教室座位选择问题(数学建模)

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1、第十届“新秀杯”校园数学建模竞赛论文题目： 教室座位选择 姓名学号专业联系方式队员1王杨电气工程队员2母博宇电气工程队员3李佳峻电气工程 摘要 本文研究了有关西南交通大学峨眉校区的两种教室听课最佳座位选择的问题。我们根据题目中所给的示意图以及数据，联系实际,合理假设，建立模型进行求解,旨在找出最适合听课的座位。本篇论文我们通过仔细读题,确认该题属于数学规划最优解模型。 在问题一中：选择最优座位，则需要考虑视角,仰角两个决策指标，因此我们建立直角坐标系，使用向量夹角来表达视角和仰角,使用了满意度函数f(,)来衡量不同位置同窗们满意度,以得到最佳位置。为了消除两项决策指标的量纲不同的影响,我们用变

2、异系数法来衡量各项指标的权重大小，其中定义-和max-为两个决策指标，分别求得权重并赋给两个决策变量,而满意度函数值f(，)函数值越小，则表达该座位越合适。因此我们进行了满意度函数最小值点的求解，解得在一般教室和阶梯教室最小值点均在第二排处获得。紧接着,我们又绘制了满意度函数与座位数n的函数图像进行验证。最后我们可以得到结论,一般教室最佳座位为第二排，阶梯教室最佳座位也为第二排。问题二在问题一的基本上增长了一种决策指标L，我们在问题一的决策指标基本上增长了一种新的决策变量L，然后重新求解三个决策指标的变异系数，进行无量纲化，再分别求得权重，赋给三个决策变量，进行满意度函数g(,L）最小值点的求

3、解，我们解得：一般教室g（,L）最小是在第一排获得,阶梯教室g(,，）最小也是在第一排处获得。我们又绘制了满意度函数g（，,L)与座位排数的图像进行验证，综上，我们得出一般教室的第一排，阶梯教室的第一排是最佳座位。本文最大的特色在于:通过满意度函数，将三个量纲不同的决策函数综合起来,作为座位的属性，给出了衡量舒服度的措施。此种数学模型可以协助我们找到教室里或者诸如电影院之类的房间的最佳座位。 核心词:满意度函数 变异系数法 LA软件一 问题提出自高中升入大学，许多学生一下子从紧张的学习进入到自由宽松的学习氛围中,也有一部分同窗仍旧保持着热忱的学习热情,在大学上课前抢着去占座位。西南交通大学峨眉

4、校区六号楼的教室大体可以分为两类，一类是一般教室，一类是阶梯教室。据悉,座位的满意限度重要取决于视角和仰角,视角是学生眼睛到屏幕上下边沿的夹角,越大越好;仰角是学生眼睛到屏幕上边沿与水平线的夹角，太大会引起人的头部过度上仰而引起不适，最合适的角度大概为,此外所占座位越靠前排越容易集中精神,也越好。 我们设屏幕下边沿距地面高度为，屏幕高,一般教室第一排与屏幕的水平距离为，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为 ，每一排的距离为，一般教室总共为学生平均坐高为（指眼睛到地面的距离）。已知参数,， ,，(单位：),一般教室总共有8排，阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯，每节阶梯有一排座位且高度为。1、

5、假设不考虑座位与距离教师远近产生的影响，请分别选出一般教室和阶梯教室的最佳座位；、考虑座位与距离教师远近产生的影响,请分别选出一般教室和阶梯教室的最佳座位。 二 基本假设1. 人的双眼简化为一种质点,将示意剖视图中的座椅和人简化为通过人眼的竖直线段，竖直线段的上端点为人眼被简化成的质点。2. 人在座位上晃动时眼睛的位置变化对问题的影响忽视不计。3. 黑板的宽度忽视不计。4. 教师的位置与黑板的位置重叠,且教师的位置固定不变。三. 符号阐明符号意义单位备注X建立直角坐标系后x轴方向上的变量下标的字母表达某一点Y建立直角坐标系后轴方向上的变量下标的字母表达某一点N人眼所示的质点M与人眼在同一水平线

