分析深圳近十年常住人口

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1、分析深圳近十年常住人口 （完 成）浙江农林大学2012年度数学建模大赛参赛论文选择赛题： 【A】 【B】 【C】 【D】注：用2B铅笔将所选择的题目涂黑论文题目：深圳人口与医疗需求预测参赛队员个人信息：姓名性别学院年级学生证号签名缪家顺男集贤学院大一201124020206哀嘉彬男农学院大一201101140127徐梦婷女农学院大二201016020123深圳人口与医疗需求预测摘要：“深圳人口与医疗预测”模型通过对深圳市人口年龄分布情况、户籍和非户 籍人口数据进行深入分析。利用数学知识联系实际问题，在合理简化假设基础上，利用 matlab 作出相应的解答和处理。针对问题一，我们通过对深圳市历年

2、人口数据的分析建立矩阵。利用 Matlab 最小 二乘法散点拟合，构造一个解析函数。并利用 Logistic 增长模型，得出年份与年末常 住人口的函数模型，预测出未来十年深圳市人口数量增长趋势。人口增长趋势大致呈二次函数形式。得出未来十年人口数据为：P =10777万人,P =12384万人，2011 2015P =14329万人。运用所给数据，得出儿童、青壮年、老年在不同年份中的比例模型， 2020再通过 matlab 最小二乘法拟合散点得出函数关系。计算得出未来十年人口结构发展趋势，人口结构大致呈“S”型发展。N （儿童）=99866%, N （青壮年）=87.0193%, 2011 20

3、11N （老年）=2.9941%，N （儿童）=11 2340% , N （青壮年）=84.9727% , 2011 2020 2020N （老年）=37933%通过对年龄结构与患病率的相关，患病率和住院率相关，住院人 2020口数和床位相关的分析，建立模型，预测出未来十年全市和全区医疗床位需求。以 2011年为例：罗湖区Q =2128,福田区Q 3060,南山区Q =2534,宝安区Q =9329,龙岗1 2 3 4区Q =4622，盐田区Q =733，总体床位需求Q =22406。56总针对问题二,我们通过网络资料查阅及之前数据分析得出因医疗条件改进导致患病 率的下降比例。用已知数据求解出

4、A病占B人群的百分比，再通过已经预测的B类人群 的数量求出A病在未来的病例数。建立模型：医院应当设置的床位数=医院每天就诊人 数X平均住院天数。在求解过程中考虑因医疗条件改善导致的住院周期的降低。2020 年小儿肺炎的各医疗机构就医的实际床位需求为：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院床位个数8162312032020 年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求为：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院床位个数365340一、问题的提出深圳是我国经济发展最快的城市之一，30 多年来，卫生事业取得了长足发展，形 成了市、区及社区医疗服务系统，较好地解决了现有人口的就医问题。从结构来看，深圳人口的显

5、著特点是流动人口远远超过户籍人口，且年轻人口占绝 对优势。深圳流动人口主要是从事第二、三产业的企业一线工人和商业服务业人员。年 轻人身体强壮，发病较少，因此深圳目前人均医疗设施虽然低于全国类似城市平均水平， 但仍能满足现有人口的就医需求。然而，随着时间推移和政策的调整，深圳老年人口比 例会逐渐增加，产业结构的变化也会影响外来务工人员的数量。这些都可能导致深圳市 未来的医疗需求与现在有较大的差异。未来的医疗需求与人口结构、数量和经济发展等因素相关，合理预测能使医疗设施 建设正确匹配未来人口健康保障需求，是保证深圳社会经济可持续发展的重要条件。然 而，现有人口社会发展模型在面对深圳情况时，却难以满

6、足人口和医疗预测的要求。为 了解决此问题，请根据深圳人口发展变化态势以及全社会医疗卫生资源投入情况（医疗 设施、医护人员结构等方面）收集数据、建立针对深圳具体情况的数学模型，预测深圳 未来的人口增长和医疗需求，解决下面几个问题：问题一：分析深圳近十年常住人口、非常住人口变化特征，预测未来十年深圳市人口数量和 结构的发展趋势，以此为基础预测未来全市和各区医疗床位需求。问题二：根据深圳市人口的年龄结构和患病情况及所收集的数据，选择预测几种病（如：肺 癌及其他恶性肿瘤、心肌梗塞、脑血管病、高血压、糖尿病、小儿肺炎、分娩等）在不 同类型的医疗机构就医的床位需求。二、问题的分析问题一：对深圳未来人口及结

