椭圆标准方程+焦点三角形面积公式(高三复习)
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1、椭圆焦点三角形面积公式的应用性质1(选填题课直接用,大题需论证): y F1 O F2 xPP在椭圆(0)中,焦点分别为、,点P是椭圆上任意一点,则.证明:记,由椭圆的第一定义得在中,由余弦定理得:配方得:即由任意三角形的面积公式得:.同理可证,在椭圆(0)中,公式仍然成立.典型例题例1 若P是椭圆上的一点,、是其焦点,且,求的面积.例2 已知P是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则的面积为( )A. B. C. D. 例3(04湖北)已知椭圆的左、右焦点分别是、,点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点,则点P到轴的距离为( )A. B. C. D. 或答案:例1 若P是椭圆
2、上的一点,、是其焦点,且,求的面积.解法一:在椭圆中,而记点P在椭圆上,由椭圆的第一定义得:在中,由余弦定理得:配方,得:从而解法二:在椭圆中,而解法一复杂繁冗,运算量大,解法二简捷明了,两个解法的优劣立现!例2 已知P是椭圆上的点,、分别是椭圆的左、右焦点,若,则的面积为( )A. B. C. D. 解:设,则,故选答案A.例3(04湖北)已知椭圆的左、右焦点分别是、,点P在椭圆上. 若P、是一个直角三角形的三个顶点,则点P到轴的距离为( )A. B. C. D. 或解:若或是直角顶点,则点P到轴的距离为半通径的长;若P是直角顶点,设点P到轴的距离为h,则,又,故答案选D.金指点睛1(略).
3、 椭圆上一点P与椭圆两个焦点、的连线互相垂直,则的面积为( ) A. 20 B. 22 C. 28 D. 242. 椭圆的左右焦点为、, P是椭圆上一点,当的面积为1时,的值为( ) A. 0 B. 1 C. 3 D. 63. 椭圆的左右焦点为、, P是椭圆上一点,当的面积最大时,的值为( ) A. 0 B. 2 C. 4 D. 4已知椭圆(1)的两个焦点为、,P为椭圆上一点,且,则的值为( )A1 B C D5. 已知椭圆的中心在原点,对称轴为坐标轴,、为焦点,点P在椭圆上,直线与倾斜角的差为,的面积是20,离心率为,求椭圆的标准方程.6已知椭圆的中心在原点,、为左右焦点,P为椭圆上一点,且
4、, 的面积是,准线方程为,求椭圆的标准方程.答案1. 解:,.故答案选D.2. 解:设, ,.故答案选A.3. 解:,设, ,当的面积最大时,为最大,这时点P为椭圆短轴的端点,.故答案选D.4 解:,又,从而.故答案选C.5. 解:设,则. ,又,即.解得:.所求椭圆的标准方程为或.6解:设,.,.又,即.或.当时,这时椭圆的标准方程为;当时,这时椭圆的标准方程为;但是,此时点P为椭圆短轴的端点时,为最大,不合题意.故所求的椭圆的标准方程为.性质二:有关角的问题已知椭圆方程为左右两焦点分别为设焦点三角形,若最大,则点P为椭圆短轴的端点。问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上一点,当为直角
5、时,点P的横坐标是_。问题2:椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上动点,当 为钝角时,点P横坐标的取值范围是_。变式1.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( ) (09江西)A B C D问题1. 椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上一点,当为直角时,点P的横坐标是_。方法1:设,则当时,点的轨迹方程为,由此可得的横坐标为方法2:利用性质一 方法3:【分析】令|F1P|=m、|PF2|=6-m, RtF1PF2中,由勾股定理可得m2+(6-m)2=20问题2:椭圆的焦点为Fl、F2,点P为其上动点,当 为钝角时,点P横坐标的取值范围是_。问题分解:方法1:设,则当时,点的轨迹方程为,由此可得的横坐标为,所以点P横坐标的取值范围是方法2:利用性质一问题2. 而此题为钝角,究竟钝角和直角有何联系?解题的关键在于点动,发现的大小与点P的位置有关,究竟有何联系,成了大家探索的焦点。变式1.已知、是椭圆的两个焦点,满足的点总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是( C ) (09江西)A B C D
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