6、且位于黑板上的点与N点在同一竖直线的位于黑板下边沿的点Q与N在同一竖直线的位于黑板上边沿的点学生座位所处的排数L学生与教师的距离米()合用于问题二1屏幕下边沿距地面高度米（)已知为12h2屏幕高度米（）已知为d每一排的距离米（)已知为0.5c学生的平均坐高米（)已知为1.1D1一般教室第一排到屏幕的距离米(）已知为3D2阶梯教室第一排到屏幕的距离米(）已知为43阶梯教室每节阶梯高度米（)已知为0.1视角:学生眼睛到屏幕上下边沿的夹角弧度仰角：学生眼睛到屏幕上边沿与水平线的夹角弧度max一般教室和阶梯教室角的最大值弧度不同问题中分别表达两个教室角()满意度函数问题一g（)满意度函数问题二变异系数

7、原则差平均值K权重下标为不同指标四.问题分析 大学的学习仍然需要我们的努力,而听课的质量则是核心,好的座位可以提高我们的听课效率。不同的座位所相应的视角、仰角以及距离教师的远近不同，学生的听课效率也有所差别。因此，下面我们将结合这三个因素,综合考虑最佳听课位置。 在问题一中，未考虑与教师的距离因素，因此,我们只需研究视角与仰角两个因素。由于教室又分为两种：我们可以发现,其中阶梯教室是有一部分与一般教室的属性完全同样的。因此，我们可以讨论阶梯教室的状况,从而建立合用于两种状况的模型;而问题二,是在问题一的基本上,加了一种约束因素,即座位与教师的距离L。此时我们想到了用构造一种平面坐标系来将支点，

8、夹角放入坐标系中进行讨论，用坐标变换来表达视角、仰角、学生与教师的距离，使问题更加清晰明白。 由于是求解最优化问题,因此我们想到了构造满意度函数。最后由于我们并不懂得视角、仰角与学生与教师距离对听课效率的影响限度,因此我们又使用了变异系数法来拟定权重,来衡量不同座位所含的因素,或因素，和L对听课效率的影响限度大小,从而选出最佳位置。 下面是两个问题思路的流程图： 建立直角坐标系变异系数法构造满意函数题目分析提取决定因素权重仰角视角距离未知 用 坐 标 表 示 流程图4.问题一的概述：本部分我们将重要阐明如何使用题中所给的数据。对于我们所求的视角和仰角，可以在直角坐标系中，通过向量的夹角来求解。

9、而题中的数据则可以拟定物体在直角坐标系中的坐标,即将物理模型转换为数学模型。 通过度析可知，视角与仰角的体现式是由多种已知量和一种未知量（座位的排数n)构成的，因此,我们就将现实生活问题用数学模型体现了出来。接下来,我们就可以用构造满意函数的措施比较不同座位的视角与仰角对问题的影响限度。4.3问题二的概述: 问题二是在问题一的基本上,增长了一种学生与教师的距离因素,从而再来讨论不同座位对学习效率的影响。一方面,我们需要考虑阶梯教室中前排的同窗能否挡住后排同窗的视线。由于在视角的范畴内，背面同窗的视线易被前排同窗挡住。通过数学计算,我们发现背面同窗的视线并不会被前排同窗挡住。这就消除了我们的顾虑

10、。接着我们通过度析数据发现，距离L=D2+(n1）d，即也是由n来拟定的。这样,则三个因素可由n来连接的。示意图如下所示: 视角 满意度函数n的体现式距离仰角 表达流程图五、模型的建立与求解5.1问题一模型建立与求解51问题一的分析 一方面，我们进行数据预解决，将本题中的角度所有由弧度制来表达，如30转化为,以便计算和应用。 问题一给我们提出了一种问题：在不考虑座位与距离教师远近产生的影响的状况下,分别选出一般教室和阶梯教室的最佳座位。根据题意,我们只需要考虑选择不同座位时，的不同对满意限度所带来的影响便可拟定最佳位置。由此我们可以建立满意度函数f(,),进而求出满意限度最大的座位,即满意度函

