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1、高一数学多媒体演示课 天马行空官方博客： http:/ ； QQ:1318241189； QQ群： 175569632 互为反函数的函数图像之间的 关 系 及 应 用 江 一 中 新 校 园 学 生 餐 厅 1.叙述反函数的定义： 一般地，函数 y=f(x)(xA )中 ,设它的值域为 C,我们 根据这个函数中 x,y的关系 , 用 y把 x表示出来得到 x = (y).如果对于 y在 C中的任何一个值 ,通过 x = (y)在 A中 都有唯一的值和它对应，那么 , x = (y)就表示 y是自变 量 ,x是自变量 y的函数，这样的函数 x = (y),(yC)叫 做函数 y=f(x) ,(x
2、A)的反函数，记作 x = f 1(y) 字母 x、 y互换，得 y=f-1(x) y+1例 如 ： 函 数 x= 是 函 数 y=3x-1 的 反 函 数 。 3 一、复习提问： 天马行空官方博客： http:/ ； QQ:1318241189； QQ群： 175569632 求反函数的基本步骤： .由 y=f(x)出发，用 y表示 x,解出 x = f1(y); .将 x， y互换得到 y = f1(x); .指出反函数的 定义域（即原函数的值域 ). 反解 互换 写出定义域 2、求反函数有哪些基本步骤？ 解：函数 y=2x2-3(xR) 没有反函数； 因为它不是由一一映射构成的函数； 当
3、把定义域改写为 0,+) 或 (-,0 时 它才有反函数 . 4、函数 y=2x2-3(xR) 有没有反函数？为什 么？如何改写定义域才能使其有反函数？ 3、点 P(a,b)关于直线 y=x对称的对称点 P的 坐标为 . （ b, a） （即横坐标与纵坐标对换位置） 例 1 、求函数 y=3x-2(x R)的反函数，并且画 出原来的函数和它的反函数的图象。 解： y=3x-2 函数 y=3x-2(x R)的反函数为 y= 3 2x x 0 y -2 0 3 2 x -2 0 y 0 x= 3 2y 3 2 1 -2 -1 1 -1 -2 x y y=3x-2 32xy xy 二、讲授新课 首先
4、我们来研究互为反函数的函数图像间的关系 （ x R) 互为反函数的两个函数的图象之间是否 具有某种 对称 关系 ? 它们的两个函数图象是以 直线 y=x为对 称轴的 对称 图形。 给出定理： 函数 y = f ( x ) 的图象与它的 反函数 y = f 1 ( x ) 的图象关于直 线 y = x 对称。 问题： 回答： 注 ： 1）这个结论是由特殊到一般归纳出来的，并未经 过严格证明，为不增加难度，现在不作证明。 2）这个结论是在同一坐标系下，且横轴（ x轴）与纵轴 （ y轴）长度单位 一致 的情况下得出的。 3）函数 y=f(x)与函数 y=f 1(x)互为 反函数， 图像 关于直线 y
5、 = x对称； 函数 y=f(x)与函数 x=f 1(y)互为 反函数， 图像 相同。 4）如果两个函数的图象 关于 y = x 对称 ，那么 这两个函数互为 反函数 ； 1 -2 -1 1 -1 -2 x y y=f(x)=3x-2 3 2)(1 xxfy xy 3 2)(1 yyfx 函数 y=f-1(x)与函数 x=f-1(y)是 同一函数 ， 图像 关于直线 y=x对称 例 2 、求函数 y=x3(x R)的反函数，并画 出原来的函数和它的反函数的图象 . x y 3xy xy 由函数 (x R)， 得 所以函数 (x R)的反函数是： )(3 Rxxy 3xy 3 yx 3xy 解：
6、 3 x y 注 ： 当已知函数 y=f（ x） 的图象时，利用所学定理， 作出它关于直线 y=x对称的 图象，就是反函数 y=f 1（ x） 的图象。 练习 1： 画出函数 y=x2(x0,+) 的图象，再 利用对称性画出它的反函数的图象 . 9 4 1 0 y 3 2 1 0 x 3 2 1 0 y 9 4 1 0 x x y xy xy 2xy 例 3、若点 P（ 1， 2）在函数 的图象 上，又在它的反函数的图象上，求 a， b的值。 baxy 解：由题意知， P（ 1， 2）在函数 的反函 数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线 y=x对称的性质知，点 P1（ 2， 1）也在函
