轴对称、等腰三角形经典练习题

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1、【知识点回忆】轴对称:一种图形沿着某一条直线折叠，如果它可以与另一种图形重叠，那么就 说这两个图形有关这条直线对称。这条直线叫作对称轴，两个图形中的相应 点叫做对称点。轴对称的性质：1、有关轴对称的图形全等。 、如果两个图形成轴对称,那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。线段垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等线段垂直平分线的鉴定：到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。等腰三角形的性质 定理：等腰三角形有两边相等; 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”)。推论1:等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边,这就是说，等 腰三角形的顶角平分线、

2、底边上的中线、底边上的高互相重叠。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一种角都等于60。等腰三角形 是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；等腰三角形的鉴定定理:如果一种三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简写 成“等角对等边”。) 推论1:三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一种角等于0的等腰三角形是等边三角形。推论3:在直角三角形中，如果一种锐角等于30，那么它所对的直角边等 于斜边的一半【典型例题】 例 如图，中，,BD平分。求证：。 分析:从要证明的结论出发,在B上截取，只需证明,考虑到，想到在BC上截取，连结DE，易得，则有，只需证明，这就要从条件出发,通过

3、角度计算可以得出。 证明：在B上截取,连结D、F 在和中， 又 而 即【随堂作业】1、下图形中，不是轴对称图形的是 （ ）A有两个内角相等的三角形 . 有一种内角是直角三角形C. 有一种内角是3的直角三角形D. 有两个角分别是3和20的三角形2、下列说法中对的的是 ( ） 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等 角是轴对称图形 线段不是轴对称图形 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 . B. C. D.3、小明从镜子里看到镜子对面电子钟的像如图所示 实际时间是 ( ） A.21: B.:21 :51 D. 1：014、下列推理中,错误的是 ( ) ABC , ABC是等边三角形

4、 .ABA，且， ABC是等边三角形 A=60,=0,AB是等边三角形 DB=C，B0,AC是等边三角形5、等腰三角形两边的长分别为cm和5cm，则这个三角形的周长是 (） A9cmB12cm C9cm和12cmD在9c与cm之间6、若等腰三角形的一种外角为，则它的底角为_ .7、如图,是等边三角形,，则的度数是_8、 如图,在等腰三角形中,，点是底边上一种动点, 分别是的中点，若的最小值为2,则的周长 是( ）ABC.9、 在等边三角形A中,C是CB的平分线,过D作EBC交AC于，若 A的边长为a,则D的周长为 ( ） A.2a B .a .a10、 如图,在中，,点为的中点， 于点,则等于

5、（ C ） A.B.C.D 11、 如图711,在RtB中，B为直角,E是AC的垂直平分线，E在C 上,BE：BAC=1:5，则=_.12、 如图112，BAC,AM是BAC的平分线，过M作MA交AC于 E，作MBA,垂足为D,E=cm，则D=_13、 已知：如图10,等腰直角三角形BC中，=90，D为B中点,E、 F分别为AB、A上的点,且满足EACF.求证:E=DF.、已知:如图ABC中,ABC,AD和B是高,它们交于点H，且AE=BE，求证：H=2BD. 【课后作业】PAECBD、如图:等边三角形ABC中,BDC,D与BE相交于点P，则PE的度数是（）A45B. C0D.52、 等腰三角

6、形底边长为,一腰上的中线把其周长分为两 部分的差为3cm，则腰长为（ ） A.2cmB. 8cm.c或8cm. 以上都不对3、 如图，ABC中,B=C，A=36，D、C分别为ABC与AB 的角平分线，且相交于点F,则图中的等腰三角形有( ） A. 6个 B. 7个 C.8个 . 9个 4、如图，MN=,又A=ACD，则CM_度。5、 已知：在BC中,A=20，为A上一点,D=DC,且 ACDCD=23,则 ABC_、等边B中，点P在AB内，点Q在ABC外，且ABP=ACQ，BP=CQ，问APQ是什么形状的三角形？试阐明你的结论.ACBQP7、 已知:如图，AD平分BC，EF垂直平分D交延长线于