11、数在定义域内的最值点即可。 而此题中满意限度由人的仰角和视角所决定，仰角最合适的角度为,即越接近，所决定的满意度越高。因此我们用-(即与差值的绝对值)来表达与的接近限度,-越小,与越接近，即所决定的满意度越高。对于视角，它表达的是学生眼睛到屏幕上下边沿的夹角，越大越好,即所决定的满意度越高。我们用mx-来表达的大小,mx表达每一种情境中所有位置中角的最大值。mx-越小，阐明越大,即所决定的满意度越高。为建立满意度函数，我们要表达出各个位置的角和角。设黑板所在直线为y轴，地面所在直线为x轴，建立直角坐标系。我们可以运用两个向量之间的夹角来表达出角和角。如图1所示。图15 问题一模型的建立 目前我

12、们来构建满意度函数，满意度需要用决策变量-和来衡量。-和ax-我们采用直角坐标系中向量知识可以求得。很明显，每一排座位都相应一种和，那么当最合适的和在不同座位处获得时,我们应当如何来衡量和的重要性呢,也就是我们应当如何来拟定-和ax-的权重。 而本题中由于评价指标体系中的各项指标的量纲不同，不适宜直接比较-和max-差别限度。为了消除各项评价指标的量纲不同的影响，本题中我们需要用各项指标的变异系数来衡量各项指标取值的差别限度。由此,便可拟定-和max-的权重，我们的满意度函数也就可以顺利构建出。 接下来,我们来拟定权重以及-和max-,以来建立模型。)权重的拟定:我们采用变异系数法来拟定权重。

13、决策指标的变异系数公下： Vi= （,，3,4n） (1)此式中,是Vi第项指标的变异系数，也称为原则差系数；问题一中共有两项指标,-和a-。i分别是是第i项指标的原则差，在问题一即为和m-分别构成的数组的原则差；是第项指标的平均数，在问题一中即为-和mx-分别构成的数组的平均值;各项指标的权重为: Ki= （2） 在问题一中,我们将-和ma-的权重分别记为K1和K。2)-和ax-的拟定: 当权重可以拟定后,此时我们要做的就是表达出-和ma，本题中我们采用直角坐标中向量的有关知识来表达-和max-,即我们用两向量夹角表达和角,进而求得和max。由于本题情境多样，各情景内容不同,条件不同,公示表

14、达不同，例如一般教室和阶梯教室第一排距离黑板距离不同,阶梯教室中到排和6到4排的高度不同,因此在接下来的模型建立及求解过程中,我们将分为三个具体情境，分类讨论。分别是:1) 一般教室1到排2) 阶梯教室1到排3) 阶梯教室6到14排我们运用坐标系中两个向量的夹角来表达和角，在求解的过程中,我们发现了某些核心点以及核心点形成的核心向量，分别是：核心点： 1)人眼所示的质点N)与人眼在同一水平线且位于黑板上的的点M(在的表达中浮现) )与N点在同一竖直线的位于黑板下边沿的点P(在的表达中浮现) 4）与N在同一竖直线的位于黑板上边沿的点Q 在求解的过程中会浮现M,N,Q这三个核心点 在求解的过程中会

15、浮现M,P,Q这三个核心点N,M,P，Q四点相对位置如图2所示 图 目前我们分别设出这四个点的坐标：:（Xm,Ym) N(Xn,n) P(，Y) Q(q,Yq) 各点的横纵坐标分别为:N: Xn=D1+（n1)d n=c (一般教室及阶梯教室1至5排) Xn=D2+(n-1) =c+(-5）h3 (阶梯教室6至4排)M: Xm=0 m=c （一般教室及阶梯教室1至排) Xm= m=c+（n-5)h3 (阶梯教室6至4排)P: X0 Yp=1Q： Xq=0 Y=+h2核心向量: 向量 向量 向量 运用向量有关知识,我们可以用坐标表达出向量，向量和向量: :(m-X，Ym) ：（p-Xn,Y-Y）

