平均指标2几何平均众数中位数

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1、是N N项变量值连乘积的开项变量值连乘积的开N N次方根次方根用于计算现象的平均比率或平均速度用于计算现象的平均比率或平均速度q各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；各个比率或速度的连乘积等于总比率或总速度；q相乘的各个比率或速度不为零或负值。相乘的各个比率或速度不为零或负值。应用的前提条件：应用的前提条件：几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标在实际工作中，常用在实际工作中，常用即几何平均数是各个变量值对数的算术即几何平均数是各个变量值对数的算术平均数的反对数。平均数的反对数。A.A.简单几何平均数简单几何平均数适用于总体资料适用于总体资料未经分组整理未经分组整理尚为尚为原始

2、资料原始资料的情况的情况式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为变量值的个数；为变量值的个数；为第为第 个变个变量值。量值。几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标四、几何平均数四、几何平均数一）、几何平均数一）、几何平均数几何平均数一般用于计算几何平均数一般用于计算动态相对指标动态相对指标的平均值的平均值例：例：2000-2005年我国工业品的产量分别是上年的年我国工业品的产量分别是上年的107.6%、102.5%、100.6%、102.7%、102.2%，计，计算这算这5年的平均发展速度。年的平均发展速度。第二节第二节 平均指标平均指标【例例】某流水生产线有前后衔接的五道工序。某

3、日各某流水生产线有前后衔接的五道工序。某日各工序产品的合格率分别为工序产品的合格率分别为9595、9292、9090、8585、8080，求整个流水生产线产品的平均合格率。，求整个流水生产线产品的平均合格率。设最初投产设最初投产100100个单位个单位 ，则，则第一道工序的第一道工序的合格品合格品为为1000.951000.95；第二道工序的第二道工序的合格品合格品为（为（1000.951000.95）0.920.92；第五道工序的第五道工序的合格品合格品为为 1000.950.920.900.850.801000.950.920.900.850.80；A.A.简单几何平均数简单几何平均数几何

4、平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，因该流水线的最终合格品即为第五道工序的合格品，故该流水线故该流水线总的合格品应为总的合格品应为:1000.950.920.900.850.80:1000.950.920.900.850.80；则该流水线产品总的合格率为：则该流水线产品总的合格率为：即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平即该流水线总的合格率等于各工序合格率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。均数的适用条件，故需采用几何平均法计算。A.A.简单几何平均数简单几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节

5、 平均指标平均指标思考：若上题中不是由五道连续作业的工序组成思考：若上题中不是由五道连续作业的工序组成的流水生产线，而是五个的流水生产线，而是五个独立作业的车间独立作业的车间，且各，且各车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均车间的合格率同前，又假定各车间的产量相等均为为100100件，求该企业的平均合格率。件，求该企业的平均合格率。A.A.简单几何平均数简单几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标 因各车间彼此独立作业，所以有因各车间彼此独立作业，所以有 第一车间的合格品为：第一车间的合格品为：1000.95；第二车间的合格品为：第二车间的合格品为：1000.92；第五

6、车间的合格品为：第五车间的合格品为：1000.80。则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即则该企业全部合格品应为各车间合格品的总和，即总合格品总合格品=1000.95+1000.80A.A.简单几何平均数简单几何平均数几何平均数几何平均数不再符合几何平均数的适用条件，需按照求不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。解比值的平均数的方法计算。第二节第二节 平均指标平均指标又因为又因为应采用加权算术平均数公式计算，即应采用加权算术平均数公式计算，即 A.A.简单几何平均数简单几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标B.B.加权几何平均数加权几何平均

7、数适用于总体资料适用于总体资料经过分组整理经过分组整理形成形成变量数列变量数列的情况的情况当各个变量值的当各个变量值的次数（权数）次数（权数）不相同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为不相同时，应采用加权几何平均数，其计算公式为:几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标将公式两边取对数，则为将公式两边取对数，则为式中：式中：为几何平均数为几何平均数;为第为第 组的次数；组的次数；为组数；为组数；为第为第 组的标志值或组中值。组的标志值或组中值。【例例】某金融机构以复利计息。近某金融机构以复利计息。近12年来的年利率有年来的年利率有4年为年为3，2年年为为5，2年为年为8，3年为年为

