第二节-命题及其关系充分条件与必要条件(有答案)

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1、第二节 命题及其关系、充足条件与必要条件【考纲下载】1理解命题的概念2.理解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的互相关系3理解必要条件、充足条件与充要条件的含义1.命题的概念用语言、符号或式子体现的,可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.四种命题及其关系(）四种命题间的互相关系(2)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题,它们有相似的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系3.充足条件与必要条件(）若pq，则p是q的充足条件，q是p的必要条件.(2)若pq，则与q互为充要条件(3)若p,且/ p

2、,则p是q的既不充足也不必要条件.1.一种命题的否命题与这个命题的否认是同一种命题吗?提示:不是，一种命题的否命题是既否认该命题的条件,又否认该命题的结论,而这个命题的否认仅与否认它的结论2.“是的充足不必要条件”与“p的一种充足不必要条件是q”两者的说法相似吗?提示:两者说法不相似“p的一种充足不必要条件是”等价于“是p的充足不必要条件”,显然这与“是q的充足不必要条件”是截然不同的.(福建高考)已知集合A1，a,1,，则“a”是“AB”的（ ）A充足而不必要条件 必要而不充足条件.充足必要条件 D.既不充足也不必要条件解析:选A 当a3时,=1，AB；反之,当时,a2或3，因此“a3”是“

3、”的充足而不必要条件.2命题“若x22,则y”的逆否命题是()A.“若xy”“若xy，则x2y2” D.“若xy，则x2y2”解析：选C根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2,则xy”的逆否命题是“若xy，则22”(教材习题改编)命题“如果b24a0，则方程a2+bx+c=0（a0)有两个不相等的实根”的否命题、逆命题和逆否命题中，真命题的个数为( )A.0 B.1 C 3解析:选D原命题为真,则它的逆否命题为真,逆命题为“若方程2bx+c0(a0)有两个不相等的实根，则b24ac0”,为真命题,则它的否命题也为真.4命题“若（x）是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是

4、()A.若()是偶函数,则f(-x）是偶函数.若f()不是奇函数,则（x）不是奇函数C若f（x）是奇函数，则f(x）是奇函数若f(-）不是奇函数,则f（x)不是奇函数解析:选B原命题的否命题是既否认题设又否认结论，故“若f()是奇函数，则f(-）是奇函数”的否命题是B选项.5.下面四个条件中，使ab成立的充足而不必要的条件是()A.ab+1 Bab 2b .a3解析：选 由ab+1，且b+1，得ab；反之不成立.考点一四种命题的关系 例1()命题“若x1，则x0”的否命题是( )A若x，则x0B.若x1,则x0C.若x1,则x0 .若”的否认为“1”，“x0”的否认为“x0”，因此命题“若1，

5、则0”的否命题为：“若x,则x”.（2)由于“x，y都是偶数”的否认体现是“x,y不都是偶数”，“xy是偶数”的否认体现是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若不是偶数，则x与y不都是偶数”.答案 （1)C (2）【互动探究】试写出本例(2)中命题的逆命题和否命题,并判断其真假性解:逆命题：若x+是偶数,则，都是偶数.是假命题否命题：若，y不都是偶数,则+y不是偶数是假命题 【措施规律】判断四种命题间关系的措施(1)由原命题写出其她三种命题,核心要分清原命题的条件和结论,将条件与结论互换即得逆命题，将条件与结论同步否认即得否命题，将条件与结论互换的同步进行否认即得逆否命题.(2）原命题和逆

6、否命题、逆命题和否命题有相似的真假性,解题时注意灵活应用1.命题p：“若a，则a+b2 01且a-b”的逆否命题是()A若+b2 1且b，则若ab2 012且ab，则ab若a+b2012或a-b,则bD.若b2 012或a-b，则ab解析:选 “且”的否认是“或”,根据逆否命题的定义知,逆否命题为“若+b2 1或a-b，则a1，则21”的否命题C.命题“若x，则x2x-=0”的否命题.命题“若x20，则1”的逆否命题解析：选A中逆命题为“若x|，则xy”是真命题；B中否命题为“若x1，则1”是假命题;中否命题为“若x1,则2+x-20”是假命题;D中原命题是假命题,从而其逆否命题也为假命题.考

