0的右焦点作直线l交曲线于A、B两点，若|

12、AB| = 4则这样的直线存在（）A 0条B 1条 C 2条D 3条答案：D解析：l丄x轴时的焦点弦长AB=4最短为通径，故交右半支弦长为4的直线恰有一条;过右焦点交左右两 支的符合要求的直线有两条1XX y 23. 直线y = -3x + 5与曲线亍+ 2- = 1的交点个数是 （）A 0个B 1个C 2个D 3个答案：D解析：（0, 5）点为完整双曲线和椭圆的极值点，故y=5为其切线，当直线斜率不为0时，直线必与每个曲 线交于两点x 2y 24. P为双曲线一 1上一点，F为一个焦点，以PF为直径的圆与圆x2 + y2二a2的位置关系为a 2 b211（ ）A内切 B外切 C内切或外切D无

13、公共点或相交答案：C解析：用两圆内切或外切的条件判断5. 设F ,F是双曲线- y2 =1的两个焦点，点P在双曲线上且满足ZFpF = 90，则ApFF的面积为1 2 4 1 2 1 2 （） _A 1B - C 2D 0,由1 - 2c - y = 1/ p 2 pW仔耳)件(_5罟孕,5_230,_l5), /PF，PF = 055 i 2y27.过点A (0, 2)可以作_条直线与双曲线X2=1有且只有一个公共点4答案：4解析：数形结合，两切线、两交线X2 y2过点P(4,4)且与双曲线五一$ =1只有一个交点的直线有()D4 条A1 条B2 条C3 条C解析：如图所示，满足条件的直线共

14、有3条.&已知A (3, 2), M是双曲线H： x2 _斗=1上的动点，F2是H的右焦点，求|AM| + 2|MF |的最小值及此时M3 22的坐标。解：由e = 2，则二 |AM| + |MMy29. 已知双曲线C： x2-可=1(x 1)，一条长为8的弦AB两端在C上运动，AB中点为M,则距y轴最近 的M点的坐标为。1解：2|MM | 二 |AA |+ |BB | 二(|AF| + |BF|)111 e11n |MM I 二(|AF + |BFI) 亍|AB|1 2e2e又 e 二-二 2，则 MM 2a12b2当且仅当F e AB时，取“=”，由逆径= =6 0, 0解得k的取值范围是

15、-2 k 0.k 2 - 2(II)设A、B两点的坐标分别为(x , y )、(x , y )，则由式得1 1 2 2f2kx + x =122 - k 22x - x =、22 k2 2假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F (c,0). 则由FA丄FB得：(x -c)(x -c)+ y y = 0.1 2 1 2即(x 一 c)(x 一 c) + (kx + 1)(kx +1) = 0.1 2 1 2 整理得(k 2 +1)x x + (k 一 c)(x + x ) + c 2 +1 = 0.1 21 2、禺、片把式及c = -厂代入式化间得5k 2 + 2： 6

16、k 6 = 0.解得k = - +5* 或k，斥电(一2,-/2)(舍去)16 + J6可知k = -5 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.=2的点P的轨迹是曲线E,直线y =kx(四川卷)9.已知两定点F(-72,0), F (血,0),满足条件PF2 - PF1 2 2 11 与曲线 E 交于 A、 B 两点。(I) 求k的取值范围；(II) 如果AB = 6賦且曲线E上存在点C,使OA + OB = mOC,求m的值和AABC的面积S 。本小题主要考察双曲线的定义和性质、直线与双曲线的关系、点到直线的距离等知识及解析几何的基本Cj2,o ),F C2,0 )为焦点的双曲线的左

17、支,思想、方法和综合解决问题的能力。满分14分。解：(I)由双曲线的定义可知，曲线E是以F1且 c = 2, a = 1，易知b = 1y = kx -1x 2 - y 2 = 1故曲线E的方程为x2 - y2 = 1(x 0)设A(x , y ),B(x , y )，由题意建立方程组1 1 2 2消去 y，得 G - k 2)x2 + 2kx - 2 = 0 又已知直线与双曲线左支交于两点A,B，有1 - k 2 丰 0A =(2k匕-8G-k2)0-2kx + x = 0121 - k2-2xx =01 21 - k2解得r2 k -1整理后得 28k4 - 55k2 + 25 = 0 k

18、 2=7 或k 2=4但一七：2 k 0, b0)的右焦点为F,右准线与一条渐近线交于点A,A0AF的面积为a2(Oa 2 b22为原点),则两条渐近线的夹角为( )A. 30B. 45C. 60D. 904、已知双曲线的两个焦点为F (一/5,0) , F (x/5,0) , P是此双曲线上的一点，且pf丄PF , I PF I I PF 1= 2,1 2 12 1 2则该双曲线的方程是1212A.B.C.竺 一 y2 = 14D. X2 -亍=15、已知F、F是双曲线竺一止=1(a 0,b 0)的两焦点，以线段FF为边作正三角形MF F ,若边MF的中点在1 2 a2 b21 2 1 2

19、1双曲线上，则双曲线的离心率是()A. 4 + 23B. ；3 1C. ”D.叮3 +126. 直线y=x+3与曲线二+ y2 =1的交点的个数是()4 4(A) 0 个 (B) 1 个(C) 2 个 (D) 3 个7. 若双曲线X2y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距离是.込，则a+b的值为()。(A)1(B) 1(C) 1 或1(D) 2 或一22 2 2 2x2 y2&已知点F是双曲线ab =1(a0, b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲 a2 b2线交于A、B两点，若 ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(_)A. (1,+

20、)B. (1,2)C. (1,1 + V2)D. (2,1+：2)9. 设P为双曲线心y2=1上一动点，0为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是.410. 求与圆A： (x+5) 2+y2=49和圆B： (x 5) 2+y2=1都外切的圆的圆心P的轨迹方程为11. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2, 0),右顶点为(J3,0)(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线l： y = kx +f2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且OA - OB 2 (其中O为原点).求k的 取值范围.12. 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(勺3 0).(1) 求双曲线C的方程；(2) 若直线：y=kx+m(kM0, mM0)与双曲线C交于不同的两点M、N,且线段MN的垂直平分线过点A(0,1), 求实数m的取值范围.