中考数学压轴题专题02：函数问题【裴培老师搜集】

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1、2012年全国中考数学（续61套）压轴题分类解析汇编专题2：函数问题35. （2012吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上（1）求点C、D的纵坐标（2）求a、c的值（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQx轴，设P、Q两点之间的距离为d（d0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为）【答案】解：（1）点C在直线AB：y

2、=2x+42上，且C点的横坐标为16，y=216+42=10，即点C的纵坐标为10。D点在直线OB：y=x上，且D点的横坐标为4，点D的纵坐标为4。（2）由（1）知点C的坐标为（16，10），点D的坐标为（4，4），抛物线经过C、D两点，解得：。抛物线的解析式为。（3）P为线段OB上一点，纵坐标为5，P点的横坐标也为5。点Q在抛物线上，纵坐标为5，解得。当点Q的坐标为（，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为；当点Q的坐标为（ ，5），点P的坐标为（5，5），线段PQ的长为。所以线段PQ的长为或。（4）当0m4或12m16时，d随m的增大而减小。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方

3、程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。【分析】（1）点C在直线AB：y=2x+42上，将C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标。（2）抛物线经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。（4）根据PQx轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围

4、，当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即可：根据题干条件：PQx轴，可知P、Q两点的横坐标相同，抛物线y=，顶点坐标为（8，2）。联立，解得点B的坐标为（14，14）。当点Q为线段OB上时，如图所示，当0m4或12m14时，d随m的增大而减小；当点Q为线段AB上时，如图所示，当14m16时，d随m的增大而减小。综上所述，当0m4或12m16时，d随m的增大而减小。36. （2012湖北荆州12分）已知：y关于x的函数y=（k1）x22kx+k+2的图象与x轴有交点（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x

5、2求k的值；当kxk+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k1）x22kx+k+2=0=（2k）24（k1）（k+2）0，解得k2即k2且k1。综上所述，k的取值范围是k2。（2）x1x2，由（1）知k2且k1。由题意得（k1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又x1+x2=，x1x2=，2k=4，解得：k1=1，k2=2（不合题意，舍去）。所求

6、k值为1。如图，k1=1，y=2x2+2x+1=2（x）2+，且1x1，由图象知：当x=1时，y最小=3；当x=时，y最大=。y的最大值为，最小值为3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则0。（2）根据（k1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。37. （2012湖北随州12分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开

7、往甲地, 两车同时出发,匀速运动.快车离乙地的路程y1(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段AB所示；慢车离乙地的路程y2(km)与行驶的时间x(h)之间的函数关系,如图中线段OC所示。根据图象进行以下研究。解读信息：(1)甲、乙两地之间的距离为 km；(2)线段AB的解析式为 ; 线段OC的解析式为 ；问题解决：(3)设快、慢车之间的距离为y(km)，求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式，并画出函数的图象。【答案】解：（1）450。 （2）y1=450150x（0x3）；y2=75x（0x6）。（3）根据（2）得出：。由函数解析式y=450225x（0x2），当x=0，y=

8、450；由函数解析式y=225x450（2x3），当x=2，y=0；由函数解析式y=75x（3x6），当x=3，y=225，x=6，y=450。根据各端点，画出图象，其图象为折线图AEEFFC：【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用A点坐标为（0，450），可以得出甲，乙两地之间的距离。 （2）利用A点坐标（0，450），B点坐标（3，0），用待定系数法求出线段AB的解析式；利用C点坐标（6，450），用待定系数法求出线段AB的解析式：设线段AB的解析式为：y1=kx+b，根据A点坐标（0，450），B点坐标（3，0）， 得出：，解得：。线段A

9、B的解析式为：y1=450150x（0x3）。 设线段OC的解析式为：y2=ax，将（6，450）代入得a=75。线段OC的解析式为 y2=75x （0x6）。（3）利用（2）中所求得出，从而求出函数解析式，得出图象即可。38. （2012湖北孝感12分）)如图，抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)若P为线段BD上的一个动点，过点P作PMx轴于点M，求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标；(3)若点P是抛物线第一象限上的一个动点，过点P作PQAC交x轴于点Q当点P的坐标为 时，四边形PQ

10、AC是平行四边形；当点P的坐标为 时，四边形PQAC是等腰梯形(直接写出结果，不写求解过程)【答案】解：（1）抛物线yax2bxc(a0)与x轴交于点A(1，0)、B(3，0)， 可设抛物线的解析式为。 又抛物线yax2bxc(a0) 与y轴交于点C(0，3)， ，解得。 抛物线的解析式为。即。 又，抛物线顶点D的坐标为（1，4）。（2）设直线BD的解析式为， 由B（3，0），D（1，4）得，解得。 直线BD的解析式为。 点P在直线PD上，设P（p，）。 则OA=1，OC=3，OM= p，PM=。 。 ，当时，四边形PMAC的面积取得最大值为，此时点P的坐标为（）。 （3）（2，3）；（）。【