7、F,连结AF求证: B=CAF.ABDFEC8、 如图,ABC中,ABC=2C，A是BC边上的高,到点E，使BE=B 求证:FC一、 选择题（每题3分,共30分）下图案中是轴对称图形的是（ )2如下四个图形中对称轴条数最多的一种图形是( )3到三角形的三个顶点距离相等的点是()A三条角平分线的交点 B.三条中线的交点C三条高的交点 D三条边的垂直平分线的交点 4.已知点P在线段AB的中垂线上，点Q在线段B的中垂线外，则()AP+PQAQ.PAPBB C.PA+B=QA+QBD不能拟定 5等腰三角形的一种外角等于10，则与它不相邻的两个内角的度数分别为（）A40,40,0C0,50D50，50或

8、80，2 6.下列说法:等腰三角形的高、中线、角平分线互相重叠;等腰三角形的两腰上的中线长相等；等腰三角形的腰一定不小于其腰上的高；等腰三角形的一边长为8,一边长为6,那么它的周长是2或40.其中不对的的个数是（）1B.2.3D4 7.在BC中，BAC，B平分C，若BDC7，则的度数为（)30B.45D608在等腰三角形ABC中,ABC，中线将这个三角形的周长分为15和1两个部分,则这个等腰三角形的底边长为（)A.B1C.7或11D7或10 如图,在AB中,AD=,AC=80，则B的度数是() A.40B35.5D20 10.如图,直线l是一条河,P,Q两地相距8km，P,Q两地到l的距离分别

9、为km,5m,欲在l上的某点M处修建一种水泵站,向，两地供水,既有如下四种铺设方案，图中实线表达铺设的管道,则铺设的管道最短的是（ )二、 填空题(每题3分,共2分）11.粗圆体的中文“口”“天”等都是轴对称图形,请再写出至少三个以上这样的中文_.1.如图,ABC中，D垂直平分AC，与AC交于点E,与BC交于点,C15,BD6，则AC是_三角形.13等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为20,则其顶角的大小为_14如图,已知AC中,AB=C,A边上的垂直平分线DE交A于点,为垂足，若ABE：EB=2:，则A_ 在AB中，ABC,A=36,角平分线BE与D相交于点F,如果不添加其她线和字母，那么图中

10、档腰三角形有_个 6.如图,A是AB的中线,AD6,C=4，把ADC沿直线AD折叠后,点C落在C的位置上，那么BC的长为_ 如图,在AB中,ABAC,D是BAC的平分线,点E是AD的任一点，若BC的面积为12m,则图中阴影部分的面积是_cm.18AB是等边三角形，点是BC边上的任意一点，DEA于点E，FC于点，BNAC于点N,则D,DF，N三者的数量关系为_三、解答题（共46分）9.(分)(盐城）如图是x3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形,商定绕正方形BD的中心旋转能重叠的图案都视为同一种图案,例如图中的四幅图就视为同一种图案,则得到的不同图案共有几种？20(

11、6分）已知：如图，BCE、AD分别是以BE、AD为斜边的直角三角形,且BED，CD是等边三角形.求证:AB是等边三角形 答案：考点精练 1.825 2.0a 3. .1 5368 6.7秒或25秒 7(2,-） 8.10 9.D 1B 1B 2.B 1.7c或11cm 关系：DE=D，C=C，=D,又CB=6,E=30，又D=，E=BC,DBE 15.()或（2）已知求证ABC是等腰三角形.证:先证EBDCO.得OBO，得DC=EB.ABC=AC.即ABC是等腰三角形 1（)D是等边三角形，提示证DFBDCFE即得EF是等边三角形（2）ADBEC成立.证略【例题典型】根据等腰三角形的性质谋求规

12、律例.在AC中,B=AC,1BC,2=AC，BD与E相交于点O，如图,BOC的大小与的大小有什么关系?若1=ABC，=AC,则OC与A大小关系如何?若1ABC，2ACB，则BOC与A大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质,1=,AACE,即可得到=ABC，2=AC时,B=90+A;1=AB，2=C时，BOC20+A；1=ABC，2=AB时，BO180A 【点评】在例1图中，若E=B,A=AC.类似上题措施同样可证得BD=E.上述规律仍然存在会用等腰三角形的鉴定和性质计算与证明例.如图，等腰三角形AB中，ABAC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形周长提成1

