正弦定理和余弦定理详解

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1、高考风向1考察正弦定理、余弦定理的推导;2.运用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考察学习要领1理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转换，和三角函数性质相结合.基本知识梳理正弦定理:=2R,其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形:(1）abc=sinAsn_Bsin_；(2)=2in_A,b=2RsiB,cRn_C;(3)nA=，sn B=,siC等形式，解决不同的三角形问题. 余弦定理:a=b2+c2bccos_A,2a2-2acco_B，ca22

2、-bcos_C余弦定理可以变形:coA,cos B=,co C. SAC=absin bcnA=csiB=（a+bc）r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算、r.4 在AC中,已知a、和时,解的状况如下:为锐角A为钝角或直角图形关系式=bsin Ai in An B；tn+aB+tanC=tanAttanC;在锐角三角形中,cssin，ossnC 根据所给条件拟定三角形的形状，重要有两种途径:（)化边为角；(2）化角为边，并常用正弦(余弦)定理实行边、角转换.例1.已知在中，,，,解三角形思路点拨:先将已知条件表达在示意图形上(如图）,可以拟定先用正弦定理求出边,然后用三角形内角和求出角，

3、最后用正弦定理求出边.解析:， ,，又,.总结升华：1 正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题；2. 数形结合将已知条件表达在示意图形上,可以清晰地看出已知与求之间的关系，从而恰本地选择解答方式举一反三:【变式1】在中,已知，,解三角形。【答案】根据三角形内角和定理，；根据正弦定理,；根据正弦定理，【变式】在中,已知，求、.【答案】，根据正弦定理,【变式3】在中，已知，求 【答案】根据正弦定理,得.例在，求:和,思路点拨： 先将已知条件表达在示意图形上（如图)，可以拟定先用正弦定理求出角,然后用三角形内角和求出角，最后用正弦定理求出边.解析：由正弦定理得：，（措施一)， 或,当

4、时,，（舍去)；当时,.（措施二）,， ， 即为锐角， ,.总结升华：.正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角,求其她边和角的问题。2 在运用正弦定理求角时，由于,因此要根据题意精确拟定角的范畴，再求出角.3.一般根据大边对大角或三角形内角和进行角的取舍类型二：余弦定理的应用：例.已知中，、,求中的最大角。思路点拨:一方面根据大边对大角拟定规定的角，然后用余弦定理求解解析:三边中最大,其所对角最大，根据余弦定理:, ， 故中的最大角是.总结升华: 1.中，若懂得三边的长度或三边的关系式,求角的大小，一般用余弦定理；2用余弦定理时，要注意公式中的边角位置关系.举一反三：【变式1】已知中, ,

5、, 求角.【答案】根据余弦定理：， 【变式2】在中,角所对的三边长分别为,若,求的各角的大小【答案】设，,根据余弦定理得：,，；同理可得;【变式3】在中,若,求角.【答案】, , 类型三:正、余弦定理的综合应用例4.在中，已知,，,求及.思路点拨: 画出示意图,由其中的边角位置关系可以先用余弦定理求边，然后继续用余弦定理或正弦定理求角.解析：由余弦定理得:=求可以运用余弦定理,也可以运用正弦定理：（法一：余弦定理) ,(法二：正弦定理) 又,，即总结升华:画出示意图，数形结合,对的选用正弦、余弦定理，可以使解答更快、更好举一反三：【变式1】在中,已知, , .求和.【答案】由余弦定理得:， 由

6、正弦定理得：，由于为钝角,则为锐角, . .【变式2】在中，已知角所对的三边长分别为,若，,，求角和【答案】根据余弦定理可得： ， ; 由正弦定理得:.其她应用题详解一、选择题(本大题共6小题，每题5分，共30分)1.如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观测站C的距离都等于a km，灯塔A在观测站的北偏东0,灯塔B在观测站C的南偏东0，则灯塔与灯塔B的距离为( ).a km B.Ca km D2 m解析运用余弦定理解AC易知CB=120,在A中，由余弦定理得ABAC+BC2-Ccs10=a22a2=32，AB=a.答案B2.张晓华同窗骑电动自行车以24 k/h的速度沿着正北方向的公路行驶,在点A

7、处望见电视塔S在电动车的北偏东3方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东5方向上,则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ）A.2 km B kmC.3 km D km解析如图,由条件知B=246,在AS中，BAS=，A6，BS=10-=1，因此B=45.由正弦定理知,因此BSsin303.答案 B轮船A和轮船B在中午1时离开海港C，两艘轮船航行方向的夹角为10,轮船A的航行速度是25海里/小时，轮船B的航行速度是15海里/小时，下午2时两船之间的距离是( )5海里 B5海里C.3海里 D.70海里解析设轮船A、B航行到下午2时时所在的位置分别是,F,则依题意有E5=50,CF12

