高一数学下册 第5章 三角比 5.1 任意角及其度量课件 沪教版

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1、任意角及其度量任意角及其度量1.初中所学角是如何定义的？初中所学角是如何定义的？2、平面内由一条射线绕着、平面内由一条射线绕着其端点从初始位置其端点从初始位置旋转旋转到到终止位置所形成的图形。终止位置所形成的图形。1 1、从一点出发的两条射线所、从一点出发的两条射线所组成的图形组成的图形oAB始边终边顶点2.初中学习过哪些角？初中学习过哪些角？3.初中学习的角大小范围？初中学习的角大小范围？0360锐角、直角、钝角、锐角、直角、钝角、平角、周角平角、周角1.钟表的指针旋转钟表的指针旋转角的形成2.自行车的车轮周而复始地转动自行车的车轮周而复始地转动 一根辐条一根辐条3.在跳水运动中，在跳水运动

2、中，“转体转体720”、“转体转体1080”等动等动作名称的含义作名称的含义旋转形成的角有不同的方向和大小，旋转形成的角有不同的方向和大小，为了准确刻画为了准确刻画不同状态的角不同状态的角，需要，需要推广角的概念。推广角的概念。按按逆时针逆时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.按按顺时针顺时针方向旋转所形成的角方向旋转所形成的角.如如=-150=-150.没有作任何旋转没有作任何旋转的角的角.记作记作=0.正角：正角：负角：负角：零角：零角：角的概念推广后，它包括任意大小的角的概念推广后，它包括任意大小的正角、负角和零角正角、负角和零角任意角任意角2.钟表经过钟表经过4小时，时针与小时，时

3、针与分针各转了分针各转了_ -120、-14401.从中午从中午12点到下午点到下午3点，点，时针走过的角度是时针走过的角度是 -900看谁答得快看谁答得快在直角坐标系内在直角坐标系内,角的顶点与原点重合角的顶点与原点重合,始边与始边与x轴的正半轴重合轴的正半轴重合,那么角的终那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是边在第几象限，我们就说这个角是第第几象限角几象限角.xyoB2角的位置角的位置:1.象限角象限角B1终边定位置终边定位置xyo2.非象限角（界限角、轴线角）非象限角（界限角、轴线角）当角的终边不落在象限内当角的终边不落在象限内,这样的角这样的角还是象限角吗还是象限角吗?终边落在终边

4、落在x轴轴和和y轴轴上的角上的角xyo否否2.2.在在 同同 一一 直直 角角 坐坐 标标 系系 内内 作作 出出 3030、390390、-330-330、750,观观察察它它们们终边的位置关系终边的位置关系与与3030终边相同的角的集合终边相同的角的集合=30=30 k k360360,kZ,kZ390=30+-330=30+1360(-1)360750=30+2360归纳归纳:终边相同的角的表示方法终边相同的角的表示方法归纳：归纳：一般地一般地,所有与角所有与角终边相同的终边相同的角，连同角角，连同角在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合 S=S=+k k360360,kZ,kZ角的关

5、系角的关系:(4)终边相同的角不一定相等，但相等终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角的角终边一定相同，终边相同的角有有无数无数多个，它们多个，它们相差相差360的整数倍的整数倍注意以下四点：注意以下四点：(1)(2)是是任意角任意角；(3)与与 之间是之间是“+”号，号，如如 -30，应看成，应看成 +(-30)写出与写出与60终边相同的角的集合终边相同的角的集合=60 k360,kZ写出与写出与0终边相同的角的集合终边相同的角的集合=0 k360,kZ写出终边在写出终边在y轴正半轴上的角的集合轴正半轴上的角的集合=90 k360,kZ写出终边在写出终边在y轴上的角的集

6、合轴上的角的集合=90 k180,kZ辩一辩辩一辩.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()A.终边在终边在y轴上的角是直角轴上的角是直角 B.第二象限角一定是钝角第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角第四象限角一定是负角 D.若若360（Z），则），则与与终边相同终边相同D判断任意角的位置判断任意角的位置例例1 1：判断判断-200-200，20002000，10601060 ，630630 ，-496-496 各属于哪个象限？各属于哪个象限？思路点拨：思路点拨：先将任意角化成先将任意角化成+k k360360,kZ,kZ，0 0360再判断再判断所在象限所在象限最小正角最小正角判断任

7、意角的位置判断任意角的位置变式练习：变式练习：落在区间落在区间(-540-540，-450-450)内，则内，则在第在第_象限象限三三用集合表示第三象限角：用集合表示第三象限角：|180 k360 270 k360,kZ例例2.写出与写出与60角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S中适合不等式中适合不等式-360 720 的元素的元素写出来写出来.解解 S=60+k 360,kZ.S中适合中适合-360 720 的的元素是元素是:60 -1360=-300,60 +0360=60,60 +1360=420.写出与写出与-45角终边相同的角的集合角终边相同的角的集合S,并把并把S