7、点二命题的真假判断 例（）下列命题是真命题的是（ )A若，则yB若2=1，则C若=,则D若xy,则x（)(济南模拟）在空间中,给出下列四个命题:过一点有且只有一种平面与已知直线垂直;若平面外两点到平面的距离相等，则过这两点的直线必平行于该平面;两条相交直线在同一平面内的射影必为相交直线;两个互相垂直的平面，一种平面内的任意始终线必垂直于另一平面内的无数条直线其中对的的是( )A . D自主解答 (1)取1排除B;取=-1排除；取x-2，y1排除D，故选A.(2)对于,由线面垂直的鉴定可知对的；对于，若点在平面的两侧,则过这两点的直线也许与该平面相交，故错误;对于，两条相交直线在同一平面内的射影

8、可觉得一条直线，故错误；对于，两个互相垂直的平面，一种平面内的任意一条直线必垂直于另一种平面内的无数条与交线垂直的直线，故对的综上可知，选D答案(1)A (2)【措施规律】命题的真假判断措施(1）给出一种命题,要判断它是真命题，需通过严格的推理证明；而要阐明它是假命题,只需举一反例即可.（2)由于原命题与其逆否命题为等价命题，有时可以运用这种等价性间接地证明命题的真假.给出下列命题：函数y=sin(xk)(k)不也许是偶函数；已知数列an的前n项和Snan1(a,a0),则数列an一定是等比数列；若函数f(x)的定义域是,且满足f(x)（x+2)3,则()是以4为周期的周期函数;过两条异面直线

9、外一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同步相交其中所有对的的命题有_（填对的命题的序号)解析：当k=时,y=i（xk)就是偶函数，故错；当a=1时，n=0，则an的各项都为零,不是等比数列,故错;由f(x)+f(x2)=，则f(2)+f(x+4）=，相减得(x)-(x+4)=0，即f(）f（x4),因此f(）是以4为周期的周期函数，对的;过两条异面直线外一点，有时没有一条直线能与两条异面直线都相交，故错.综上所述,对的的命题只有答案:高频考点考点三充 要 条 件 1充足条件、必要条件是每年高考的必考内容,多以选择题的形式浮现，难度不大,属于容易题2高考对充要条件的考察重要有如下三个命题角

10、度:(1)判断指定条件与结论之间的关系；()探求某结论成立的充要条件、充足不必要条件或必要不充足条件;(3）与命题的真假性相交汇命题例3（1）(北京高考)“=”是“曲线y=sn(2x+)过坐标原点”的( )A充足而不必要条件 B.必要而不充足条件C.充足必要条件 .既不充足也不必要条件（)（四川高考)设a、b都是非零向量,下列四个条件中，使成立的充足条件是( )Aa=- B.abCa=2b D.b且|a|b(3）给出下列命题:“数列an为等比数列”是“数列anan1为等比数列”的充足不必要条件;“a=2”是“函数f(x)|x-a在区间2,）上为增函数”的充要条件；“m=3”是“直线(m+3)x

11、+my-20与直线m-60互相垂直”的充要条件;设a，b,分别是ABC三个内角A，B,所对的边，若a1，b，则“A0”是“B=6”的必要不充足条件其中真命题的序号是_.自主解答 (1)当=时,=si（x）in x,则曲线y=-si2过坐标原点,因此“=”“曲线=in(2+)过坐标原点”;当时，sin(2x+2）si 2x,则曲线=sn 2x过坐标原点,因此“=”/“曲线ysin（+)过坐标原点”，因此“”是“曲线ysin(x）过坐标原点”的充足而不必要条件.(),分别是与a，b同方向的单位向量，由=，得a与的方向相似而ab时，与b的方向还也许相反.故选C.(3)对于,当数列为等比数列时,易知数

12、列ann1是等比数列,但当数列nan+为等比数列时，数列an未必是等比数列，如数列1,3,2,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列,6,2,4,8,9是等比数列,因此对的;对于,当a2时,函数f()=x|在区间，)上是增函数,因此不对的；对于,当3时,相应的两条直线互相垂直,反之，这两条直线垂直时,不一定有m3,也也许m.因此不对的;对于,由题意得,若B=60，则sin A=，注意到ba，故=，反之,当0时，有sinB=，由于ba，因此B60或120,因此对的.综上所述,真命题的序号是.答案 ()A （2）C (3)充要条件问题的常用类型及解题方略(1)判断指定条件与结论之间的关系解决此

