导数及其应用(教师版)

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1、导数及其应用导数与定积分是微积分的核心概念之一，也是中学选学内容中较为重要的知识之一.由于其应用的广泛性，为我们解决有关函数、数列问题提供了更一般、更有效的方法.因此，本章知识在高考题中常在函数、数列等有关最值不等式问题中有所体现，既考查数形结合思想，分类讨论思想，也考查学生灵活运用所学知识和方法的能力.考题可能以选择题或填空题的形式来考查导数与定积分的基本运算与简单的几何意义，而以解答题的形式来综合考查学生的分析问题和解决问题的能力. 【知识网络】 【知识梳理】 一、导数的概念及导数运算 1、导数的定义： （1）平均变化率：设函数 在点 及其附近有定义，当自变量在 处有增量（可正可负），则函

2、数相应地有增量 ，这两个增量的比 ，叫做函数 在点 到 这间的平均变化率。 （2） 函数在处的导数：如果 时， 有极限，则说函数 在点 处可导，并把这个极限叫做 在点 处的导数（或瞬时变化率），记作或 ，即（3）函数的导函数（导数）：如果函数 在开区间内每一点都可导，则说 在开区间内可导，此时，对于开区间内每一个确定的值，都对应着一个确定的导数 ，这样在开区间内构成一个新的函数，我们把这个新函数叫做 在开区间内的导函数（简称导数），记作 或 ， 即 。 【认知】： （）函数 的导数 是以为自变量的函数，而函数 在点 处的导数 是一个数值； 在点 处的导数 是 的导函数 在时的函数值。 （）求函

3、数 在点 处的导数的三部曲： 求函数的增量 ；求平均变化率； 求极限。 上述三部曲可简记为一差、二比、三极限。 题型1：导数的概念例1已知s=，求t=3秒的瞬时速度。解析： =（6+=3g=29.4(米/秒)。 例2. 设函数 在点 处可导，且 ，试求（1） ；（2） ； 解析：注意到 当 ）（1） ；（2） =A+A=2A 点评： 注意 的本质，在这一定义中，自变量x在 处的增量 的形式是多种多样的，但是，不论 选择哪一种形式，相应的 也必须选择相应的形式，这种步调的一致是求值成功的保障。 练习：1. 求函数y=的导数。解析：，=-。点拨：掌握切线的斜率、 瞬时速度，它门都是一种特殊的极限，

4、为学习导数的定义奠定基础。 2. 如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则2BCAyx1O34561234 （1） ； （2） （用数字作答） 解析：(0)4，f(f(0)f(4)2，由导数定义f(1)； 当0x2时，f(x)42x，f(x)2，f(1)2. 2、导数的几何意义：函数 在点 处的导数 ，是曲线 在点 处的切线的斜率。即题型2：导数的几何意义例3（1）若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ） A B C D （2）在曲线C： 上，求斜率最小的切线所对应的切点。（2，-12） （3）曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是 。 例4. 已知曲线C：， 直线：与

5、曲线C相切于点(x00)，求直线的方程及切点坐标.解析：由l过原点，知k (x00)，又点P(x0，y0) 在曲线C上，y0x3x2x0，所以 x3x02.； 而y3x26x2，k3x6x02.又 k； 所以3x6x02x3x02，其中x00， 解得x0.； 所以y0，所以k，所以直线l的方程为yx，切点坐标为(，).变式练习：若函数yx33x4的切线经过点(2，2)，求此切线方程.解析：设切点为P(x0，y0)，则由y3x23得切线的斜率为k3x3.所以函数yx33x4在P(x0，y0)处的切线方程为yy0(3x3)(xx0).又切线经过点(2,2)，得2y0(3x3)(2x0)，而切点在曲

6、线上，得y0x3x04， 由解得x01或x02.则切线方程为y2 或 9xy200.点拨：（1）导数值对应函数在该点处的切线斜率； （2）注意区别曲线在某点的切线和过某点的切线； （3）导数的运算可以和几何图形的切线、面积联系在一起，对于较复杂问题有很好的效果。练习：1. 设函数，曲线y=g（x）在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为 4 ；2. 过原点作曲线的切线，则切点坐标为，切线的斜率为。 3. 曲线 在点处的切线与轴，直线所围成的三角形面积为 ，则= 。 3、导数的运算及导数运算法则（1）常见基本初等函数的导数（求导公式） 常数的导数： （c为常数），即常数的导数等于0。 幂函数