8、中适合不等式中适合不等式-720360的元素的元素写出来写出来.S=-45+k 360,kZ.S中适合中适合-720 360的的元素是元素是:-405-45315解解模仿一下吧能力提升角角的终边经过的终边经过P(-3,0),则角则角()A.是第三象限角是第三象限角B.是第二象限角是第二象限角C.既是第二象限角又是第三象限角既是第二象限角又是第三象限角D.不属于任何象限不属于任何象限D已知已知A=第一象限的角第一象限的角,B=锐角锐角,C=小于小于90的角的角,则下列关系式正确的是则下列关系式正确的是()A.A=B=CB.B C=AC.AC=BD.B C=CD若若是锐角是锐角,则则k180+,(

9、k Z)所在的象限是所在的象限是()A.第一象限第一象限B.第一、二象限第一、二象限C.第一、三象限第一、三象限D.第一、四象限第一、四象限C角的角的概念概念角的角的大小大小角的角的位置位置角的角的关系关系正角正角 负角负角 零角零角象限角象限角轴线角轴线角同终边角同终边角小结：小结：1.掌握掌握终边相同的角终边相同的角的的表示方法及判定表示方法及判定2.2.注意注意：0 00 0到到90900 0的角；的角；0 00 03603600 0的角；的角；第一象限角；锐角；第一象限角；锐角；小于小于90900 0的角的区别的角的区别角的大小如何度量？角的大小如何度量？思考思考1 1：在平面几何中，

10、：在平面几何中，1 1 的角是怎样的角是怎样规定的？规定的？将圆周分成将圆周分成360360等份，每一段圆等份，每一段圆弧所对的圆心角就是弧所对的圆心角就是1 1 的角的角.在角度制下，当把两个带着度、分、秒在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、相减时，由于运算进各单位的角相加、相减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难率非十进制，总给我们带来不少困难那么我们能否重新选择角单位，使在该那么我们能否重新选择角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？进制加减法一样去做呢？思考思考2 2：在半径为：在半径为r r的圆中

11、，圆心角的圆中，圆心角n n所所对的圆弧长如何计算？对的圆弧长如何计算？联想：有了角的度量，可以计算弧长，联想：有了角的度量，可以计算弧长，那么能否利用弧长表示角的大小？那么能否利用弧长表示角的大小？观察上述式子，有观察上述式子，有_个变量，角度大个变量，角度大小由小由_确定确定弧长与半径的比值弧长与半径的比值3比值比值只与只与n有关，不会随半径变化而变化。有关，不会随半径变化而变化。所以可以用这个比值来表示角度。所以可以用这个比值来表示角度。OPPQQ定义定义:把长度等于半径长把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做的圆弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角，记作弧度的角，记作1rad1rad，读作

12、读作1 1弧度弧度.弧度制弧度制弧度制在数学和其他学科研究中经常弧度制在数学和其他学科研究中经常用到，将为三角函数建立带来方便用到，将为三角函数建立带来方便约定：正角的弧度数为正数，负角的弧约定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数度数为负数，零角的弧度数为为0.0.思考思考3 3：如果将半径为如果将半径为r r圆的一条圆的一条半径半径OAOA，绕圆心顺时针旋转到，绕圆心顺时针旋转到OBOB，若弧，若弧ABAB长为长为2r2r，那么，那么AOBAOB的大小为多少弧度？的大小为多少弧度？2 2 radradB2rOAr弧度数的计算弧度数的计算p32O思考思考4 4：如果半径为如果

13、半径为r r的圆的圆心角的圆的圆心角所所对的弧长为对的弧长为l，那么，角，那么，角的弧度数的绝的弧度数的绝对值如何计算？对值如何计算？思考：思考：1 1等于多少弧度？等于多少弧度？1rad1rad等于多少等于多少度？度？探究：度与弧度的换算探究：度与弧度的换算 分析：分析：由定义，由定义，1弧度弧长弧度弧长l等于半径长等于半径长r，相，相当于原周长当于原周长2r的的 ，所以所以1弧度相当于弧度相当于360 的的反之，反之，1 是圆周角的是圆周角的 ，即，即2的的探究：度与弧度的换算探究：度与弧度的换算 对于角对于角，设它的角度为，设它的角度为n，弧度为，弧度为，则则从定值角度理解则有从定值角度