16、 :(X-Xn,Yq-Yn) 代入具体字母得：1) : (-D1-(-1)，) (一般教室) (3） ： (-D2（-),0) （阶梯教室至5排） (4） : (-D-(n-）d,） （阶梯教室6至4排) (5）2) : (-（1)d ，h1-(n5）3） (一般教室） (6） ： (-2-(n)d,1c（n-)h3） (阶梯教室1至5排) (） : (2(n-1)d，h1-c-(n-5)3) （阶梯教室至14排） （8) 3) : (-D(n-）d ,h-c-（n5)h)(一般教室) （9) : (-2-(-1)d ,h2-c) （阶梯教室1至5排) （10) : (D2(-1）,h1+h-

17、c(n-)h3)(阶梯教室6至14排） （1) 目前，我们可以将仰角角用向量和向量之间的夹角来表达，将视角用向量和向量之间的夹角来表达。由平面向量有关知识和两向量之间的夹角公式得：=rcco (） （12）=arccos （) （13) 本题中情境多样且数据繁多,因此在不同情境下，同一点,同历来量有不同的公式表达，因此我们将不同状况下向量的不同表达用表格列出来，以便清晰直观的理解题意,调用公式。如图3所示。核心向量不同情境一般教室阶梯教室1至5排阶梯教室6至14排(-D（n-1) ，0）(-D-(n-1) ,)(-D-(n-1)d，)(-D-(n1)d ，hc-(n5)h)（-D2-(n-1）

18、d ,h1h2-)（-D-(n-),1-c-(-5)h）(-(n-1)d,1c-(n)3)（-D-(n-1) ,h-（n5)h3）（-2-(n-1)d,hh-c-(5)h3) 图已知参数: 黑板的宽度为L1 ,过道宽度为L2 ,每位同窗所占位置宽度为L3,屏幕下边沿距地面高度为1 ，屏幕高h,一般教室第一排与屏幕的水平距离为D1，阶梯教室第一排与屏幕的水平距离为D ，每一排的距离为，一般教室总共为学生平均坐高为(指眼睛到地面的距离）。一般教室总共有8排,阶梯教室总共有14排且从第6排开始有阶梯,每节阶梯有一排座位且高度为h3。决策变量： 1) 仰角最接近,我们用-（即与差值的绝对值）来表达与的

19、接近限度,越小,与越接近，即所决定的满意限度越高。因此为使所决定的满意限度最高，我们要使最小。 即in- rcos(） - （14） 2) 视角越大越好，即为使所决定的满意限度最高,我们要让最大化，即imax-=maxarco () （5) 约束条件为人眼所示的质点可行域的范畴（人眼所示的位置在坐标系的位置限制)，即 Xn=1+(n-)d,n=1,2,3，4，5，6,8 (一般教室） (1） Xn=D2+(-1）d,n=,，3,4, （阶梯教室到5排) (1）XD2+(1)，n6,7,，9,11,12，13，14(阶梯教室6到1排) (18) 因此我们最后建立的满意度函数为 f(,）K1- K

20、2 (m） （1） 上式是在考虑最合适的和最合适的不同位置获得时所建立的模型，易得，当最合适的和在同一位置获得时,上述模型也同样合用。这样，我们就可以将两种状况统一起来。我们以-和 max-为决策指标，显然,满意度函数的函数值越小，阐明和与最佳角度越接近,即满意限度越高,因此我们只需规定出满意度函数在定义域范畴内的最小值点，即可求得最佳位置。.13 问题一模型的求解1)一般教室将模型（3）(9）（12)（1）输入MATLA软件,解得一般教室1到8排角分别为 0.610 050 0.44 436 076 0.3647 0.367 0.125 (2） 将模型（1)(2）输入MALAB软件,解得一般