7、数 的图象上。因此，得 baxy baxy ba ba 21 2 解得， a= 3， b=7 然后我们利用互为反函数的函数图像间 的关系来解决相应问题 例 4、求证：函数 的图 象关于直线 y=x对称 . )(x1x x 1y 证明： 1x x y yx -y=x (y-1)x=y 1y y x 函数 1)(x1x x y 1)(x1x x y 1)(x1x x y的反函数为 即：函数 的反函数是该函数自身 函数 的图象关于直线 y=x对称 1)(x1x x y 1 1 1 O x y 1 xy 注： 如果一个函数的反函 数就是它本身，那么这个函 数的图象关于 y = x 对称； 反之，如果一
8、个函数的图象 关于 y = x 对称，那么这个 函数的反函数就是它本身。 例 5、已知函数 f ( x ) = 1）求 f ( x ) 的反函数； 2）若这个函数图象关于 y = x 对称，求 a 值。 )31,(13 aaxax x ax xy 13)1 由 13 xayyx 3 1 y ayx ax aaxy 31)(3又 ax a 313 3 )3(31)(1 xx axxf 2）由题 函数图象关于 y = x 对称 可知 f（ x）的反函数是它本身即 f （ x） = f -1 （ x） 3 113 x ax ax x a = 3 解： 练习 2：如果 y=f（ x）的图象过点（ 1，
9、 2），那么 y=f-1(x)1的图象过点 _ 分析：由 y=f（ x）的图象过点（ 1， 2），知 y=f-1(x)的 图像过点（ 2， 1），而 y=f-1(x) 1的图像是由 y=f-1(x) 的图像向下平移 1个单位得到的，故 y=f-1(x) 1的图象 过点（ 2,0) (2,0) 练习 3：如果一次函数 y=ax+2与 y=3x-b的图象关于 直线 y=x对称，求 a,b的值 解：据题意， y=ax+2与 y=3x-b互为反函数， y=3x-b的反函数为： ),( 3 Rxbxy ,32 bxax 比较系数得： 6,31 ba 练习 4：已知函数 的图像经过点 （ 1， 3），且它
10、的反函数 f-1(x)的图像过点 （ 2， 0），求 f(x). baxf x )( 解： f(x) 的图像过点（ 1， 3） a+b=3 由 f(x)的反函数 f-1(x)的图像过点（ 2， 0），可知 f(x)的图像过点（ 0， 2） 1+b=2 由得 b=1,将 b=1代入中得 a=2 12)( xxf 解法一：由 得反函数 由 令 x=0得 m=-1 解法二：令 x=0 则 (0, )在 f(x)的图象上 由已知 f(x)的反函数是自身 ( , 0)在 f(x)的图象上， -5=0 m= -1 m 5 练习 5：已知函数 的图象关于直线 y=x对称，求 m的值 . mx xxf 2 5
11、)( mx xxf 2 5)( 12 5 xmxy 12 5 2 5 x mx mx x 55 m m 5 m 5 m 5 三、课堂小结 1、函数 y = f ( x ) 的图象与它的反函数 y = f 1 ( x ) 的图 象关于直线 y = x 对称。 2、函数 y=f(x)与函数 y=f -1(x)互为反函数，图像关于直线 y = x对称；函数 y=f(x)与函数 x=f -1(y)为互为反函数，图 像相同。 函数 y=f -1(x)与函数 x=f -1(y)是同一函数，图像 关于直线 y=x对称 4、如果两个函数的图象关于 y = x 对称，那么这两个函数 互为反函数； 5、如果一个函数的反函数就是它本身，那么这个函数的 图象关于 y = x 对称；反之，如果一个函数的图象关于 y = x 对称，那么这个函数的反函数就是它本身。 3、利用对称性画出已知图象的函数的反函数的图象 四、布置作业： 课本：习题 2.4 3,4,5 2004年 10月 21日
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