7、的导数： 。 正弦函数的导数： ； 余弦函数的导数： 对数函数的导数：（） ； （） 指数函数的导数：（） ； （） 。 （2）导数的运算法则：设 为可导函数，则有： ； ； 。（3）复合函数的导数： 设，复合成以x为自变量的函数 ，则复合函数 对自变量的导数，等于已知函数对中间变量 的导数 ，乘以中间变量对自变量的导数 ，即 。 【认知】： 认知复合函数的复合关系循着“由表及里”的顺序，即从外向内分析：首先由最外层的主体函数结构设出 ，由第一层中间变量 的函数结构设出 ，由第二层中间变量 的函数结构设出 ，由此一层一层分析，一直到最里层的中间变量 为自变量x的简单函数 为止。于是所给函数便“

8、分解”为若干相互联系的简单函数的链条： ； 题型3：导数的基本运算例5求下列函数的导数：（1） ； （2） ； （3） ； （4）； （5）练习：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）y=； （6）y； 点拨：为避免直接运用求导法则带来的不必要的繁杂运算，首先对函数式进行化简或化整为零，而后再实施求导运算，特别是积、商的形式可以变为代数和的形式，或根式可转化为方幂的形式时，“先变后求”的手法显然更为灵巧。例6写出由下列函数复合而成的函数并求复合函数的导数： （1）； （2） ； （3），； 解析：（1）y=cos(1+)； （2）y=ln(lnx)； （3） ； 点评：运用上述法则求复

9、合函数导数的解题思路 分解：分析所给函数的复合关系，适当选定中间变量，将所给函数“分解”为相互联系的若干简单函数； 求导：明确每一步是哪一变量对哪一变量求导之后，运用上述求导法则和基本公式求；还原：将上述求导后所得结果中的中间变量还原为自变量的函数，并作以适当化简或整理。 练习：1. 求下列复合函数的导数： （1）； （2）；（3）； （4）；2. 设，则 （ ）A. B. C. D. 导数的概念与运算一、选择题(每小题5分，共30分)1设函数f(x)(x1)2(x2)，则 等于()A6B2C0 D6解析：因为3x3，所以 6，故选D.答案：D2若曲线yx4的一条切线l与直线x4y80互相垂直

10、，则l的方程为()A4xy30 Bx4y50C4xy30 Dx4y30解析：因为l与直线x4y80互相垂直，所以l的斜率为4.因为y4x3，所以由切线l的斜率是4得4x34，所以x1，所以切点坐标为(1,1)所以切线方程为y14(x1)，即4xy30，故选A.答案：A3若函数f(x)exsinx，则此函数图象在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为()A. B0C钝角 D锐角解析：f(x)exsinxexcosxex(sinxcosx)exsin(x)f(4)e4sin(4)0.则此函数图象在点(4，f(4)处的切线的倾斜角为钝角，故选C.答案：C4函数f(x)ax3bx22x(a、bR，且ab0

11、)的图象如图1所示，且x1x20，b0Ba0，b0Ca0Da0，bx2时f(x)0，则a0，又比较系数得a(x1x2)b，又因为x1x20，故选A.答案：A5(2009全国卷)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1 B2C1 D2解析：对yln(xa)求导得y，设切点为(m，n)，则切线斜率为1，ma1，nln(ma)ln10，再由(m，n)在直线yx1上得m1，从而得a2.故选B.答案：B6函数y，x(，0)(0，)的图象可能是下图中的()解析：y，x(，0)(0，)为偶函数，y，当x(0，)时，y0；当x，)时，y0.则x(0，)时，y0，函数为增函数，同时，x(，0)

12、时，函数为减函数，又当x(0，)时，sinx1.故选C.答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)7已知曲线yx，则y|x1_.解析：y(xx)1x1，y|x1.答案：8(2009湖北高考)已知函数f(x)f()cosxsinx，则f()的值为_解析：f(x)fcosxsinx，f(x)fsinxcosx，ffsincos，f1，从而有f(1)cossin1.答案：19(2009北京高考)设f(x)是偶函数若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率为_解析：依题知f(1) 1，f(x)是偶函数，f(1) f(1)1.答案：110半径为r的圆的