8、30,且EC=120,70答案 D4(济南调研)为测量某塔AB的高度,在一幢与塔A相距20 m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为5,那么塔AB的高度是( )20 m B.0 C2(1) m D.30 解析如图所示,由已知可知，四边形CB为正方形，B=20 m,因此M=20 m.又在RtMD中，DM m,=0，AMDMtan30().A=AMB=20=2（m).答案 A5.(天津卷)在ABC中,AB，B，B=,则snBAC( )A. B. D.解析 由余弦定理AC2A+BC2ABCcosABC()32=,因此A=，再由正弦定理:sinBC=.答案 C6.(滁州调研)线段B外有

9、一点C，BC=60,A20km,汽车以80 km/h的速度由A向行驶,同步摩托车以 mh的速度由B向行驶，则运动开始多少h后，两车的距离最小( )A. C. D2解析 如图所示,设t 后,汽车由A行驶到D,摩托车由行驶到E，则D=0t,E50.由于B=20，因此BD200-80t,问题就是求E最小时的值由余弦定理,得DE2BD2+BE22DBEcos0=(20-80)2+ 500t2-（200-80t)50= 00-42 000t+0 000当t时，DE最小.答案 二、填空题(本大题共3小题，每题5分,共15分)7.已知，B两地的距离为10 km，B,C两地的距离为 k,现测得ABC=，则A、

10、C两地的距离为_k.解析 如右图所示，由余弦定理可得:C2100+400-2100cs10=70，AC10(km）答案 18如下图,一艘船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午:0达到处,此时又测得灯塔在它的北偏东5处，且与它相距8n ile.此船的航速是_n ile/h.解析 设航速为 n mile/h在BS中,AB，BS=,BS5,由正弦定理得：=，32(n mie/h).答案29.如图,为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C,使C在塔底的正东方向上，测得点A的仰角为60,再由点沿北偏东1方向走0米到位置D，测得BDC5，则塔AB的高是_米.

11、解析在D中 ，CD1,BDC4，BCD=15+90105,DBC30,=,BC=0(米)在RA中，a60,AB=BCtn610(米).答案0三、解答题(本大题共小题，每题10分,共30分）10.(台州模拟)某校运动会揭幕式上举办升旗典礼,旗杆正好处在坡度15的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30，第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一种水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以多大的速度匀速升旗?解在BCD中,BD=4，CD30,CD10,由正弦定理,得C=2.在RtB中，BBsin6020=3(米)，因此升旗速度=06（

12、米/秒).11.如图,A、是海面上位于东西方向相距5(3+）海里的两个观测点，现位于A点北偏东4,B点北偏西60的点有一艘轮船发出求救信号,位于B点南偏西60且与点相距20海里的C点的救援船立即前去营救,其航行速度为3海里/时，该救援船达到D点需要多长时间?解由题意,知AB(3)海里,DBA=90-6030，DAB=94545,AB=10（45+30）1.在DAB中，由正弦定理,得=,于是DB0(海里).又DBC=BAABC=30+(9060)=60,BC=(海里）,在DBC中，由余弦定理,得CD2D+BC2-2BDBosDC300+1 200202=900.得CD0(海里）,故需要的时间t=

13、1(小时)，即救援船达到点需要小时.12.（江苏卷）如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至处有两种途径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从沿索道乘缆车到,然后从B沿直线步行到C既有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿A匀速步行,速度为5m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到，在处停留mi后,再从B匀速步行到.假设缆车匀速直线运营的速度为30min，山路AC长为1 2m,经测量,osA=，s.(1)求索道A的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范畴内？解(1）在ABC中,由于co,cos,因此iA

14、,snC.从而sinBsi-(AC)si(A+C）=sinAcosC+ossinC.由正弦定理=,得AsiC=1 0(m）.因此索道B的长为 040 m.（2)假设乙出发t分钟后,甲、乙两游客距离为,此时,甲行走了(0050t)m,乙距离A处1tm,因此由余弦定理得d=（100+0)+(130t)2-2130t(1005t)=200(70t+)，因t，即0t8,故当t（mn）时，甲、乙两游客距离最短（3）由正弦定理=，得BCinA50(m).乙从出发时，甲已走了50(281)=550（m)，还需走71 m才干达到C设乙步行的速度为m/mi，由题意得-3-3,解得v,所觉得使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟,乙步行的速度应控制在，(单位:m/min)范畴内