8、10，1年为年为15。求平均年利率。求平均年利率。设本金为设本金为V，则至各年末的本利和应为：，则至各年末的本利和应为：第第1年末的本利和为：年末的本利和为：第第12年的计息年的计息基础基础第第2年的计息年的计息基础基础第第2年末的本利和为：年末的本利和为：第第12年末的本利和为年末的本利和为：B.B.加权几何平均数加权几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标则该笔本金则该笔本金1212年总的本利率为：年总的本利率为：即即1212年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数年总本利率等于各年本利率的连乘积，符合几何平均数的适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。的

9、适用条件，故计算平均年本利率应采用几何平均法。B.B.加权几何平均数加权几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标若上题中不是按若上题中不是按复利复利而是按而是按单利计息单利计息，且各年的，且各年的利率与上相同，求平均年利率。利率与上相同，求平均年利率。第第1 1年末的应得利息为年末的应得利息为：第第2 2年末的应得利息为年末的应得利息为：第第1212年末的应得利息为年末的应得利息为：设本金为设本金为V V，则各年末应得利息为：，则各年末应得利息为：B.B.加权几何平均数加权几何平均数几何平均数几何平均数第二节第二节 平均指标平均指标则该笔本金则该笔本金1212年应得的利息总

10、和为：年应得的利息总和为：=V=V（0.034+0.052+0.034+0.052+0.151+0.151）这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求这里的利息率或本利率不再符合几何平均数的适用条件，需按照求解比值的平均数的方法计算。因为解比值的平均数的方法计算。因为假定本金假定本金为为V VB.B.加权几何平均数加权几何平均数几何平均数几何平均数所以，应采用加权算术平均数公式计算平均年利息率，即：第二节第二节 平均指标平均指标四、几何平均数四、几何平均数一）、几何平均数一）、几何平均数（二）加权几何平均数（二）加权几何平均数例：某投资银行例：某投资银行25年的年利率分别是：有

11、年的年利率分别是：有1年年3%，4年年5%，8年年8%，10年年10%，2年年15%，求平均年利，求平均年利率。率。（先学生练习（先学生练习-复利计息复利计息）第二节第二节 平均指标平均指标四、几何平均数四、几何平均数一）、几何平均数一）、几何平均数v几何平均数的特点：几何平均数的特点：1 1、如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无、如果数列中有一个标志值等于零或负值，就无法计算法计算 ；几何平均数几何平均数2 2、受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，、受极端值影响较算术平均数和调和平均数小，故较稳健。故较稳健。第二节第二节 平均指标平均指标设设x x取值为：、取值为：、1010算术平均

12、与几何平均更为常用一些，其中几何算术平均与几何平均更为常用一些，其中几何平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的平均数对小的极端值敏感，算术平均数对大的极端值敏感。极端值敏感。第二节第二节 平均指标平均指标四、几何平均数四、几何平均数二）、数值平均数的推广二）、数值平均数的推广幂平均数幂平均数（选选）k=1k=1时，是算术平均时，是算术平均A Ak k趋于趋于0 0时，趋于几何平均时，趋于几何平均G G；k=-1k=-1时，是调和平均时，是调和平均H H。vM(k)M(k)是是k k的递增函数，因此的递增函数，因此 ，第二节第二节 平均指标平均指标四、几何平均数四、几何平均数二）、数值平均数的

13、推广二）、数值平均数的推广幂平均数：幂平均数：v 正确选用数值平均数：正确选用数值平均数：几何平均数适合几何平均数适合动态指标动态指标：平均发展速度、平：平均发展速度、平均增长率等；均增长率等；其他情况一般其他情况一般用用算术平均数算术平均数或或调和平均数调和平均数：分母资料分母资料已知用已知用算术平均数算术平均数；分子资料分子资料已知用已知用调和平均数调和平均数；v用错平均数会产生误差：用错平均数会产生误差：第二节第二节 平均指标平均指标某水果店的苹果有三种等级，价格不同（见下某水果店的苹果有三种等级，价格不同（见下表），要求分别计算表），要求分别计算各买一元各买一元和和各买一斤各买一斤的平