21、教室到8排分别为 00871 .01 0.02 0.70 0.1260 0589 0.869 0.2111 (1) 将模型（1)(21）输入ATLAB软件,解得一般教室1到8排构成的数组的原则差为007,平均值为.1，变异系数为.603 (）将模型（6）(9）(1）(15）(1)输入MALAB软件，解得一般教室1到8排角分别为 05774 0.511 0.4585 0414 0.3776 0.36 0.20 0.71 由此可见，一般教室中第一排的角最大，ax=0.577 （3）将模型（15)（3）输入ATAB软件中,解得一般教室到排max分别为 .0000 0.065 0.189 .10 01

22、998 0.308 02574 0.2803 （2) 将模型（1)（4）输入MATLAB软件,解得一般教室1到8排max-构成的数组的原则差为69,平均值为 0.112，变异系数为.5931 （25）将模型（2）（2)(25）输入MATA软件,解得一般教室和的权重和2分别为 054 ,0.497 (2) 将模型（19）（1)（4）（6）输入AB软件，解得一般教室1到排满意度函数值(,）分别为 .39 0.0410 .792 01247 1626 .1945 2219 054 很明显,当n=时满意度函数值最小,即满意限度最高，因此,我们可以觉得问题一中一般教室第二排为最佳位置。 阶梯教室: 将模

23、型(4）(5)(1)(1）(）(17)（8）输入ALAB软件,解得阶梯教室1到14排角分别为.6107 0.5404 0.84 0.4366 0396 0.985 0.2650 0.355 0.094 81 .161 .146 0.1293 0.1138 （7)将模型(11)（7)输入MATAB软件,解得阶梯教室1到14排-分别为 0.071 00168 0.0 00870 .260 .221 0.580.81 0.3142 0.375 0.3585 0.73 0.4 0.098 (28) 将模型(1）(）（8)输入MATAB软件，解得阶梯教室1到14排-构成的数组的原则差为 0.135,平均

24、值为0.37,变异系数为0.5880 （9） 将模型（）（)（7)(0）（1)(1）(7）（1）输入MLAB软件,解得阶梯教室1到14排角分别为： 0.577 .11 04585 0.144 03776 0.2985 0.2793 0.2622 0249 02331 0 0.204 01992 0.19 由此可见，阶梯教室中第一排的角最大,ax=0.574 (0） 将模型（1）(30）输入MATAB软件，解得阶梯教室1到4排max-分别为 -.000 0.065 0.189 0.1630 0.99 2789 028 0.315 0.3305 0.3443 .358 0.380 0.32 .38

25、76 （31)将模型(1)（31）输入MATLB软件，解得阶梯教室1到14排max构成的数组的原则差为0.160，平均值为0.25 ，变异系数为 0.4895 （32） 将模型（)(29)(0)输入ATLB软件,解得阶梯教室的和的权重K和K2分别为: 0.55 0.43 （3) 将模型(1)(28）（1)（33）输入MTA软件,解得阶梯教室1到1排满意度函数值分别为 0475 .030 0.0759 0115 0.1595 0.249 0.75 0.304 0.216 306 .5 0.31 0.3870 0.39很明显,当n=2时满意度函数值最小，即满意限度最高,因此,我们可以觉得问题一中阶

26、梯教室第二排为最佳位置。5.1.4问题一成果的分析及验证我们绘制出了满意度函数g(，,L)随座位排数n变化的图像，问题一中一般教室满意度函数如图4所示,问题一中阶梯教室满意度函数如图所示。图4图 由图4可以清晰直观地看到,当横坐标值为时,满意度函数值最小，即满意限度最高,由于只能取整数，=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡和角,一般教室最佳位置是第二排。 由图5可以清晰直观地看到，同样，是当横坐标值为2时，满意度函数值最小,即满意限度最高,由于只能取整数,n=2是函数在定义域的最小值点。因此，问题一中权衡和角，阶梯教室最佳位置也是第二排。5.2 问题二模型建立与求解52.1 问题二

