概率论与数理统计答案_浙江大学主编

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1、第一章概率论的基本概念注意：这是第一稿(存在一些错误)1 解：该试验的结果有 9 个：(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c),(2,a),(2,b),(2,c)o 所以，(1)试验的样本空间共有9个样本点。(2)事件A包含3个结果：不吸烟的身体健康者，少量吸烟的身体健康者，吸烟较多的身体健康者。即 A所包含的样本点为(0,a),(1,a),(2,a)。(3)事件B包含3个结果：不吸烟的身体健康者，不吸烟的身体一般者，不吸烟的身体有病者。即 B所包含的样本点为(0,a),(0,b),(0,c)。2、解(1)A B j B C j A C A B C y y A B

2、 C A B C j A B C；(2)AIJBCIJAC(提示：题目等价于X,B,乙至少有2个发生，与(1)相似)；(3)ABCJABCJABC.(4)或 C；(提示：A,B,乙至少有一个发生，或者A,B,C不同时发生)；3(1)错。依题得。(4 8)=。(4)+(3)-。(4 1 1 8)=(),但 408，空 集,故 A、B 可能相容。错。举反例(3)错。举反例(4)对。证明：由 P(A)=0-6 ,P(B)=0.7 知P(A B)=p(A)+p -p(A U 5)=1.3-p(A U B)0.3,即 人和 B 交非空，故 A 和 B 定相容。4、解(1)因为4 8 不相容，所以4 8

3、至少有一发生的概率为：尸(A|J B)=P(A)+F(B)=0.3+0.6=0.9(2)A,B都不发生的概率为：P(/l|j B)=l-P(/l|j B)=1-0.9 =0.1；(3)4不发生同时8 发生可表示为：又因为A 8 不相容，于是P（Ap|B）=P（B）=0.6；5 解：由题知 P（A8 U AC U 8C）=（）.3 P（A8C）=0.05因 p（A8U ACU3C）=p（AB）+p（AC）+p（BC）2P（4BC）得，p（AB）+p（AC）+p（BC）=0.3+2 p（ABC）=0.4故A,B,C都不发生的概率为p（ABC）l-p（A U U C）=1-（p（A）+p（8）+p（

4、C）-p（AB）+p（AC）+p（BC）+p（ABC）=1-（1.2-0.4+0.05）=0.156、解 设A=“两次均为红球”,8=“恰 有1个红球”,C=“第二次是红球”Q2若是放回抽样，每次抽到红球的概率是：2,抽不到红球的概率是：上,则10 10Q O(1)P(A)=X =0.64；10 10O O(2)尸 =2x x(l)=0.32；10 10(3)由于每次抽样的样本空间一样，所以：QP(C)=2 =O.810若是不放回抽样，则C_ 28（1）P（A）襦=石（2）P（B）C；C；16 C T=45（3）7解：将全班学生排成一排的任何一种排列视为一样本点，则样本空间共有30!个样本点。

5、(1)把两个“王姓”学生看作-整体，和其余28个学生一起排列共有29!个样本点，而两个“王姓”学生也有左右之分，所以，两 个“王姓”学生紧挨在一起共有29!个样本点。1229!即两个“王姓”学生紧挨在一起的概率为30!15。（2）两 个“王姓”学生正好一头一尾包含2 28!个样本点，故2-28!1两 个“王姓”学生正好一头一尾的概率为30!435。8、解（1）设4=“1红1黑1白”，则史上C；35（2）设8=“全是黑球”,贝I r3 1P=3=一；C；35（3）设。=第1次为红球，第2次为黑球，第3次为白球，则尸（0 =且型=2。7!359解：设A=第i号车配对 ,i=1 2，9若将先后停入的

6、车位的排列作为一个样本点，那么共有受个样本点。由题知，出现每一个样本点的概率相等，当A发生时，第i号车配对，其余9个号可以任意P二排列，故（1）9!。（2）1号车配对，9号车不配对指9号车选28号任一个车位，其余7辆车任意排列，共有7!个样本点。故 八 9!72.P（4 4 4 4）=。（为,P（A?闯4/19）表示在事件：已知 号和9号配对情况下，28号均不配对，问题可以转化为28号车随即停入28号车位。记 用=第i+1号车配对,i=l,2,7。则P（月 41A 4）=贰瓦 闲=1一 p U u a）p（B）=-=l）=-=.p（BBjBk）=-=-.由上知，7!7!4 2,（，J）,-7!

7、21 0,（，J（女）M 4 当）=（用7!。则，=o 电 兀.4）=夕 师.初（4 4）1上浮$之印故i=0 ，/=0 I，10、解由已知条件可得出：P(B)=l P(8)=l-0.6=0.4；P(A B)=P(A)P(AZ)=0.7-0.5=0.2；P(A(J B)=P(A)+P(3)P(A6)=0.9；（1）P（AAJB）=P（A（AUB）P（4|j8）P(A)=7(2)P(A B)=P(B)-P(AB)=0.4-0.2=0.2P(R J B)=P(A)+P(B)-P(A B)=0.5于是 P（A I A|JB）=G 4 Q(7 UB)尸仪UB)P(A B)_ 2P(A|jB)-5 ：(

8、3)P(ABAJB)=P(A8(A U 3)P(A|j8)P(A B)_ 2 P(AjB)9n解：由题知 P(A)=0.5,p(B)=0.3 p(C)=0.4 P(B|A)=0,2 p(A U 刷=0.6则 p(A U 8 U C)=p(A U 5 U C|C)p(C)+p(A U 8 U c|c)p(c)=p(C)+p(A U 桐p 0)=p(C)+p(AU 8 p(A U/C)p(C)=p（C）+p（A）+p-p（AB）-p（A U 8|C）p（C）=P（C）+P（A）+p-p（8|A）p（A）-p（A u Bc）p（c）=0.8612、解 设 A=该职工为女职工,8=该职工在管理岗位,由