14、理解则有知识应用知识应用 例例1 1 按照下列要求，把按照下列要求，把67673030化成弧度：化成弧度：（1 1）精确值；）精确值；（2 2）精确到）精确到0.0010.001的近似值的近似值.练习：将下列各度化为弧度练习：将下列各度化为弧度150，22 223030，-202-202计算器例将例将3.14rad3.14rad换算成角度（用度数换算成角度（用度数表示，精确到表示，精确到0.0010.001）练习：将下列各度化为弧度练习：将下列各度化为弧度角度制与弧度制互化时要抓住角度制与弧度制互化时要抓住弧度这个关键弧度这个关键思考思考3 3：根据度与弧度的换算关系，下表根据度与弧度的换算关

15、系，下表中各特殊角对应的弧度数分别是多少？中各特殊角对应的弧度数分别是多少？今后用弧度制表示角时，今后用弧度制表示角时，“弧度弧度”二字二字或或“radrad”通常略去不写，而只写该角所通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数对应的弧度数.如如=2=2表示表示是是2rad2rad的角，的角，sin1.2sin1.2表示表示1.21.2弧度的角的正弦弧度的角的正弦.度度0 00 030300 045450 060600 090900 01201200 01351350 01501500 01801800 02702700 03603600 0弧弧度度0 0思考思考4 4：在弧度制下，角的集合与实数

16、集在弧度制下，角的集合与实数集R R之间可以建立一个一一对应关系，这个之间可以建立一个一一对应关系，这个对应关系是如何理解的？对应关系是如何理解的？三角函数定义域为R弧度制的简化作用弧度制的简化作用设扇形的圆心角为设扇形的圆心角为(02)，半径，半径为为r，弧长为，弧长为l，面积为，面积为S，求证：，求证：(1)l=r引进弧度制后，扇形的弧引进弧度制后，扇形的弧长和面积公式显得简单了长和面积公式显得简单了莱昂哈德莱昂哈德欧拉（欧拉（LeonhardEuler，1707年年4月月15日日1783年年9月月18日），瑞士数学家和物理学家，近代数学日），瑞士数学家和物理学家，近代数学先驱之一。先驱之

17、一。1707年欧拉生于瑞士的巴塞尔，年欧拉生于瑞士的巴塞尔，13岁时入岁时入读巴塞尔大学，读巴塞尔大学，15岁大学毕业，岁大学毕业，16岁获硕士学位。欧拉岁获硕士学位。欧拉是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百多是数学史上最多产的数学家之一，平均每年写出八百多页的论文。页的论文。在三角学方面，他首先提出弧度制思想，把半径在三角学方面，他首先提出弧度制思想，把半径1作为作为弧的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来，弧的度量单位，这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。大大简化了三角公式及计算。例例3用弧度制表示用弧度制表示 练习练习3 写出终边落在阴影部分写出终

18、边落在阴影部分(含边界含边界)的角的集合的角的集合练习练习4 如果一扇形的如果一扇形的圆心角为圆心角为72，半径等，半径等于于20cm，则扇形的面，则扇形的面积为积为练习练习5 如果一扇形的面积为如果一扇形的面积为1，周长为，周长为4，则中心角的弧度数为，则中心角的弧度数为_如果一扇形的周长为如果一扇形的周长为20cm，问扇形的半径和圆心角，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？各取什么值时，才能使扇形的面积最大？拓展练习拓展练习1748年，欧拉发表著名的年，欧拉发表著名的无穷小分析引论无穷小分析引论一书，一书，指出：指出：”三角函数是一种函数线与圆半径的比值三角函数是一种函

19、数线与圆半径的比值”。具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以具体地说，任意一个角的三角函数，都可以认为是以这个角的顶点为这个角的顶点为圆心圆心，以某定长为半径作圆，由角的，以某定长为半径作圆，由角的一边与一边与圆周圆周的交点的交点P向另一边作向另一边作垂线垂线PM后，所得的后，所得的线段线段OP、OM、MP(即函数线即函数线)相互之间所取的比值相互之间所取的比值(如图八如图八)，sin=MP/OP，cos=OM/OP，tan=MP/OM等。若令半径为单位长，那么所有的六个三等。若令半径为单位长，那么所有的六个三角函数又可大为简化。角函数又可大为简化。欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研

20、究三角形解欧拉的这个定义使三角学从静态地只是研究三角形解法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动法的狭隘天地中解脱了出来，使它有可能去反映运动和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征和变化的过程，从而使三角学成为一门具有现代特征的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，的分析性学科。正如欧拉所说，引进三角函数以后，原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离原来意义下的正弦等三角量，都可以脱离几何图形几何图形去去进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三进行自由的运算。一切三角关系式也将很容易地从三角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克角函数的定义出发直接得出。这样，就使得从希帕克起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚起许多数学家为之奋斗而得出的三角关系式，有了坚实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时实的理论依据，而且大大地丰富了。严格地说，这时才是才是三角学三角学的的真正真正确立确立。