角的概念教学课件

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1、角的概念1 .角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果i 条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2 .在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3 .所有与角a终边相同的角，连同角a 在内，可构成一个集合，娜=a+k3 6(r,kw Z ,即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与整数个周角的和.4 .终边落在x 轴非

2、负半轴的角的集合为：a a=k-3 6()o,ke Z ；终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：a|a=90 o+k-3 6()o,ke Z ；终边落在x 轴负半轴的角的集合为：a|a=1 8 0 o+k-3 6()o,ke Z ；终边落在y 轴负半轴的角的集合为：a|a=2 7 0 o+k-3 6()o,kG Z ；5.第一象限角的集合为：a|k-3 6 0o a k-3 6 0+90,ke Z ；第二象限角的集合为：a|k-3 6 0 +90 a k-3 6 0+1 8 0,ke Z ；第三象限角的集合为：a|k-3 6 0 0+1 8 0o a k-3 6 0o+2 7 0,ke Z ；第

3、四象限角的集合为：a|k-3 6 0o+2 7 0 0 a k-3 6 0o+3 6 0,ke Z .一、角的概念的推广1 .角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角a的始边，旋转终止时的射线叫做角a的终边，射线的端点叫做角a的顶点.2 .角的分类：正角、零角、负角.3 .象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第儿象限，就说这个角是第儿象限角.a 是第一象限角可表示为 a|2 k兀 V a V 2 k兀+5,kZ ；a 是第二象限角可表示为 a|2 k兀+a 2 k兀

4、+兀,k Z ；a 是第三象限角可表示为 a|2 k7 r+7 iV a V 2 k兀,kZ ；a是第四象限角可表示为 a|2 k?r+当 a 2 k7 r+2 7 r,ke Z).4 .轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在X轴非负半轴上的角的集合可记作：a|a=2 kji,ke Z；终边落在x轴非正半轴上的角的集合可记作：a|a=2 k兀+兀,kZ;终边落在y轴非负半轴上的角的集合可记作：兀 a|a=2 kji+,k Z ;终边落在y轴非正半轴上的角的集合可记作：a a=2 k7 i+学,k Z ；终边落在坐标

5、轴上的角可表示为：a|a=g,k Z .5 .终边相同的角:所有与角a终边相同的角，连 同 角 a在内，可构成一个集合 p|p=a+2 kjt,k G Z .二、弧度制L 角度制:规定周角的1 3 6 0 为 1 度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2 .弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1 弧度的角，即 1 3 6 0周角=1 ,1 2 兀周角=1 r a d.3 .弧度与角度的换算：3 6 0=2 无 r a d;1 8 0=兀 r a d;711 0=r a d=0.0 1 7 4 5 r a d；1 8 01 r a d=（1 8 0T I）=5 7.3 0 =5

6、 7 1 8 .4 .弧长公式：l=|a|-r （其 中 r 为扇形的半径，a为扇形圆心角的弧度数）.5 .扇形的面积公式：S扇 彩=L lT=|a|r 2 （其 中 r 为扇形的半径，a为扇形圆心角的弧2 2度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转 体 7 2 0,逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于3 6 0。角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境，引入弧度制度量角的大小，通过探究理解并掌握弧度制的定义，领

7、会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.Ba-图 1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角，等于 7 5 0,图 1-1-3 中，正角 a=2 1 0。,负角 p=-1 5 0,y=-6 6 0.3.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，如果

8、角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所 有 与 角a终 边 相 同 的 角，连 同 角a在 内，可 构 成 一 个 集 合S=邮=a+k-3 6()o,kW Z,即 任 与角a终边相同的角，都可以表示为角a与整数个周角的和.5.儿个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为 a|k-3 6 0。a 9 0o+k-3 6 0,keZ=a|a=p+k-3 6 0o,0 0 p9 0,keZ.第二象限角的集合为 3如3 6 0。+9 0。a 1 8 0+k-3 6 0,k G Z=a|a=p+k-3 6 0,9 0 p 1 8 0,keZ.第三象限角的集合为 a|1

9、 8 0 o+k-3 6 0 o aV 2 7 0 o+k-3 6 0 o,keZ=a|a=p+k-3 6 0o,1 8 0 p 2 7 0,kG Z.第四象限角的集合为 a|2 7 0+k-3 6 0 a 3 6 0+k3 6()o,ke Z=a|a=p+k-3 6 0o,2 7 0 p 3 6 0,kG Z.(2)儿种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为 a a=k-3 6 0 o,kw Z.终边落在x轴负半轴上的角的集合为 a a=k-3 6 0 o+1 8()o,keZ.终边落在x轴上的角的集合为 a|a=kT 8 0 o,keZ.终边落在y轴正半轴上的角的集合为 a a=k-

