【三维设计】高考数学一轮复习-(基础知识+高频考点+解题训练)双曲线教学案

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1、双_曲_线知识能否忆起1双曲线的定义平面内与定点1、F2的距离的差的绝对值等于常数(不不小于|F1F2)的点的轨迹叫做双曲线,这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.2双曲线的原则方程和几何性质原则方程-1(a0，b)-=1(a0,b0)图形性质范畴x或-ay-a或ya对称性对称轴:坐标轴对称中心：原点对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A(-a，）,A2(a,0）（0,a）,2（0,a）渐近线xx离心率e，e(，+），其中c实虚轴线段1A2叫做双曲线的实轴,它的长|AA2a；线段B1叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|=2b；a叫做双曲线的实半轴长,b叫做双曲线的虚半轴长通径

2、过焦点垂直于实轴的弦叫通径，其长为、b、c的关系2a2+（a0，cb0)小题能否全取(教材习题改编）若双曲线方程为x-22=1，则它的左焦点的坐标为( ). B. D.解析：选C 双曲线方程可化为x1,a,b=.c=2+2，=.左焦点坐标为(教材习题改编)若双曲线-1的一种焦点为(2,0),则它的离心率为（ )A. B.C. D2解析：选C依题意得21=4,a23,故e=.设F1,F是双曲线2=1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且PF1|4|F2|,则FF2的面积等于( )A.4 B.82 D.4解析:选 由P是双曲线上的一点和|P1|PF2|可知，|PF1|P2|=2，解得|F1|8，|PF

3、|=6.又|F1F2|2c10，因此PF为直角三角形，因此PF12的面积S68=44双曲线-y=1（0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_解析：由题意知= 2,解得=，故该双曲线的渐近线方程是xy=0,即yx.答案:=x5已知（,)，F2(0,5)，一曲线上任意一点M满足|F1|M28,若该曲线的一条渐近线的斜率为,该曲线的离心率为e,则k|e_.解析:根据双曲线的定义可知，该曲线为焦点在y轴上的双曲线的上支，c5,a,3，e=,|k|=.|k|e答案:1.辨别双曲线与椭圆中、b、c的关系,在椭圆中a2b2+,而在双曲线中c2=2+b2双曲线的离心率1；椭圆的离心率e（,）渐近线与离心率

4、:-=(a0，b)的一条渐近线的斜率为= =.可以看出,双曲线的渐近线和离心率的实质都表达双曲线张口的大小注意 当ab0时,双曲线的离心率满足1e0时,e(亦称为等轴双曲线)；当b0时，.3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之,当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一种交点.双曲线的定义及原则方程典题导入例1(1）（湖南高考)已知双曲线C：-=1的焦距为10,点P(2,1)在的渐近线上,则的方程为（ ）A.=1 B.=1C.-=1 D.1（)(辽宁高考)已知双曲线xy2=,点F1，F2为其两个焦点,点为双曲线上一点,

5、若PF1F2,则PF1+|F2|的值为_自主解答 (1)1的焦距为，c=.又双曲线渐近线方程为yx,且P(,1)在渐近线上,=1，即a2b.由解得a=2，=()不妨设点P在双曲线的右支上,由于PF1PF2，因此()2=|P1|2+|P|2，又由于|P1-|F2|=2，因此(|F-|PF）24,可得2|P1|PF4,则(PF1|PF2)2|PF1|2|F2|22|1|P2|=2,因此|P1|2|2.答案（1)A ()2由题悟法应用双曲线的定义需注意的问题在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具有的几何条件,即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数,且该常数必须不不小于两定点的距离”.若

6、定义中的“绝对值”去掉,点的轨迹是双曲线的一支2.双曲线方程的求法(1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为m2+ny21(mn0).（2)与双曲线-1有共同渐近线的双曲线方程可设为=(0)(3)若已知渐近线方程为m+ny0,则双曲线方程可设为m2x2n2y2(0).以题试法1.（大连模拟）设是双曲线-=1上一点，F,F2分别是双曲线左右两个焦点,若|PF1|9，则|PF2( ）1 B17C.1或17 D.以上答案均不对解析：选 由双曲线定义|PF|2|8,又|F1=9,|PF2|1或17，但双曲线的右顶点到右焦点距离最小为ca=6=1,|PF2|=17双曲线的几何性质典题导入例(浙江

7、高考)如图，F1，2分别是双曲线C：-1(,b0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点,线段PQ的垂直平分线与轴交于点M.若MF2|F1F|,则C的离心率是( ）A. B.C. D.自主解答 设双曲线的焦点坐标为(c，),F（c，0)(0,），F1B所在的直线为+=1双曲线渐近线为y=x，由得 .由得P，P的中点坐标为.由a2+b2=c2得,Q的中点坐标可化为.直线F1B的斜率为k=，P的垂直平分线为y-.令0，得x=c，M,|FM由|MF|F1F2|得=2c,即3a2c，e2=,e=.答案B若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与轴的夹角为,且”,求双曲线