9、题意知，P（A）=0.45,P=0.1,P（AB）=0.05所要求的概率为 U(2)P(AIB)=P(AB P(B)P(A B)1P(6)P(B)213、解：P(y=2)=p(y=2|x=l)p(x=l)+p(y=2|x=2)(x=2)+p(y=2|x=5)p(x=5),.1 1 1 1 1 1 1 1 1=0 x+X+X+X+X5 2 5 3 5 4 5 5 5_ 7 7-3 0 01 4、解 设 4 =此人取的是调试好的枪,8=此人命中,由题意知:3 3 -1P(A)=-,P(B IA)=-,P(B A)=4 5 2 0所要求的概率分别是：3 7(1)P=P(A)P(B 1 4)+P(A)

10、P(B I A)=；8 0(2)P(AIB)P(AB)P(A)尸(8 I A)1P(6)P(B)3 71 5解：设4 =入市时间在1年以内 ,4 =入市时间在1年以上不到4年,4 =入市时间在4年以上,用=股 民 赢 ,邑=股民平,当=股 民 亏 则p(周 A)=o.l p(B2|A,)=0.2 p(&|A)=0.7 p(图七)=0.2 痘 )=0.3P(B3|A2)=0.5 画&)=0.4 p(固4)=0.4 P(B3|A3)=0.2，p(5 1)=P A)P(A )+P(阂 4)p(4)+p Qi 1 4)P(4 3 )=0.2 2 前 同 二 端二p网 A,P(AJ(当|4)(4)+P(

11、M|4)P(A 2)+P(8 3%)P(4)7 0.5 3 81 316、解 设A,B分别为从第 、二组中取优质品的事件，C,。分别为第一、二次取到得产品是优质品的事件，有题意知：P(4)=M P1520（1）所要求的概率是:1 1 13P(C)=”A)+”小亦。.541713(2)由题意可求得：P(D)=P(C)=241 20 10 1 5 15 八0/P(CD)=x x +x x 0.21362 30 29 2 20 19所要求的概率是：P(C D)P(CD)P(D)28257163X 0.3944。17解：（1）第三天与今天持平包括三种情况：第2天平，第3天平；第2天涨，第3天跌;第2天

12、跌，第3天涨。则Pi-fz3/3+aia2+a/、（2）第4天股价比今天涨了 2个单位包括三种情况：第2天平，第3、4天涨：第2、4天涨，第3天平；第2、3天涨，第4天平。则p2=2a 3/乌+19对。证明:假设A.B不相容,则P（M=0。而p（A）0,p（8）0,即p（A）p 0,故P（A8）#M A）P（8）,即A,B不相互独立。与已知矛盾，所以A,B相容。（2）可能对。证 明:由P（A）=0.6,P=0.7知p（A8）=p（A）+p -p（4U 8）=1.3-p（AU8）0.3p（A）p（5）=0.6x0.7=0.42P（AB）与P（A）P（8）可能相等，所以A B独立可能成立。（3）可

13、能对。（4）对。证 明:若A,B不相容,则P（M =。而P（A）0,P 0,即MNP。,故。（A 5 HP（A）P，即A,B不相互独立。18、证明：必要条件由于A,8相互独立，根据定理152知，A与否也相互独立，于是:P(A 15)=P(A),P(AB)=P(A)即 PA IB)=P(A IB)充分条件由于P(AIB)3及 (4|a=诞=二诞P(B)P(B)l-F(B),结合已知条件，成立P(A6)_ P(A)P(AB)P(B)-1-P(8)化简后，得：P(叫=P(A)尸(8)由此可得到，A 与 B 相互独立。2。、解 设 a 分别为第i 个部件工作正常的事件，8 为系统工作正常的事件，则尸(

14、a)=p,(1)所要求的概率为：a=P(B)=尸(A 4 4 U A/2 A4|j4A3A,LJA2 A3AJ=p(4 4 A)+&4 4 4)+p(4&a)+p(&A )-3P(A H&Aq)=P1P2P3+PP2P4 +PP3P4 +P2P3P4-3。超2P3P4(2)设C 为 4 个部件均工作正常的事件，所要求的概率为：4=P(C I 8)=PP2P3P七。a(3)/=C；/(一0)o21解：记 6 =第i次出现正面,i=l，2(1)(2)p(4)=P(C G.)=P(G)P(C“)P(C)=(1-P尸P )=P(GC2c3c4)+p(C|C2c3c4)=p2(l-p)P 6峭=2(1-

15、)p(a)PP(4 忸4”端L*=pp(A)P Q-p)22、解 设 A=照明灯管使用寿命大于1000小时,B=照明灯管使用寿命大于2000小时,C=照明灯管使用寿命大于4000小时,由题意可知P(A)=0.95,P(5)=0.3,P(C)=0.05(1)所要求的概率为：产 田=3=些=1P(A)0.9 5 1 9(2)设 4分别为有i 个灯管损坏的事件(i =0,1,2,3 )，。表示至少有3个损坏的概率,则尸(4)=P(8)=(0.3)=0.0 0 0 0 0 5 9P(4)=C；o P(B)了(1-P(B)=0.0 0 0 1 3 7 8P(A2)=C；)P(8)T(1-P(B)2=0.

16、0 0 1 4 4 6 7所要求的概率为：a =1 P(4)-P(4)-P(4)=0.9 9 8 42 3 解：设 4=系统能正常工作,B =系统稳定,C =系统外加电压正常,则 p(C)=0.9 9 P|C)=0.9 P )=0 2 p(A 忸)=0.8 P(乖)=0.9MP(A)=P(A|8)P(5)+P(AR)0)=p(A 忸 加/c)p(c)+P(B|C)P(C)+I-P(A|B)1P(B|C)P(C)+P(B|C)P(C)=0.8 X(0.9 X 0.9 9 +0.2 x 0.0 1)+(1-0.9)x (1-0.9)x 0.9 9 +(1-0.2)x 0,0 1 11 9(2)记

