考研数学线代定理公式总结

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1、概念、性质、定理、公式必须清晰，解法必须纯熟，计算必须精确 　　 ：全体维实向量构成的集合叫做维向量空间. 　 √ 有关： ①称为的原则基,中的自然基，单位坐标向量； ②线性无关； ③； ④; ⑤任意一种维向量都可以用线性表达． 行列式的定义 √ 行列式的计算: ①行列式按行(列)展开定理:行列式等于它的任一行(列）的各元素与其相应的代数余子式的乘积之和． 推论:行列式某一行(列）的元素与另一行(列)的相应元素的代数余子式乘积之和等于零. ②若都是方阵（不必同阶）,则(拉普拉斯展开式) ③上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积． ④有

2、关副对角线：　(即：所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和) ⑤范德蒙德行列式： 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵.记作:或 随着矩阵　,为中各个元素的代数余子式． √　逆矩阵的求法: ①　　 　 　 : 　 　　 ② ③ 　 　 　 　 √ 方阵的幂的性质：　 √ 设的列向量为，的列向量为， 则 ,为的解可由线性表达.即:的列向量能由的列向量线性表达,为系数矩阵． 同理：的行向量能由的行向量线性表达，为系数矩阵. 即: √ 用对角矩阵乘一种矩阵,相称于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量； 用对角矩阵乘一种矩阵,相称

3、于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的向量. √ 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的相应元素相乘． √ 分块矩阵的转置矩阵: 分块矩阵的逆矩阵: 　　 　 　 　 分块对角阵相乘:, 分块对角阵的随着矩阵: 　　 　　 √ 矩阵方程的解法()：设法化成 　　 　　　 　 　　 　 　 　 　 　 　 ① 零向量是任何向量的线性组合,零向量与任何同维实向量正交． ② 单个零向量线性有关；单个非零向量线性无关． ③ 部分有关,整体必有关;整体无关,部分必无关. 　（向量个数变

4、动） ④ 原向量组无关,接长向量组无关；接长向量组有关,原向量组有关. （向量维数变动） ⑤ 两个向量线性有关相应元素成比例；两两正交的非零向量组线性无关． ⑥ 向量组中任历来量≤≤都是此向量组的线性组合． ⑦ 向量组线性有关向量组中至少有一种向量可由其他个向量线性表达． 向量组线性无关向量组中每一种向量都不能由其他个向量线性表达. ⑧ 维列向量组线性有关; 维列向量组线性无关. ⑨ 若线性无关,而线性有关，则可由线性表达,且表达法唯一. ⑩ 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩．　行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数. 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线,线的下方

5、全为；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线背面的第一种元素非零.当非零行的第一种非零元为1,且这些非零元所在列的其她元素都是时,称为行最简形矩阵 ⑪ 矩阵的行初等变换不变化矩阵的秩,且不变化列向量间的线性关系; 　 矩阵的列初等变换不变化矩阵的秩,且不变化行向量间的线性关系. 即：矩阵的初等变换不变化矩阵的秩. √ 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系: 对施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘; 对施行一次初等变换得到的矩阵，等于用相应的初等矩阵乘． 矩阵的秩　如果矩阵存在不为零的阶子式，且任意阶子式均为零，则称矩阵的秩为．记作 向量组的秩 向

6、量组的极大无关组所含向量的个数，称为这个向量组的秩．记作 　　 矩阵等价　通过有限次初等变换化为. 记作： 向量组等价　和可以互相线性表达. 记作: ⑫ 矩阵与等价，可逆作为向量组等价,即：秩相等的向量组不一定等价． 矩阵与作为向量组等价 矩阵与等价. ⑬ 向量组可由向量组线性表达有解≤． ⑭ 向量组可由向量组线性表达,且,则线性有关. 向量组线性无关,且可由线性表达，则≤． ⑮ 向量组可由向量组线性表达,且,则两向量组等价； ⑯ 任历来量组和它的极大无关组等价.向量组的任意两个极大无关组等价． ⑰ 向量组的极大无关组不唯一,但极大无关组所含向量个数唯一拟定. ⑱

7、若两个线性无关的向量组等价，则它们涉及的向量个数相等. ⑲ 设是矩阵,若，的行向量线性无关； 　　　 　 若,的列向量线性无关,即：线性无关. √ 矩阵的秩的性质: 　 　 　 　 　 ①≥　　 　 　 　 ≤≤ ② 　 　 　 ③ 　 　　④ 　 　 　 　　 　⑤≤ ⑥ 　 　即:可逆矩阵不影响矩阵的秩. ⑦若； 若 ⑧等价原则型. ⑨≤ 　 　≤≤ ⑩ 　 　 　　 　　 ： 线性方程组的矩阵式 　 　 　

8、　 　 　 向量式 　 　 　 　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 矩阵转置的性质: 矩阵可逆的性质: 随着矩阵的性质: （无条件恒成立） 线性方程组解的性质: √ 设为矩阵,若一定有解， 　　　 　　当时,一定不是唯一解，则该向量组线性有关． 　 是的上限. √ 判断是的基本解系的条件： 　

9、 　 　 ① 线性无关； 　 　 　 　②　都是的解; ③ . √　一种齐次线性方程组的基本解系不唯一. √ 若是的一种解,是的一种解线性无关 √ 与同解（列向量个数相似),则： ① 它们的极大无关组相相应，从而秩相等; 　 ②　它们相应的部分组有同样的线性有关性; 　③ 它们有相似的内在线性关系． √ 两个齐次线性线性方程组与同解． √ 两个非齐次线性方程组与均有解，并且同解. √　矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解(左乘可逆矩阵)； 矩阵与的列向量组等价（右乘可逆矩阵）. √ 有关公共解的三中解决措施: ① 把(I)与(

