《函数与导数》解题方法总结-教案

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1、函数与导数解题措施总结 教案解题方略1.讨论函数的性质时,必须坚持定义域优先的原则.对于函数实际应用问题,注意挖掘隐含在实际中的条件,避免忽视实际意义对定义域的影响.2.运用函数的性质解题时,注意数形结合，扬长避短.3.对于含参数的函数，研究其性质时，一般要对参数进行分类讨论,全面考虑.如对含参数的二次函数问题,应分a0和0两种状况讨论，指、对数函数的底数具有字母参数时，需按a1和00是递增的充足条件而非必要条件(0亦是如此)；求单调区间时,一方面要拟定定义域;然后再根据0（或0)解出在定义域内相应的x的范畴;在证明不等式时，一方面要构造函数和拟定定义域,另一方面运用求导的措施来证明.函数、导

2、数的综合问题往往以压轴题的形式浮现,解决此类问题要注意：(1）综合运用所学的数学思想措施来分析解决问题；(2）及时地进行思维的转换，将问题等价转化； (3)不等式证明的措施多，应注意恰当运用,特别要注意放缩法的灵活运用；(4)要运用导数这一工具来解决函数的单调性与最值问题.典型例题考点一.函数的解析式、定义域、值域求法例、函数的定义域为 B. D解：由.故选C例、用ina,b,c表达a,b，c三个数中的最小值,设in, x+2,10-x (x 0)，则的最大值为 （A)4 （B）5 （C)6 (D)7【解析】：运用数形结合,画出函数的大体图象，如图所示，很容易的得到函数的最大值是当时，的最大值

3、为6考点二. 函数的零点例、函数的零点个数为（ )A0 B.1 . D解:当时，令解得;当时，令解得,因此选C。【措施总结】：求函数的零点:(代数法)求方程的实数根;(几何法）对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来，并运用函数的性质找出零点例2、设a为常数，试讨论方程的实根的个数。解：原方程等价于即构造函数和,作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点状况可得:当或时，原方程有一解；当时，原方程有两解；当或时,原方程无解。【措施总结】：图象法求函数零点，考察学生的数形结合思想。数形结合，要在结合方面下功夫。不仅要通过图象直观估计，并且还要计算的邻近两个函数值,通过比较其

4、大小进行判断。例、已知a是实数，函数,如果函数在区间-1,1上有零点，求实数a的取值范畴。解:当a0时,函数为=2x -3,其零点x=不在区间-1，1上。当a0时，函数在区间-1,1分为两种状况：函数在区间，1上只有一种零点,此时或解得1a5或= 函数在区间,上有两个零点,此时 或解得a或a综上所述，如果函数在区间1，1上有零点，那么实数a的取值范畴为(-, 1, +）【措施总结】:函数零点(即方程的根)的应用问题，即已知函数零点的存在状况求参数的值或取值范畴问题，解决该类问题核心是用函数方程思想或数形结合思想，构建有关参数的方程或不等式求解对于二次函数f（x)ax2bx+c=0(0）在实数集

5、R上恒成立问题可运用鉴别式直接求解，即f（x)0恒成立;f()0恒成立若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以运用韦达定理以及根与系数的分布知识求解.考点三.函数的单调性、奇偶性和周期性例1、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f（x)m（m)在区间上有四个不同的根,则解：由于定义在R上的奇函数,满足,因此,因此, 由为奇函数,因此函数图象有关直线对称且，由知,因此函数是以为周期的周期函数，又由于在区间0,2上是增函数，因此在区间-,0上也是增函数.如图所示,那么方程=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知 因此 答案:-8【措施总结】：本题综合考察了

6、函数的奇偶性，单调性,对称性，周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题例2、已知函数若则实数的取值范畴是 A B D 解:由已知，函数在整个定义遇上单调递增的故，等价于，解得答案C【措施总结】：在解决函数单调性时，可以充足运用基本函数的性质直接解决,显得更加简朴、以便考点四.函数的图象例1、右图是函数的图象,给出下列命题：3是函数的极值点；是函数的最小值点; 在处切线的斜率不不小于零；在区间(3,1)上单调递增。 则对的命题的序号是( ).例2、函数（ )yxo424-42-2-2xyo4-424-42-2-2xyy4o-424-42-2-26666yx

7、-4-2o4224例3、方程 ( ) A、0 B、1 C、2 D、3函数的图象答案: 1、C2、B 考点五. 运用单调性、极值、最值状况,求参数取值范畴例1、已知函数f（）=x3+axbxc在x-与1时都获得极值(1）求a、的值与函数f（)的单调区间（2）若对x1，不等式f（x）C恒成立,求c的取值范畴。解:（1)f（x)x3a2xc，f（)=3x2+2a+由f(）=,f(1）=2a得，b=f（x）32x2=(2)（x-1），函数f(x）的单调区间如下表：x(,-）(-,1）(1,）f(）+0-0+f(x)极大值极小值因此函数f(x）的递增区间是（-,-)与(1，+）,递减区间是(-，）（)f