7、构的预测问题，重点是求未来十年人口数量及结构的 发展趋势。我们认为在短期内其年龄结构恒定。通过对所给数据的分析，分别建立年份 矩阵A和年末常住人口数矩阵B,借助matlab最小二乘法散点拟合，得出年份与年末 常住人口的函数关系式，通过二次函数的基本特征求出环境可容纳的人口最大数量 K。 通过Logistic增长模型，得出每一年的人口增长率，再运用matlab最小二乘法散点拟 合，得出人口增长率与年份之间的函数关系式，得出未来十年深圳市每年的人口增长率。 运用 Logistic 增长模型，得出深圳市未来十年的人口数量发展趋势。按照年龄划分儿童、青壮年、老年三个年龄层，求出三个年龄层的比例模型，得

8、出 关系函数。计算得出未来十年的结构发展趋势。通过如下关系：年龄结构和患病率相关， 患病率和住院率相关，住院人口数和床位有关，建立数学模型，预测得出未来十年的床位需求数。 问题二：对不同疾病在不同类型医疗机构就医床位需求预测的关键是医疗条件改进 后，各患病比率的下降比。利用问题一得到的深圳市人口数量和结构的发展趋势。选择 较简单的小儿肺炎和急性阑尾炎进行分析预测。通过资料差得医院每天就诊人数和平均 住院天数，得到医院应设置的床位数。通过上网咨询得到医疗条件改善后各病的下降比 例。求得所需床位数。三、问题假设1、假设本问题所使用的数据都是真实有效的。2、假设深圳处于一个长期稳定状态，无战争、瘟疫

9、等突发事件影响。3、假设各地区的病患无交换流动现象，只限于本地区活动。4、假设未来十年深圳市民生育观念、生育能力不发生变化。5、假设未来十年深圳市生育政策不发生变化。6、假设0-14岁为儿童，15-60为青中年，大于60岁的为年老者。7、假设同一年龄段的出生率与死亡率相等。8、假设小儿肺炎就只发生在0-9岁的青少年身上。四、问题一：1) 定义符号说明：P :深圳市总人口数iQ :各区域床位需求iA: 2000年-2010年的年份矩阵b :每年年末常住人口数ix(t)：年末常住人口数K :环境可容纳的人口最大数量r ：人口增长率a ：全市的儿童比例1a ：老年人口比例3Q ：各区医疗床位需求nW

10、 ：全区总人数Z ：住院率建模过程N ：各年龄层所占的比例Q ：全市床位需求 总B ： 2000年-2010年的年末常住人口数矩阵t ：年份E ：相对误差x ：初始时刻人数0t ：初始时刻0a ：青中年人口比例2Y ：全市医疗床位总需求总D ：各区年龄结构比例R ：全市总床位数2) 模型建立：通过所给数据，列出2000年至2010年的年份矩阵：A =0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 ,2000年至2010年年末常住人口数矩阵：B = b ( i = 1,2, ,10 )。iMat lab最小二乘法散点拟合Matlab最小二乘法基本思路：利用离散点上的数据集，构造解析函数，使原离散

11、点尽可能接近给定的值。Matalab 函数：p = polyfit(x, y, n)说明：x,y为数据点，n为多项式阶数，返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p.x 必须是单调的。多项式曲线求值函数：polyval()调用格式：y = polyval( p, x )说明：y = polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。利用matlab最小二乘法散点拟合得出年份t与年末常住人口数x(t)的函数关系式:x(t) = 1.46372+19.1144+703.315由此得出2001-2010年原始数据与拟合后所得数据的对比表：表1年份原始数据(人数：万人)拟合所得数据(人数