14、均价格；的平均价格；假设某人共买假设某人共买12斤，其中二、三等级各占斤，其中二、三等级各占30%，试，试求苹果的平均价格又为多少？求苹果的平均价格又为多少？第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习（1）各买）各买1元：元：H=3/(1/1+1/0.8+1/0.6)=0.77元元/斤斤（2）各买）各买1斤：斤：均价均价=(1*1+1*0.8+1*0.6)/3=0.80元元/斤斤（3）共买）共买12斤，其中二、三等级各占斤，其中二、三等级各占30%均价均价=1*0.4+0.8*0.3+0.6*0.3=0.82元元/斤斤第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习某地甲乙两个蔬菜市场某月份

15、白菜的销售价格及其销某地甲乙两个蔬菜市场某月份白菜的销售价格及其销售额资料如下：试分别计算这两个市场某月白菜的售额资料如下：试分别计算这两个市场某月白菜的平均销售价格，哪一个市场白菜的平均价格较高？平均销售价格，哪一个市场白菜的平均价格较高？为什么？为什么？第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习甲市场平均销售价格甲市场平均销售价格=（130000+60000+55000）/（130000/0.65+60000/0.6+55000/0.55)=245000/400000=0.6125=0.61(元元/斤斤)乙市场平均销售价格乙市场平均销售价格=（65000+60000+11000）/（6

16、5000/0.65+60000/0.6+11000/0.55)=136000/220000=0.6182=0.62 (元元/斤斤)乙市场均价高于甲市场，因为一等品的比例更高乙市场均价高于甲市场，因为一等品的比例更高第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习 某商店某商品销售情况如下表，试用简单算术平某商店某商品销售情况如下表，试用简单算术平均数、加权算术平均数、加权调和平均数等不同方法均数、加权算术平均数、加权调和平均数等不同方法来计算该商品的平均价格，说明三种计算结果一致的来计算该商品的平均价格，说明三种计算结果一致的原因。原因。第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习简单算术平均

17、值简单算术平均值=(1.1+0.9+0.7)/3=0.9元元/斤斤加权算术平均值加权算术平均值=(10001.1+5000.9+10000.7)/(1000+500+1000)=0.9元元/斤斤加权调和平均值加权调和平均值=（1100+450+700）/(1100/1.1+450/0.9+700/0.7)=0.9元元/斤斤v算术与调和平均本应相等；算术与调和平均本应相等；v加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。售量相同，且二者简单平均与优待价相等。第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习v加权与简单算术平均相

18、等：正常价与处理价销加权与简单算术平均相等：正常价与处理价销售量相同，且二者简单平均与优待价相等。售量相同，且二者简单平均与优待价相等。第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习五、位置平均数：中位数和众数五、位置平均数：中位数和众数一）中位数一）中位数（一）中位数：现象总体中各单位标志值（一）中位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，按大小顺序排列，居于居于中间位置中间位置的那个标志值就是的那个标志值就是中位数中位数。记为。记为（二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法1 1、由未分组资料确定中位数。、由未分组资料确定中位数。v若总体单位数是若总体单位数是奇数奇数，则居于中间位置的

19、那个单位的标志值就是，则居于中间位置的那个单位的标志值就是中位数。中位数。v若总体单位数是若总体单位数是偶数偶数，则居于中间位置的两项数值的算术平均数则居于中间位置的两项数值的算术平均数是中位数。是中位数。第二节第二节 平均指标平均指标不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有不受极端数值的影响，在总体标志值差异很大时，具有较强的代表性。较强的代表性。中位数的作用：中位数的作用：如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有如果统计资料中含有异常的或极端的数据，就有可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，可能得到非典型的甚至可能产生误导的平均数，这时使用中位数来度量集中趋势比较合适。这时使

20、用中位数来度量集中趋势比较合适。中位数中位数第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数1 1、由未分组资料确定中位数。、由未分组资料确定中位数。【例例】：9个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据原始数据原始数据:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630:1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630排排 序序:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000:750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4