17、A=第i 个元件正常工作，则 P 4p(A U U A 5 L 1 -P(A|A 5)=1-p(A)p&)0.9 9 8 4第二章随机变量及其概率分布注意：这是第 一 稿(存在一些错误)1解：X 取值可能为2,3,4,5,6,则 X 的概率分布律为：p(X=2)=甲=*p(X=3)=军 莺 35P(X=爷啥P”)爷啧p(X =6)=尊.2、解(1)由题意知，此二年得分数X 可取值有0、1、2、4,有P(X=0)=1 02=0.8p(x =l)=0.2x(l 02)=0.16 9P(X=2)=0.2x0.2x(l 0.2)=0.032p(x =4)=0.2x0.2x0.2=0.008从而此人得分

18、数X 的概率分布律为：x o 1 2 4P 0.8 0.16 0.032 0.008(2)此人得分数大于2 的概率可表示为：P(X 2)=P(X=4)=0.008.(3)已知此人得分不低于2,即 X N 2,此人得分4 的概率可表示为:P(X=4 1 X 2 2)p(X=4)_ 0008P(X 2)-0.032+0.0083解：(1)没有中大奖的概率是P|=(1 1 0-7 丫；(2)每一期没有中大奖的概率是p=(1-1 0 一 7 ，n期没有中大奖的概率是p2=p =(IT O-。4、解(1)用 X 表示男婴的个数，则 X 可取值有0、1、2、3,至少有1 名男婴的概率可表示为：P(X 1)

19、=1-P(X ；(2)P(X 42.5)=尸(X=1)+P(X=2)=p+p(l p)=p(2 p)。7解：(1)a =(l-0.1)30.12+；(l-0.1)40.1+/(l-O.l)5=0.991,/?=l-0.23(l-0.2)2+/0.24(l-0.2)+/0.25=0.942 o(2)诊断正确的概率为p=0.7a +0.3=0.977。(3)此人被诊断为有病的概率为p=0.7a +0.3(1-)=0.711。7、解(1)用X表示诊断此人有病的专家的人数，X的取值有1、2、3、4、5。在此人有病的条件下，诊断此人有病的概率为：a =P(X N3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=

20、5)=Cj(l-0.1)3-0.12+Cj(l-0.1)4 O.l+Cf(l-O.l)5=0.991在此人无病的条件下，诊断此人无病的概率为：=P(X 3)=P(X=O)+P(X=1)+P(X=2)0.2)5+。；(1-02)4 0 2+C；(l-0.2)3 0 22=0.942(2)用了表示诊断正确的概率，诊断正确可分为两种情况：有病条件下诊断为有病、无病条件下诊断为无病，于是：/=0.7a+0.3/?=0.977；(3)用7；表示诊断为有病的概率，诊断为有病可分为两种情况：有病条件下诊断此人为有病、无病条件下诊断此人为有病，于是：7=0.7a +0.3x(l-)=0.711：8、解 用A表

21、示恰有3名专家意见一致，8表示诊断正确的事件，则P(A8)=0.7 xP(X=3)+0.3 xP(X=2)=0.1121(4)=0.7 x 尸(X=3X=2)+03 xP(X=2或乂=3)=0.1335所求的概率可表示为：P(8IA)=t 3=0.842尸(A)9解：(1)由题意知，候车人数X=%的概率为p(X=%)=-,贝ij p(X=0)=1 ,从而单位时间内至少有一人候车的概率为p=l e-,所以1一6=1 一e5)=-P(X 5)=-11、解：山题意知，被体检出有重大疾病的人数近似服从参数为/L=np=3000 x 一=3的泊松分布，即 p(X=A)=-k=0,1,2,k!则至少有2人

22、被检出重大疾病的概率为p=l p(x =0)-p(x =1)=1-1 3/a0.801。1 2、解(1)由于尸 0X 4 1)+P(24X 4 3)=+=1,因此X的概率分布函数为:2 20%1F(x)=P(X x)=l x 2 ,X 1 c c-2 x 32 5-1 3(2)P X 解：(1)由 /(工 四=j：c(4一 元2蛆=1解得0 =得。(2)易知x W O 时，F(x)=0；-N2时,F(x)=l；当0X 2时，*x)=()3,=怖 1(4 产 的=；)x 0,所以，X的分布函数为*x)=0 x 2.(3)/?(-1%1)=F(1)-F(-1)=F(1)=(4)事件 1 X 1 恰

23、好发生2次的概率为p =p -X 1)2(1-p(-l X 1)3=5220.1 4 4 2 o14、解(1)该学生在7：2 0过X分钟到站，X U(0,25),由题意知，只有当该学生在7：2 0 7：3 0期间或者7：4 0 7：4 5期间到达时，等车小时1 0分钟，长度一共1 5分钟，所以：P 该 学 生 等 车 时 间 小 于1 0分 钟=P X 1 0 =|=|；(2)由题意知,当该学生在7：2 0 7：2 5和7：3 5 7：4 5到达时，等车时间大于5分钟又小 于1 5分钟，长度为1 5分钟，所以：1 5 3P 该 学 生 等 车时间大于5分 钟 又 小 于1 5分 钟 =P 5

24、X 5 =2=，P X 5 =d竺=,于是P 该学生乘上7:3 0的班车I X 5 =L4 4515、解：由题知，X服从区间（-1,3）上的均匀分布，则X的概率密度函数为1 ,、(、7，-l x 2.5)=尸(上2 至二W)=P(AZ -2.5)a a a=1-P(土N -2.5)=1-(-2.5)a=0)(2.5)=0.9 9 3 8(2)P(X 3.5 2)=P(土上 3 5 2-4)=p(1L _L 4 8)y y (-1.4 8)=1-0(1.4 8)=1-0.9 3 0 6 =0.0 6 9 4(3)nP(,4.Xv 6)=Pn(,4 /.X.-R 6 /)=P(-l -X-1)cr

25、 cr cr a=W)1 7 0)=J 7 0-勺(j a=P(AZ2 O)T=1-0(0)=0.5(2)该青年男子身高大于1 6 5 cm 且小于1 7 5 cm 的概率为：Z1 z1 6 5 u X u 1 7 5 、,X u 、P(1 6 5 X 1 7 5)=P(-)=F(-l -1)(J(J(7 7=一(一 1)=2 一 1=1.6 8 2 6 1 =0.6 8 2 6(3)该青年男子身高小于1 7 2 cm 的概率为：P(X 1 7 2)=P(土 工 172-)=P(土 型 0.4)C T T (J=0(0.4)=0.6 5 5 4(2()()_ 2 2()11 9、解：系统电压小