13、面积S(r)r2，周长C(r)2r，若将r看作(0，)上的变量，则(r2)2r，式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数对于半径R的球，若将R看作(0，)上的变量，请你写出类似于的式子：_，式可以用语言叙述为：_.答案：(R3)4R2球的体积函数的导数等于球的表面积函数三、解答题(共50分)11(15分)求下列各函数的导数：12(15分)设有抛物线C：，通过原点O作C的切线ykx，使切点P在第一象限(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标 13(20分)设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f

14、(x)的解析式；(2)证明：函数yf(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明：曲线yf(x)上任一点处的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：(1)f(x)a，于是解得或；因a，bZ，故f(x)x.(2)已知函数y1x，y2都是奇函数，所以函数g(x)x也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形而函数f(x)x11.可知，函数g(x)的图象按向量a(1,1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1,1)为中心的中心对称图形(3)在曲线上任取一点(x0，x0)由f(x0)1知，过此点的切线方程为y1(xx0)令x1，得y，切线

15、与直线x1的交点为(1，)令yx，得x2x01，切线与直线yx的交点为(2x01,2x01)直线x1与直线yx的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为|1|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2. 二、导数的应用 1. 导数与函数的单调性: 一般地，设函数 在开区间内可导， (1)如果在内, ,则在此区间上是增函数,为函数的单调增区间； (2)如果在内, ,则在此区间上是减函数,为函数的单调减区间； （3）如果在内恒有，则在开区间上函数为常函数。 2. 利用导数求函数单调性的步骤:（）确定函数f(x)的定义域D；（）求导数；（）根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递

16、增区间；根据f(x)0，且xD，求得函数f(x)的单调递减区间.【认知】：（）利用导数讨论函数的单调区间，首先要确定函数的定义域D，并且解决问题的过程中始终立足于定义域D。若由不等式 确定的的取值集合为A，由 确定的的取值范围为B，则应用 ； （）在某区间内 （或 ）是函数 在该区间上为增（或减）函数的充分（不必要）条件。因此方程的根不一定是增、减区间的分界点，并且在对函数划分单调区间时，除去确定 的根之外，还要注意在定义域内的不连续点和不可导点，它们也可能是增、减区间的分界点。 例如：（1） 是R上的可导函数，也是R上的单调函数，但是当x=0时， 。 （2） 在点x=0处连续，点x=0处不可

17、导，但 在（-，0）内递减，在（0，+）内递增。 题型1： 利用导数求函数的单调区间及已知函数的单调区间确定参数的取值范围 例1. 已知函数，求函数的单调区间.解析: 函数f(x)x2axaln(x1)的定义域是(1，).f(x)2xa，若a0，则1，f(x)0在(1，)上恒成立，所以a0时，f(x)的增区间为(1，).若a0，则1，故当x(1，时，f(x)0；当x，)时，f(x)0，所以a0时，f(x)的减区间为(1，f(x)的增区间为，).点拨: 在定义域x1下，为了判定f(x)符号，必须讨论实数与0及1的大小，分类讨论是解本题的关键.例2. 已知函数在(0,1)上是增函数，求的取值范围.

18、解析: 因为f(x)2xa，f(x)在(0,1)上是增函数，所以2xa0在(0,1)上恒成立， 即a2x恒成立.又2x2(当且仅当x时，取等号)； 所以a2，故a的取值范围为(，2. 点拨：当f(x)在区间(a，b)上是增函数时f(x)0在(a，b)上恒成立；同样，当函数f(x)在区间(a，b)上为减函数时f(x)0在(a，b)上恒成立.然后就要根据不等式恒成立的条件来求参数的取值范围了. 练习：1. 设分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当 时， ，且 ，则不等式的解集是（ ）A.（-3，0）（3，+） B.（-3，0）（0，3） C.（-，-3）（3，+） D.（-，-3）（0，3） 2.