12、：万人)2001724.57723.89312002746.62747.39862003778.27773.83152004800.8803.19182005827.75835.47952006871.1870.69462007912.37908.83712008954.28949.90702009995.01993. 904320101037.21040.80得到折线图，如图所示:E =(X - y)2 2根据公式EVXi y/，计算得出相对误差e 1=11.497.L i=i蓝线为深圳常住人口原始数字的曲线，红线为拟合模型的曲线,通过对比我们发现， 通过拟合模型预测的值基本与实际人口吻合，

13、但还存在一定的误差。为了减少误差，我 们又从中选择了 2005年-2010年的人口数量进行拟合，得到年份x(t)与年末常住人口数 的函数关系：x(t)二-0.1421t2 + 43.8719t + 612.3229,得出20052010年原始数据与拟合后所得数据的对比表： 表2年份 20052006200720082009原始数据拟合结果年份200520062007200820092010原始 数据827.75871.1912.37954.28995.011037.2拟合 结果828.130870.438912.46954.204995.6601036.88根据上表得出折线图，如图所示：JO

14、/-2根据已=Ui - y/得出相对误差：E2=1.0551- i=1蓝线为深圳常住人口实际数字曲线，红线为拟合模型的曲线，通过对比我们发现, 拟合模型预测的值基本与实际人口几乎一致，同时通过MALTAB软件我们得出：2005-2010年的更加接近现今生活节奏，且得出的相对误差较前一个表格小，所 以运用2005年一2010年中年份与年末常住人口数的函数关系x(t) = -0.1421t2 + 43.8719t + 612.3229，得出二次函数顶点坐标为(154.37, 3998.6), 则环境可容纳的人口最大数量k 39986万人，设k =4000万人。利用Logistic增长模型dx (t

15、)(.=rx 1 一 dtIx ( to ) = x0/、K变换方程得x(t) = T V1 + K1 e-r(t-to) Ix丿 o 丿其中x为初始时刻to时的人口数，r为人口增长率，K为环境可容纳的人口最大数 量。并且计算得出每一年较前一年的人口增长率，并得出年份t与增长率r(t)的关系表:表3年份t2005-2006-2007-2008-2009-2006 年2007 年2008 年2009 年2010 年增长率r (t)0.06470. 062150.06100.059960.0588由此通过matlab最小二乘法散点拟合的方法，得出2005年一2010年中年份与人 口增长率的函数关系

16、：r(t) = -0.0001x3 + 0.0032x2 - 0.0286x + 0.1467，得出 2011-2020 年的人口增长率 r =0.0862，r =0.0915，r =0.0547。将人11 12 20口增长率,与环境可容纳的人口最大数量K代入方程式x（t）=，得K1 e -r G-tjx o 丿出2011 2020年中深圳市每年的人口数量。对于预测深圳市人口结构的发展趋势，由假设6将深圳市人口按照不同的年龄划分为三个层次：儿童阶段为014岁；青中年阶段为1559岁；老年阶段为60岁以上。P为全市总人口数，C为全市儿童总数量，C为全市青壮年总数量，C为全市老年人I123总数量，

17、则可得出全市各年龄层所占总人口数的比例：.C=。3“总CCf =才，f = -21 P 2 p总总得出2000、2005、2010年人口年龄组成如下表：表4年份2000 年2005 年2010 年儿童比例（）8.4949.0919.88中青年比例（）89.46588.49587.191老年人比例（）2. 0412.4142.929由于儿童的比例和老年人口的比例与人口发展紧密联系，因此可以重点研究儿童人口比例和老年人口比例的变化趋势，青壮年人口比例可以根据三者比例和为1得到。设儿童比例为a，青中年人口比例为a，老年人口比例为a，则123a + a + a -1123为了简化模型，我们可以认为二者

18、均为关于t的线性函数，拟合得到:a 0.1386t + 8.0462，1a 0.0888t + 2.0173,3a + a + a -1.123预测得到未来十年2011-2022年人口年龄组成表:表5年份20112012201320142015儿童（）9. 986610.125210. 263810.402410.5410青中年（%）87.019386.665186.564586.337186.1097老年（%）2. 99413.08293.17173.26053. 3493年份20162017201820192020儿童（）10. 679610. 818210. 956811.095411.

