直线方程及圆椭圆双曲线抛物线定义性质及标准方程

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1、直线方程及圆、椭圆、双曲线、抛物线定义、性质及原则方程 归纳整顿：杜响1斜率公式 （、）. 2直线的五种方程 （)点斜式 （直线过点,且斜率为)（2）斜截式(为直线在y轴上的截距)(）两点式 ()(、 （).(4)截距式 (分别为直线的横、纵截距，)（)一般式(其中A、B不同步为0).3.两条直线的平行和垂直(1)若，;.(2）若,且A1、B1、B2都不为零,；4.夹角公式 （1).(，)(2).（,).直线时,直线1与2的夹角是.5. 到的角公式（1)（,）().（,，)直线时，直线l1到l2的角是.6四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程：通过定点的直线系方程为（除直线),其中是待定的系

2、数; 通过定点的直线系方程为，其中是待定的系数.(2)共点直线系方程:通过两直线，的交点的直线系方程为(除)，其中是待定的系数.(3）平行直线系方程:直线中当斜率k一定而变动时，表达平行直线系方程.与直线平行的直线系方程是()，是参变量.(）垂直直线系方程：与直线 （A0，0）垂直的直线系方程是，是参变量83.点到直线的距离 (点,直线:).7.或所示的平面区域设直线,则或所示的平面区域是:若，当与同号时，表达直线的上方的区域；当与异号时，表达直线的下方的区域.简言之,同号在上，异号在下若,当与同号时，表达直线的右方的区域;当与异号时，表达直线的左方的区域.简言之,同号在右，异号在左8 或所示

3、的平面区域设曲线（),则或所示的平面区域是：所示的平面区域上下两部分；所示的平面区域上下两部分. .圆的四种方程(1）圆的原则方程.（2）圆的一般方程 (0).()圆的参数方程 .(）圆的直径式方程（圆的直径的端点是、).1. 圆系方程(1）过点,的圆系方程是,其中是直线的方程,是待定的系数(2）过直线:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数.（3）过圆:与圆:的交点的圆系方程是,是待定的系数11.点与圆的位置关系点与圆的位置关系有三种若,则点在圆外;点在圆上;点在圆内.2.直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种:;其中13两圆位置关系的鉴定措施设两圆圆心分别为1,O2,半径分别为r，r2

4、，;；.圆的切线方程(1）已知圆若已知切点在圆上,则切线只有一条，其方程是 .当圆外时， 表达过两个切点的切点弦方程过圆外一点的切线方程可设为,再运用相切条件求k，这时必有两条切线,注意不要漏掉平行于y轴的切线斜率为k的切线方程可设为,再运用相切条件求b,必有两条切线.（2)已知圆.过圆上的点的切线方程为;斜率为的圆的切线方程为1 椭圆的定义:第一定义：平面内与两个定点的距离之和等于常数（不小于)的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦距。第二定义:动点到定点的距离和它到定直线的距离之比等于常数,则动点的轨迹叫做椭圆。定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线,常数叫

5、做椭圆的离心率。阐明：若常数等于，则动点轨迹是线段。若常数不不小于，则动点轨迹不存在。2. 椭圆的原则方程、图形及几何性质：原则方程中心在原点,焦点在轴上中心在原点,焦点在轴上图形范畴顶点对称轴轴、轴;长轴长，短轴长;焦点在长轴上轴、轴;长轴长,短轴长；焦点在长轴上焦点焦距离心率准线参数方程与一般方程的参数方程为的参数方程为3.焦半径公式：椭圆上的任一点和焦点连结的线段长称为焦半径。焦半径公式:椭圆焦点在轴上时,设分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上任一点，则，。推导过程:由第二定义得(为点到左准线的距离）,则;同理得。简记为:左“”右“-”。由此可见，过焦点的弦的弦长是一种仅与它的中点的横坐标有

6、关的数。;若焦点在轴上，则为。有时为了运算以便，设。双曲线的定义、方程和性质1 定义（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长(不不小于12|）的点的轨迹叫双曲线。阐明：|P1|F2|=2a(2a|FF2时无轨迹。设M是双曲线上任意一点,若点在双曲线右边一支上,则MF1|MF2|,|M|M22;若在双曲线的左支上，则|F1|1)的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线叫相应的准线。2 双曲线的方程及几何性质原则方程图 形焦 点F1（-c，),F(，0）F（0,-c)，F（0,c）顶 点A1（a,）,A(,0） A1（0，a),A(0,a)对称轴实轴2a,虚轴2b，实轴在x