19、已知函数、分别是二次函数和三次函数的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示： 若，则 ； 设函数则的大小关系为 .（） （用“0).试问当取何值时，容积V有最大值? 解析： V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x. t,0x . 函数V=V(x)=4x(a-x)2的定义域为 .显然 0,得0xa，此时V(x)为增函数；由V0，得 xa，此时V（x）为减函数. 当 ，即t 时， 在x= 时，V有最大值 a3; 当 ,即0tCm Dm0在(0，)恒成立，又x0，x2ax10，即a(x)恒成立x2，当a2时，f(x)0，当a2时，f(x)0，当a2时，f(x)为增函数答案：C4函数f(x)x3a

20、x2x在(0，)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(0，) B(，)C(，0) D(，)解析：f(x)3x22ax1，f(x)在(0，)上有两个极值点，3x22ax10有两个不等正根，a.答案：D5(2010湖北荆州质检)函数f(x)ax33x1对于x1,1总有f(x)0成立，则a的取值为()A2，) B4，)C4 D2,4解析：f(x)3ax23，当a0时，f(x)minf(1)a20，a2，不合题意；当01时，f(1)a40且f10，解得a4.综上所述，a4，故选C.答案：C6(2009湖南十二校二模)f(x)是定义在(0，)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)，对任意的正数a

21、、b，若ab，则必有()Aaf(a)bf(b) Baf(a)bf(b)Caf(b)bf(a) Daf(b)bf(a)解析：构造函数g(x)，g(x)0，当g(x)0时，af(b)bf(a)；当g(x)，af(b)0得x，单调增区间为(，)由y0得0x0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是_解析：f(x)3x23a23(xa)(xa)，由f(x)0，得ax0，极小值为f(a)a(12a2)0)在x0处取得极值，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线x2y10.(1)求a，b的值；(2)若函数g(x)，讨论g(x)的单调性解：(1)因f(x)ax2bxk(k0)，故f(x

22、)2axb，又f(x)在x0处取得极值，故f(0)0，从而b0.由曲线yf(x)在(1，f(1)处的切线与直线x2y10相互垂直可知该切线斜率为2，即f(1)2，有2a2，从而a1.a1，b0.(2)由(1)知，g(x)(k0)，g(x)(k0)令g(x)0，有x22xk0(k0)当44k1时，g(x)0在R上恒成立，故函数g(x)在R上为增函数当44k0，即当k1时，有g(x)0(x1)，从而当k1时，g(x)在R上为增函数当44k0，即当0k0，故g(x)在(，1)上为增函数；当x(1，1)时，g(x)0，故g(x)在(1，)上为增函数12(15分)已知函数f(x)x3mx2nx2的图象过

23、点(1，6)，且函数g(x)f(x)6x的图象关于y轴对称(1)求m、n的值及函数yf(x)的单调区间；(2)若a0，求函数yf(x)在区间(a1，a1)内的极值解：(1)由函数f(x)图象过点(1，6)，得mn3，由f(x)x3mx2nx2，得f(x)3x22mxn，则g(x)f(x)6x3x2(2m6)xn.而g(x)图象关于y轴对称，所以0.所以m3，代入得n0.于是f(x)3x26x3x(x2)由f(x)0得x2或x0，故f(x)的单调递增区间是(，0)，(2，)；由f(x)0得0x2，故f(x)的单调递减区间是(0,2)(2)由(1)得f(x)3x(x2)，令f(x)0得x0或x2.

24、当x变化时，f(x)、f(x)的变化情况如下表：x(，0)0(0,2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值由此可得：当0a1时，f(x)在(a1，a1)内有极大值f(0)2，无极小值；当a1时，f(x)在(a1，a1)内无极值；当1a3时，f(x)在(a1，a1)内有极小值f(2)6，无极大值；当a3时，f(x)在(a1，a1)内无极值综上得：当0a1时，f(x)有极大值2，无极小值；当1a0.(1)若f(x)在x1处取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)的最小值为1，求a的取值范围解：(1)f(x)，f(x)在x1处取得极值，f(1)0，即a12a20，解得a1.(2)f(x)，x0，a0，ax10.当a2时，在区间(0，)上，f(x)0，f(x)的单调增区间为(0，)当0a0解得x，由f(x)0解得x，f(x)的单调减区间为(0，)，单调增区间为(，)(3)当a2时，由(2)知，f(x)的最小值为f(0)1；当0a2时，由(2)知，f(x)在x处取得最小值f()f(0)1，综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是2，) - 27 -