人力资源问题的数学模型

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1、人力资源问题的数学模型 【摘要】本篇论文解决的是一家大型软件公司有关人力资源分派问题以及最佳经济效益问题。在不同的目的任务下,解决软件公司特殊的人力资源配备问题，并对此做出了具体的分析，并得出了不同优化方案。本论文通过对问题进行了合理的假设,通过题目中的已知限定条件和内在限定条件,对函数进行限定及约束,建立函数模型；根据运筹学的整数线性规划知识，采用优化思想和措施对公司人力资源建立数学模型并发明更好的规划方案。 考虑到公司各岗位职工的变动有一定限制，培训有潜力员工使其升级;降等使用低潜力员工,增长自然拜别概率；解雇多余劳动力,减小公司开支。 对于问题 ： 公司的目的是尽量减少解雇职工，因此要充

2、足合理运用公司的内部职工，例如对员工进行培训、降职措施。但当浮现伤病意外等特殊事件,必要时可以额外招聘或是找临时工。 对于问题 2: 公司的政策是尽量减少支出，设立奖金福利等鼓励措施来提高员工工作积极性，进而发明更多利润，运用培训低档员工成为高档员工以及对能力欠佳的高档员工进行降等解决,从而达到公司利润最大化。而我队对于上述问题将采用单纯形法以及MTLAB软件对其求解。 【核心字】整数线性规划 优化思想和措施 人力资源规划 单纯形法一、问题的提出人力资源管理在国内还刚刚起步,为此,我们要进一步转变观念，坚持以人为本，注重人力资源开发，完善鼓励机制，坚强公司文化建设和人力资源管理队伍建设，以实现

3、从老式人事管理到现代人力资源管理的转变,适应社会和经济发展的规定。搞好人力资源开发管理工作已成为国内公司提高核心竞争力的一种重要方面。本软件公司拥有如下三类职工:系统分析员，高档程序员，程序员。在目前构成的各类员工前提下,并考虑为满足此后三年公司对各类职工的需求，见表格:类别程序员高档程序员系统分析员目前拥有2001510第一年10040100次年050第三年02020公司会浮现跳槽特殊事件等变动，会通过解雇,降等,定期招聘,雇佣临时工，额外招聘，培训的方式进行调节公司出于对公司不同目的的追求，提出如下问题： 问题一：如果公司的目的是尽量减少解雇职工。试提出相应的招聘和培训筹划。问题二:如果公

4、司的政策是尽量减少费用，这样额外的费用与上面的政策相比，可以减少？而解雇的职工将会增长多少？二、问题的分析根据市场调研得知,IT行业诸如软件公司,其人才流动性很强,导致了公司内部职工流动等现象，因此公司推出相应的招聘和培训筹划；并制定了减少费用的政策。通过对公司内部职工的流动方式的分析可以得出如下关系：公司职工的流动方式涉及三个途径：1.内部调节2.职工增长职工减少。其中内部调节方式涉及:培训、降等；增长方式有：定期招聘、额外招聘、雇用临时工;减少方式涉及:跳槽、解雇、特殊状况。只要公司可以合理的采用人力调动措施,该公司就会发展壮大，并保持其活力。 对于问题一,我们的目的是尽量减少解雇职工，但

5、是由于某些职工半途会有跳槽,因此在年初公司统筹的时候就会考虑合适的多招聘某些职工或者少辞掉某些职工,这样当人数的确不小于需要的人数时就会进行进一步解雇;另一方面，公司还可以通过降职增长职工的自然拜别率;为了应对特殊状况所浮现的职位空缺现象，公司还要采用额外招聘方案。根据公司对各类职工的需求表可以看出，人员没有大幅度的变化,可以尽量使用内部员工；额外招聘具有附加费用、效率高等特性，而临时工费用低、工作量也为正常工作员工的一半；因此第一问中不考虑临时工。对于问题二：公司的政策是尽量减少费用,不再考虑解雇员工数，即目的函数是总费用的最小值;根据规定，由于解雇职工要付相应的解雇费用，当将要 弃用某员工

