《数学分析》(华师大二版)课本上的习题6new

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1、P.124 习题1试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点，使：（1）， （2）解 （1）因为在连续，在可导，且，所以由Rolle定理，使得。（2）因为，且不存在，故不存在一点，使2证明：（1）方程（这里c为常数）在区间内不可能有两个不同的实根；证明 设，由于方程在内没有根，所以（由P.120，例1）方程在区间内不可能有两个不同的实根。（2）方程（n为正整数）当n为偶数时至多有两个实根；当n为奇数时至多有三个实根。证明 设，于是。当n为偶数时，n-1为奇数，故方程至多有一个实根（因为幂函数严格递增），从而方程至多有两个实根；当n为奇数时，n-1为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程至多有两

2、个实根，从而方程当n为奇数时至多有三个实根。3证明：若函数和均在区间上可导，且，则在区间上和只相差一常数，即（c为某一常数）证明 令，则在区间上可导，且，由推论1，存在常数c，使得，即4证明 （1）若函数在上可导，且，则（2）若函数在上可导，且，则（3）对任意实数，都有证明 因为在上可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得（1）因为，所以，从而有（2）因为，所以（3）不妨设，正弦函数在上连续，在可导，于是，使得5应用拉格朗日中值定理证明下列不等式：（1），其中证明 设，则在上连续且可导，所以在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得，因为，所以，从而（2），其中证明

3、 设，则在上满足Lagrange中值定理的条件，于是，使得。因为，所以，从而。6确定下列函数的单调区间：（1） （2）（3） （4）解 （1），令，得当时，递增；当时，递减。（2）的定义域为。，令，得当时，递减；当时，递增。（3）的定义域为。，令，得当时，递增；当时，递减。（4）的定义域为。，故在其定义域递增。7应用函数的单调性证明下列不等式：（1），证明 设，则在连续，且。因为，故在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。（2），证明 先证，为此证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，于是，从而，。其次证明：。设，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而

4、，。（3），证明 先证：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递减，又因在连续，于是，从而，。其次证明：，。令，则在连续，且。因为，。所以在严格单调递增，又因在连续，于是，从而，。8以记由, , 三点组成的三角形面积, 试对应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理.证明 因为, 若在连续, 在可导, 则易见也在连续, 在可导, 且. 故由罗尔定理知, 存在, 使得. 而, 故.P.132习题1试问函数在区间-1, 1上能否应用柯西中值定理得到相应的结论，为什么？解 因为，故当时，不满足柯西中值定理的条件，所以在区间-1, 1上不能用柯西中值定理。2设函数在上可导，证明：存在，使得证明 设，则

5、在上连续并可导，且，由Rolle定理，存在，使得，从而3设函数在点处具有连续的二阶导数。证明：证明 因为在点处具有连续的二阶导数，所以在点的某邻域内具有一阶导数，于是由洛必达法则，分子分母分别对求导，有4设。证明存在，使得证明 设，则都在连续，在可导，且都不等于0，。由柯西中值定理，存在，使得，即5求下列不定式极限（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解 所以（8）解 因为，所以（9）解 因为 所以 （10）（11）（12）所以P.141 习题1求下列函数带佩亚诺型的麦克劳林公式（1）解 ，麦克劳林公式为：（2）到含有的项解 因为，所以。在此式的两端，用莱布尼兹公式，分别对求阶导数，得令得

6、递推公式：因为有，于是，。又因为，所以当为偶数时，从而（3）到含有的项解 ，2按例4的方法求下列极限（1）（2）（3）3求下列函数在指定点处带拉格朗日余项的泰勒公式：（1），在处；解 ；，；，；，；。所以（2），在处解 ；，；，。所以，P.146习题1求下列函数的极值（1）解 ，令得稳定点。列表讨论：0+0+0 无极值极大值为（2）解 ，令得稳定点。列表讨论：-110+0 极小值为-1极大值为1（3）解 ，令得稳定点。列表讨论：10+0 极小值为0极大值为（4）解 ，令得稳定点。由于，所以在有极大值2设（1）证明：是极小值点；（2）说明的极小值点处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件。证明

7、 （1）对任何，有，故是极小值点。（2）当时，有，作数列，则，。即在的任何右邻域内，既有数列中的点，也有数列中的点。并且，所以在内的符号是变化的，从而不满足极值的第一充分条件。又因为，所以用极值的第二充分条件也不能确定的极值。3证明：若函数在点处有（0）（0），则为的极大（小）值点。证明 设，要证为的极大值点。因为，所以由极限的保号性，存在的空心右邻域，使得，有，于是。又因为，所以由极限的保号性，存在的空心左邻域，使得，有，于是。取，从而，有，所以为的极大值点。4求下列函数在给定区间上的最大最小值：（1）解 ，令，得，（）。，。于是在处取得最大值2，在处取得最小值-10。（2），解 ，令，得。