26、于2 0 0 伏的概率为p|=p(X 4 2 0 0)=-=0)(-0.8),在区间 2 0 0,2 4 0 的概率为P2p(2 0 0 M X 2 4 0)=1-0 -=1 一(0.8)。(1)该电子元件不能正常工作的概率为 z =0.1 p,+0.0 0 1 p2+0.2 p3=0.0 6 4。(2)p =0.6 6 2。a(3)该系统运行正常的概率为6 =毋(1 一0)2 0 +(1 。)3=0.9 7 2。2 0、解(1)有题意知：P(|z|a)=P(-a Z a)=a (X于 是 P(Z2 a)=三，从而得到侧分位点a=z(I_a)/2；(2)P(Z b)=P(Z b或Z b)+P(

27、Z b)=a ,于是 P(Z b)=里,2结合概率密度函数是连续的，可得到侧分点为b=za/2；(3)P(Z c)=a于是 P(Z c)=l-a9从而得到侧分位点为c=z-。2 1、解：由题意得，p(X x j =(乜F)，p(M X )=1 一 (当 野贝U ：(-：(1 (/5=5 0:3 4:1 6,解得 X=1 5 ,x2=1 7 o2 2、解(1)由密度函数的性质得:1 =p f(x)dx=Q,ex dx =J-c O J-c O所 以a =；(2)P(X 1)=1-P(X 1)=1-2=F J 5 dx =1 O(-y=)=1-0.7 6 1 =0.2 3 9。1 0 8 Y ()

28、2 3解：(1)易知X的概率密度函数为/(x)=8 0,x 0 o(2)A等待时间超过1 0分钟的概率是p(X1 0)=(x)dx =e T 2 5。(3)等待时间大于8分钟且小于1 6分钟的概率是p(8 X 6)=P(X 6)-P(取到甲厂的产品)+P(y 6).尸(取到乙厂的产品)产1 一x-e 3 dx +0.6=0.4厂+0.6/=0.2 7 4 9(2)该产品寿命大于8年的概率为：P(Z 8)=尸(X 8).尸(取到甲厂的产品)+P(Y 8).P(取到乙厂的产品)产 1 -%r 1=0.4 i 3 公+0.6 j e 6 dx小3 工6_8 _4=0.4”+0.6)3 =0.1 8

29、6 0所求的概率为：P(Z 8 1 Z 6)=P Q=o 67 7 2 0尸(Z 6)2 5、解：(1)由题知，/(x)=.0.2 e-2 t,x 0,x 0 o(2)p 5 x 1 0 =F(1 0)-F(5)=e l-e-2.(3)每天等待时间不超过五分钟的概率为p x 1 5 0)2 P(X 1 5 0)=C；l P(X W1 5 0)2 P(X 4 1 5 0),其中 P(X 1 5 0)=0.7 7 6 9于是 e r=3 1 -P(X 1 5 0)2P(X 1 5 0)尸(X 1 5 0)3=0.1 2 7 1 2 7、解：依题知，Y的分布律为p(y =1 0)=p(X=2)=0.

30、7 2 =0.4 9 0,p(y =8)=p(X=3)=$0.7(1 0.7).0.7 =0.2 9 4,p(y =2)=p(X N4)=p(X=4)+p(X=5)=颁).7(1-0.7)2.0.7+0.7(l-0.7)3.0.7 =0.2 1 62 8、解(1)由密度函数的性质可得：1 -J f(x)dx -J!c(4 -x2)dx -9 c于 是c9(2)设X,y的分布函数分别为：F x(x),FY(X),y的概率密度为/y(x),有K(x)=P(y Wx)=P(3 X Vx)=P(X w g x)=G(g x)那么，加 x)4 6)V制,-3X0,有(x)=P(Z W x)=F(|X|x

31、)=P(x X x)=F x(x)F x(-x)，于是有-(4-X2),0X 19fz(x)=f(x)+f(-x)=-(4-X2),1X 2Z的分布函数为:|(4-X2),0X 1从而，Z的概率密度为：川)1 ,-(4-X2),1X 290,其他尸z(x)=,02(12%-x3)/27,0 x l(12X-X3+11)/27,1X229、解：依 题 知,N（t）万（力）当寸，%(f)=0,当，0时，耳 =f 九）（y）d），=l e 所以，T的概率分布函数为耳（f）=0,0,ttn+tT _ P(T+%，T 幻IP(Tt。)P（T%+，）P（T。）,4(%+，)eAf-At30、解由题意知，X

32、 U（0,l）,即X的概率密度为:/x(x)=0,其他设X,y的分布函数分别为：Fx（x）,4（y）,其中y=X。有G(x)=P(X4x)=0,x l当y ）=0。当）04(y)=P(Y W y)=P(X W y)=P(0)=P(0 X 6)=耳(打)那么/y（y）=1 l-i-yn0,0 y l其他0,x 0,31解：山题意知，X的概率分布函数为/(x)=(二0 x ,3 7i 2 、3冗1,x .2则 p(y y)=p(cos X y)=p(X ar ccosy)=F (ar ccosy)0,y -l,4(乃 一 ar ccosy)一-，-i y l.32、解由题意知，X N3后),即X的

33、概率密度为：/x(X)=-7=伞),国 +oo727r 0设X,y的分布函数分别为：Fx(x),FY(y),其中y=x 2。当y 0,有耳(y)=P(Y y)P(X2 y)=P(-X K 勿=&g-耳(S那么0,y 0=诉+工(-5 =7 7 T叱)+e-(3,y0。2J y 2 A/2 万 y p33解：(1)由题意知,(x+0)dx=11a=解得I 3(2)y=4的反函数为x=y2,则4 3 =卜（力2）,，0y V 2,其他。y 2+1)30,0 y V 2,其他。34、解 设X,Y,Z的分布函数分别为：Fx（x）,4（y）,Fz（z）.由丫=0、，容易得出：当y0,有 入（），）=0。

