二次曲线弦的性质与应用(DOC)

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1、摘 要二次曲线是高中数学的重点和难点，而二次曲线的弦又是其主要内容之一，很多问题都有直接或间接涉及到。本文先分别给出二次曲线的焦点弦、中点弦和切点弦的定义，研究它们的若干性质；然后再分别探讨这三类二次曲线的弦在解题中的应用。关键词：二次曲线；焦点弦；中点弦；切点弦Abstract Quadratic curve is the emphasis and difficulty in high school mathematics, and conic string is one of the main content, a lot of problems have directly or indi

2、rectly involved. Respectively, the paper proposes the focus of the conic strings, midpoint chord and tangent point of definition, study their some properties; Then discuss these three kind of quadratic curve respectively string in the application of problem solving.Key words: quadratic curve; focus

3、chord; midpoint chord; chord of tangent point目 录1 引 言12 二次曲线弦的定义与性质12.1 焦点弦的定义与性质12.2 中点弦的定义与性质22.3 切点弦的定义与性质33 二次曲线的弦在解题中的应用43.1 焦点弦在解题中的应用43.2 中点弦在解题中的应用63.3 切点弦在解题中的应用74 结 论12致 谢12参 考 文 献12二次曲线弦的性质与应用1 引 言解析几何是中学数学课程中的重要内容，二次曲线更是中学数学平面解析几何中的经典曲线，二次曲线充分体现了解析几何的基本思想，是解析几何的基础。二次曲线的弦主要包括椭圆、双曲线和抛物线的焦点

4、弦、中点弦和切点弦，是高考中常涉及的命题和素材。不少学生对有关二次曲线弦的问题有些力不从心，甚至无从下手，因此本文将重点阐述二次曲线弦的性质与应用。2 二次曲线弦的定义与性质2.1 焦点弦的定义与性质定义2.1.1 经过二次曲线的焦点，被二次曲线截得的线段叫做二次曲线的焦点弦.性质2.1.1 如图2-1，抛物线,直线过它的焦点并于其相交，分别为这两个交点的横坐标,则.证明： 当直线的斜率存在时，直线的斜率为设过抛物线的焦点的直线方程为故联立直线方程和抛物线方程得：,把带入得并整理得：而是此方程的两个根，故当直线的斜率不存在时，此时直线的直线方程为：则故.xOABFy图2-1性质2.1.2 若是

5、二次曲线的离心率，是焦点到准线的距离，则与二次曲线的对称轴的夹角为的焦点弦的长为：.性质2.1.3 设直线是双曲线的焦点弦，为焦点，直线的倾斜角为，则当双曲线的方程为时，满足当双曲线的方程为时，满足.2.2 中点弦的定义与性质定义2.2.1 二次曲线与直线相交与，两点，若弦过定点且被点平分，那么称该弦为圆锥曲线上过点的中点弦。性质2.2.1 设,是二次曲线：上的两点，为弦的中点，则.证明：设、,则 有-得： ,即.性质2.2.2 设椭圆的弦的中点为（，则.（注：对也成立。假设点在椭圆上，则过点的切线斜率为）.性质2.2.3 设双曲线的弦的中点为（则.性质2.2.4 设抛物线的弦的中点为（则.2

6、.3 切点弦的定义与性质定义2.3.1 经过平面上一定点且向二次曲线作切线，得到两切点，,连接，则线段称为切点弦.性质2.3.1 三大曲线的切点弦方程.设点在二次曲线外,过点作其的两条切线,切点为,则切点弦所在直线方程如表2-1.表2-1 二次曲线切点弦方程方程曲线标准方程切点弦方程椭 圆双曲线抛物线性质2.3.2 设过点且向二次曲线引两条切线,为它们的切点，切线方程是:,因为点在上述两条切线上,所以满足方程（*）所以经过的直线方程是（*）.3 二次曲线的弦在解题中的应用3.1 焦点弦在解题中的应用例3.1.1 一条直线的倾斜角为，该直线与抛物线相交，且过其焦点，设该直线与抛物线交于,两点，求

7、,两点间的距离.解： ， ，故,两点间的距离是8.例3.1.2 如图所示，已知、分别是是椭圆的右焦点和上端点，连接线段，那么其延长线交于点，求的离心率？xyDFBO图3-1解：由题意可得，设椭圆的方程为：则，直线联立两方程可得，把(2)带入（1）式并整理可得：，整理得.例3.1.3 已知椭圆，一直线与椭圆交得两个交点，两交点之间的距离为8，且该直线过椭圆的左焦点，求该直线的方程.解：，准线为，其左焦点到其相应准线的距离，设所求的直线与轴的倾角为，以为极轴，左焦点为极点，建立极坐标系，根据题意得，解之得，,，于是所求的直线方程为：，即：.3.2 中点弦在解题中的应用例3.2.1 过椭圆上一点作直