13、和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长. 【分析】要分+AD=，C+BC6和AB+AD6,+B=15两种状况讨论运用等腰三角形的性质证线段相等例.（常德市）如图,是等边三角形BC内的一点,连结P、B、P,以B为边作PB=，且B=BP,连结CQ （1）观测并猜想P与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.（)若P:P=:4:，连结PQ，试判断PQ的形状，并阐明理由 【分析】(1)把AB绕点B顺时针旋转6即可得到CBQ运用等边三角形的性质证ABPCBQ,得到PCQ（2)连接PQ,则PBQ是等边三角形PQPB，AP=C故Q:Q:=P：PB：PC=3：4：5,PQC是直角三角形. 【点评】运用等边三角形性

14、质、鉴定、三角形全等、直角三角形的鉴定等知识点完毕此题的证明【考点精练】一、基本训练1如图1,在ABC中,B=AC，=,B为ABC的平分线,则BC=_. (1) （2） （3)2如图,是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是a，则六边形的周长是_.3如图3，一种顶角为40的等腰三角形纸片,剪去顶角后，得到一种四边形，则1+2=_度.4.(烟台市）如图4,在等腰直角ABC中，B=0,将ABC绕顶点逆时针方向旋转60后得到ABC，则BAC等于_. () (5） (6)（包头市）如图,沿A方向开山修渠,为了加快施工进度,要在小山的另一边同步施工从A上的一点B取ABD=15,D

15、=520米,45,如果要使A、C、E成始终线,那么开挖点离D的距离约为_米(精确到1米）.6(诸暨市）等腰AC的底边C=,腰长B=5cm,一动点P在底边上从点B开始向点C以0.5/秒的速度运动,当点运动到PA与腰垂直的位置时，点P运动的时间应为_.7.如图6,等边ABC,B点在坐标原点，C点的坐标为(4,)，点A有关x轴对称点的坐标为_.8.（江阴市）如图，在AC中，AB=AC,BA=20，且AE=AD,则CD=_ （7) （8） （）.(常州市)如图8，在等腰三角形AC中,A=AC，A=44,CD于，则DCB等于（ ） A.44 B.8 .4 D2210.（海南省）如图9,要在离地面5m处引

16、拉线固定电线杆,使拉线和地面成60角，若考虑既要符合设计规定，又要节省材料,则在库存的L1=.2m，L2=6.2m，L3=78m,L4=10的四种备用拉线材料中，拉线A最佳选用( )AL1 B.2 C. D.411(日照市)如图10,在BC中，BAC,D为AC边上一点,且BDBCAD则A等于（ ）.3 .36 45 D.72 (10) (1）12.(怀化市）同窗们都玩过跷跷板的游戏.如图11所示,是一跷跷板的示意图,立柱OC与地面垂直,OA=OB.当跷跷板的一头着地时，OA=25，则当跷跷板的另一头着地时,AA等于（ ） A25 .50 C.0 D3二、能力提高13如图，已知等腰三角形一腰上的

17、中线把三角形周长分为12c和15m两部分,求它的底边长.1已知如图ABC是等边三角形，BD是AC边上的高，延长BC到使CE=CD试判断DB与DE之间的大小关系，并阐明理由.5（扬州市)如图,ABC中,D、E分别是AC、A上的点，BD与CE交于点,给出下列三个条件：O=DO；BEOCD;BECD.()上述三个条件中，哪两个条件可鉴定A是等腰三角形(用序号写出所有情形）；（2）选择第（1）小题中的一种状况，证明BC是等腰三角形三、应用与探究16(江西省)如图,ABC是等边三角形，点D、E、F分别是线段AB、BC、A上的点. （1）若A=B=CF,问EF是等边三角形吗？试证明你的结论. （2）若F是等边三角形，问AD=BEF成立吗?试证明你的结论