数列求和方法汇编及典题训练

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1、数列求和措施汇编【教学目的】一、知识目的1.纯熟掌握等差数列与等比数列的求和公式；2能运用倒序相加、错位相减、裂项相消等重要的数学措施进行求和运算; 3熟记某些常用的数列的和的公式二、能力目的培养学生的“合情推理能力”、“等价转化”和“演绎归纳”的数学思想措施，以及创新意识,渗入运用定义、分类讨论、转化与化归等数学思想三、情感目的通过数列求和的学习，培养学生的严谨的思维品质,使学生体会知识之间的联系和差别,激发学生的学习爱好.【教学重点】1.求数列的和注意措施的选用:核心是看数列的通项公式； 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用；3转化思想的运用；【教学难点】错位相减法、裂项相消法的应用【知识

2、点梳理】1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。(1）等差数列的求和公式： （2）等比数列的求和公式(牢记:公比含字母时一定要讨论）2公式法： 3错位相减法:如果一种数列的各项是由一种等差数列和一种等比数列的相应项之积构成的,那么这个数列的前n项和即可用此法来求,如等比数列的前项和公式就是用此法推导的例如4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差,在求和时中间的某些项可以互相抵消,从而求得其和.常用拆项公式: ; 分组求和法:一种数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列相加或相减构成,则求和时可用分组求和法,分别求和而后相加减并项求和法:一种数列的前n项和中，可两两结合求

3、解，则称之为并项求和.形如(-）nf(n)类型,可采用两项合并求解.例如，n=1002-992+8292+22-12(10+99)(9)(2)5 050.倒序相加法:如果一种数列an的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一种常数,那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法,如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的.其他求和法:如归纳猜想法,奇偶法，导数法等【典型例题】题型一、公式法求和 例题:已知数列a是首项1=，公比1的等比数列,Sn是其前n项和，且41，a5，-2a成等差数列.()求公比q的值；(2)求n=a2+a4+a6+a2n的值.【解析】(）由题意得2=a-23.n是等比数列且

4、a1=，公比q1，2a1q4=4a-2a1q2，+q2-2=0，解得q2-2(舍去)或q2=1,q=-.(2)a2,a4，a6,，a2n是首项为a24（-1),公比为q1的等比数列，Tnn2-4n.【点评】应用公式法求和时,要保证公式使用的对的性，特别要辨别好等差数列、等比数列的通项公式及前n项和公式变式1:已知数列满足,（1）证明是等差数列；（2）求【点评】对于等差数列的绝对值的求和，我们一般是转化为分段求和来解决题型二、分组求和例题：求和： 【解析】:(1)当时,（2)当【点评】：1、通过度组，直接用公式求和。2、运用等比数列前项和公式时,要注意公比讨论。变式2：已知数列xn的首项x1=,

5、通项xn2pn(nN*,p,q为常数),且x1，x4，x5成等差数列.求：(1)p,的值；(2)数列x前项和Sn的公式【解析】 (1)由1=3,得pq,又由于x24p+4q,=5p+5，且x1x=x，得32p+q25p+8q,解得p=1，=1.(）由（1)，知xn=2nn，因此Sn=(+22+2)+(1+2+)n12+.【点评】对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题,一般需要将数列通项的构造进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和.题型三、裂项相消法求和例题3 :数列的通项公式为,求它的前n项和【解析】： = 【点评】：裂项相消法求和的核心是数列的通项可以分解成两

6、项的差,且这两项是同一数列的相邻两项,即这两项的构造应一致，并且消项时前后所剩的项数相似. 变式3：求和【解析】变式4在数列n中,an+,又bn=，求数列bn的前项和Sn【解析】a+=.bn=.Sn=88=.变式5等比数列的各项均为正数,成等差数列，且.(1)求数列的通项公式;(2)设，求数列的前项和【解析】设等比数列的公比为，依题意,有即因此由于,解之得或又,因此,因此数列的通项公式为()（2)解:由（1）,得. 因此因此故数列的前项和【点评】有时候需要根据实际状况自己去拼凑。题型四、错位相减法求和例题4:已知数列，求前n项和。 【解析】 当当【点评】1、已知数列各项是等差数列，3，5，n-