10、3 6()o+9 0 o,kG Z.终边落在y轴负半轴上的角的集合为 a a=k-3 6 0 o+2 7 0 o,keZ.终边落在y轴上的角的集合为 a a=k-1 8()o+9 0 o,keZ.终边落在坐标轴上的角的集合为 a a=k-9()o,ke Z.终边落在k X上的角的集合为 a|a=kl 8()o+4 5 o,kez .终边落在y=-x 上的角的集合为 如1=8 0。+1 3 5。,1 2 .终边落在y=x 上的角的集合为 同(1=如 9 0。+4 5。,1 6 2 .题组一：基础概念.【题目】.在直角坐标系中，作出下列各角：(1)3 6 0 (2)-2 7 0 (3)3 9 0

11、(4)-5 4 0.【题目工设集合麻阳。为小于9 0。的角,N=8|。为第一象限的角,贝i j M fl N等于()4 。|0 为锐角 0|0 为小于9 0。的角C 0|0 为第一象限角 D.以上均不对解：小于9 0。的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M CI N 由锐角及其终边在第象限的负角组成.故选D.提示(1)上述儿个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.(2)角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.【题目工下列各命题正确的是（A.终边相同的角一定相等C.锐角都是第一象限角）B.第一象限角都是锐角D小于

12、90。的角都是锐角解析：可根据各种角的定义，利用排除法予以解答.对于A,-60。和 300。是终边相同的角，它们并不相等,应排除A.对于B,390。是第一象限角，可它不是锐角,应排除B.对于D,-60。是小于90。的角，但它不是锐角，应排除D.综上，应选C.答案：C.【题目】.下列命题中，正确的是（A.终边相同的角一定相等C.第一象限的角都是锐角）B.锐角都是第一象限角D小于90。的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360。的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指 0 1 卜360。011-360。+90。，k eZ）,所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集

13、，故 C 错;小于90。的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答 案:B.【题目工给出下列四个命题：（1）小于90。的角是锐角；（2）钝角是第二象限角;（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。其中真命题的个数为A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【题目工下列说法中，正确的是（）A.第二象限的角是钝角B.第二象限的角必大于第一象限的角C.-150。是第二象限角D.-25216 46744 1 187。44,是终边相同的角思路分析：第二象限的角除包含钝角以外，还包含与钝角相差2k无,kZ 的角及若干负角，如 460。是第二象限的角但不是钝角；460。是第二象限的

14、角，730。是第一象限角，显然460。小于730。；-150。应为第三象限角，故A、B、C 都是错误的.答案：D.【题目工下列命题中的真命题是(D)A.第一象限的角是锐角8.小 于 90。的角是第一象限角C.第二象限的角比第一象限的角大D.相等的角一定是终边相同的角.【题目 设工=0|0为锐角,8=0|0为小于90。的角,C=0|0为第一象限角,。=0|6为小于90。的正角,则()A.A=B B.B=C C.A=C D.A=D思路分析：A=0|0690,B=6|090,C=0|k-360o090o+k-360,keZ,D=9|0o 9 9 0 ,显然，A=D.答案：D.【题目 已知Z=锐角,8

15、=0。到 90。的角,C=第一象限角,。=小于90的角.求 ACB,AUC,CAD,AUD.思路解析：搞清各集合的范围，是解题的关键.A=a|0a90；B=a|00a90;C=a|k-3600ak-360+90,keZ;D=a|a90.，AnB=a|00a90;AUC=a|k-3600 a k-360+90,k e ZCnD=a|k-3600ak-360+90,k 为非正整数;AUD=a|a120。，所以也是错误的；终边相同的角可能彼此相差360。的整数倍，显然是错误的；由于角的顶点是原点，始边与x 轴的非负半轴重合，所以相等的角终边一定相同，显然是正确的；由于90。、180。都不是象限角，显

16、然是错误的.辨析比较 第一象限角、小 于 90。的角、0。90。的角、锐角这四种角的范围有差别.锐角一定是第一象限角，而第一象限角不都是锐角，小于90。的角应当包括锐角、零角及负角，在下一节学习了弧度制后，角变为实数，其大小关系更加明显.知识点五已知角a 终边所在的象限，求多（nCN,nl）所在的象限.【题目】.用集合表示下列各角：“0。到 90。的角”“第一象限角”“锐角”“小于90。的角90。的角”.解：0。到 90。的角的集合为何0。女 90。第一象限角的集合为 a|k-3600ak-360+90,kGZ）锐角的集合为 a|0a90）小于90。的角的集合为 a|a90）0。90。的角的集