10、II)联立起来求解； ② 通过（I)与(II)各自的通解,找出公共解； 当(I)与(II)都是齐次线性方程组时,设是(I)的基本解系, 是(ＩＩ)的基本解系，则 (Ｉ)与(II）有公共解基本解系个数少的通解可由另一种方程组的基本解系线性表达． 即： 当（I)与(II）都是非齐次线性方程组时，设是(I)的通解，是(IＩ）的通解，两方程组有公共解可由线性表达. 即： ③ 设(Ｉ)的通解已知,把该通解代入(ＩＩ）中，找出(Ｉ)的通解中的任意常数所应满足(II)的关系式而求出公共解。 原则正交基　个维线性无关的向量，两两正交,每个向量长度为1. 向量与的内积 　． 记为：

11、向量的长度 是单位向量 ． 即长度为的向量． √ 内积的性质： ① 正定性： 　　　 　②　对称性： ③ 双线性： 　 　　 　 　　　　 　 　 　 的特性矩阵 . 的特性多项式 　. √ 是矩阵的特性多项式 的特性方程　 . 　 　 √ 　 　 ,称为矩阵的迹. √　上三角阵、下三角阵、对角阵的特性值就是主对角线上的各元素. √ 若,则为的特性值,且的基本解系即为属于的线性无关的特性向量. √ 一定可分解为＝、,从而的特性值为：,　 　 　　． 为各行的公比,为各列的

12、公比. √ 若的所有特性值，是多项式,则: ① 若满足的任何一种特性值必满足 ②的所有特性值为;. √ 初等矩阵的性质: √ 设,对阶矩阵规定：为的一种多项式. √ √ √ 的特性向量不一定是的特性向量. √ 与有相似的特性值，但特性向量不一定相似. 与相似　 (为可逆矩阵） 　记为： 与正交相似 　 (为正交矩阵） 可以相似对角化 与对角阵相似. 　记为： （称是的相似原则形） √ 可相似对角化 　为的重数恰有个线性无关的特性向量．　这时，为的特性向量拼成的矩阵，为对角阵,

13、主对角线上的元素为的特性值.设为相应于的线性无关的特性向量,则有： . ：当为的重的特性值时,可相似对角化的重数 基本解系的个数. √ 若阶矩阵有个互异的特性值可相似对角化. √ 若可相似对角化,则其非零特性值的个数(重根反复计算). √ 若=, √ 相似矩阵的性质: ①,从而有相似的特性值，但特性向量不一定相似． 是有关的特性向量,是有关的特性向量． ② ③ 　 从而同步可逆或不可逆 ④ ⑤; 　（若均可逆）； ⑥ 　(为整数）;, ⑦ 　　 　 　 　　　 前四个都是必要条件. √ 数量矩阵只与自己相似. √ 实对称矩阵的性

14、质： ① 特性值全是实数,特性向量是实向量; ② 不同特性值相应的特性向量必然正交； 　 :对于一般方阵,不同特性值相应的特性向量线性无关; ③一定有个线性无关的特性向量. 若有重的特性值,该特性值的重数＝; ④必可用正交矩阵相似对角化,即:任一实二次型可经正交变换化为原则形; ⑤与对角矩阵合同，即：任一实二次型可经可逆线性变换化为原则形; ⑥两个实对称矩阵相似有相似的特性值. 正交矩阵 √ 为正交矩阵的个行(列）向量构成的一组原则正交基. √ 正交矩阵的性质:① ; ② ; ③ 正交阵的行列式等于１或-１； ④　是正交阵,则，也是正交阵； ⑤　两个正交阵之

15、积仍是正交阵; ⑥ 的行（列)向量都是单位正交向量组． 二次型 　 ，即为对称矩阵， 与合同 ．　 　　记作: (） 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数　　 负惯性指数二次型的规范形中负项项数 符号差 　 （为二次型的秩) √ 两个矩阵合同它们有相似的正负惯性指数她们的秩与正惯性指数分别相等． √　两个矩阵合同的充足条件是: √ 两个矩阵合同的必要条件是： √　通过化为原则形. √ 二次型的原则形不是唯一的，与所作的正交变换有关,但非零系数的个数是由　唯一拟定的. √ 当原则形中的系数为-１或０或1时,称为二次型的规范形　． √ 实对称矩阵的正(负)惯

16、性指数等于它的正(负）特性值的个数. √　惯性定理:任一实对称矩阵与唯一对角阵合同. √ 用正交变换化二次型为原则形: ① 求出的特性值、特性向量; ② 对个特性向量正交规范化; ③ 构造（正交矩阵)，作变换,则 ④ 新的二次型为,的主对角上的元素即为的特性值． 施密特正交规范化 线性无关, 　　 　 　 　　 　 　 　　 　　单位化:　 　　 　技巧:取正交的基本解系，跳过施密特正交化。让第二个解向量先与第一种解向量正交,再把第二个解向量代入方程，拟定其自由变量． 　 　 　例如：取，. 正定二次型　 不全为零，. 正定矩阵 正定二次型相应的矩阵. √　为正定二次型(之一成立）： ① 　，； ② 的特性值全不小于； ③ 的正惯性指数为; ④ 的所有顺序主子式全不小于； ⑤ 与合同,即存在可逆矩阵使得; ⑥ 存在可逆矩阵,使得; ⑦ 存在正交矩阵，使得 (不小于). ⑧ 合同变换不变化二次型的正定性. √ 为正定矩阵 ; ． √ 为正定矩阵也是正定矩阵. √ 与合同,若为正定矩阵为正定矩阵 √ 为正定矩阵为正定矩阵,但不一定为正定矩阵．