7、1与等比数列相应项积，可用错位相减法求和。、运用等比数列前n项和公式时，要注意公比讨论。、错位相减法的求解环节：在等式两边同步乘以等比数列的公比；将两个等式相减;运用等比数列的前项和的公式求和.变式5已知，求数列a的前n项和Sn.【解析】 得【点评】注意辨认数列形式，运用相应的措施题型五、倒序相加法求和例题5：求证:【解析】令则 等式成立【点评】解题时,认真分析对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求和.变式6：已知函数（1）证明：；(2）求的值【解析】:两式相加得： 因此题型六、并项求和例6：n=12-99282-72+2-2【解析】S=1-92982-972+222=(1009）(

8、+）+（2+1)=5 00【点评】一种数列的前n项和中,可两两结合求解，则称之为并项求和形如an(1）nf(n)类型，可采用两项合并求解.题型七、其他求和措施（归纳猜想法，奇偶法等供参照)例7:已知数列。【解析】：,若若【点评】:，通过度组,对分奇偶讨论求和。变式7:已知数列的通项,求其前项和.【解析】:奇数项构成觉得首项，公差为1的等差数列,偶数项构成觉得首项，公比为4的等比数列；当为奇数时,奇数项有项，偶数项有项，,当为偶数时,奇数项和偶数项分别有项， ,因此，例：借助导数求和【解析】【点评】本题可以用错位相减法完毕,用导数法求和也可以。变式8：借助导数求和【解析】由二项式定理。求导得，令

9、得【措施与技巧总结】 数列求和需注意措施的选用:核心是看数列的通项公式,根据通项选择合适的措施;2求和过程中注意分类讨论思想的运用；【巩固练习】1求下列数列的前项和:(1）5，55,555,5555，,； （2）;(); (4)；（5）； ()(7）1，,，2、已知等差数列an的前项和为6,前8项和为.(1)求数列an的通项公式;(2）设bn(-an)qn1（q，N*)，求数列bn的前n项和n.3、已知等差数列,求4、设是等差数列,是各项都为正数的等比数列,且,，(I)求，的通项公式;(I)求数列的前n项和、已知,求（1）；(2）【课后作业】1.等比数列的前项和Sn2-,则_.2.设,则_.3

10、. 4. =_数列的通项公式 ,前项和 的前n项和为_7、在数列an中，a11，当2时,其前n项和Sn满足S=an.(1)求S的体现式；（2)设bn=,求bn的前n项和Tn8、已知等差数列an满足2=0,a+a10.(）求数列an的通项公式;(2)求数列的前n项和.，、设数列an满足a1a232a3n-an=,N*.（1)求数列an的通项公式;(2)设n，求数列n的前n项和Sn.10、已知数列的通项为:,求数列的前项和S.11、求证:(1)点P的纵坐标为定值；，.【拓展训练】.数列a满足：a1=1,且对任意的，nN*均有:a+n=am+amn，则 ( ）A.BC.D2.数列、bn都是公差为的等

11、差数列，若其首项满足ab=5，1b1，且a,1*,则数列前0项的和等于 ( )A00B85C.70D.53.设m1223+4+（n-)n,则m等于 （ )A. B.(n) (n+5) D.n(n+）4.若=123-4+(-1)n-1，则S17+S3S50等于 （ )A B.-1 C.0 D.25设n为等比数列,n为等差数列,且b10，cn=an+b,若数列是1，1,2，则cn的前0项和为 ( ）A78 B.57 C467 D.979002-92+982-7212的值是 ( ）500 B.5050 C.1010 D一种有项且各项非零的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为 .若2+22+（n-

12、）=an3n+c，则= ，b= ,c= 、已知数列an是首项为a1=,公比q的等比数列，设b2=loa(N*),数列cn满足cnbn(1)求数列bn的通项公式;()求数列cn的前n项和Sn.10、设数列an满足13a2+32a33-n,nN*（1)求数列的通项公式；(2）设bn,求数列n的前n项和Sn11、已知等差数列an的首项1，公差0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列bn的第二、三、四项.()求数列an与bn的通项公式；（2）设数列n对任意自然数均有成立.求c1c2+c+c的值.、已知数列an的前n项和n满足:Sn=(-1）n,n1.(1)求证数列a+(1）n是等比数列;()求数

