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1、二项式定理复习 天马行空官方博客： http:/ ； QQ:1318241189； QQ群： 175569632 1、二项式定理： 通项（第 r+1项）： 2、二项式系数的性质： I.在二项展开式中，与首末两端 “ 等距离 ” 的两项的二 项式系数相等 . . 如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最 大；如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等 并且最大 . . 在二项展开式中，所有二项式系数的和等于 ；奇数项 的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，都等于 概念复习 天马行空官方博客： http:/ ； QQ:1318241189； QQ群： 175569632 例
2、1、 （ 1）如果 的展开式中，第四项与第 六项的系数相等，求展开式中的常数项； （ 2）求 展开式中的所有有理项 . 求常数项就是求 x的零次幂 的项； 求有理项就是求 x的整数次幂 的 项 . (一 )通项公式的应用 注 : 在 的展开式中 ， 已知前三项的系数 成等差数列 ， 问这个展开式中是否存在常数项 ？ 如果 有 ， 求出常数项 ， 如果没有 ， 求出展开式的中间项 。 解：二项展开式中 ， 由已知 ， 2 = ， 解得 n=8或 n= 1（ 舍去 ） 设展开式中第 r+1项为常数项 ， 则 ， 令 0， 得 r= 不是整数 ， 故二项 展开式中不存在常数项 。 由 =8知中间项为
3、第 5项 ， 所以第 5项为 。 例 2、 巳知二项式 . （ 1）若展开式中第五项、第六项、第 七项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项 式系数最大的项的系数； （ 2）若展开式中前 三项的二项式系数之和等于 79，求展开式中系数 最大的项。 设 的系数为 ，那么 为最大的必要而 不充分的条件是： . 2 1 1 + + + r r r r A A A A 且 + r 1 T + r 1 A + r 1 A (二 )项、项的系数、项的二项式系数 解法一 因为 （ x2十 3x十 2） 5 (x2十 3x)十 25 (x2十 3x)5十 十 十 例 3.求（ x2十 3x十 2） 5的展开式
4、中 x的系数。 所以 x的系数为 240 例 3.求（ x2十 3x十 2） 5的展开式中 x的系数。 解法二 因为 （ x2十 3x十 2） 5 （ x2十 3x十 2） （ x2十 3x十 2） （ x2十 3x十 2） （ x2十 3x十 2） （ x2十 3x十 2） 所以 （ x2十 3x十 2） 5 展开式的各项是由五个因 式中各选一项相乘后得到的 ， 那么它的一次项 只能从五个因式中的一个取 次项 3x， 另四个 因式中取常数项 2相乘得到 ， 即 3x24 240 x 所以 x的系数为 240 （三）展开式中各项系数和 例 4.(2x2-1)n的展开式的各项系数和为 （ ） A
5、.2n+1 B.2n C.0 D.1 分析： 设 (2x2-1)n=a 0 x2n+a1x2(n-1)+a n， 展开式各项系数和为 a0+a1+a2+a n 上式是恒等式，所以当且仅当 x=1时， (2-1)n=a0+a1+a2+a n a0+a1+a2+a n=（ 2-1） n=1 D 求展开式中各项系数和常用赋值法：令二项 式中的字母为 1 例 5 已知 : 展开式的系数之和比 展开式的系数之和小 240,求展开式 中系数最大的项 . 展开式的二项式系数的和为 多少 ?系数的和为多少 ? 1.(1+x)+(1+x)2+(1+x) n的展开式的各项系数 和是 （ ） A.2n+1-2 B.
6、2n+1-1 C. 2n+1 D. 2n+1+1 2. A （四）求展开式中各奇数项与各偶 数项的系数和 例 6.已知： (2- )100=a 0+a1x+a2x2+a 100 x100， A=a0+a2+a4+a 100， B=a1+a3+a5+a 99， 求： A+B、 A-B、 A2-B2. 小结 ： (a+b)n=a0an+a1an-1b+a2an-2b2+a nbn， 设 A=a0+a2+a4+ ， B=a1+a3+a5+ ， （即 A为展开式中各奇数项的系数和， B为展开式中各偶数项的系数和） . 则：令 a=b=1，得 A+B=2n(1) 令 a=1， b=-1，得 A-B=0(
7、2) 由（ 1）（ 2）可分别解得 A、 B 这是求奇数项系数和与偶数项系数和的基本 思路 . (五 )整除性的证明、求余数； 例 7 如果今天是星期一 ， 那么对于任意自然 数 n， 经过 23n+3 7n 5天后的那一天是星期 几 ？ 解：由于 23n+3 7n 5=8n+1 7n 5=（ 7 1） n+1 7n+5=7n+1+ +7n+5=7(7n + +n)+6 则 23n+3 7n 5被 7除所得余数为 6 所以对于任意自然数 n， 经过 23n+3 7n 5后的一 天是星期日 7777 1能被 19整除吗？ （六）近似计算 |x|1时， 要注意误差绝对值应小于精确度的一半， 否则应
8、该加项。 解： 1.9975=（ 2 0.003） 5 =25-5 24 0.003+10 23 0.0032- 10 22 0.003 由于 |T6| |T5| |T4| 1.08 10-6， 则 |T4| T5 T6| 0.000004 所以 1.9975 32 0.24+0.000 72 31.761 这道题仍可以用二项式定理解 ， 为了把左式与 右式发生联系 ， 将 3换成 2 1 注意到： 2n+n2n-1=2n-1（ 2 n） =2n-1（ n+2） ； n 2， 右式至少三项； 这样，可以得到 3n 2n-1（ n 2）（ n N，且 n 2） (七 )其它应用 例 9 求证：
9、3n 2n-1（ n 2）（ n N，且 n 2） 注 二项式定理实质上是一个恒等式，而恒等式的应用 要注意： 正用 、 逆用 和 变形用 . 例 10、 设 （ 1）若 试用 q和 n表示 ； （ 2）若 试用 n 表示 要善于利用 二项式系数的性质 ，求解或证明有关的 组合关系式 . 例 1 求证 ： 3 9 3n =22n 证明：在 （ a+b） n的展开式中令 a=1， b=3得： (1十 3)n= 3 9 3n 即 4n = 3 9 3n ， 3 9 3n =22n。 显然，适当选取 a， b之值是解这一类题的关键， 再看练习题 求 9 92 93 94 的值。 分析 应对原题做以下变换： （ 1） 取 n=6。 （ 2） 把原式除以 92 。 （ 3） 增加 9 两 项 。 1、在 的展开式中 的系数是 . 3、在 的展开式中 的系数是 ，该项的二 项式系数是 . 4、在 (k N)的展开式中二项式系数最大的项是第 项 . 5、 . 6、设 ， 则 ， . 55 480 120 k 1 510 255 3025 7、设 ，则 的反函数 等于 （ ） 8、在 的展开式中，所有奇数项的和是 （ ） 9、 展开式中 的系数是 （ ） 10、 被 4除所得余数为 （ ） B B B A
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