8、因为，且。于是在处取得最大值1，无最小值。（3）解 ，令，得。因为，且，。于是在处取得最小值，无最大值。5设在区间上连续，并且在上仅有唯一的极值点。证明：若是的极大（小）值点，则必是在上的最大（小）值点。解 设是的极大值点。（用反证法）假设不是在上的最大值点。于是存在，使得。不妨设，则在闭区间上连续，从而在上有最小值点。因为是的极大值点，所以，于是是的极小值点，这与在上仅有唯一的极值点矛盾。P.155 习题按函数作图步骤，作下列函数图象（1）解 ，令，得稳定点，令，得（2）解 定义域，令，得稳定点，令得渐近线，0+0+0凸增凸减极小值0凸增拐点凹增P.158 总练习题1证明：若在有限开区间内可

9、导，且，则至少存在一点，使证明 令，则在内连续，在内可导，且。于是由Rolle定理，至少存在一点，使，而在内有，从而。填空题1 ； 2 ； 3设 则 4 ； 5若 ，则 ， 6 ， 7（1）当时， （2）当时， （3）当时， 8若函数，则 9设函数 在连续，则 10若函数 在连续，则 11设在连续，且，则 12设，则 ； 13设，则 ； 。14若函数，则 15若函数，则 16设，且存在，则 17若函数，则 18设曲线 与曲线 相切，则 19设函数在有连续导数，且，则 20设函数在 上可导，且，则 选择题1设，则 （ ）(A) 数列收敛； (B) ；(C) ； (D) 数列可能收敛，也可能发散。

10、2设，且，则与 （ ）(A) 都收敛于 (B) 都收敛但不一定收敛于(C) 可能收敛，也可能发散； (D)都发散。3设数列收敛，数列发散，则数列 （ ）(A) 收敛； (B) 发散； (C) 是无穷大； (D)可能收敛也可能发散。4设，则数列是 （ ）(A) 无穷大； (B) 无穷小； (C) 无界量； (D) 有界量。5设，则数列是 （ ）(A) 收敛列； (B) 无穷大； (C) 发散的有界列； (D) 无界但不是无穷大。6当时，是 （ ）(A) 无穷小； (B) 无穷大； (C) 有界但不是无穷小； (D) 无界但不是无穷大。7当时，为无穷大，为有界量，则是 （ ）(A) 无穷大； (B

11、) 有界量； (C) 无界但不是无穷大； (D) 以上都不对。8设，则 （ ）(A) ； (B) ； (C) ； (D) 以上都不对。9设函数在上单调，则与(A) 都存在且相等； (B) 都存在但不一定相等；(C) 有一个不存在； (D) 都不存在10设，则 （ ）(A) 存在且等于； (B) 不存在；(C) 存在； (D) 可能存在，也可能不存在。11设，则 （ ）(A) 存在且等于； (B) 存在且等于；(C) 不存在； (D) 不一定存在，若存在即为。12设，则是的 （ ）(A) 连续点； (B) 可去间断点； (C) 跳跃间断点； (D) 第二类间断点。13设在连续，且，有，则 （ ）

12、(A) ； (B) ； (C) ； (D) 14若函数在的任一闭区间上连续，则 （ ）(A) 在上连续； (B) 在上连续；(C) 在上不连续； (D) 在上可能连续，也可能不连续。15若函数在上连续，则 （ ）(A) 在有界； (B) 在无界；(C) 在的任一闭区间上有界； (D) 在有界。16若，函数在上连续，则 （ ）(A) 在上一致连续； (B) 在上连续；(C) 在上一致连续； (D) 在上不一致连续。17定义域为，值域为的连续函数 （ ）(A) 可能存在； (B) 不存在； (C) 存在且唯一； (D) 存在。18定义域为，值域为的连续函数 （ ）(A) 可能存在； (B) 不存在

13、； (C) 存在且唯一； (D) 存在。19定义域为，值域为的连续函数 （ ）(A) 可能存在； (B) 不存在； (C) 存在且唯一； (D) 存在。20设是无界数列，则 （ ）(A) ； (B) ；(C) ； (D) 存在的一个子列21设是奇函数，且，则 （ ）(A) 是的极小值点； (B) 是的极大值点；(C) 在的切线平行于轴；(D) 在的切线不平行于轴22设在存在左、右导数，则在 （ ）(A) 可导； (B) 连续； (C) 不可导； (D) 不连续。23设在可微，记，则当时， （ ）(A) 是的高阶无穷小； (B) 与是同阶无穷小；(C) 与是等价无穷小； (D) 与不能比较。24设，记，则当时， （ ）(A) 是的高阶无穷小； (B) 与是同阶无穷小；(C) 与是等价无穷小； (D) 与不能比较。25设，则方程在上 （ ）(A) 没有根； (B) 最多有两个根； (C) 有且仅有三个根； (D) 有四个根。26设在上二阶可导，且，则在上 （ ）(A) 单调增； (B) 单调减； (C) 有极大值； (D) 有极小值。27设在上可导，是的最大值点，则 （ ）(A) ； (B) ；(C) 当时，； (D) 以上都不对。77