13、类问题应分三步:拟定条件是什么,结论是什么；尝试从条件推结论，从结论推条件;拟定条件和结论是什么关系.（2）探究某结论成立的充要、充足、必要条件解答此类题目，可先从结论出发，求出使结论成立的必要条件,然后再验证得到的必要条件与否满足充足性(3)充要条件与命题真假性的交汇问题根据命题所述的充足必要性，判断与否成立即可.1(西安模拟)如果对于任意实数x,x表达不超过的最大整数,那么“xy”是“|x-y|1成立”的( ）充足不必要条件 B.必要不充足条件C充要条件 .既不充足也不必要条件解析:选A 若x=y,则|-|1；反之，若|-y|,若p是q的充足不必要条件,则实数的取值范畴是(）A(2,1 B

14、.-2，1 -3,1 D.2，)解析：选A 不等式1等价于,即0,解得x或x0可以化为（-1)(x+),当1时,解得x或x1时,不等式（x-1)（a）0的解集是(，1)(-,+),此时-a2,即2-.综上可知a的取值范畴为(-2，-1.3设N*，一元二次方程-x=0有整数根的充要条件是n=_.解析：一元二次方程x-xn0的根为x2,由于x是整数,即2为整数,因此为整数,且n，又由于n*，取n1,2，3,4,验证可知n3,4符合题意，因此n3,4时可以推出一元二次方程x24xn0有整数根.答案：3或课堂归纳通法领悟个区别“是B的充足不必要条件”与“A的充足不 必要条件是B”的区别“A是B的充足不

15、必要条件”中,是条件,B是结论；“A的充足不必要条件是”中,B是条件，A是结论在进行充足、必要条件的判断中,要注意这两种说法的区别2条规律四种命题间关系的两条规律(）逆命题与否命题互为逆否命题；互为逆否命题的两个命题同真假 （2)当判断一种命题的真假比较困难时,可转化为判断它的逆否命题的真假.同步要关注“特例法”的应用.种措施判断充足条件和必要条件的措施（)定义法;（2)集合法;()等价转化法.措施博览(一)三法破解充要条件问题1定义法定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题“若，则q”与“若q，则”的判断,根据两个命题与否对的，来拟定p与q之间的充要关系典例设0,则“xsn2x”是“xs x

16、”的( ）A充要条件 .充足不必要条件C必要不充足条件 D既不充足也不必要条件解题指引 由0x可知0i x1,分别判断命题“若xsn2x，则sn x1”与“若xsinx1，则xin2x1”的真假即可.解析 由于0，因此0sn 1,不等式xsin1两边同乘six，可得xi2xsn x,因此有sn2xinx1.即xsi x1xsinx;不等式si2x1两边同除以sin x，可得xn x1，故sin x1不一定成立,即i2x1/ sin x综上,可知“xsi2x”是“xn 1”的必要不充足条件.答案C点评判断p、q之间的关系，只需判断两个命题:“若p，则q”和：“若，则p”的真假.(1）若pq，则p

17、是q的充足条件;(2)若p,则p是的必要条件;(3)若p且qp,则是q的充要条件；(4)若q且qp，则p是q的充足不必要条件；(5)若p且qp,则p是q的必要不充足条件;()若p/ q且q p，则p是的既不充足也不必要条件.集合法集合法就是运用满足两个条件的参数取值所构成的集合之间的关系来判断充要关系的措施.重要解决两个相似的条件难以进行辨别或判断的问题典例2若A：og2a1,B:的二次方程(1）x-2=的一种根不小于零,另一根不不小于零，则A是B的()A.充要条件 B充足不必要条件C.必要不充足条件 D既不充足也不必要条件解题指引分别求出使A、B成立的参数的取值所构成的集合M和N,然后通过集