6、时,尽量对其进行降等解决,使其有 5%的也许性离开公司，相称于变相解雇,且不用付解雇费从而节省了费用。由于额外招聘费用高,根据对题 目中培训费用和额外招聘附加费数据分析可知：尽量招聘下级职工,再对其进行培训从而达到公司的人员需求量，这样会减少相应费用。综合问题1, 分析:公司各岗位职工的变动有一定限制，培训有潜力员工使其升级,降等使用低潜力员工,增长自然拜别概率;对能力较差的员工进行解雇或降等使用。 因此，得出这样一种关系：下一年的总工作职工数=除去跳槽的年初的所有职工中+除去跳槽的招聘的新员工-本级培训到上一级职工的人数+下一级职工培训到本级的人数-解雇职工的人数本级降等到下一级的职工人数+

7、上级降等到本级的职工人数+临时工人数。三.模型假设1在每年的年初进行招聘、解雇、降等以及拟定培训的人数，额外招聘和临时招聘可以在任意时期进行。2.培训职工:假设被培训的人员仍旧在自己的岗位上工作，当年终的时候她们属于高一级的员工，且培训员工当年年初不再进行解雇和降等,在培训中可以进行解雇，不可以降等。3.跳槽问题：假设跳槽员工在任何时候都可以跳槽不受时间限制,且额外招聘人员属于公司正式员工,临时人员不属于公司,跳槽涉及招聘的人员。.降等解决：假设降等是为了部分员工跳槽而设的一种管理方案，且降等可以跨级降等使用使用职工，不受邻级限制，且降等使用的都是一年以上的职工没有刚晋升的职工,刚招聘的职工不

8、可以降等。5.薪酬假定:假设同级别的正式员工工资相似，且工资都在年末发放,及跳槽人员一年内没有工资相映的也不用给公司违约金。.额外招聘的职工只要通过一次年终结算就变成工龄不小于一年的正式员工。四模型设计符号阐明:a招聘人员(i1，2,此时分别表达程序员,高档程序员,系统分析员）b培训员工（只限程序员和高档程序员即b1 b)ci解雇员工数di额外招聘员工数ei招聘临时工数fi降等使用员工数(分别表达由高档程序员到程序员,系统分析员到程序员和系统分析员到高档程序员）An第 年程序员的3人数（0,1,2其中n=0时表达初始值）B第n年高档程序员的数目Cn第年系统分析员的数目i（) 第i年为公司解雇的

9、职工时解雇员工的总数M()表达第i年为公司减少的费用1、尽量减少解雇员工方案对问题分析得，公司的目的是为了尽量减少解雇员工，而减少的员工数为三类职工解雇的总和,因此目的函数为: Mn Fi（）=c2+3从公司人员调配中解到，影响到费用增减的重要因素有招聘、培训、解雇、额外招聘、降等五种。依题意,招聘新程序员、高档程序员和系统分析员最多为50，8,0。培训的程序员不能超过0人，培训高档程序员不能超过年初系统分析员职工的四分之一。公司总共可以额外招聘15人；解雇和降等使用员工数不能超过原有员工数减去培训员工数。招聘的新人和额外招聘的三类职工的跳槽概率分别为2、0%、，老员工的跳槽概率分别为10%、

10、5、5；解雇和降等的人数不能超过原有各岗位的人数,额外招聘人数等于跳槽人数和发生特殊事件人数之和。综合以上多种条件，得到在尽量减少费用状况下的约束条件为:0a500a28000b200b21/4Cnc1n1Bb20c3Cn0f1Bn-2-b20f23Cn-30d1+d2+d315A+1(Anb1-c1）(1-10)1(1-25%） f*0%f250%+1（-2%)Bn=(-b2-c2 )(-5%)2(-20%)+ -f+f*50%+d2(1-20%)n+1=(Cn-c3)(-5)+3(-10%)2-f-f3+d3(110%)2、尽量减少费用方案通过对问题的分析得知公司的目的是尽量减少费用，由于