21、 5 6 7:1 2 3 4 5 6 7 8 98 9第二节第二节 平均指标平均指标中位数 1080五、中位数和众数五、中位数和众数1 1、由未分组资料确定中位数。、由未分组资料确定中位数。【例例】：1010个家庭的人均月收入数据个家庭的人均月收入数据排排 序序:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000:660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000位位 置置:1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 :1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 第二节第二节 平均指标平均指标中位数的位次为中位数的位次为：

22、即第即第3 3个单位的标志值就是中位数个单位的标志值就是中位数【例例A A】某售货小组某售货小组5 5个人，某天的销售额按从小到大个人，某天的销售额按从小到大的顺序排列为的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元，元，则则中位数确定中位数确定未分组资料未分组资料第二节第二节 平均指标平均指标中位数的位次为：中位数的位次为：中位数应为第中位数应为第3 3和第和第4 4个单位标志值的算术平均数，即个单位标志值的算术平均数，即【例例B B】若上述售货小组为若上述售货小组为6 6个人，某天的销售额按从小个人，某天的销售额按从小到大的顺序排

23、列为到大的顺序排列为440440元、元、480480元、元、520520元、元、600600元、元、750750元、元、760760元，则元，则中位数确定中位数确定未分组资料未分组资料第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数（二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法2 2、由、由单项数列确定中位数单项数列确定中位数。1.1.求中位数位置求中位数位置=2.2.计算各组的累计次数计算各组的累计次数(向上累计次数或向下累计次数向上累计次数或向下累计次数)3.3.根据根据中位数位置中位数位置找出找出中位数。中位数。第二节第二节 平均指标平均指标 【例例】某厂工人日产零件中位数计

24、算表某厂工人日产零件中位数计算表 按日产零件分组按日产零件分组 工人数工人数 向上累计次数向上累计次数 向下累计次向下累计次数数 （件）（件）（人）（人）26 3 3 8026 3 3 80 31 10 13 77 31 10 13 77 32 14 27 67 32 14 27 67 34 34 27 27 54 5354 53 36 18 72 26 36 18 72 26 41 8 80 8 41 8 80 8 合计合计 80 80 -第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法2 2、由单项数列确定中位数。、由单项数列确定

25、中位数。见教材见教材P105表表3-17【例例C】某企业某日工人的日产量资料如下某企业某日工人的日产量资料如下（选）选）日产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）10111213147010038015010070170550700800合计800计算该企业该日全部工人日产量的中位数。计算该企业该日全部工人日产量的中位数。中位数的位次中位数确定中位数确定单项数列单项数列第二节第二节 平均指标平均指标3 3、由、由组距数列确定中位数。组距数列确定中位数。先按先按 的公式求出的公式求出中位数所在组的位置，中位数所在组的位置，然后再用然后再用比例插值法比例插值法确定中位数的值。确定中位数的值。下限

26、公式（向上累计时用）：下限公式（向上累计时用）：上限公式（向下累计时用）：上限公式（向下累计时用）：第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法见教材见教材P106第二节第二节 平均指标平均指标下限公式（下限公式（向上累计时用）向上累计时用）上限公式（上限公式（向下累计时用）向下累计时用）共 个单位共 个单位共 个单位共 个单位LU中位数组组距为d共 个单位假定该组内的单位假定该组内的单位呈均匀分布呈均匀分布共有单位数 中位数下限公式为 该段长度应为 第二节第二节 平均指标平均指标公式的理解公式的理解3 3、由组距数列确定中位数。

27、、由组距数列确定中位数。下限公式（向上累计时用）：下限公式（向上累计时用）：上限公式（向上累计时用）：上限公式（向上累计时用）：第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法公式的理解公式的理解3 3、由组距数列确定中位数。、由组距数列确定中位数。上限公式（向下累计时用）：上限公式（向下累计时用）：下限公式（向下累计时用）：下限公式（向下累计时用）：第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法公式的理解公式的理解3 3、由组距数列确定中位数。、由组距数列确定中位数。向上

28、累计上、下限公式等价性：向上累计上、下限公式等价性：向上、下累计上限公式等价性：向上、下累计上限公式等价性：第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法公式的理解公式的理解【例例】某企业工人日产量的中位数计算表某企业工人日产量的中位数计算表 按日产量分组按日产量分组 工人数工人数 向上累计次数向上累计次数 向下累计次数向下累计次数 （千克）（千克）（人）（人）6060以下以下 10 10 164 10 10 164 60-70 19 29 154 60-70 19 29 154 70-80 50 79 135 70-80 50 7