8、线交椭圆于点，求中点的轨迹方程.解：设弦的中点（），弦端点（），（），建立方程组得:，相减得:，而，.化简可得 （）.例3.2.2 已知直线，抛物线，直线与抛物线相交，求线段的中点的坐标是多少.解：设线段的中点的坐标，根据题意得，由带入得：，即，其中点坐标为.例3.2.3 直线与椭圆交与，则线段的垂直平分线为，并与轴交于，证：.证明：设的中点为，由题设可知与轴不垂直， l的方程为： 令 得 .3.3 切点弦在解题中的应用例3.3.1 （08年山东高考理科数学）如图3-1所示，设抛物线方程为,为直线上任意一点，过引抛物线的切线，切点分别为,.（）求证：,三点的横坐标成等差数列；（）已知当点的坐标

9、为时，求此时抛物线的方程；（）是否存在点，使得点关于直线的对称点在抛物线上，其中，点满足（为坐标原点）.若存在，求出所有适合题意的点的坐标.图3-1（）证明：由题意设得，则所以,因此直线的方程为直线的方程为 由、得因此，即三点的横坐标成等差数列.（）解：由（）知，当时，代入、，整理得出：是方程的两个根，又,由弦长公式得:又，或，因此所求抛物线方程为或（）解：设，由题意得,那么的中点坐标设直线的方程为点在直线上，点同样在直线上，将其代入得出：，假如在抛物线上，那么或. 即或（1）当时，则，那么点符合.（2）当，对于，此时，矛盾.针对这时候直线与轴平行，直线与直线不垂直，与题设矛盾，时，不存在符合

10、题意的点.综上所述，仅存在一点适合题意.例3.3.2（08年江西高考数学理） 设点在直线上,过点作双曲线的两条切线,切点为,定点.（1）过点作直线的垂线,垂足为,试求的重心所在曲线的方程;（2）求证:三点共线.解:（1）设,垂直于直线,则, 点坐标为设的重心为,则代入双曲线方程并整理得:, 重心的轨迹方程为（2）设点,方程对求导得， ， 切线的斜率为,方程为,又 切线的方程为.同理，切线的方程为,在,上,，即点都在直线上,又也在直线上, 三点共线.例3.3.3（13年广东高考理） 已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点（）求抛物线的方程

11、；（）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（）当点在直线上移动时，求的最小值解:（）根据题意，设抛物线的方程为，且，可得出抛物线的方程是（）抛物线：，即，可求导：设，（），那么切线的斜率:，切线的方程:，得：，得：,同理，可求出切线的方程是.切线均过点，,为方程的两组解直线的方程为（）由抛物线定义可知，联立方程，消去整理得由一元二次方程根与系数的关系可得，又点在直线上，当时， 取得最小值，且最小值为过椭圆外一点引椭圆的切线，得切点弦，线段被平分。例3.3.4 过椭圆外一点引椭圆的切线，得切点弦 ，与的交点为，求的长度。解：是椭圆的切点弦，所以的直线方程为，与椭圆方程联立，解得，由切点弦得性质可

12、得.4 结 论本文通过对椭圆、双曲线、抛物线的部分弦（焦点弦、中点弦、切点弦）的定义和性质进行了研究，并结合高考题目进行应用，可以看出，二次曲线的弦具有很好的规律性，通过深入的研究二次曲线弦的性质，并经常应用于解题过程中，非常有助于提高解题的效率和准确率，加深对二次曲线的理解和认识。参 考 文 献1 梁经珑.用微积分研究圆锥曲线的性质J.陕西师专,2005(8):16-22.2 李平兰.圆锥曲线焦点弦性质的教学研究J.教学天地,2007(8)：155-157.3 方志平.圆锥曲线焦点弦的一个统一性质J.中学数学研究,2005(3)：10-14.4 夏国华.从一道高考题看过抛物线焦点弦性质的应用J.中学理科，2011(10)：12-13.5 陈新岳.椭圆中点弦的一个性质及其应用J.数学教学研究，2000(4)：28-29. 作者：胡鸿敏