11、考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，平行四边形的判定，等腰梯形的判定，相似三角形的判定和性质勾股定理，解一元二次方程。【分析】（1）将抛物线的解析式设为交点式，可用待定系数法较简捷地求得抛物线的解析式，将其化为顶点式即可求得顶点D的坐标。 （2）求出直线BD的解析式，设定点P的坐标，由列式，根据二次函数最值原理，即可求得四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标。 （3）如图，四边形PQAC是平行四边形时，CPx轴，点P在抛物线上，点P与点C关于抛物线的对称轴x=1对称。 C(0，3)，P（2，3）。 如图，四边形PQAC是等腰梯形时， 设P（m，）

12、， 过点P作PHx轴于点H，则H（m，0）。易得ACOQNP，。OA=1，OC=3，HP=，即。AQ=AO+OHQH=。又由勾股定理得，。由四边形PQAC是等腰梯形得AQ=CP，即AQ2=CP2，整理得，解得或。当时，由知CPAQ，四边形PQAC是平行四边形，不符合条件，舍去。当时，CP与AQ不平行，符合条件。P（）。39. （2012江苏镇江9分）对于二次函数和一次函数，把称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E。现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 。（2）判断点A是否在抛物线E上；（

13、3）求n的值。【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为 。【应用1】二次函数是二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，或抛物线E经过A、B、C、D其中的一点，求出所有符合条件的t的值。【答案】解：【尝试】（1）（1，2）。 （2）点A在抛物线E上，理由如下： 将x=2代入得y=0。 点A在抛物线E上。（3）将（1，n）代入得 。【发现】A（2，0）和B（1，6）。【应用1】不是。 将x=1代入，得， 二次函数的图象不经过点B。 二次函数不是

14、二次函数和一次函数的一个“再生二次函数”。【应用2】如图，作矩形ABC1D1和ABC2D2，过点B作BKy轴于点K，过点D1作D1Gx轴于点G，过点C2作C2Hy轴于点H，过点B作BMx轴于点M，C2H与BM相交于点T。易得AM=3，BM=6，BK=1，KBC1NBA，则，即，得。C1（0，）。易得KBC1GAD1，得AG=1，GD1=。D1（3，）。易得OAD2GAD1，则，由AG=1，OA=2，GD1=得，得OD2=1。D2（0，1）。易得TBC2OD2A，得TC2=AO=2，BT=OD2=1。C2（3，5）。抛物线E总过定点A、B，符合条件的三点只可能是A、B、C或A、B、D。当抛物线经

15、过A、B、C1时，将C1（0，）代入得；当抛物线经过A、B、D1时，将D1（3，）代入得；当抛物线经过A、B、C2时，将C2（3，5）代入得；当抛物线经过A、B、D2时，将D2（0，1）代入得。满足条件的所有t值为，。【考点】新定义，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，矩形的性质。【分析】【尝试】（1）当t=2时，抛物线为，抛物线的顶点坐标为（1，2）。 （2）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。 （3）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，n）代入函数关系式即可求得n的值。【发现】由（1）可得。【应用1】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系验证即可。【应用2】

16、根据条件，作出矩形，求出各点坐标，根据新定义求出t的值。40. （2012四川泸州11分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。(1)当时，求tanADH的值；(2)当60ADB90时，求m的变化范围；(3)设BCD和ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。【答案】解：（1）)当时，。D。DH=。 在中令，即，解得。 A（1，0）。AH=。tanADH=。（2），D。 DH=。在中令，即，解得。顶点D在第一象限，。A（1，0）。AH=。 当ADB=600时，ADH=300，ta

17、nADH=。 ，解得（增根，舍去）。 当ADB=900时，ADH=450，AH=DH，即，解得（不符合，舍去）。当60ADB90时，。（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点B（，0），C（0，）的直线为，则 ，解得。 直线BC为。 当时，。 M（m，）。DM=，AB=。 SBCD=DMOB，SABC=ABOC，SBCD=SABC， 。 又顶点D在第一象限，解得。 当时 ，A（1，0），B（5，0），C（0，）。 BC=，SABC=。 设点D到BC的距离为d，SDBC=， ，解得。 答：点D到直线BC的距离为。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，锐角三角函数定义，点到直线的距离，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）求出顶点D和A的坐标，根据锐角三角函数定义即可求出tanADH的值。 （2）求出ADB=600和ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。（3）设点D到BC的距离为d，根据SDBC=和SBCD=SABC，求出BC和SABC即可求得点D到直线BC的距离d。- 12 -