19、2340青中年（%）85. 88585.654985.427585.200184.9727老年（%）3. 43813. 52693. 61573 70453. 7933可通过计算，预测得出 2011-2020 年，儿童增长的平均比率为 0.125，老年人平 均增长比率为 0.230。因此未来十年内深圳市将呈现增长向的趋势，虽然老年人的比例与少年儿童所占比例都在增加，但是r（儿童） r（老年），老年人增长比率明显大于儿童 增长比率，因此深圳市趋于人口老龄化。3）模型分析： 在以上模型中，各因子我们均视为常量或线性变化量，但实际问题复杂的多，如人 口自然增长率并不是一个常量，它受到环境容纳能力，人

20、口自然增长与年龄结构和男女 性别比例的影响，除此之外，人口政策、户籍政策、人均寿命都会影响到人口的增长和 人口结构的变化，还有很多非客观的因素。因此在实际中可以加入考虑某些必要因子， 将模型中的相关理想值转化为相关的变化函数，并重新加入到模型中，得到新的预测模 型。在年龄结构的预测中，我们将地区和城市人口种类设置为常住人口总量，在年龄组 成上的差异性我们并没有考虑，因此模型会有一定的误差。人口预测模型在很大方面都有重要应用，研究人口变化可以作为相关重大国策制定 的参考依据。本模型在研究城市人口时可以作为比较有逻辑的数学模型，但需要加强研 究各项相关因子的变化，以使模型更加准确。假设光明新区和坪

21、山新区是在2010年时新增加的两个区。并设定Y总为全市医疗总床位总需求量，Q （n二1,2,8）为各区医疗床位需求量，不妨令nY =28 Q （n = 1,2, ,8）.总n.n = 1设D为各区年龄结构比例，W为全区总人数,R为全市总床位数，P总为全市总人数，总Z为住院率，Q为区床位需求，则：区床位需求=各区年龄结构x全区总人数x （全市总床位数/全市总人数），可得Q = D x W x Z 即 G = D x W x （R / P）.由于所给数据有限，我们只得到了 2000年和2010年的各区人数和各区中各个年龄 层的人口数量分布，运用matlab最小二乘法拟合散点，得出2000-2010

22、年各区床位需 求大致走向是呈正向发展趋势，如图所示：2000-2010年各区床位需求曲线图进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式：罗湖区：Q = 89.8t +1140,1福田区：Q = 156.6t +1337,2南山区：Q = 134t +1060,3宝安区：Q = 483.5t+4011,4龙岗区：Q = 191t + 2581,5盐田区：Q = 46.3t+224(取t =11,12,，20)6则全市总床位需求R(t) = Q + Q + + Q，以此预测出未来十年的各区和全市医疗床位1 2 6需求。4) 模型求解：运用20052010年中年份与年末常住人口数的函数关系x(t)

23、 = 0.1421t2 + 43.8719t + 612.3229得出二次函数顶点坐标为(154.37, 3998.6),得出环境可容纳的人口最大数量k 39986万人，求出2005-2010年每年人口增长率，通过matlab最小二乘法散点拟合的方法，得出2005-2010年中年份与人口增长率的函数关系：r(t)二-0.0001x3 + 0.0032x2 - 0.0286x + 0.1467 由此得出2011 -2020 年的人口增长率r = = 0.0862 , r = 0.0915，11 12r = 0.0960 , r = 0.0991 , r = 0.1002 , r = 0.0987

24、 , r = 0.0940 , r = 0.0855 ,131415161718r = 0.0726, r = 0.0547 1920通过求出K和预测得出的r ,利用Logistic增长模型X(t)=e - r (t -10)得出未来十年的年末常住人口数(万人)分别为：10777, 11183, 11586 ,11987,1238.4 , 12779, 13171, 1356, 1394.6, 14329通过所给数据求出2000年,2005年,2010年各年龄层人口比例,另设儿童比例为a，青中年人口比例为a，老年人口比例为a，则a + a + a = 11 2 3 1 2 3为了简化模型，我们