27、的分析 问题二在问题一的基本上增长了一项新的考虑因素：座位与距离教师远近产生的影响,问题二仍是规定我们得出一般教室和阶梯教室的最佳位置。在问题一所考虑的和基本上增长了新的决策变量：学生距离黑板的距离。我们将按照与问题一同样的措施建立模型，进行求解。.2.2 问题二模型的建立同问题一求解思路一致，我们在问题二中也将建立满意度函数g(，L）,仍然以座位排数n自变量,与问题一同样，我们需要客观考虑,和距离三者对于满意度的“重要性”,即各个决策指标对于满意度的影响限度,即如何分派各个变量的权重。本问题中，我们仍然采用变异系数法来拟定,和L的权重。对于,的平均值,原则差以及变异系数与问题一一致，我们将L

28、所构成的数组的权重记为3。，的权重仍记为K1和K2。而L所构成的数组的平均值,原则差,变异系数的措施与,一致。下面我们来拟定以及 -和max-,以来建立模型。)的拟定: 距离L我们可以用人眼所示的质点所在位置的横坐标的数值来表达，即 L=1(n1）d （一般教室) (3） D2+(n-1)d (阶梯教室） （35)2) -和ax的拟定： 问题二中-和m-的拟定与问题一一致,在此不再赘述。决策变量： 1）仰角最接近，我们用-(即与差值的绝对值）来表达与的接近限度,越小,与越接近，即所决定的满意限度越高。因此为使所决定的满意限度最高，我们要使最小。 即 arccs() （36) 2)视角越大越好，

29、即为使所决定的满意限度最高，我们要让最大化, 即m max-=arccos () （3） ）所占座位越靠前排越容易集中精神,也越好。即人与黑板的距离越小越好,我们用直接用决策变量L来表达,为了使所决定的满意限度最高，我们需要使L最小,即 i Ln=D1(n-1）d (一般教室) (38） min L=Xn+（-）d (阶梯教室) （3） 约束条件：人眼所示的质点可行域的范畴(人眼所示的位置在坐标系的位置限制),即 X=(n1)d,=,，,4,，6,7,8 (一般教室) （40) Xn=D2()d,n=,2,3,，5 （阶梯教室到5排） (41） n=2+(n-1)，n,7，8，9，10,11,

30、12,13,1 （阶梯教室6到14排）(42） L=Xn=D(1)d,1,2,3，4,5,7，8 （一般教室） （3) =XD2(n-1)d，1，,3,5 (阶梯教室1到5排） （） L=Xn=D2+(-1）d,n=6，7,8,10,1,12，1,14(阶梯教室6到14排）(45） 我们最后建立的满意度函数为： g(,)1 K (max-)+K3 L (4） 我们以- ，a-和L为决策指标，显然，满意度函数的函数值越小,阐明和与最佳角度越接近且座位越靠前,即满意限度越高,因此我们只需规定出满意度函数在定义域范畴内的最小值点,即可求问题二中的最佳位置。 5.2.3问题二模型的求解 问题二中,一般

31、教室和阶梯教室- ,max-构成数组的平均值，原则差,变异系数与问题一一致,在此不再赘述。 一般教室: 将模型(34)（40）（4)输入ATLA软件，解得一般教室到8排L分别为:3000 3.00 4.000 4.5000 5.000 .5000 (7).0000 .0 将模型（1)（4)输入ALA软件，解得一般教室L构成的数组的原则差为1.24，平均值为4.700,变异系数为0.2578 (4) 将模型(2）（2）(25）（48)输入MTLB软件,解得一般教室,L的权重K,K,3分别为: 0.0 0.14 0.73 （4) 将模型(21)（)（46）(49)输入MATLA软件，解得一般教室1

32、到排满意度函数值（,L)分别为: 560 0.6543 74 0.04 1.202 1.1352 126 .543 很明显，当n=2时满意度函数值最小,即满意限度最高,因此，我们可以觉得问题二中一般教室第一排为最佳位置。 阶梯教室：将模型(3）（3）（1）(2）(4）(5)输入MATLAB软件，解得阶梯教室到14排L分别为： 4.00 5000 .000 5500 6000 6.5000 70000 7.5000 8.00 8.000 9.000 9.500 10.0000 0.5000 (5) 将模型（）(50）输入MTLAB软件，解得阶梯教室1到14排构成的数组的原则差为 2.17,平均值