11、无论采用哪种方案,对每类员工都要开出同种基本工资，而费用的总数=培训费+解雇费+额外招聘附加费+临时工工资。因此可以得到本方案的目的函数为:Mn Mi()b4000+b2*500c1*+2*500+c3*000+d1*1500+d*0+d3*3000+e1*000e2400+e3*400从公司人员调配中解到，影响到费用增减的重要因素有招聘、培训、解雇、额外招聘、临时工、降等六种。招聘新程序员、高档程序员和系统分析员最多为50，80，。培训的程序员不能超过20人，培训高档程序员不能超过年初系统分析员职工的四分之一。公司总共可以额外招聘1人;解雇和降等使用人数不超过原有员工数减去培训员工数；对每类

12、员工，最多可招收5名临时工。招聘的新人和额外招聘的三类职工的跳槽概率分别为25%、2%、10%，老员工的跳槽概率分别为10%、5%、5%;解雇和降等的人数不能超过原有的各岗位的人数。综合以上多种条件,得到在尽量减少费用状况下的约束条件为：0a1500280a35012b1Cnc1-b1c2b20c3n1n-c2-b20f2+3Cn-0d+d+30e150e3An+1=(n-b1-c )（10%)a1(1-5%) +f150%2*0%+d1(1-2%)Bn+=(Bn-b2-c2)(1-5%)+a2（1-20%)+b1 -f1+f3*50%d(-20%)Cn1=(n-c3)(1%)a（1-0%）+

13、-2-f+d3(-10%)五模型解法与成果问题一目的函数：M F(c)=1+c+c约束条件:a150a280030b1200b14n1An-10Bn-b20C01B-2-b20f2+3n-c301+d315An+1=(A-1-c1)（-0%)+a1(1-25)+*50+2*50%+1(15%)Bn+1=（Bn-b2c2 ）（1-5%）+a2（1-0%)+b1 -f1f*0%+2（10%)+=(C-c3）(1-%)+a3（10)b2f2-f3+d3(1-10%)单纯形法：将a1、2、a3、b1、b2、2、c、d1、d2、3、e1、e、3、2、f分别用xj(j=、21）表达。即原目的函数可化为:

14、n F（)=x6+x7+x约束条件:0500x28050420x514Cnx60x0x8n0x1x4xAx5+x7Bnx+x1n-16-x016+x17+8C90x110x9+0+x11150.75x1-0.9x40.9x6+05x15+05x10.x=A()-0.0.8x2+4.95x5-0.95x708x10-x15+.5x7B(n+)-095B.93+5.95x809x1-x17= (n+1)-.5Cn由以上条件根据mtlab得出如下成果:第一年（n=0)次年(n=1）第三年(n2)x1000000.000000000x243.07827621179.63230.05407340.195

15、3x420.000020.000020.00x5.91.2035.903x60.00020.00025000x00000.00000.0000000.0000.000.000000000.0000x101.39565.8586.511x1125627.1316023x120.0000.00000.0000x130.00000.00000000x00000.00000162.2974713.2284x16.00.0000.000x1.0000.0000000Fi(x）6.000020.0002000 由上表可知：高档程序员和系统分析员三年中都不解雇,而程序员在三年中分别要解雇60、2、25人，合

16、计15人。问题二目的函数:iM(x)b1*400b5000c1*2*5+c3*5000+d1*150+d2*0d*300+e1*5000+e*400+e3*00约束条件:0a1500200a500b00b214n0c1An-b102Bn-b0c3Cn0f1Bnc2-bf2+f3Cn-301+d2350e5025035An+1=(A1-c1）(1-0)a1(1-25%) +f*%+f2*50%+d1(1-25）Bn+=(Bn-c2 ）(1-5%)+a(1-2%)b1 1+350%d2（1-0%）Cn+1=(Cn-c3)（1-5%)+(1-1)+bf2-3+d(110%)单纯形法：将1、a2、3、

17、b1、2、1、c2、c、d1、d、d3、1、e、3、f1、f分别用x(j=、17）表达。即原目的函数可化为：mn（）=400x4+5000x5+x6+00+000+150x901+3000x115000x1+400x13400x1约束条件:0x5080x350x40051/4Cn0x60x0n0x25x135050x15x4x6nx5+x7Bnx5+x7+xBn16-1x16+x17+x8n-x9-x10x10x+x10+x11075x-0.9x409+.5x5+0.x1+075x9=A（+1)-0.9An0.82+x.95x5-.7+0.80-x15+0.17B(n+）-095n.9+x5-