25、可以认为二者均为关于t的线性函数，拟合得到:a1=01386t+80462a = 00888t+201733a + a + a = 1123运用mat lab最小二乘法拟合散点，得出2000-2010年各区床位需求大致走向是呈 正向发展趋势。进而得出了各个区的床位需求量与年份的函数关系式：罗湖区：Q = 89.8t +11401福田区:Q = 156.6t +13372南山区：Q = 134t +10603宝安区：Q = 483.5t+40114龙岗区：Q = 191t + 2581盐田区：Q = 46.3t + 22456从而预测得出未来五年全市和各区医疗床位需求，并且列出表格: 表7201

26、1 年2012 年2013 年2014 年2015 年罗湖区20282218230723792487福田区30603216337335293686南山区25342668280229363070宝安区93299813102971078011264龙岗区46224813500451955386盐田区733800826872919光明新区16861840199020052114坪山新区11431248128913601433总床位数2523526616277982907430309由上表得到折线图,如图所示：-率山艺南1J艺亠龙囱区 亠光明新区I平山新区从图中可以明确看出各个区未来五年医疗床位需求将

27、呈增长趋势。 问题二： 根据医院的不同性质我们将其分为综合医院、儿童医院、妇幼保健院三大类。综合医院 医疗专业性强，内、外、妇、儿等专科齐全。儿童医院则是主要研究儿童的各项疾病， 以儿童为主要研究方向的医院。妇幼保健院的主要医治妇女儿童的各项疾病。1）定义符号说明：P比例因素；H一一每天就诊人数；Y一均住院天数；M A病在B医院应当设置的床位数。2）模型建立：、小儿肺炎对各医疗各机构的床位需求1、求解出小儿肺炎病占青少年（0-16 岁）人群的百分比：p = A 三 S = 32644三 103x 104 = 3.15%12、计算2020 年小儿肺炎的病例数：A 二 Px S 二 269.19x

28、 104 x 3.15% 二 8.479x 1043、医疗条件改进及外来就医影响：通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率每 10 年将降 低5%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低 6%。因此到2020年小儿肺病的实际病 例数为:A = A x （1-5% - 6%） = 7.54 x 1044、平均每天的病例数：H 二 Ay 365 沁 2065、各类医疗机构所占医治病例人数百分比：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院例数2183555735236所占比例0. 6690.1710.1606、2020 年各医疗机构平均每天的病例数：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院所占比

29、例0 6690.1710. 160每天例数137.81435. 22632.967、各医疗机构平均住院天数：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院平均天数6.36.96.318、因医疗条件改善导致的住院周期的降低： 通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进 2020 年小儿患病的住院周期 将平均降低0.5 天，因此各医疗机构的实际住院天数为：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院平均天数5.86.46.039、2020 年结果：综合医院：M = H x Y = 5.8 x 137.814 沁 800儿童医院：M = H x Y = 6.4x 35.226 怎 2271 1 1妇幼保健院：M

30、= H x Y = 6.03 x 32.96 1992 2 210、实际情况考虑：考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加 2%，因此2020年小儿肺炎 的各医疗机构就医的实际床位需求为：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院床位个数816231203、急性阑尾炎病的对各医疗各机构的床位需求1、求解2010 年急性阑尾炎病占成年人（18-39岁）人群的百分比：p = A 三 S = 10363三521.71x 104 = 0.198%（32）12、计算2020 年急性阑尾炎病的病例数：A 二 Px S 二 1150x 104 x 0.198% 二 2.27 x 104（33）3、医疗条

31、件改进及外来就医影响：通过资料查阅及第一问数据分析我们得出因医疗条件改进导致患病率每 10 年将降 低3%，而随着社会的发展外来就医人数也将降低 4%。因此到2020年急性阑尾炎病的实 际病例数为:A = A x （1-3% - 4%） = 2.11 x 104（34）4、平均每天的病例数：H 二 Ay 365 u 585、2010 年各类医疗机构所占医治病例人数百分比医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院例数100592470所占比例0.970.306、2020 年各医疗机构平均每天的病例数：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院所占比例0.970.30每天例数56307、2010 年各医疗机构平均