34、当y0,有Fy(y)=P(Y y)=P(ex y)=P(X ny),0,y 0y 72 兀 y又Z =l n|x|,于是Fz(z)=尸(Z z)=P(l n|X|z)=P(|X|ez)=P(-ez X ez)=Fx(e:)-Fx(-)从而1 z 一 汽fz(z)=fx(ez)+fx(ez)=e 2,|z|37 2兀第三章多维随机变量及其概率分布注意：这是第 一 稿(存在一些错误)1、解互换球后，红球的总数是不变的，即有X+Y=6,X的可能取值有：2,3,4,Y的取值为：2,3,4,贝iJ(X,Y)的联合分布律为：止2丫=4=世=2丫=3=欧=3丫=劣=欧=3曰=破 少=3日 乜/印P(X =2

35、,y=4)=P(X =4,y=2)=|=得由于x +y=6,计算x的边际分布律为：P(X=2)=P(X =2,y=4)=513p(x=3)=P(X =3,y=3)=np(x=4)=P(X =4,y=2)=卷2 解：a+6+0.5 =l (1)P X=0=P X =0,y=0+P X =0,y=l =0.4 +aPX+Y=I=PX=o,y=I+PX=i,y=0=4+/?因事件x=o与事件x+y=1相互独立，贝IJpx=o,x+y=I=PX=o.px+y=1,即a=(0.4 +a)(a+b)(2)由 ，解 得J b o i。3、解利用分布律的性质，由题意，得a+0.1+0.1+&+0.1+0.1+

36、c=lP八。|X 2)=写 等P(Y 0,X =1)P(X=1)“十 .l =o,5a+0.1 +bP y=l =0+c=0.5计算可得：a=c=0.2匕=0.3于是X的边际分布律为：尸（X =1）=。+0.1+匕=0.6p(x=2)=0.1+0.1+C=0.2+C=0.4Y的边际分布律为p(y=l)=a+0.=0.3,P(Y=0)=02p(y=l)=b+c=0.54解：(1)由已知px=o,y=o=px=i,y=2=o.i,则PX=o,r =2=/?y=2-px=i,y=2=o.3-o.i=o.2,PX=o,y=i=px=o-px=o,y=o-px=o,r =2)=o.i,=i,y=o=py

37、=o-/?x=o,y=o=o.i,Px =1,Y=Px =-Px=i,y=o-px=i,y=2=o.4。(2)PX=o,y=上PX=O1-41-41-2O,L2-=zzzpy=AJX=0=5、解（1）每次抛硬币是正面的概率为0.5,且每次抛硬币是相互独立的。由题意知，X的可能取值有：3,2,1,o,丫的取值为：3,1。贝i j（x,y）的联合分布律为:p(x=3,y=I)=P(X=2,丫 =3)=尸(X =i,y=3)=P(X=0,y=1)=0P(X=3,-H9 P(X=2,=C；遥p(x=i,y=D =c；1.=|,P(x=o,y=3)=(lj 4X的边际分布律为:p(x=2)=q；),尸(

38、X =3)=1-8-Y的边际分布律为：尸(y=3)=P(X =0,y=3)+P(X =3,y=3)=-43尸(V =i)=p(x=i,y=I)+P(X=2,y=i)=4(2)在y=i的条件卜x的条件分布律为：p(x=oiy=i)=o,p(x=11y=1)=p(x=i,y=1)/(y=i)2P(X =2/=1)=P(X =2 =D=1,p(x=3I Y =l)=0P(Y=1)26解：(1)x=o,y=i=py=i|x=opx=o=后,x=o,y=2=y=2|x=ox=0 =技,PX=o,y=3=y=3|x=ox=o 二焉，x=i,y=i=py=i|x=1X=1=而，x=i,y=2=py=2|x=

39、ix=i=5,x=i,y=3=pr =3|x=ix=i=5。4(2)py=i=x=o,y=i+px=1,丫 =1=茹，py=2=px=o,y=2+x=i,y=2=py=3=x=o,y=3+x=i,y=3=(3)PX=o|r =i=川x=o,y =i，丫=164 13890119 00PX=i|y=i=x=i,y=1 35py=1 -4 17、解(1)已知P(X=M)=-,机=0,1,2,3。由题意知，每次因超速引起的事ml故是相互独立的,当7 =0,1,2,3 时,p(Y=nX=?)=C,(0.1)n(0.9)m-n,=0,1,2,m。于是(x,y)的联合分布律为：p(x=z,y=)=p(x=

40、机)/(丫=ix=m)=-c,(o.i)H(o.9)H-n,ml(n=0,l,2,-/z ；m=0,1,2,3,)(2)y的边际分布律为：+cc x o -A 2t n q-s 晨 m 1 2 Vp(y=)=p(x=叽丫=)=Z-c,：(o.i)f l(o.9)r a-=m=0 m=0 m n.(=0,l,2,)即y 万(0.1几)。(该题与41页例3.1.4相似)8解：(1 )y可取值为0,a,2a,p(X=0,Y=0)=0.6,p(X=O,Y=a)=p(X=0,Y=2a)=0,p(X=l,Y=0)=0.3(l-p),p(X=1,7=a)=0.3p,p(X=1,7=2a)=0,p(X=2,Y

41、=0)=0.1(l-p)2,p(X=2,Y=a)=0.2p(l-p),p(X=2,Y=2a)=0.1p2.(2)=o|x=l)=(l-p),p(Y=aX=p,p(Y=2小=1)=0。9、解（1）由边际分布函数的定义，知Fx(x)=l im F(x,y)=0,x 00.3,0 x 1K(y)=l im F(x,y)=+3 00,y 00.4,0 y l（2）从x 和 y的分布函数，可以判断出x 和 y都服从两点分布，则x的边际分布律为：X 0 1P 0.3 0.7Y的冲际分布律为Y 0 1P 0.4 0.6(3)易判断出尸(x=o,x=o)=o.i,所以(x,y)的联合分布律为:p(x =o,y