33、为7.2500，变异系数为.288 （51) 将模型（)(2)(32）(51）输入ATLAB软件,解得阶梯教室,，L的权重K1,K2，K3分别为: 038 0.4305 0212 （52) 将模型（29)（31)(46)（52）输入MATLA软件，解得阶梯教室1到1排满意度函数值g(,）分别为: .823 0.981 1.159 1.2575 1.390 .5697 .6965 1.8210 .9433 2.09 2.180 307 2.4173 .39 很明显,当=1时满意度函数值最小，即满意限度最高,因此，我们可以觉得问题二中阶梯教室第一排为最佳位置。2.4 问题二成果的分析及验证 我们绘

34、制出了满意度函数(,，L)随座位排数n变化的图像,问题二中一般教室满意度函数如图所示，问题二中阶梯教室满意度函数如图7所示。图6 图7 由图6可以清晰直观地看到,当横坐标值为1时,满意度函数值最小,即满意限度最高,由于只能取整数,n是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡，角和L后,得到一般教室最佳位置是第一排。 同样,由图可以清晰直观地看到,当横坐标值为1时，满意度函数值最小，即满意限度最高,由于只能取整数,n是函数在定义域的最小值点。因此，问题二中权衡和角和L后，得到阶梯教室最佳位置也是第一排。六、模型的评价与推广6.1 模型的评价 长处：（1）本论文精确地抓住了题中所给条件的核心,通

35、过数学建模将现实生活中的问题转化为了数学模型，更加直观,清晰。 (2)在模型建立中我们采用了多种软件(如MALA，ATCD,WPS,ATHTYPE等)进行求解制图，计算成果较为精确。本论文还使用了变异系数法,计算多种决策因素的权重,增长了论文的可信度。 缺陷：（1）只考虑了学生座位的排数对听课效率的影响,尚未讨论所坐的列数对成果的影响。 （2）任何模型、系统都受到实际生活中的多种限制，本模型也不例外，为了简化模型,基本假设诸多都是抱负状态。例如我们无法得知教室内学生听学时的双眼所在位置在如何变化。6.2 模型的推广 本模型可以运用于其她座位选择问题，例如在电影院选座时,我们可以运用此模型来选择

36、最佳的座位。由于电影院的座位的地板线呈一定角度，因此，在建立直角坐标系求解座位的坐标时，需要将引入,即人的双眼高h=(-)r,其中n为座位的排数,d为每排座位的间隔。再运用本论文的模型,通过满意度函数求解出最佳座位。七、参照文献1姜启源,谢金星，叶俊.数学模型(第四版).北京：高等教育出版社，月(美）MarkM.Merschae著刘来福，黄海洋，杨淳译.数学建模措施与分析（原书第4版）,机械工业出版社，月3张志勇，杨祖樱等.TLAB教程,北京航空航天大学出版社，月4卓金武等.ATLAB在数学建模中的应用(第二版）,北京航空航天大学出版社,月八、附录8.1 附录清单附录:求解问题一的MATLB程

37、序附录2:求解问题二的MATLAB程序附录3：问题一的完整数据附录4:问题二的完整数据8.2 附录正文附录1：求解问题一的MATLB程序 n 1 2 3 4 5 8n = 6 7 8 9 10 1 1 14 2 3 4 5 8 10 1 12 1 14x1 =(0n + .5）2 + 0.21 = (0*n + 2.5).2 +.01).0.5*(5*n 2.5)2 + .41).5a=acs（x1./y)2(0*n+2.）2=(0.5n+2.5)2+4.41）.5b=aos(x2./y）b=as(b-p/6)x3=(0.*n1+3.5）.2+（06-.1*n1).*(.6-0*n）y3=(.