29、9 135 80-90 80-90 36 115 36 115 8585 90-100 27 142 49 90-100 27 142 49 100-110 14 156 22 100-110 14 156 22 110110以上以上 8 8 164164 8 8 合计合计 164 164 -第二节第二节 平均指标平均指标164/2=82中位数中位数所在组所在组164/2=82中位数中位数所在组所在组五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法3 3、由组距数列确定中位数。、由组距数列确定中位数。见教材见教材P106表表3-178第二节第二节 平均指标平均指标

30、解解：中位数位置：中位数位置=,=,在在80809090这一组内，这一组内，根据向上累计下限公式计算中位数：根据向上累计下限公式计算中位数：根据向下累计上限公式计算中位数：根据向下累计上限公式计算中位数：五、中位数和众数五、中位数和众数 （二）中位数的计算方法（二）中位数的计算方法3 3、由组距数列确定中位数。由组距数列确定中位数。v中位数的特点：中位数的特点：1 1、是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，、是一种位置平均数，不受极端值及开口组的影响，具有稳健性。具有稳健性。2 2、各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小、各单位标志值与中位数离差的绝对值之和为最小值。值。3 3、对某

31、些不具有数学特点或不能用数字测定的现象、对某些不具有数学特点或不能用数字测定的现象（定序尺度），可用中位数求其一般水平。（定序尺度），可用中位数求其一般水平。第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数v分位数：分位数：（补充（补充（选选）N N分位数：分位数：现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，现象总体中各单位标志值按大小顺序排列，将数据分成将数据分成N等分的等分的N-1个标志值就是个标志值就是N分位数分位数。v中位数是二分位数；中位数是二分位数；v常见的分位数还有四分位数、八分位数；常见的分位数还有四分位数、八分位数；v另外还有十分位数、百分位数等；另外还有十分位数、百

32、分位数等；vN2N2时，需注明是第几个时，需注明是第几个N N分位数；分位数；第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习（）中位数）中位数 A A、是总体中最常见的标志值、是总体中最常见的标志值 B B、是处于一个序列中间位置的标志值、是处于一个序列中间位置的标志值 C C、是一个位置平均数、是一个位置平均数 D D、是一般水平的代表值、是一般水平的代表值 E E、易受变量极端值的影响、易受变量极端值的影响B,C,D五、中位数和众数五、中位数和众数二）众数：二）众数：v众数众数是分配数列中出现次数最多的标志值，它表是分配数列中出

33、现次数最多的标志值，它表示社会经济现象中最经常最普遍出现的标志值，示社会经济现象中最经常最普遍出现的标志值，能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。能直观地说明客观现象分配中的集中趋势。v如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而如果总体中出现次数最多的标志值不是一个，而是两个，那么，合起来就是是两个，那么，合起来就是复众数复众数。v注：众数存在的条件是注：众数存在的条件是总体的单位数较多总体的单位数较多，各标，各标志值的志值的次数分配又有明显的集中趋势次数分配又有明显的集中趋势时才存在众时才存在众数。数。第二节第二节 平均指标平均指标指总体中出现次数最多的变量值，用指总体中出现次数最多的变量值

34、，用 表示表示,它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多它不受极端数值的影响，用来说明总体中大多数单位所达到的一般水平。数单位所达到的一般水平。众数众数比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关比如在服装行业中，生产商、批发商和零售商在做有关生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不生产或存货的决策时，更感兴趣的是最普遍的尺寸而不是平均尺寸。是平均尺寸。此时众数合适的代表值。此时众数合适的代表值。（如皮鞋销售中如皮鞋销售中4040码出现的次数最多，则码出现的次数最多，则4040就是众数就是众数）第二节第二节 平均指标平均指标众数的计算方法众数的计算方法1 1、单项数列单项数列:出现