42、 =o)=o.ip(x=o,y =I)=P(X=o)p(x =o,r=o)=o.2p(x =i,y =o)=p(y =O)-P(X=o,y =o)=o.3p(x =l,y =l)=p(y =l)_ p(x =o,y =l)=0.4oi o 解：(i)px=o,y =i =py =i|x=o p x=o =p 8 同 p 可=0.3 5,PX=o,y =o =p x =o -p x =o,y =i =o.3 5,x =i,y =o =py =o -p x =o,y =o =i-p y =1-x =o,y =o =o.2 5,PX=i,y =i =p x =1 -p x =i,y =o =o.O5

43、。(2)当x 0或 y 0时，F(x,y)=0,当 0 4 x l,0 M y l 时，R(x,y)=p X =0,Y =0 =0.3 5,当 0 W x l H t，尸(x,y)=p X =0,Y =0 +p X =0,丫 =l =0.7 ,当x Nl,04 y1 时，E(x,y)=p X =0,y =0 +p X =l,y =0 =0.6,当x Nl,yN l时，/(x,y)=l。11、解 由（x,y）的联合分布律可知，在 x=i 的条件下，丫的条件分布律为:，0,x 0 或y 0,0.3 5,0 x 1,0 y 1,所以，（X,y）的联合分布函数为尸（x,y）=0.7,0 x 1,0.6

44、,x l,0 y l,y 1.尸iX专曾0.2 5 _ 5-QT-6p(y =1I X =1)=尸 y =l,X=l 0.0 5 1PX =1-6T-6因此在 x =1 的条件下，丫的条件分布函数为0,0Frix（y il）=j,0 y i12 解：设/x,y =3,(x,y)。,则x Nl,yN l时，Z:+0.2 =1,即女=0.8。所以（X,Y）的联合分布函数为F(x,y)=,+0.1,0.8x +0.1,0.8y +0.1,1,x 0 或y 0,0 x 1,0 y 1,0 x 1,x l,0 y 1,y 1.13,解 由/（X,y）的性质，得:1=f(x,y)dxdy=/dy c(y-

45、x)dx=所 以 c =6(2)设2=(x,y)I x+y l,0 K x y 1 ,则PX +y 1=y)dx dy=dx f c(y-x)dy=0.5q(3)设。2 =(x,y)io vx y wi，x w o.5 ,则P X （xT）力哈得，=3。f 3（x-l）,l x 2,（2）由 知，f（x，y）=o,其 他。、则/x（x）=L、，y）办=0 其 他。一3(x-l)(4-2町，U，,0,其 他。Xzzi l y 2,3,(x-l)dx,14 y (羽，曲=3(；冲，2；3,=222 y 3,20,其 他。15、解(1)由题意，知当 x e (0,+o o),/x(X)=匚 /(x，

46、y)dy =exdy =x ex当 x e(-o o,0 ,fx(x)=0 0,x 0当 y e (0,+o o),fY(y)=/(x,y)dx =e dx =e当 y e（-c o,0 ,fr（y）=00,y ,y0；（2）当x 0时，有/（x,y）L o y0,y 0,其 他。（2）当x0 时,6|x（）忖=5加（小）公y，i-y 0,0,y l X =1=PX=1-py Wl|x =l =e。17、解(1)由题意可得：当I H 1 时，fr(y)=：/(x,y)dx=j2|x J x =|(l-/),当|y|Nl,A(y)=0(1 y4),|y l 1所 以 人(y)=8 ；0，匹1(2

47、)当 y 2 1 时九用（x iy）=等 之,y x =弓 时，/x(x l R=15 4212 o,x取其他值1 1 -o o 1 同 3 2 x所以 P X -Y =-=fxwx -)dx=2 2,2 9 1518 解：(1)因/x(x)=,1,0 x 1,/、o,其 他 加（加 卜1 ,-：，xyl,1-X0,其 他。所以x,y)=G x(y|x)/x (x)=,11-x0,0 x y 1,其 他。1(2)/y(y)=0/(x,y)dx=0 -x0,dx,0 y l,_ j-l n(l-y),0 y l,其 他。0,其 他。加（邛）=甯=1(l-x)l n(l-y)0,0 x y 1,其

48、他.19、解 设事故车与处理车的距离Z的分布函数为B（f）,X和y都 服 从（0,m）的均匀分布，且相互独立，由题意知：当 0 加时，Fz(t)=P(Z t)=PX-Y t=-=-m m有巳。）=0,z 02m t-t2.-r,0 t m所以Z的概率密度函数力为:fz 3 =疗0tm0 取其他值2 0 解：由题意得（X,y）U（D）,即 =（x，）e，0,其 他。万信*0 y l,=仁尸，。0 10,其 他。0,其 他。pY 2上=；+巳 同 理 得 力(力=弓 庐 3 x)=乂=a 戒，4(计算的详细过程见例3.3.5)(2)有条件概率密度的定义可得：人x(y x)=fx(x)后在 x=o

49、的条件下，y的条件概率密度为:1源(田 0)=-(3)p(y n x =0=源(y 。)力=6 =0.522 解：(1)/x(x)=1/(x，y)dy=；j：(x，y)+力(,y)My=/(f x(x)+Zz x(x)1.=f=e 2,Ixl oo而 1 1i _ Z/y(加sr y|8(2)当g =0(i=l,2)时，X|与X，X?与 X 均独立，则x,y)=J/；(x,y)+/2(x,y)=1r/ix (x)Ay 3 +/2 X 耙()i咛=e 22/r所以，/(x,y)=/x(x)/()，即 x 与y 独立。2 3、解 设T表示正常工作的时间。由题意知X jE(/l)(i=l,2,3),

50、即Fx,(不)=,0,x,.0设耳是设备正常工作时间的概率分布函数，力)是概率密度函数。则当f 0时耳 =P(T 4f)=P(X 1 t,X2t)+P(Xl t,X3 t)+P(X2 t,X3t)-2P Xt t,X2 t,X3t)=3(1-/)2 一2(1一 )3当，0 0 寸，耳”)=0。于 是:耳(。=0 j 0同时可求得：.)=0,/06 犷 (1_ 0-”02 4 解：(1)P (z =k)=C：pk (i p)仁,女=0,1,几。所以，Z B(n,p)(2)P(W=k)=P(X+Y=k)=P(X=1,Y =k-l)1=0=i x，(i-p r u，i(i-p)/=0=C”(1-P)

