2023年初二数学相似三角形讲义

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1、优秀学习资料 欢迎下载 相似三角形的判定与性质讲义 一、比例线段的有关定理 1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.由 DE BC可得：ACAEABADEAECADBDECAEDBAD或或 注：重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比例式证平行线.平行线的应用：在证明有关比例线段时，辅

2、助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例.已知 AD BE CF,可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCBCEFACDFABDEACDFDEEF或或或或等.注：平行线分线段成比例定理的推论：平行线等分线段定理：两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。二、射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。三、相似三角形的判定 1、平行与三角形一边的直线

3、(或两边的延长线)和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似，2、如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似，3、如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似，4、如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似，5、直角三角形相似判定定理 1：斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。6、直角三角形相似判定定理 2：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。四、相似三角形的性质 1.相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等

4、）的比等于相似比。2.相似三角形周长的比等于相似比。3.相似三角形面积的比等于相似比的平方。五、例题 FEDCBAEABCD优秀学习资料 欢迎下载 一、选择题：1、下列各组线段（单位：）中，成比例线段的是（）A、1、2、3、4 B、1、2、2、4 C、3、5、9、13 D、1、2、2、3 2、一个铝质三角形框架三条边长分别为 24cm、30cm、36cm，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为 27cm、45cm的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边截法有（）A.0 种 B.1 种 C.2 种 D.3 种 3、下列命题中，是真命题的为（）A.锐角三

5、角形都相似 B.直角三角形都相似 C.等腰三角形都相似 D.等边三角形都相似 4、如图，已知AD 为 ABC 的角平分线，ABDE/交 AC 于 E，如果32ECAE，那么ACAB（）（A）31 （B）32 （C）52（D）53 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 5、如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点 若AD=3，BC=9，则GO:BG=（）A1:2 B1:3 C2:3 D11:20 6、如图，已知ADE与ABC的相似比为 1：2，则ADE与ABC的面积比为（）A 1：2 B 1：4 C 2：1 D 4：1 7下列说法中，错误的是()A等边三角形都相似 B等腰

6、直角三角形都相似 C矩形都相似 D正方形都相似 8、如图，在等边 ABC 中，D 为 BC 边上一点，E 为 AC 边上一点，且 ADE=60，BD=3，CE=2，则 ABC 的边长为（）ADEBCG A B D C O ABCDE 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 FEDCBA A9 B12 C15 D18 第 8 题图 第 9 题图 第 10 题图 9 如图，在 ABC 中，C=900，D 是 AC 上一点，DE A

7、B 于点 E，若 AC=8，BC=6，DE=3，则 AD 的长为（）A3 B4 C5 D6 10、如图，ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，ABDE，CF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（）A.332 B.316 C.310 D.38 二、填空题：11、若ABCDEF，ABC与DEF的相似比为 1 2，则ABC与DEF的周长比为 12、如图，ABC 中，点 D 在边 AB 上，满足 ACD=ABC，若 AC=2，AD=1，则 DB=第 12 题图 第 14 题图 第 16 题图 DABC 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出

8、了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 13、在比例尺为1：200 的地图上，测得A，B 两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B 两地间的实际距离为 m 14、如图，在ABC中，ABAC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D，若AECF，D为BF的中点，则AEAF的值为 .15、如果两个相似三角形的一组对应边分别为 3cm 和 5cm。且较小三角形的周长为 15cm，则较大三角形周长为 cm 16、如图，ABC 中，CD AB，垂足为 D.下列条件中，能证明 ABC 是直角三角形的

9、有 （多选、错选不得分）.A+B=90 222ABACBC ACCDABBD 2CDAD BD 三、解答题：17、如图，在平行四边形 ABCD 中，过点 A 作 AE BC，垂足为 E，连接 DE，F 为线段 DE 上一点，且 AFE B.(1)求证：ADFDEC(2)若 AB4,AD33,AE3,求 AF 的长.第 17 题图 18、如图，在 ABC 和 ADE 中，BAD=CAE，ABC=ADE(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；(2)请分别说明两对三角形相似的理由 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行