32、住院天数：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院平均天数7.188.908、因医疗条件改善导致的住院周期的降低： 通过网络资料查阅及之前数据分析，我们得出因医疗条件改进到 2020 年急性阑尾 炎病的住院周期将平均降低0.8天，因此各医疗机构 2020年的实际住院天数为医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院平均天数6.388.109、2020 年急性阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求：综合医院：M = H x Y = 638 x 56 沁 358（36）儿童医院：37)M = H x Y = 3 x 8.9 21 1 1妇幼保健院：M = H x Y = 0 x 0 = 02 2 238)10、

33、实际情况考虑考虑到可能存在同时进入的情况因此每类医院的病床数增加 2%，因此2020年急性 阑尾炎病对的各医疗机构就医的实际床位需求为：医院类别综合医院儿童医院妇幼保健院床位个数365340五、模型的评价优点：1、为了提高预测的精确度，对于各种的传统预测方法，做了针对性的筛选，通过权衡 比较，最终选定 Logistic 增长模型。2、将数学建模与计算机编程紧密的结合在一起，本文中运用了 Eviews、Spss以及Excel 等简单的数据处理软件，同时利用 Matlab 进行了一些编程，大大提升了数据的处理能 力。3、本文的模型具有很好的推广性，在其它领域发挥很好的效果。 缺点：1、计算得出的预

34、测数据是建立在较多的假设基础之上的，较为理想化，有很多客观或 主观因素不能全面的考虑进去，只能得到在一定程度上更接近正确的合理性数据。2、某些年份所提供的医疗机构数量较少，在拟合时只能用一次曲线来表达，所以在数据不充足的情况下，该部分问题的误差略微的增大可能会导致结果的不准确。六、模型的推广我们选用logistic模型对深圳市未来十年人口数量和结构进行预测，计算出了环 境所能容纳人口的最大数量K。Logistic模型可用于细菌增长、渔牧业规律等方面。主 要在流行病学中应用较多，比较常用的情形是探索某疾病的危险因素，根据危险因素预 测某疾病发生的概率。logistic回归模型主要运用于：1、寻找

35、危险因素，如寻找某一 疾病的危险因素等。2、预测，若已经建立了 logistic回归模型，则可以根据模型， 预测在不同的自变量情况下，发生某病或某种情况的概率有多大。 3、判别，跟预测有 些类似，根据logistic模型，判断某人属于某病或属于某种情况的概率有多大，也就 是看一下这个人有多大的可能性是属于某病。在预测医院的患病人数时，将每个时期的患病人数和时间进行模型运算，可得到 某段时间的该种疾病的患病率，有助于医护人员做好防范措施，筹备食疗方案，避免病 情的扩撒从而找到个更好的治疗方法，造福群众。在商业方面，购买某公司产品的人数，也能通过Logistic模型进行计算市场占有 量，据目前形式

36、可知道，市场占有率不会超过总人数的20%，这样商家就可以根据广大 消费者喜爱的方面去进行创意设计产品，来考虑市场要求的变化，来达到更好的效益.在国家经济建设方面，为了避免国际市场中复杂局势带来的不利影响，须力争实 现由贸易大国向贸易强国的转变，转变对外贸易增长方式，优化外贸商品结构，其中扩 大高技术产品的出口及其国际市场竞争力是一条重要途径。因此,应关注高技术产品的 出口，分析其在不同时期的变化规律，这对未来一段时期内优化我国产品出口结构和促 进产业结构升级有着重要的实际指导意义，进口量和出口量也可以运用Logistic增长 模型来进行预测等等。logistic模型被广泛应用于各个领域。七、参考文献、李连忠，具有年龄结构与区分性别的中国人口增长模型J徐州师范大学学报（自 然科学版）,20082 、郑晓瑛等，中国人口、人力资本变化趋势J市场与人口分析，20073 、屈思敏，农村出生人口性别比例失调的成因J统计与决策，2006 、王晓军，蔡正高，死亡率预测模型的新进展J 统计研究，20085 、姜启源，谢金星，叶俊数学模型 M,北京高等教育出版社，20036 、吴建国数学建模M,中国水利水电出版社，20057 、2010年美国人口预测报告。8 、深圳市卫生和人口计划生育委员会。