人教课标版高中数学必修五《基本不等式(第1课时)》教案(1)-新版

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1、第三章 不等式3.41基本不等式第一学时一、教学目的1.核心素养通过学习基本不等式，提高学生的直观想象、数学运算与逻辑推理的能力.学习目的（1） 摸索基本不等式的证明过程;（2） 会用基本不等式解决简朴的最大（小）值问题.3.学习重点应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度摸索基本不等式的证明过程.4.学习难点用基本不等式求的最大（小）值二、教学设计(一)课前设计1预习任务1.预习课本9页内容,感性结识a+b2b这个重要不等式和等号成立的条件.2.能尝试从两方面证明基本不等式吗:（1)代数法(2)几何法.预习自测1.设a0，b0,则 2（填或)，并指出“”成立的条件.答案:2.已知aR，

2、设P=（4a)(4+),Q4，则P与Q的大小关系是 .答案:PQ3.设a0,b0,ab,=,=,M=,则P、Q、M按由小到大的顺序排列是 答案:QMP（二）课堂设计.问题探究问题探究一 什么是基本不等式?活动一 重要不等式? 观测与思考:如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一种风车，代表中国人民热情好客.你还记得是什么吗？（1）设直角三角形的长为a、b，那么正方形的边长为_；面积为_,4个直角三角形的面积和是_.(2)根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系,我们在初中的时候从这个图案中找出过一种相等关系_,化

3、简后得到勾股定理 (）根据4个直角三角形的面积和与正方形面积的大小关系，我们可得到一种如何的不等式_()4个直角三角形的面积和与正方形的面积有相等的状况吗?何时相等？图形如何变化?（5)你能给出它的证明吗?归纳小结:(重要不等式），对于任意的实数,b,均有_;当且仅当_.活动二 什么是基本不等式？（1）既然对于任意的实数,均有,如果,用分别替代中的可以得到 .()对于不等式,你能给出证明吗?归纳小结：若那么_,我们把这个不等式叫做基本不等式（又叫均值不等式)(3)如下图，是圆的直径,点是上任一点，过点作垂直于，连接、.你能运用这个图形得出基本不等式几何解释吗?基本不等式解读：基本不等式的几何意

4、义： 平均数解释: 基本不等式成立的条件是_;结论是_问题探究二 基本不等式有那些推论与重要变形？ 重点知识，运用技巧1平方平均、算术平均、几何平均与调和平均的关系：若，则有,当且仅当 取等.2.基本不等式的几种重要变形：（1),当且仅当 取等；(2)，当且仅当 取等；（3）若， 则 ，当且仅当 取等；问题探究三 运用基本不等式能解决哪些问题? 重点、难点知识活动一 运用基本不等式比较大小例1 (）已知、b(0,1),且ab,那么在ab,2，a+b2，2ab中的最大者为_.【知识点:基本不等式及取等条件】详解：措施一a、b(0,1)且a，a+b，a2b2b.又当a、b（，1)时，a,bb2，a

5、+ba2+b2.最大者为a+.措施二(特值法),取=,=,代入即得：最大者为+b.(2)设a，0,试比较,，的大小，并阐明理由【知识点：算数平均数，几何平均数，调和平均数,均方根引出的重要结论】详解:措施一 a0，b,即(当且仅当a=b时取等号).又()2， (当且仅当a=b时等号成立）而，故(当且仅当ab时等号成立).措施二 (特值法)取a，=4代入即得结论.点拨：(1)运用均值不等式及函数单调性是比较大小的常用措施；(2)代入特殊值,通过计算先估算大小关系，后比较大小更具有目的性活动二 运用基本不等式求最值 例2(1）已知a0,b0，且ab=,则当b_时,ab有最小值_.(2)已知a，b，

6、且a+2.则当a=b=_时,a有最大值_.【知识点：基本不等式】详解：(1)a+b2,当b=时，a+b有最小值2.(2)ab(),当a=b=1时，b有最大值1.点拨：运用基本不等式求最值,必须同步满足如下三个条件:各项均为正数;其和或积为常数；等号必须成立.即“一正，二定，三相等”简记:积定和最小，和定积最大.活动三运用基本不等式求最值例3 （1)已知1，求f（x)+的最小值(2)已知x0、y0,且57y=.求xy的最大值.【知识点:基本不等式;数学思想：配凑，基本不等式推论】详解：(1)x，x+10.f(x)=x+=+1-1=1.当且仅当+1=,即x0时取“=”.f(x)mi1.(2)x，y

7、，xy(5x7)（)2()当且仅当x=y=10,即x2，y=时,取“=”(xy)mx.点拨：在应用基本不等式求最值时,要把握定理成立的三个条件,就是“一正(各项都是正数),二定（积或和是定值）,三相等(等号能否成立)”求最值时,若忽视了某个条件,就会浮现错误.导致解题的失败.如：本题()已知中将x-1改为x2,则值域将变为(,+）.课堂总结1. 基本知识思维导图重要不等式：，均值不等式的应用均值不等式：，均值不等式的重要变形2重点难点突破运用均值不等式求最值时，应注意的问题(1）各项均为正数,特别是浮现对数式、三角数式等形式时,要认真考虑.(2)求和的最小值需积为定值，求积的最大值需和为定值(