13、列a的通项公式；（)证明：对任意的整数m,有13、已知二次函数的图像通过坐标原点,其导函数为，数列的前n项和为,点均在函数的图像上。（）求数列的通项公式;（)设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m;【参照答案】巩固练习答案1、解:（1).(）,（3)(4）， 当时，, 当时,， ,两式相减得 ,（5)，原式(6）设， 又， ，.（7）和式中第项为k=1+.n=2=2n-22、(1)设a的公差为d,则由已知得即解得1=3，-1，故an=(n-1)=n(2)由（1)知，bnnq1，于是Sn1qq1+2+nqn-1,若q,上式两边同乘以qqS=1q2q2+(n1)qn-1+qn，两式

14、相减得:(-q)n1+q1+q2+qn-1-nqn-nn.Sn=.若q1,则S12+n=,n=、5、课后作业答案1、 3、 、5、 6。7、解 (1)San，anS-Sn1(n2)，S=(nS1),即2n1SnSn-Sn,由题意Sn-1Sn0，式两边同除以Sn-Sn，得，数列是首项为=1,公差为2的等差数列+2(n-1)=2n1,S(2)又bn,Tn1+b2+b=.8、解 （1)设等差数列an的公差为d，由已知条件可得解得故数列an的通项公式为a2n.()设数列的前n项和为n，=-，Sn=.记n1+，则Tn，得:T1+-,Tn即Tn=4-.n-4+4-4+.9、解（)a13a23a+n1an，

15、当n2时，13a22a3+3nan-1，得:3n-1a=-=，n=当=时,1也适合上式,n.(2)=n3n,S=13232333+nn，则3Sn=3233+4+3，得:2S=332+33+3nn3n1=n3+1=-(13n）-n3n+S(1-n)+. 0、11、3、拓展训练答案1解:=aman，n1ana1+a+n,运用叠加法得到:，,答案:A.2.解：an=a1n-1,bnb1n1=a1b1a+(b+n1）a1+b1+n2=+n-2=n3则数列也是等差数列，并且前10项和等于：答案:B3.解:由于 ann2-n.，则根据分组集合即得答案;A.4解:对前n项和要分奇偶分别解决，即： Sn答案:

16、A5解 由题意可得11,设公比为q,公差为,则q-2q=0,q,q=2,n=2-,bn=（n1)(-1)=1-,c=n-1+1-n，S=978答案：A解:并项求和,每两项合并,原式=(00+99)+(97)(2）=5050.答案:B. 解： 设此数列n,其中间项为a00,则S奇=a1+a3+a+=10011001,S偶=a2+a4+a+a=1000101.答案: 8解：原式答案：9、(1)由题意，知=(nN*),又bnlog-2，故b=3n-2(n)（2)由(1)，知n，b3n2(nN*），c(32)(N*)Sn=1+427+（n-5）(3n2)n,于是Sn1243+74(3n5)(3n2)n

17、+,两式相减，得n=(3n2）+=-(3n2）n1,Sn=n(nN*)0、(1)a1+32+32+n-1n=,当时，13a23a+3-2a,得：3an=,an.当n=1时，a1也适合上式,n.（2）=n,Sn23233+n3n，则33233334+3n+1，得：-2Sn3+3+3+3-n3n+=-n1=(13n）n+1.Sn（-n）+. 1、解:()由题意得(a1d)(a1+13d）（a1+4d)2(d0)解得d=2,an=2-1，可得bn=n-（2)当1时,1=;当n2时,由，得cn=n，故故2c3+c=323232+3=3.12、()证明 由已知得an=Snn-=2an+（-)-2a-(-

18、1）n-1(n2),化简得 an=an-1+2(-1)-1（),上式可化为 an+(-1）n2an1(1)-1(n)，a=1,a1（-1）=.故数列an(1）n是觉得首项，公比为2的等比数列.(2)解 由（1)可知an(1)n=.a2n(-1)n=2n-2(-1)n,故数列an的通项公式为 an2n2-(1）n(3)证明 由已知得=故、解：（)设这二次函数(x）=ax2+bx (0),则 f（x)=2ax+b，由于(x)=6-2,得a=3 ， b=， 因此 (）=-x.又由于点均在函数的图像上,因此3n2-2n.当n时,anSn-Sn-1（322）=65.当n时,a1S13122-5,因此，a5 （)(）由(）得知=,故Tn=（1-).因此,要使(1-)（)成立的m，必须且仅须满足,即m10,因此满足规定的最小正整数m为0.