51、F=o,所以，W+p)。2 5、解 设/x(x)，万(y)，力 分别是x,Y,Z的概率密度。利 用 公 式(3.5.5),由题意得：fz Q)=f(x,t-x)dx=力(x)4。一x)dx =(fY(t-x)dx=f fy(y)dx =-P(Y t +a)-P(.Y t-a)，/+s。2a J-2a1 r 不/+。t a R=(-)-中(-)2a a a2 6 f t?：)=工 x岫r t s-t dx,0r l,f-dx,1 r 2,J)3L,73 ta 2y、0,其 他。O K I,3(3-f)一，t2,=3 L,2f 3,3.0,其 他。27、解 设 X,.为一月中第i 天 的 产 煤

52、量(i =l,2,30),Z 是一月中总的产煤量。由于30X;7 V(1.5,O.l2),且 相 互 独 立，因 此 有 Z =Z x,N(30 x l.5,30 x 0 2),即 4 6)=1 P(Z W 4 6)=1(4 6-4 5V 0 3)=0.03428 解:Fz(z)=P(X +Y z)=p(x=o,y Z)+P(X=i oo,y Z-IOO)+P(X=5 oo,y z-5 oo)=0.5 F(z)+0.3F(z-100)+0.2F(z-5 00)所以，/Z(z)=o.5/(z)+0.3/(z-100)+0.2/(Z-5 00)。1029、解(1)由于X,(i =l,2,10),且

53、相互独立，因此有Z X,万(1(U)(见/=0例 3.5.1),由题意知,得10 10 10 10P(Z X旧 2)=1 P(Z X,2)=1 -P(m ax X.2)lt10 l/10=1-尸(X 2,X?2,X 2)=1-P(X 1 0,X2 0,-X10 0)=1 1 P(X=O)10=l-(l-e )10及产(ma xXj 2,minX.=0)=产(minX,=0)-P(ma xX,2,minXi=0)l10 l10 国 410 l10 l/10=P(mnXi=0)-P(nBxXy 2)+P(imxX.0)1440 lr10 MMO i lO=P(ninX,=O)尸(nBxX,2)+尸

54、0X,2li=LZ 10l/2,m i n Xi=0)产(m ax X.21 m i n X,=0)=-=P(m i nX.=0)-P(m axX.2,m i nX.=0)i/io IVSIO P(m i n X.=0)ISSIO iiio is/siol 0 时P(T Wt)=l P(T t)=l-P(X t,Y t)=1-J exxdx p A2eydy=1-ea,+),计算可得分。)=(4+4 )e当，0 时，显然有芹=0。因此T 的概率密度函数为fT(t)为：JTt)=l0,r 0 时产(T Wf)=P(X t,Y t)=eAxdx 4 e i d y=1 -e -e+计算可得/r(f

55、)=4 即 +4/e _(4 +4)0-+-当，0力，4 八 c0,r 0 时左）=x（x）/y（L x）dx=e-e-d x=v 4-44“一 ,4 =4从而所求的概率密度函数为：当4,4 时4:如川/)=4-40,/0当4 =4 时扭。=0,r 0片 出 一-0u=X32解：令 ,贝 I v=2x-yF z(z)=P(2 X-yz)=J J f(x,y)dxdy2x-yzz 0,0 z 4.0,z 0,z z2=0z 4.1 z-o /1-p尸，k =0,1,2,3,（2）X的可能取值为：0,1,Z的可能取值为：0,1,因此（X,Z）的联合分布律为:p(x=o,z =o)=p(x=o,x+

56、y wi)=p(x=o,y=o)=(i p)2p(x=O,Z=I)=P(X=o,x+r=I)=P(X=o,r=i)=p(i-p)p(x=I,Z=O)=P(X=i,x+y HI)=P(X=i,y =i)=p2p(x=I,Z=I)=P(X=i,x+y =I)=P(X=i,y =o)=p(i-p)=J J f(x,y)dxdy%,y0 xl,0y l,0/l,0,t 1,0r 1,f l,/z(f)=0f L0,t 3故应采用方案二3、解 由 于：=所以X的数学期望不存在。4、p(X =2)=*，“(X =3)=5,“(X =4)=*，p(X =5)=；,p(X =6)=总，3,、P(X=7)=K，

57、P(X=2)=113 15 3 1EX=2x +3x +4 x +5 x +6 x +7 x +8 x =6。28 14 28 7 28 14 45、解每次向右移动的概率为p ,到时刻为止质点向右移动的平均次数，即久的期望为:时亥|J n质点的位置S”的期望为：E(S“)=p (1 p)=(2p 1)6、不会7、解 方 法 1：由于P(T 20)=1,所以T为非负随机变量。于是有:E(T)=(1 尸0)力=力(7 ，)力=?-(1 +/)力=方法二：由于尸(7 2 0)=1,所以，可以求出T的概率函数：0/0/(/)=1或 T(l +2 e N012于是E )=卜8、fx(x)-y)dy -e

58、2xdy -1el x,0 x +oo(1)E X -x fx(x x =l x e2dx -g(2)(3 X l)=3 E Xl =g(3)(X,K)=P P x y f(x,y y ix dy -j x y e2xdy dx 09.解设棍子上的点是在 0,1 之间的，Q点的位置距离端点0的长度为q。设棍子是在t 点处跌断，t 服 从 的 均 匀 分 布。于是：包含Q点的棍子长度为T,贝 I ：t.q t T=l-Z,0 Z q,q t m i n(q,l q)J =q于是包Q点的那一段棍子的平均长度为：E(T)=T d x=(l-t)dt+tdt=+q-q21 0、X(7(8,9),Y U