35、次数最多的标志值就是众数。出现次数最多的标志值就是众数。第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：【例例】女式棉毛衫销售情况女式棉毛衫销售情况 尺码尺码(厘米厘米)销售量销售量(件件)比重比重(%)(%)80 6 5 80 6 5 85 8 15 85 8 15 90 48 4090 48 40 95 30 25 95 30 25 100 12 10 100 12 10 105 6 5 105 6 5 合合 计计 110110 100100众数日产量（件）工人人数（人）101112131470100380150100合计800【例例A】已知某企业某日工

36、人的日产量资料如下已知某企业某日工人的日产量资料如下:计算该企业该日全部工人日产量的众数。计算该企业该日全部工人日产量的众数。众数确定众数确定单项数列单项数列第二节第二节 平均指标平均指标众数为12众数的计算方法众数的计算方法2 2、组距数列组距数列确定众数的方法确定众数的方法观察次数观察次数+插值法。插值法。v首先由首先由最多次数最多次数来确定众数所在组，然后再用来确定众数所在组，然后再用比比例插值法例插值法推算众数的近似值。推算众数的近似值。v其上、下限计算公式依次为其上、下限计算公式依次为第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：第二节第二节 平

37、均指标平均指标下限公式：下限公式：上限公式：上限公式：众数的计算方法：众数的计算方法：下限公式：下限公式：上限公式：上限公式：第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：【例例】某企业工人日产量次数分布某企业工人日产量次数分布 按日产量分组按日产量分组(千克千克)工人数工人数(人人)6060以下以下 1010 60-7060-70 1919 70-8070-80 5050 80-9080-90 3636 90-10090-100 2727 100-110100-110 1414 110110以上以上 8 8第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和众数五

38、、中位数和众数 二）众数：二）众数：众数组（最多次数最多次数组组）【例B】某车间50名工人月产量的资料如下：月产量（件）工人人数（人）向上累计次数（人）200以下200400400600600以上373283104250合计50计算该车间工人月产量的众数。计算该车间工人月产量的众数。众数确定众数确定组距数列组距数列第二节第二节 平均指标平均指标v组距数列的组距数列的众数众数M M0 0，一定位于次数分配直方图中一定位于次数分配直方图中最最高一组的组距内的某个值高一组的组距内的某个值，该值就是分布曲线最高，该值就是分布曲线最高峰的横坐标值，又称峰的横坐标值，又称峰值峰值。v众数的特点：众数的特点

39、：1 1、众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频、众数是一个位置平均数，它只考虑总体分布中最频繁出现的变量值，而不受极端值和开口数组列的影繁出现的变量值，而不受极端值和开口数组列的影响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性；响，从而增强了对变量数列一般水平的代表性；2 2、众数是一个不容易确定的平均指标，、众数是一个不容易确定的平均指标，当分布数列当分布数列没没有明显有明显的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；的集中趋势而趋均匀分布时，则无众数可言；当变量数列是当变量数列是不等距分组不等距分组时，众数的位置也时，众数的位置也不好确不好确定。定。第二节第二节 平均指标平均指标五、中位数和

40、众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：q当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端当数据分布存在明显的集中趋势，且有显著的极端值时，适合使用众数；值时，适合使用众数；q当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布当数据分布的集中趋势不明显或存在两个以上分布中心时，不适合使用众数（中心时，不适合使用众数（前者无众数，后者为双众前者无众数，后者为双众数或多众数，也等于没有众数数或多众数，也等于没有众数）。）。众数的原理及应用众数的原理及应用第二节第二节 平均指标平均指标出生出生1981.01980.01979.01978.01977.01976.01975.01601401201008060

41、40200413名学生出生时间分布直方图名学生出生时间分布直方图没有突出地集中在没有突出地集中在某个年份某个年份众数的原理及应用众数的原理及应用第二节第二节 平均指标平均指标192.5190.5188.5186.5184.5182.5180.5178.5176.5174.5172.5170.5168.5166.5164.5162.5160.5158.5156.5154.5152.5150.5148.56050403020100413名学生的身高分布直方图名学生的身高分布直方图出现了两个明显的分出现了两个明显的分布中心布中心众数的原理及应用众数的原理及应用第二节第二节 平均指标平均指标应用平均指