18、0.x+.911x= C(n1）-.9Cn由以上条件根据malab得出如下成果:第一年（0）次年（n=1)第三年(n2)x10.00000000000x48.04078000000000x35.5550.00050.00x40.0003.0008.500050000.000012.5000x80.00002.00036.000x0.000.0000.000x80.0000.0000.000x90.0000.000.000x10.000.00.000110.00000.0000.00010.00.0000.0000130.00000000000x14.000000.000140.260.0000

19、000x16.00000.0000.000x10000.000000Mi(）100060016500根据第一问得出的成果可求出在辞员数至少的条件下,三年的支出分别为50500、53500、510,合计155000；而由第二问得出数据显示三年的支出分别为160000、15600、150，合计485500;因此与上面的政策相比,可减少1064500。同样由上表可知:高档程序员和系统分析员三年中都不解雇,而程序员在三年中分别要解雇80、7、37人，合计4人，解雇的职工将会增长39人。六模型成果的分析检查误差分析1、尽量减少解雇员工方案成果分析与检查 第一问的成果是高档程序员和系统分析员三年中都不解雇

20、,而程序员在三年中分别要解雇60、0、25人,合计0人,由此可见，公司是比较喜欢高档人员的，公司在发展的过程中,必然会经历一种由低档到高档的进化,其对人员的需求也同样会是一种由低档到高档的转变,而在其过程中公司会培养某些忠诚的职工使其成为高档职工,因此，要使辞掉的人至少,培养的人数(20,20,2,;,11,6）比较多，也表白了公司培养人员的决心;同步如果想解雇员工可以采用降等的变相手法，而其成果63,5,13人也是较为合理的人数；因此经检查,成果处在误差范畴内，处在合理水平。2、尽量减少总费用方案成果分析与检查第二问的成果是三年的支出分别为16000、5600、16500,合计4800；因此

21、与上面的政策相比,可减少06450 ;高档程序员和系统分析员三年中都不解雇，而程序员在三年中分别要解雇80、37人，合计44人，解雇的职工将会增长39人。由此可见人力资源调度在公司中的重要地位,她可以使公司减少巨额开支。80,27,7的解雇人员数目也可以体现出该公司是尽量减少不必要的员工工资开支;而培训的人数0，13，；0,10,13相对于第一问比较少,是由于培训会增大开支;以上成果也比较符合实际。而与此同步公司还可以通过某些鼓励手段来鼓励员工以提高工作效率,甚至可以自费的去培训使其变为高档技术人员,也可以减少开支。综上所述,本论文的成果与实际成果的误差在误差范畴内,而导致解雇人数和公司开支误

22、差有如下几种因素:第一，意外事故（如,伤病，交通拥堵)导致的离职;第二,本计算措施波及到mab的迭代运算,而其参数有7个之多，因此,只能采用，整数规划的第一步成果作为近似成果；第三,没有考虑每个员工的实际能力不尽相似，其工作的完毕限度也不同。七.模型的评价模型的长处:第一，对于本题的诸多条件有一种良好的梳理,思路清晰,条理，约束条件虽然比较多，但是可以对其有一种较为合适的把握；第二，本题充足运用了单纯形法进行求解，过程也比较规范，容易理解;第三，求解的成果也比较符合常理;第四,alab运用的较为纯熟。模型的缺陷：第一,由于本题是一种有关整数规划的问题，而其参数比较繁多,使用mala运算过于庞大

23、以致无法进行迭代,因此用其第一步的成果作为大体成果;第二,本题限于队员水平以及时间问题没能具体采用奖金制度在运算中体现，只是定性的进行分析；第三，本题也没有把意外事故导致的离职进行运算，也只是略作分析。改善的方向：采用更有效的整数规划措施(如,lio）、考虑意外事故以及奖励等因素。八参照文献【】马莉，数学实验与建模,北京:清华大学出版社,.【2】 Frank rR.odan Maui DWir Wiliam .Fox由叶其孝和姜启源等译,A FistCousIn Mahematical Moelin,beijin：ain Maine res，.1。【3】肖华勇，实用数学建模与软件应用，西安:西