8、(x）xx22+c，x-1，2，当x-时,f(x)+c为极大值，而f（）2+c,则f（)=2c为最大值。要使f()f（2）2c,解得c2考点六 抽象函数 例、定义在R上的单调函数满足=l3且对任意x，均有 +.（1)求证为奇函数；（)若(k3)+f（3-9-2)0对任意x恒成立,求实数的取值范畴解：()：= (，R)，令xy=,代入式,得f(0+0)=(0）f(0)，即 (）=0.令x，代入式，得 f（xx)=(x)+f(x),又(0）0，则有0=f（x)+f（-)即f(x)=-f(x)对任意x成立，因此f(x)是奇函数.(2):f(3)lg3,即f（3）f(),又f(x)在上是单调函数，因此

9、f(x)在R上是增函数,又由(1)f（x)是奇函数.（k3)f(3-2)=f(3+9+2), k3对任意xR成立.令=0，问题等价于t-(1k)t+2对任意0恒成立.R恒成立.【措施总结】：运用抽象条件，通过合理赋值(赋具体值或代数式）、整体思考、找一种具体函数原型等措施去探究函数的性质。如奇偶性、周期性、单调性、对称性等，再运用有关性质去解决有关问题,是求解抽象函数问题的常规思路。其中合理赋值起核心性的作用。对抽象函数问题的考察在近几年高考中有逐年增长数量的趋势。考点七:运用导数研究导数的单调性例、已知函数()当时,求曲线在点处的切线方程;(2）当时,讨论的单调性.解(1）当因此 因此,即曲

10、线又因此曲线（)由于,因此 ,令当时,因此 当时，此时,函数单调递减；当时,，此时,函数单调递增当时,由，即，解得. 当时, ，恒成立,此时,函数在(,+）上单调递减; 当时, ,时,此时,函数单调递减时,0,此时,函数单调递增时,此时,函数单调递减当时,由于，时，此时,函数单调递减:时,0,此时,函数单调递增.综上所述:当时,函数在上单调递减;函数在上单调递增当时,函数在上单调递减当时，函数在上单调递减;函数 在上单调递增;函数在上单调递减.【措施总结】:运用导数研究函数单调性的一般环节。（1)拟定函数的定义域；(2）求导数；(3)若求单调区间（或证明单调性），只需在函数的定义域内解（或证明

11、）不等式0或。若已知的单调性，则转化为不等式或0在单调区间上恒成立问题求解。考点八：导数与不等式的综合例1、设在上是单调函数.求实数的取值范畴；解：(1) 若在上是单调递减函数，则须这样的实数不存在.故在上不也许是单调递减函数.若在上是单调递增函数，则，由于.从而03例2、已知为实数，函数若函数的图象上有与轴平行的切线，求的取值范畴解:，函数的图象有与轴平行的切线,有实数解 ,因此的取值范畴是考点九:导数与向量的结合例1、设平面向量若存在不同步为零的两个实数s、t及实数k，使（1）求函数关系式;（2)若函数在上是单调函数,求k的取值范畴。解:(1）（）则在上有由;由。由于在上是增函数，因此不存

12、在k，使在上恒成立。故的取值范畴是。 专项练习：1、已知函数(）证明：曲线（）若求a的取值范畴。【解析】（）,，故=0处切线斜率，又即,当,故曲线（），令，故2、设函数()求单调区间（)求所有实数,使对恒成立，注:为自然对数的底数【解析】：（）由于因此由于因此的增区间为，减区间为。()由题意得即。由（)知在单调递增，要使对恒成立，只要解得、设。()求的单调区间和最小值;（)讨论与的大小关系;（）求的取值范畴，使得对任意成立。解（)由题设知,令0得=1，当(0,1）时，0，故（0，1)是的单调减区间。当(1，+）时,，故（1,）是的单调递增区间，因此，1是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，因此最小值为(I)设,则,当时,即,当时，因此,在内单调递减,当时,即（II）由（I）知的最小值为1，因此,，对任意,成立即从而得。、已知函数,曲线在点处的切线方程为,(1）求的值 (2）证明：当时,解：（)，由题意知:即（)由(）知,因此,设则，当时， ,而故,当得:从而，当时，即点评：这道题考察导数的概念、几何意义、导数的应用（证明不等式）；考察分析问题解答问题的能力;其中构造函数运用导数证明不等式是解答导数应用问题的常用方略之一。