8、3）保证等号成立.以上三个条件缺一不可,可概括“一正、二定、三相等”.3基本不等式推广：若, 则(当且仅当时,取等号).一般地,对于个正数,则(当且仅当时,取等号).3.随堂检测.设0ab，则下列不等式中对的的是()A B.abC.ab D.ab【知识点：基本不等式比较大小；】解：ab，aaab.a.由基本不等式知(ab),又ab,+b+，b.a0,则a有最_值2，此时a=_若a0，则a+有最_值-2，此时a=_（2)若0a1)的最小值为（)A. B3.4 D-【知识点：基本不等式,对数函数】解:x+5（x1)+62+=2+=8，当且仅当x-1即x2时取“”号,y=log2(x+5）log28

9、3.故选B.设a，b1且ab-(b）=1,那么( )A.a+b有最小值2(+1) Ba+b有最大值(+1)2C.ab有最大值+1 D.a有最小值（1)【知识点:基本不等式变形的应用】解：A5.若x,yR,且x+25，则3+9的最小值( ）0 B.6 C4 D.8【知识点：基本不等式,指数式】解:D6.已知ab1,P,(lglg),R=lg,比较P、Q、R的大小【知识点:基本不等式，函数的单调性】解：ab,lglgb0(lgalg）,故Q.又由，得gg.即lg(galgb),故RQ.从而P0，b0,且a+2b-=0,则b的最大值为（）A 1 .2 .4【知识点:基本不等式】解:4. 下列函数中，

10、最小值为4的函数是( )A.y=x B.sinx C.yexe-x D.ylog3x+lx8【知识点:基本不等式，取等条件】解：C5.已知a0，b0,则+2的最小值是( ). B.2 .4 D.5【知识点：基本不等式】解：D6.已知x0，y0,且满足+=1，则x的最大值为_ _【知识点：基本不等式】解:37.已知0，y0，lgx+lgy1,求+的最小值 【知识点:基本不等式,函数的单调性】解：2能力型 师生共研8 下列不等式a12a；a+4a；|+|2;ab.其中恒成立的是( )A B. C .【知识点：基本不等式】解:与同号,|2.9(福建)下列不等式一定成立的是(）A.l(x+)x(0)

11、B.s2(xk,k)Cx12|x|(xR) D.(xR)【知识点:基本不等式，取等条件】解:2|x|x|+10，当x0时，x+1x2-2x+1（x-)20成立；当x0时，x2-2|x1=x22x1=(x)0成立.故x2+12|（xR）一定成立.1. (四川)若实数x、满足2yxy=1，则xy的最大值是_.【知识点：基本不等式常用变形】解:2y2xy(y）2-xy=1,(xy)2x1()2+1.(x+)21.xy.当且仅当=时等号成立.1 设正数,满足+a恒成立,则a的最小值是_【知识点：基本不等式】解：探究型 多维突破12.（1)设x-,求=的最小值；(2)求函数=的最小值.【知识点：基本不等

12、式及应用】解:(1)x，x+0.设x+1=t，则x=t1于是有y=t+559,当且仅当t=,即2时取等号,此时=当x1时，函数y=获得最小值为9(2)令21,则t1，且x2t-1.y=t+1，t+2=,当且仅当,即1时，等号成立，当0时，函数获得最小值3.1.已知实数,若，且，则的最小值为（ ). B. C. D【知识点：基本不等式及应用】解：，即的最小值为自助餐1. 如果o3mlog3，那么n的最小值是( ). B8 C4 D.【知识点：基本不等式】解：2. (福建)若2x=,则x+y的取值范畴是（ )A0,2 B.-2， C.2,) .(-，-2【知识点:基本不等式】解:. 若a,且a0，

13、则下列不等式中,恒成立的是( ）a2b2ab .a+b2 C.+ D.+2【知识点:基本不等式】解:4. 已知正项等差数列an的前20项和为100，则a16的最大值为( ).10 B75 C.5 D25【知识点:基本不等式】解：D5. 若正数满足,则的最大值是()A. . C.2 D.【知识点:基本不等式】解:C6.（襄阳市一般高中高三统一调研)已知x 0， 0,且，若恒成立，则实数t的取值范畴是（ ) A.-4, .（4,2） .(0,2) D.(0,4)【知识点:基本不等式,恒成立】解：B7. 当0x2时,不等式(2x)恒成立，则实数a的取值范畴是_.【知识点:基本不等式，恒成立】解：1，

14、+)8 若,则的最小值是_;【知识点：基本不等式】解：9.(上海高考文科3）设常数0.若对一切正实数x成立，则的取值范畴为 .【知识点：基本不等式，恒成立】解：，+). 考察均值不等式的应用，.10. 已知,则的最大值是_【知识点：基本不等式,配凑思想】解： 点拔:即,而，因此11.(1)已知x-2,求函数yx+的最大值.(2)求=的最小值.【知识点：基本不等式,函数最值】解:（1)x-2,x+0.y2(x+2)+4-2（x2)+4-242-4.当且仅当2（x2）=(0，0当且仅当,即x=15时,上式等号成立.因此当x=15时，y有最小值2 000元.因此该楼房建为1层时,每平方米的平均综合费用至少