24、安工业大学出版社，.11【】蔡锁章，数学建模原理与措施,北京：海军出版社，.6九附录计算的中间成果和必要的计算程序:第一问：=第一年,0,0,0,，1,0,0，0，0,0，0,0,；A0，0,0，1,0，0,，,0，,0,0,0;0,0,0，0,1,0，1,0,，0,0,0,0,0,0;,，0,1,，0,0,0，0,0,0,0，0，,0，0；0，,0,0,0,，0,0,0,0,0,0,0，-1,-1；0,0,0,1,0,，0,0，0，0,，0,0,1，1；0,0,0，,0,0，0,0,1,1,-1,0,0，,0,0,0；0,0,0,，,0,1,1,0，0,0,0,0;=200;5;150；0；

25、100；0；5；Ae=0.75,0，-1,0,-1,，0,0.75,0,0，,0,05,05；,0.,1,-1,0,-1,0,0,0.8，0，0,-1，0,.5；0,0,0.,0,0，0,-,0，9，0，0,0,0,0,-1;e=-8;-5;5;m0，,0,0，0，0，,0,0，0，,0，0,0,;xM=5，80,0，20,5,If,Inf,0，f,nf,Inf,If,In,Inf，Inf,Inf;x,f=lnog(f,A，B,Ae,Be,xm,M)Optimizaton emied.x =.0000 43072 0.1605 0.000 .541 0.00 .0000 0.000 .000

26、10.956 2.52 0 0 0 62.72 0.0 0.000f 0.0000n1次年f=0,0,0,0,，1,1,0,0，0,0,0,0,0,0;A=0，1,，1,0，0,0，0，0,，0,0,0,0;0，0,0,1,1,0,0,0,0,0,0,0,0,；0,0,0,0,0,0,0,0，,0,0,1,0,0;0,0,0,0，0,0,0,0,0，0，0，,0,-1,-1;0，0,0,0，1,0,0,0,0，0,0,0,0,，1,1;0,0，0，,0，0,，1,-1，1,0,0,0,0，0,0;0,0,，0,0，,0，1,，1，0，0，0,0,0,0;B00;40；140；0;100;0;1

27、5；Ae=.75，0，0,-,0，-1,0，0，0.7,0,0,0，0,0，,0，0.5;,0.8,0，1,-1,0,-1，0,.8,，0，0,-,0,0.；0,0,.9,1,0,0,-,0，0,0.,0,0，0,0，0,-1；Be=-40；67;55；x=0,，0,0，,0,0,0，0，0，0，0,0，0，0,0,0;x=50，8,5,0,，Inf,Inf,0，nf,Inf,I,If,Inf,In,nf,nf,If;x,f=liprog(,B,Ae，Be,xm,x)Optimizaon teted.x= 0 72.6211 40.7433 0.00 11.203 2.000 0000 .00

28、 00000 58589 7.913 0 0 0 4.574 0.000 0f =20.00n第三年f=0,0,0,0,1，1,0，,0,0,0,0,0,0;=0,0,0,1，0,1,0,0,0,0，0，0,0,0,;0,0,，,0,1,0,0，0,0,0,0，0,0,0;0,0,0，0,0,0,0,0,0,0,1,0，;0，0,0,0,0,0,0,0,0，0,0,0,0,-1,-;，0，0,0,0,0,0，0,0,0,0,0,，1;0,0,0,0,0，0,，0,-1，-1,-1，0,0，0,0,0,0;0,0,0,0，0,0,，0，,1,0,0,0,0,0;=5;200;200;150;0；

29、1；e05,0,，-1，0,1，0,0,0.75,0,，0,0,0,0,0.5,05;0,.8,1,-1,，-1,0,0，,0，0，-,0.;0,0，09,0,0,0,1,0,0,0.9,0,0,0,0,-1;Be=-45；60；575；m=,0,0,0,0,0,0,0，,0,0，0，0，0；xM=5,80,0，20，7.5,Inf,In,150,I,Inf,Inf，If,If，In,Inf，I,Inf；x,fliprog(f,A,B,A,B,xm,xM)Opimzatiormiat.x= 00000 9.9632 40.93 20.00 5.930 25.0000 000 0.00 000