42、标应注意的问题应用平均指标应注意的问题v注意现象总体的同质性注意现象总体的同质性v总平均数与组平均数结合使用总平均数与组平均数结合使用v注意极端值的影响注意极端值的影响v用分配数列补充说明平均数用分配数列补充说明平均数第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习（）众数是）众数是 A A、总体中出现次数最多的标志值、总体中出现次数最多的标志值 B B、处于一个序列中间位置的标志值、处于一个序列中间位置的标志值 C C、当各个标志值的次数相等时不存在、当各个标志值的次数相等时不存在 D D、当各个标志的次数相等时为零、当各个标志的次数相等时为零 E E、不易受变量极端值的影响、不易受变量极端值

43、的影响A,C,E课堂练习课堂练习某地区水稻播种面积按亩产量分组如下，计算亩产某地区水稻播种面积按亩产量分组如下，计算亩产量的中位数和众数。量的中位数和众数。第二节第二节 平均指标平均指标众数组（最多次数最多次数组组）第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习答案答案（1）众数）众数第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习答案答案（2）中位数）中位数三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系v1 1、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。、当总体分布成对称状态时，三者合而为一。第二节第二节 平均指标平均指标对称分布对称分布对称分布 均值均值均值均值

44、=中位数中位数中位数中位数=众数众数众数众数五、中位数和众数五、中位数和众数三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系第二节第二节 平均指标平均指标右偏分布右偏分布众数众数众数众数 中位数中位数中位数中位数均值均值均值均值左偏分布左偏分布均值均值均值均值 中位数中位数中位数中位数 众数众数众数众数五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：若若 则说明分布右偏则说明分布右偏若若 则说明分布左偏则说明分布左偏若若 则说明分布对称则说明分布对称 中位数总在中间，中位数与算术平均数的距离是众数与中位数总在中间，中位数与算术平均数的距离是众数与算术平均数

45、的距离的三分之一。算术平均数的距离的三分之一。即：即：第二节第二节 平均指标平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：v当分布适度偏斜时，三者间的数量关系：当分布适度偏斜时，三者间的数量关系：另一方便记忆的一组公式：另一方便记忆的一组公式：第二节第二节 平均指标平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：v当分布适度偏斜时，由两个平均指标可以估当分布适度偏斜时，由两个平均指标可以估算另一个平均指标（

46、算另一个平均指标（见见P110P110）第二节第二节 平均指标平均指标三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系三）、算术平均数、众数和中位数三者的关系五、中位数和众数五、中位数和众数 二）众数：二）众数：例例：某班有近一半的学生身高不足某班有近一半的学生身高不足1.651.65米，身高米，身高1.711.71米的米的学生最多，试估计该班学生平均身高为多少米？学生最多，试估计该班学生平均身高为多少米？解解：第二节第二节 平均指标平均指标课堂练习课堂练习（）平均指标的位置平均数有）平均指标的位置平均数有 A A、调和平均数、调和平均数 B B、几何平均数、几何平均数 C C、中位数、中位数 D D

47、、众数、众数（）某总体平均数为）某总体平均数为2020，中位数为，中位数为2222，众，众数为数为2626，则总体为，则总体为 A A、钟形对称分布、钟形对称分布 B B、钟形分布左偏、钟形分布左偏 C C、钟形分布右偏、钟形分布右偏 D D、U U形分布形分布C,DB第二节第二节 平均指标平均指标众数、中位数和均值的特点和应用众数、中位数和均值的特点和应用1.众数众数不受极端值影响不受极端值影响具有不唯一性具有不唯一性数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用2.中位数中位数不受极端值影响不受极端值影响数据分布偏斜程度较大时应用数据分布偏斜程度较大时应用3.均值均值易受极端值影响易受极端值影响数学性质优良数学性质优良数据对称分布或接近对称分布时应用数据对称分布或接近对称分布时应用第二节第二节 平均指标平均指标数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型和所适用的集中趋势测度值数据类型数据类型定类数据定类数据 定序数据定序数据数值型（定距、数值型（定距、定比）数据定比）数据适适用用的的测测度度值值众数众数众数众数众数众数中位数中位数 中位数中位数四分位数四分位数四分位数四分位数均值（算术）均值（算术）调和平均数调和平均数几何平均数几何平均数