18、合与N之间的关系来判断.解析 由lg2，解得0a，因此满足条件的参数a的取值集合为M=a|0a；而方程x(a1)xa2=0的一根不小于零，另一根不不小于零的充要条件是f（0）0,即a20,解得a2,即满足条件B的参数的取值集合为Na|a2，显然MN,因此是的充足不必要条件答案 点评运用集合间的关系判断充要条件的措施记法条件p、q相应的集合分别为A、B关系BAA BB AABA B且B A结论p是q的充足条件p是q的必要条件p是q的充足不必要条件p是的必要不充足条件p是q的充要条件p是的既不充足也不必要条件3.等价转化法等价转化法就是在判断具有逻辑联结词“否”的有关条件之间的充要关系时，根据原命

19、题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简朴的两个条件之间的关系进行判断典例3已知条件p：,条件q:x2-xa2a，且q的一种充足不必要条件是p,则a的取值范畴是_解题指引“q的一种充足不必要条件是p”等价于“p是q的一种必要不充足条件”解析 由-1,得-x.由x2aa,得(x-a)x（a-1)1a,即时，不等式的解为1-axa；当a-，即时，不等式的解为；当1-a,即a时,不等式的解为ax时，由x|axx|-3x,得解得a1；当a=时，由于空集是任意一种非空集合的真子集,因此满足条件；当时,由x|x1-x|3x，得解得a0且a,则“函数f()=x在上是减函数”是“函数g（x)=(2-a)在R上是

20、增函数”的( ).充足不必要条件 B.必要不充足条件.充足必要条件 D既不充足也不必要条件解析：选A“函数(x)ax在上是减函数”的充要条件是p:0a1.由于g(x)3(-a)x,而20，因此“函数(x)=(-a)x3在R上是增函数”的充要条件是2a0,即a2.又由于a0且a1,因此“函数g(x)（2-a）x3在R上是增函数”的充要条件是：0a2且1.显然pq，但q/ p，因此p是q的充足不必要条件,即“函数f(x)ax在R上是减函数”是“函数g(x）=（2-a)x3在R上是增函数”的充足不必要条件.5(南昌模拟)下列选项中对的的是( ).若x且,则ln +2在数列an中，“|n+|an”是“

21、数列n为递增数列”的必要不充足条件命题“所有素数都是奇数”的否认为“所有素数都是偶数”D.若命题p为真命题,则其否命题为假命题解析:选B 当0a时，不一定是递增数列,但若n是递增数列,则必有an0”是“in A”的充足不必要条件；“函数(x)=tan（x+)为奇函数”的充要条件是“(kZ)”其中真命题的序号是_(把真命题的序号都填上).解析：原命题的逆命题为：“若x,互为相反数,则x=”,是真命题；“若x2+60，则x2”的否命题是“若2+x60，则”，也是真命题;在B中，“30”是“sinA”的必要不充足条件,是假命题;“函数f(x)tan(x)为奇函数”的充要条件是“(kZ）”,是假命题.

22、答案:9已知：xa,：|1.若是的必要不充足条件，则实数的取值范畴为_.解析:：a,可看作集合Ax|xa,由|1|1，得x2，可看作集合B=x|0x2.又是的必要不充足条件,A,a0答案:(-,00.已知函数f（x）是(,)上的增函数，a，bR,对命题“若a+b0,则f(）(b)f(a）+f(b)”(1）写出否命题,判断其真假,并证明你的结论；(2)写出逆否命题，判断其真假，并证明你的结论.解：（1）否命题：已知函数(x)在(,+)上是增函数,a,若+b0,则f(a)+(b)f(a)(）.该命题是真命题，证明如下:ab0,a-b，-a.又(x)在(-,）上是增函数f（a）f(-b），f()f(

23、-a),f（a)f(b)f(a)f(-）,否命题为真命题.()逆否命题：已知函数f(x)在(，)上是增函数,a，bR,若f()+（)0,从而可得m.30x|x8=x|x3，因此（UA)B=|x2.对于任意的两个正数m,n,定义运算：当m，都为偶数或都为奇数时，mn；当m,n为一奇一偶时，mn.设集合A=(a,)|a6，a，N，则集合A中的元素个数为_解析:()当a,b都为偶数或都为奇数时,=6a=2，即21046+6=1+139=5712,故符合题意的点(,b)有25111个(2)当a，为一奇一偶时,=6ab36，即16312=436，故符合题意的点（a,b)有23=个.综上可知，集合A中的元素共有17个.答案:17