8、的离心率的取值范畴.解:根据题意知1,即10)或m=，故离心率有两种也许.2解决与双曲线几何性质有关的问题时，要注意数形结合思想的应用.以题试法(1）(福建高考）已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于( ）A. B.C. D.解析：选C由题意知c=3,故a2+5=9，解得a2，故该双曲线的离心率e=.(2)(大同模拟)已知双曲线1（a0,b0)与抛物线y2=x有一种公共的焦点F，且两曲线的一种交点为P,若|F|=5，则双曲线的渐近线方程为( ）A.yxBxy=x D.yx解析：选B设点P(m,n)，依题意得,点(2,0）,由点P在抛物线y=x上，且|P=5得由此解得m3，n

9、2=4.于是有由此解得a2=1，23,该双曲线的渐近线方程为=x=x.直线与双曲线的位置关系典题导入例 (南昌模拟)已知双曲线1(a0),O为坐标原点,离心率e=，点M(，)在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若直线l与双曲线交于P，Q两点,且=0.求+的值.自主解答 (1)e=2,c2a,2=2-2=a2,双曲线方程为-=1，即x2y2a2点M（，）在双曲线上，153=3aa4.所求双曲线的方程为-=1（2)设直线OP的方程为y=k(0)，联立-=1，得|P|2x2y2=.则OQ的方程为y=-x,同理有O|2=,+=.由题悟法1.解决此类问题的常用措施是设出直线方程或双曲线方程,然后把直

10、线方程和双曲线方程构成方程组,消元后转化成有关x(或y)的一元二次方程.运用根与系数的关系，整体代入.2.与中点有关的问题常用点差法.注意根据直线的斜率k与渐近线的斜率的关系来判断直线与双曲线的位置关系以题试法3.(长春模拟)F,2分别为双曲线-1（0，b0)的左，右焦点,过点F2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M,满足|,|=3|,|,则此双曲线的渐近线方程为_解析：由双曲线的性质可得|，|=b,则,|3b在MF1O中,|,|a,|,|=c，cos F1O=，由余弦定理可知-，又2a22,因此a2=b2,即=，故此双曲线的渐近线方程为y=x.答案：y.(唐山模拟）已知双曲线的渐近线为x,焦

11、点坐标为(-4,0)，(,）,则双曲线方程为( ）-=1 B=C1 D=解析：选由题意可设双曲线方程为-1(0,b),由已知条件可得即解得故双曲线方程为-.若双曲线过点（m,n)(mn0)，且渐近线方程为=x,则双曲线的焦点（)在轴上 在y轴上C在x轴或轴上 D.无法判断与否在坐标轴上解析:选Amn0,点(m,)在第一象限且在直线y=的下方,故焦点在x轴上3(华南师大附中模拟）已知m是两个正数2,的等比中项，则圆锥曲线x2+1的离心率为( )A.或 B.C. D或 解析：选m26，m4,故该曲线为椭圆或双曲线.当4时,.当m4时，e=.(浙江高考)如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,

12、N是双曲线的两顶点.若，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是( ）3 2 D解析:选B 设焦点为（c,0）,双曲线的实半轴长为a,则双曲线的离心率1,椭圆的离心率e2=，因此.5（哈尔滨模拟)已知是双曲线(0，0)上的点,F1，F2是其焦点,双曲线的离心率是，且,，若F1F2的面积为9，则a+b的值为( )A.5 B6. D解析:选C由,=0得,，设，|=m，|,n,不妨设m,则m2n2c2,m-n，mn=9，解得b3,a+7(浙江模拟)平面内有一固定线段AB，B，动点P满足|PA|PB|3,为AB中点，则|OP|的最小值为( ）A3B2C. D.1解析：选 依题意得,动点位

13、于以点，B为焦点、实轴长为的双曲线的一支上，结合图形可知，该曲线上与点O距离近来的点是该双曲线的一种顶点,因此OP的最小值等于.7.(西城模拟)若双曲线x2k21的一种焦点是(3，），则实数=_.解析：双曲线x2y21的一种焦点是(3,0)，1329，可得k=.答案：8.(天津高考）已知双曲线1:=1（a，b0)与双曲线：有相似的渐近线,且C的右焦点为F(，0),则a=_,b=_.解析:双曲线=1的渐近线为y2x,则=2,即b2，又由于c,22c2，因此=1,b=2.答案:129.（济南模拟)过双曲线-=1(a0,)的左焦点F作圆x2y2的切线,切点为E，延长E交双曲线右支于点,若E为PF的中