7、轴上，c=a2+b2实轴2，虚轴2,实轴在y轴上，c22b2离心率准线方程 准线间距离为准线间距离为渐近线方程3 几种概念（1） 等轴双曲线:实、虚轴相等的双曲线。等轴双曲线的渐近线为yx，离心率为。（2） 共轴双曲线:以已知双曲线的实轴为虚轴,虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴双曲线,例:的共轴双曲线是。 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共轴双曲线；双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一种圆周上。抛物线原则方程与几何性质一、抛物线定义的理解平面内与一种定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点为抛物线的焦点,定直线为抛物线的准线。注： 定义可

8、归结为“一动三定”:一种动点设为;一定点（即焦点);一定直线(即准线）;一定值(即动点到定点的距离与它到定直线的距离之比1) 定义中的隐含条件:焦点不在准线上。若在上,抛物线退化为过且垂直于的一条直线 圆锥曲线的统一定义:平面内与一定点和定直线的距离之比为常数的点的轨迹,当时，表达椭圆；当时，表达双曲线;当时,表达抛物线。 抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系,在解题中常将抛物线上的动点到焦点距离(称焦半径）与动点到准线距离互化，与抛物线的定义联系起来,通过这种转化使问题简朴化。二、抛物线原则方程1.抛物线原则方程建系特点:以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴建立

9、直角坐标系，这样使原则方程不仅具有对称性,并且曲线过原点,方程不含常数项，形式更为简朴,便于应用。2.四种原则方程的联系与区别：由于选用坐标系时,该坐标轴有四种不同的方向,因此抛物线的原则方程有四种不同的形式。抛物线原则方程的四种形式为:,其中： 参数的几何意义：焦参数是焦点到准线的距离,因此恒为正值；值越大，张口越大；等于焦点到抛物线顶点的距离。原则方程的特点：方程的左边是某变量的平方项，右边是另一变量的一次项,方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相似,一次项系数的符号决定抛物线的开口方向,即对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是,若的一次项前符号为正,则开口向右，若的一次项前符号为负，

10、则开口向左;若对称轴为轴时，方程中的一次项变量就是， 当的一次项前符号为正,则开口向上，若的一次项前符号为负,则开口向下。 三、求抛物线原则方程求抛物线方程时，要根据题设条件,弄清抛物线的对称轴和开口方向，对的地选择抛物线原则方程. 待定系数法：因抛物线原则方程有四种形式，若能拟定抛物线的形式，需一种条件就能解出待定系数，因此要做到“先定位,再定值”。注：当求顶点在原点,对称轴为坐标轴的抛物线时,若不知开口方向,可设为或，这样可避免讨论。抛物线轨迹法:若由已知得抛物线是原则形式，可直接设其原则式;若不拟定与否是原则式，由已知条件可知曲线的动点的规律,一般用轨迹法求之。四、抛物线的简朴几何性质方

11、程设抛物线性质焦点范畴对称性顶点离心率准线通径有关轴对称原点注:焦点的非零坐标是一次项系数的; 对于不同形式的抛物线,位置不同,其性质也有所不同,应弄清它们的异同点，数形结合，掌握方程与有关特性量,有关性质间的相应关系，从整体上结识抛物线及其性质。五、直线与抛物线有关问题1.直线与抛物线的位置关系的判断：直线与抛物线方程联立方程组,消去或化得形如（*）的式子: 当时,(*)式方程只有一解,即直线与抛物线只有一种交点,此时直线与抛物线不是相切,而是与抛物线对称轴平行或重叠; 当时，若（*)式方程有两组不同的实数解 直线与抛物线相交; 若=0 (）式方程有两组相似的实数解直线与抛物线相切;若(*）

12、式方程无实数解 直线与抛物线相离.直线与抛物线相交的弦长问题 弦长公式：设直线交抛物线于,则或. 若直线与抛物线相交所得弦为焦点弦时,借助于焦半径公式解决:抛物线上一点的焦半径长是，抛物线上一点的焦半径长是六、抛物线焦点弦的几种常用结论设为过抛物线焦点的弦，设,直线的倾斜角为，则 ； ;觉得直径的圆与准线相切; 弦两端点与顶点所成三角形的面积; ; 焦点对、在准线上射影的张角为900；七、抛物线有关注意事项.凡波及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意运用韦达定理,采用“设而不求”或“点差法”等措施，能避免求交点坐标的复杂运算.同步在解决直线与抛物线相交问题时不能忽视这个条件。2解决与抛物线的焦半径、焦点弦有关问题时，多从抛物线的定义出发,实现抛物线上任一点到焦点的距离和这点到准线的距离之间的互相转化，并应注意焦点弦的几何性质.