30、6411 6.03 0 0 0 13.284 00000 0000 =50公司对各阶层职工的需求每年要达到裁人至少时各阶层的人员的安排状况第二问:第二问第一年=0，0,0,4000,00,5000,5000,15000,0,0000，5000,000,400,，0,；A=0,0，0，1,0,1,0,0，0,0,0,0，0,0,0;0,0，0，,1,1,0,0，0,0，0;0,0,，1，0，0,0，0,0,0，0，0,0,1,0,0；0,0,0,0,0,0,0,0,0,，0,0,0,-1,-1;0,0,0,0,1,0，0,0,0，,0，0,0,0,0,1；0，0,0,0,0,0，0,-,-1，-

31、1,0,0,0，,;0,0,0，0,0，0，0,0,1，,0，,0,0，0,;B=0；15；5;100;0;15;Ae=,0,0,-1，,-,0,0，0.7，,0，0，0,0,0.5,0.5;0,08,，1,-，,-1,0,8,0,0,0,0,-1,0,0.5;0，0.9,0,0,0,1，0,，0.,0,0,0,0,-1;Be=-80；25；5；m,0,0,0,0，0，0,0,0,0,0,0,0，0,0,;x50,8,5,20,25，nf，Inf,10,Inf,nf,Inf，5,f，nf,Inf；x，f=linpg（f,A，B,Ae,B，xm,xM）ptmatin termiae.x = 0.

32、000 4.0407 5.56 0.000 0000 8000 0.0000 0.000 0.000 0.0000 0.00 0 0 0 4326 0.000 0.000f =1.6000e0第二问次年:f=,0,400，00,5000,500，50,300,500，00,400,0,0；A=0，0，0，1,0,，0,0,，,0,0,0,0，0，0;0,0,0，,1,0，1,0，0，,，0,0,0;0,0,1，0,0,0,0,0,0，0,0，,1,0;0,0,0，0,0,0，0，0,0,0,0，0,0,-，-1;0,0,1,0,0,0，0，,0,0，,0，0,1,1;0，,0,0,0,0,0,

33、0,-,-，-1，0,0,0，0;0,0,0,0,0，0,0，,1,1,，0,0,0,0;B=10；140;140;0;10；;1;A=75,0，0,-1,0,1,0,0,0.75,0，0,0,0,0，0，0.5,0.5；0，0.8,0,1，-1,0,-1,0,0.8,0,0,0,-1，,0.5;,0,0.9,0,1,0,0,-，0,0,09，0,，0,0,;Be=40；67;5;m=0,0,0,0，0,0，,0,0,0,0,0，0，0，0,0,0；xM=50,50，2,25,If,In,1,In,Inf,Inf,5,5，5,nf，nf,In;x,f=linpro(,B,A,Be，x,xM)O

34、ptimiin erminadx = 000 8.0000 50.000 13000 1000027.0 .00 0000 0.00 0.00 000 0 .00 000 0.00f50e+005第二问第三年:f=,0,40，5000,5000，5000,1500,0,3000,00,4000，4000,0,0,0；A0,0,0,1,0,1,0，0，,0,0，,0,0,0,0,0;0,0,0,0,1,，0,0，0，0,0,0,0,0;0，0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1，0，;0,0,0,0,0,0,0，0,0，0,0,0,0,0,-,-;0,1,0,0，0,0,0,0,0,，1,1

35、；0,0,，0，,0,0,-1,，-，0，,，0,0,0;,0，0,，0,0,0,0,1,，,，0,，0,0;B=50;0；20;10；;15;Ae=075,0,1,0,-，0,0，.75，0,0,0,0,0,0.5,0.；0,0.8,0，,-1,-1,0,0,0.8,0,0,，-1,0,05;，0.9，0,1，,-1，0，0,0.9,0，0，0,0,;B=45;.5；x=,，0,，0,，,0，0，,0,0,0，0;xM=50,80,50,0,25,In,nf，10,I,In,If,5,5，Inf,nf，Inf;x,iprg(f,A,e,Be,xm,xM)timizto trminate.= .000 80.000 500000 8.000 12.500 6.000 .000 000 00000 0.000 .000 0 0 0.000 0.000 .0000 1.6950e+05