14、点,则双曲线的离心率为_.解析：设双曲线的右焦点为.由于E为的中点,坐标原点O为F的中点，因此EOPF，又EP,因此FPF,且|P|=a，故PF|3,根据勾股定理得|F=a.因此双曲线的离心率为=.答案:1.(宿州模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上，离心率为，且过点（,-)点M(,m)在双曲线上（1)求双曲线方程;(2)求证:0.解:(1)e,可设双曲线方程为x-y2=（0）过点（4,-）,161，即=6.双曲线方程为-=1.()证明:由（)可知,双曲线中b=，c=2,F1(-2,0)，F2（2，0),kMF1=,kMF2,kMF1M2=-.点(3，m)在双曲线上,2=6,

15、m2,故kMFkF=1,MF1MF2=0.1(广东名校质检)已知双曲线的方程是16x2-9y14(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程;(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点,点P在双曲线上，且|F1|P|=2,求F1PF2的大小解:(）由6x29y4得1,因此a3，=,=5,因此焦点坐标F(5，0),2(5,0),离心率e=,渐近线方程为=x.（2)由双曲线的定义可知|PF1|-|PF2|6,cos 1P2=0,则F1P290.12如图,P是以F1、F为焦点的双曲线C：-=1上的一点，已知120，且|1|=2|.（)求双曲线的离心率e;(2)过点作直线分别与双曲线的两渐近线相交于P1，

16、P2两点,若12-,2120.求双曲线的方程解：(1)由120,得12,即F1PF2为直角三角形.设2|=,|1=2r,因此(2r）2+r42，2rr=a，即5(a）=4c2因此=(2)=2,可设P(x1，21)，P2(x2,22),P(x,y)，则1=x1x241x2=,因此x1x=.由2120,得即x=，.又由于点P在双曲线-=1上,因此-=1.又a2，代入上式整顿得xx22.由得a22，b28.故所求双曲线方程为-1.(长春模拟)设e1、e2分别为具有公共焦点F1、F2的椭圆和双曲线的离心率，P是两曲线的一种公共点,且满足|，,|,，则的值为( ） B2. D.解析:选A依题意,设PF1

17、m，|PF2|=n,|F1|2,不妨设mn.则由,|=|,|得|,|=|,-,|,|，即|,+,|2|,-,|2,因此，因此m2+24c.又=，e2,因此=2，因此=.已知双曲线=1(a,b0)的焦距为2c，直线l过点(a，0)和（，b)，点(,0）到直线l的距离与点(-,0)到直线l的距离之和sc,则双曲线的离心率e的取值范畴为_解析:由题意知直线l的方程为1，即bx-ab由点到直线的距离公式得，点(1,0)到直线l的距离d1,同理得,点（-1，0）到直线l的距离d=,sd1+d2=.由sc,得，即5ac2因此52,即e-252250,解得e25.由于1,因此e的取值范畴为.答案：3设A,B

18、分别为双曲线-1（0，b0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为 .(1)求双曲线的方程；（2)已知直线yx-2与双曲线的右支交于M、N两点,且在双曲线的右支上存在点D，使,，t,求t的值及点D的坐标解：(1)由题意知a，故一条渐近线为yx,即2=，则,得b2=3,故双曲线的方程为-1.(2）设M(x1,)，（x2，y2),D(x0,0),则1+x=t0,y1ty0,将直线方程代入双曲线方程得x2-1x+4=，则x1x16，y1+2=2，则得故t=，点D的坐标为(,).1.（岳阳模拟）直线x=2与双曲线：y21的渐近线交于1,2两点,记,e1，任取双曲线C上的点P,若,=e1

19、+e2,则实数a和b满足的一种等式是_.解析：可求出e1=(2,1）,e2=(，-)，设P(x，0)，则则(a)2(a-b)2,得b答案:ab=2已知双曲线1的左,右焦点分别为F1、F,过点F2作与轴垂直的直线与双曲线一种交点为,且PF1F,则双曲线的渐近线方程为_.解析:根据已知得点的坐标为，则PF2|，又PF2,则|PF|,故2，因此2,=，因此该双曲线的渐近线方程为yx.答案:yx3(大同模拟)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为(,0)（）求双曲线的方程;(2）若直线l:y=k+与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且OA,B,2（其中O为原点)，求k的取值范畴解:(1)设双曲线C的方程为=1(a0，b0)，由已知得a,c=2，再由c2=a2b2得b21，因此双曲线C的方程为y1（2)将ykx+代入-y21，整顿得(132)-6k-90,由题意得故k2且k2,设A（xA，yA),(xB，yB)，则AB,xAx=,由,，2得xAB+y2，又xAxByAyBxAxB(kxA）（xB+)=(k1)xAxk(xAB)+2（k2+)+2=,于是2,即0,解不等式得2,由得21,因此k的取值范畴为.