59、(8,9)E|X H=1上州。,)公办=；(小时)即先到的人等待的平均时间为2 0 分钟。1 1、解每个人化验一次，需要化验50 0 次(II)分成k 组，对每一组进行化验一共化验晒次，每组化验为阳性的概率为：1-0.7。k若该组检验为阳性的话，需对每个人进行化验需要k 次，于是该方法需要化验的次数为：理(1+(1-0.7%)。k将(II)的次数减去(I)的次数，得：等(1 +(1-0.74)-50 0 =50 0(：0.7人)于是:当工-0.7k 0时，第一种方法检验的k k次数少一些；当L-0.7=0时，二种方法检验的次数一样多。k1 2、f (t)0,0,t,+8 2 八中1 3、解由题

60、意知：，,x,y在圆内f(x,y)=7tr-0,其他值fx(x)=2,-r x/y(x)=0,其他值2,-r y 2于是所求的平均距离为:E(yjx2+Y2)=JJ 商x2+y2r2 1 2 r+y-lXdy=-r-rrl1 4、(1)。=1 时，p低=0)=岩，P(C =1)=-Z TCC 2 4-o _ 工一C.5 1 5 3此2时，p值=0)=警，p-D=装-p值=2)=皆。15 5 5 15lxSrhc51-C la+2x-=cv2 c2 1 515v15 24由 得，a=1 0。p值=4)=*，心5)=$，。值=6)=*，C|5 5%，仁=7)=*，p(=8)=沪，p值=4)=*。1

61、5 5 5 。15z 45 5 z 4%=4x 犷+5x 发1 5、解/n x()l x)=4?f xM狐3 当=”Q6 Z3 7 z i 2 z 8 z l+6x V+7x V+8x V此 此 a,-Vr2-x2 y y j r2-x2=2r0,其他值1 r r,-y 1)f(a)近 D(X)=/T储x-(a +2)(a +1)2_ a力 一 T(a)-I7J夫4%幻220、EX=1 4(x”x=0,DX=EX2=-P x2edx=22-1-E|X|=；W B=ID|x|=E|x|2-(|x|)2=|x VW d r-l =l21、解(1)设p表示从产品取到非正品的概率，于是有：p=(1-9

62、8%)*0.7+0.2*(1-90%)+0.1 *(1-74%)=0.06,用X表示产品中非正品数，X服从二项分布B(100,0.06),有:100E(X)=ZP(X=4)=100 x0.06=6*=0(X)=100p(l-p)=5.64(参考 77 页的例 4.2.5)(3)用Y表示在该条件下正品数，Y服从二项分布B(100,0.98),于是现丫)=100 x0.98=98Z)(X)=100 x0.98x(1-0.98)=1.9622、p(X=O)=p(X =1)=p(Y=O)=p(Y =l)=；D P(X+YNI)=(X=o,y=i)+(x =i,y=i)+p(x =i,y=0)=p(x

63、=o)p(y =1)+(x =i)+p(x =i)p(y=o)=3-4(2)(X-(-l)r)=0.(-1)p(X =0)/?(y=0)+0-(-l)p(X =0)p(y=i)+.(T)0p(x =i)p(y=0)+.(-i)|(x =i)(y=1)=0D(X.(-l)r)=(X.(-l)r)2-(X.(-l)r)2=中.(一 1打”(-1)2P(x=o)p(y=o)+0(-i)T p(x=o)p(y =i)+口 .（1）。2P（x=i）p（y=o）+i.（i）Tp（x =i）p（y=i）-223、解 证 明：D（xy）=E（xy）2）-（E（xr）2=E（x2r2）-（xy）2=E（x2）E

64、（y2）一（E（x）E（y）2（由于 x,y 相 互 独 立）=（D（X）+E（X）2）.（D（y+E（y）2）-E（X，E（y）2=o（x）o（y）+（E（x）2.o（y）+（E（y）2 g（x）24/x(x)=,r2e-2x、，,x 0,x 0,y 0,K（y）=，-e Ry 0,o，x 0.0,y Q.(1)Z =m in X,Y F2(z)=p(Z z)=l-(l-Fx(z)(l-Fr(z)=f1-u,z&u.故Z服从参数为4=6 的指数分布，故 E Z =L,D Z=L6 36故 CV(Z)=D Z=iEZ(2)Z =m ax X,yFZ(Z)=P(ZWZ)=FX(Z)K(Z)=41

65、 e 乂 1E Z=z%(z)=,以*2一(回=0 2%(力 =言,故0亿)=画。)EZ 7(3)Z=X+Y,3 5EZ=EX+EY=,DZ=DX+DY=,4 166(Z)V5z _ VsEZ 325、解(1)由相关系数的定义，得:Cov(X,x)中广亚处业凶),其中 Cov(X,X)=E(X|X|)-E(X)(|X|)通过计算得Cov(X,|X|)=0,即P*因=0,从而说明X,|X|是不相关的。(2)很显然，X与|X|不是相互独立的。I26、心(耳=,/(x,y)dy=5,N 1E(X)=O,D X =E X2-(EX)2=X2JX=1,M 1同 理 ()=/(x,y)rfx=-.|y|l

66、(y)=o,D K=1cov(x,y)=E(x y)E(x)E(y)=产竺；(1+孙)/皿)，=Px,Ycov(x,y)_ iVD XV 5 F -3,故x和y正相关。又f(x,y)*fx(x)fY(y),故X和Y不独立。(2)cov(x2,r2)=E(x2r2)-E(x2)E(y2)=E(x2r2)-D(x)z)(y)=x2/+x y)J x J y-=0故 夕=0,即x和y不相关。又 G w(x,y)=p(x 2”)=p(-6 X y/x,-y/y Y )，故x 2和片相互独立。“x y 4jx J y27、解(1)由题意得：E(A)=-A +-0 +-(1-A-0)=-A-O3 4 6 6 6 127T 7 7*7CE(sin A)=sin-Asin-Osin ,E(cosA)=cos 2 cos-6cos 6 6 12 6 6 12结合已知条件，可求出：A=-0=-4 2由于A和B是独立同分布的，于 是(A,B)的联合分布律为：(2)(sin Q =(sin(B+A)=(sin BcosA)4-E(cosBsin A)=(sin B)瓯cs A)+E(cosB)(sin A)=