10、线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 F E D C B A EABDC 第 18 题图 19、如图，在 ABC 中，D 是 BC 边上一点，E 是 AC 边上一点且满足 ADAB，ADE C（1）求证：AED=ADC，DEC=B；（2）求证：AB2AE AC 第 19 题图 20、如图，在 ABC 中，BCAC，点 D 在 BC 上，且 DC=AC，ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F点 E 是 AB的中点，连结 EF（1）求证：；（2）若 ABD的面积是6求四边形BDFE 的面积 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边

11、与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 第 20 题图 21、如图，在 Rt ABC 中，BAC=90，AB0）（1）PBM 与 QNM 相似吗？以图 1 为例说明理由；（2）若 ABC=60，AB=43厘米。求动点 Q 的运动速度；设 Rt APQ 的面积为 S（平方厘米），求 S 与 t 的函数关系式；（3）探求 BP2、PQ2、CQ2 三者之间的数量关系，以图 1 为例说明理由。边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线

12、平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 22、如图，ABC,是一张锐角三角形的硬纸片，AD 是边 BC 上的高，BC=40cm,AD=30cm,从这张硬纸片上剪下一个长 HG 是宽 HE 的 2 倍的矩形 EFGH，使它的一边 EF 在 BC 上，顶点 G、H 分别在 AC，AB 上，AD 与HG 的交点为 M.(1)求证：;AMHGADBC(2)求这个矩形 EFGH 的周长.23、在 Rt ABC 中，ACB=90，BC=30，AB=50 点 P 是 AB 边上任意一点，直线 PE AB，与边 AC 或 BC

13、相交于 E点 M 在线段 AP 上，点 N 在线段 BP 上，EM=EN，sin EMP=1213（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求 CM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点 E 不与点 A、C 重合，设 AP=x，BN=y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若 AMEENB（AME 的顶点A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应），求 AP 的长 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分

14、线段优秀学习资料 欢迎下载 24、（1）如图 1，在ABC 中，点 D，E，Q 分别在 AB，AC，BC 上，且 DE BC，AQ 交 DE 于点 P求证：QCPEBQDP （2）如图，在ABC 中，BAC=90，正方形 DEFG 的四个顶点在ABC 的边上，连接 AG，AF 分别交 DE 于 M，N 两点 如图 2，若 AB=AC=1，直接写出 MN 的长；如图 3，求证 MN2=DM EN 25、学习图形的相似后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”

15、。类似地，你可以等到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。已知：如图，。试说明 Rt ABC Rt ABC.边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段优秀学习资料 欢迎下载 26、如图，ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点 D 在 AC 上，连结 BD 并延长与 CE 交于点 E（1）求证：

16、ABDCED （2）若 AB6，AD2CD，求 BE 的长 27、如图 a，在平面直角坐标系中，点 A 坐标为(12，0)，点 B 坐标为(6，8)，点 C 为 OB 的中点，点 D从点 O 出发，沿OAB 的三边按逆时针方向以 2 个单位长度秒的速度运动一周 (1)点 C 坐标是(，)，当点 D 运动 8.5 秒时所在位置的坐标是(，)；(2)设点 D 运动的时间为 t 秒，试用含 t 的代数式表示OCD 的面积 S,并指出 t 为何值 时，S 最大；(3)点 E 在线段 AB 上以同样速度由点 A 向点 B 运动，如题 b 图，若点 E 与点 D 同时 出发，问在运动 5 秒钟内，以点 D，A，E 为顶点的三角形何时与OCD 相似(只考虑以 点 AO 为对应顶点的情况)：a 图 b图 A D E B F C 边并且和其它两边相交的直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应定理给出了一种证明两直线平行方法即利用比例式证平行线平行线的应两条直线所截得的对应线段成比例已知可得或或或或等注平行线分线段