38、5n135).2+（00.1*1).2）.0.5*(0.5*n+3.5)2+(26-0.n1）.2）0.5a1=acs(x3./y3)0.*n13.5y4=(0.5*n135).+(2.6-0.1n1)2)0.5b1=aco(./4)ca=a(1，2，3,，）,a1cbb(,2,3,5),1bb1=bs(cb-pi6)aa=0.774-aa1=05774bzsd（a)bzca=st(aa)zbstd(bb)bcb1=d(b)pjza=mean(a）pjz1=ean(a1)pjzb=mean（bb）jb1=mea(b1）w=bzca/pzaw2zcb/pjzbw3=bzca1/pjaw=bb1/

39、pjzb1w1/(w1w2）k2=w(w1+w)k3=w3/(w3+w4)k=w4/（w3+w4)1=k1aa+k2*f2=3aa1k4*bb1附录2：求解问题二的MATAB程序x1 = (05*n +25).2 +.21y (（.*n + 2.5） 0.01)0.*（0.5* .5).2+ .4)0.5a=cos(x./y1)x2=(0.n+2.）2=(.*+2.5).2+4.4）.5b=os(x2./y2）b=abs（b-pi)=(0.5+3.5).+（06-.1）*(2.6-.1*n1)y3=（(05n1+3.).2(.6-0.*n1).2).0.*(0.5n1+3.5）.(2.6-0.

40、1*n)2).0.5a1=o(x3.y)x405*1+3.y（(0.51.5）2+（2.6-0.1*n1）.2）05b1aco（x4/4)ca=a(1，2,3,4,5),a1cbb(1，2，3,4,5),b1b1=ab(c-pi/6）aa=0.574-aaa1=0.574cabzca1=std(aa1)bzcastd(aa)bcb=std(bb）bc1=std（bb)jzn(a)jza1=ean(aa1)pjzan(b）pjz1ea（bb1)w=bzcapjzaw2=bzcbjzw3=bca1/a1w=bzcb1/pjz1k=w1/(w1+w）k2=w/(w1w)3w3(w4)k4=w4/(w

41、3+w4)f1=1*aak2*bbf2=3*aa1+k4*b1L1=0.5+2L2=0.5*n2+3.5bzcL1=std(L)bzLstd(2)pzL1=men(L)pjz2=mea(L2)5=bzL1/pzbzcL2/pL5=w1/(w1ww5)k=w2(w+w5)k7=w/(1+2w5)k8=w（w+w4+6)k9=w/(w3+w4+6)k1=w6/(w3+4+6)f=k5ak6b+k7*Lf4=ka1k9*bb+k10*2附录3：问题一的完整数据x1=9.1 12.600 2100 20.400 .2100 0.600 362100 42.60y1 109 142917 8.0766

42、220 27.120 2.3854 8.1 4.4055a=0.574 .1 0.48 0.444 0.776 0.346 0.320 0291X .00 .00 4.0000 4.50 5.000 .500 6.000 .500y2 =3.6620 4.17 177 4969 .4231 5.883 .3569 .808 0.6107 050 834 0.6 03976 .37 0.336 0.3125bb =081 0.68 0040 0.087 02600.189 .1869 0.21x = 422500 48.810 55.90 63.40 60080.2500 9.100 99900

43、 109.00y3 = 44208 50.781 5789 65.750 73.6002 8.29 91.4065 101.08211.283a 0.285 .279 0.262 0.269 0.23 0.06 .2094 01992 088 =600 .000 700 8.000 00 9.0000 9.50 00000 0.5000y46.807 .2533 7130 8.786 8.93 9.241 9.6026 1.4 0.563b .298 0.2650 0.55 0.204 0.1861 0.5 .163 0.1293 .138ca= 至11 列 0.74 0.519 0.4585 0.41 0.377 0.2985 2793 0.222 0.46 .31 0.206 12 至 4 列 .2094 0.992 0.1898c= 1 至1 列 0.61 0404 0.834 0436 .3976 .295 02650 .2355 0.204 0186 0.1651 1至 14列 046 01293 0.1138bb1= 1至 11 列 0.0871 0.0168 0.040 0.870 0.26 221 0.2586 .281 0.312 0.335 0.355 2 至列.373 03943 .4098aa= -0.000