考研数学模拟试题(数学一)

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1、考研数学模拟试题(数学一) 参照答案 一、选择题(本题共８小题，每题4分,满分3２分,每题给出的四个选项中,只有一项符合题目规定,把所选项的字母填在题后的括号内） 1．设在内是可导的奇函数,则下列函数中是奇函数的是（）. （A）（Ｂ）(C)（D) 解 　选择B. 由题设知，为偶函数,故为奇函数. 2.设 则是的（). （A)可去间断点（B)跳跃间断点(Ｃ）第二类间断点（D）持续点 解　 选择B. ，，故是的跳跃间断点. 3.若函数与在内可导，且，则必有(）. （A）　　 (B) （Ｃ) (D） 解　　选择C． 由函数与在内可导知， 与在内持续，，，而，故.

2、 ４.已知级数和分别收敛于，则级数(）．【C】 (Ａ)不一定收敛 　　 (B) 必收敛，和为 (C)必收敛，和为 (D） 必收敛,和为 解 选择D． 由级数收敛知,， 设， 的前项和分别为,则, ， 故，, 因此，级数收敛，和为. 5.设矩阵与相似，则（）． (A)3 (B) ４　 （C） 5 (D) 6 解　　选择A. 矩阵与相似,则与相似， 故. 6.设3阶方阵的特性值是,它们所相应的特性向量依次为,令,则（）. (Ａ）（B) (C）(D) 解 　由于分别为的相应特性值的特性向量,故． 7. 设随机变量服从上的均匀分布,则与（)．

3、 (A）不有关 　 　　（B）有关 　 （C)独立 　（Ｄ）有关且不独立 解　 选择A. 经计算得,,． 8. 设是取自正态总体一种简朴随机样本,则下列结论中错误的是（).　 (A)（B)(C）(Ｄ） 解 　选择D. 由一种正态总体的抽样分布知A，B,C都对的,，但是它们不独立,不能推出. 二、填空题(本题共６小题,每题４分,满分２４分,把答案填在题中横线上） 9.设函数具有持续偏导数，且，,则 　. 解　 答案为.　方程两边对求导,得 ， 令，得，故. 10.微分方程的通解为　 　 . 解 答案为.　 . 11.设，则 　 ．

4、 解 　答案为. 12.设为锥面外侧,则 ． 解　 答案为. 有关面反向对称,有关为偶函数，故　. 13.设为阶矩阵，其随着矩阵的元素全为1，则齐次方程组的通解为 . 解 答案为，为任意常数.　由题设知，，，且，故的列向量是的基本解系. 14.设随机变量与互相独立,且都服从正态分布,则 　 　　.解 　答案为. . 三、解答题(本题共9小题,满分9４分。解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节） 1５. （本题满分9分）设，而是由方程所拟定的隐函数,其中具有持续偏导数,而具有持续导数，求. 解 　取全微分,， 故. 1６. （本题满分１0分) 设

5、在上持续,且． ⑴求;⑵ 设,求级数的和． 解　　⑴令，则， 故，即, 上式两边对求导,得， 即. ⑵ ，级数， . 17.　（本题满分1０分)设球体的各点密度与坐标原点到该点的距离成反比(比例系数)，求球体的质量及球体绕轴旋转的转动惯量. 解 　由题设知，球体上任一点的密度， 球体的质量 . 转动惯量 . １8. (本题满分11分）设函数在上持续,在内可导,且，证明：存在，使得． 证 　令，则, 由积分中值定理知,存在,使得 ,即, 由罗尔定理知,存在，使得,即，即. 19. (本题满分10分） （数学一）证明:在右半平面上，曲线积分与途径无关，

6、并求一种二元函数，使得． 证 　, ， ， 在右半平面上,，故曲线积分与途径无关. 解 所求函数， 取积分途径为到，再到的折线段,则 . 20.　（本题满分１1分） 设二维随机向量联合概率密度为 求⑴条件概率密度;⑵概率密度. 解 画出联合概率密度的非零区域. ⑴有关的边沿密度 条件概率密度 ⑵的取值范畴为 当时，, 当时， ２1.(本题满分11分) 设是取自总体一种简朴随机样本,的概率密度为 ， ⑴求未知参数的矩估计量； ⑵求未知参数的最大似然估计量. 解 ⑴，令， 因此的矩估计为． ⑵似然函数, ，解得,, 因此

7、的最大似然估计为. ２2.(11分)已知两个向量组与． ⑴为什么值时，两个向量组等价? ⑵两个向量组等价时,求出它们之间的线性表达式. 解 ⑴对矩阵作初等行变换，得 , 当时，，,可由线性表达，且, ，　可由线性表达，即两个向量组等价. ⑵两个向量组等价时， , 故，. ２3．（1１分)已知二维向量不是二阶方阵的特性向量. ⑴证明线性无关； ⑵若，求的所有特性值,并判断能否与对角矩阵相似. ⑴证　　设,则,否则，是的特性向量,与题设矛盾，将代入，得，又,故,因此线性无关; ⑵解 　 或者， ，又,故有一种特性值为,从而有一种特性值为，同理,有一种特性值为,从而有一种特性值为，故的特性值为和. 由于二阶方阵有两个不同的特性值,故能与对角矩阵相似.