17、合为 a|0a90.【题目】.集合 4=a|a=k?90-36,keZ,5=p|-180p180,则 ZA5 等于()A.-36,54 B.-126,144C.-126,-36,54,144 D.-126,54思路解析：在集合A 中，令 k 取不同的整数，找出既属于A 又属于B 的角度即可.k=-l,0,l,2 验证可知 AnB=-126,-360,54,1440.答案：C.【题目工已知角a、0 的终边相同，那么a-0的终边在（）4 x 轴的非负半轴上 反 y 轴的非负半轴上C x 轴的非正半轴上 D歹轴的非正半轴上解析：角a、B终边相同，.*.a=k-3 6 0+p,k G Z,作差 0 1

18、-（3=如3 6 0。+坪=k-3 6 0。，keZ.A a-p 的终边在x轴的非负半轴上.答 案:A类题演练3题组二：终边相同的角与象限角.【课本习题P5 3,已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是哪个象限的角.（1）42 0；（2）-7 5；（3）8 5 5 ；（4）-5 1 0.解：（1）第一象限；（2）第四象限；（3）第二象限；（4）第三象限.【题 目 工 已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角并指出它们是哪个象限的角.解：（1）第二象限；（2）第三象限；（3）第一象限；（4）第四象限.如图.(1)49 0；(

19、2)-1 0 0；(3)7 6 0 ；(4)-3 9 0.【题目 若 a为锐角，则角a终边在第二象限，角 1 8 0。一。终边在第二象限,角 1 8 0。+。终边在第二象限，角 3 6 0。一。终边在第四象限.【题目工一3 0。角是DA.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角.【课本例题P4例 1】.在 0。360。范围内与一950。1 2 角终边相同的角是AA.129。48 B.29。48 C.27948 D.209。48.【课本例题P4例 1.A.第 象 限 角C.第三象限角-95012/角是 BB.第二象限角D.第四象限角.【课本习题P5课后练习4】.在 0。360。范

20、围内，找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第儿象限角：(1)-5418z；(2)3958；(3)1190030z.答案：(1)305。4 2 第四象限角;(2)358 第一象限角;(3)249。3 0 第三象限角.【课本习题P9A1.在 0。360。范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第儿象限角：(1)-265；(2)-1000；(3)-843。10；(4)39000.答案：(1)95。第二象限角；(2)80。第一象限角；(3)236。5 0 第三象限角；(4)300。第四象限角.【题目1700。角是DA.第一象限角C.第三象限角.【题目1400。角是AA.第一象限角C.第三象

21、限角B.第二象限角D.第四象限角B.第二象限角D.第四象限角.【题目】.在 0。360。范围内与一 1050。角终边相同的角是AA.30 B.120 C.210 D.330.【题目工下列各角与95。角终边相同的角是DA.-5 B.85 C.395 D.-265.【题 目 工 已知a=1 690。，(1)把 a 改写成B+k-360。(kZ,0。邹360。)的形式；(2)求仇 使。的终边与a 相同，且-360。6360。，并判断。属于第几象限.解：a=250+4-360(k=4,0=250。).(2)与 a 终边相同，/.0 角可写成250+k-360。.XV-36000360,.,.-3602

22、50o+k-360o360,kCZ.解得k=-l或 0.0=-110或 250,.o是第三象限角.变式提升2.【题目工在一720。到 720。之间与一 1050。角 终 边 相 同 的 角 是.【答案】-690。，-330,30,390.【题目工在一720。到 720。之间与一 1050。角 终 边 相 同 的 角 是.【解析】与一1050。终边相同的角可写成：-1050+*-360(%GZ),，-720-1050+A;-360o720o,.330A：-360o1770o,整数左的值为1,2,3,4.所求角为 一690。，-330,30,390.【答案】一690,-330,30,390.【题目

23、工在-720。到720。之间与角-1 000。角 终 边 相 同 的 角 是.解法一：与角-1 000。终边相同的角的集合是5=砸=-1 000o+k-36()o,kGZ,S 中适合-720。到 720。之间的元素是-1 000+lx360=-640,-l 000o+2x360=-280,-l 000o+3x360=80,-l000+4x360=440.解法二：V-72O-1 000+k-360720,7 43解得WKW 竺.9 9V k ez,Ak=l,2,3,4.把 k=l,2,3,4分 别 代 入。=-1000。+10360。,16 2,可 以 得 集 合 中 的 元 素 为-640,-

24、280,80,440.答案：-640,-280,80,440.【题目工将一885。化为a+Z?360。(0。女 360。，左 G Z)的形式是A.-165+(-2)-360 B.195+(-3)-360C.195+(-2)-360 D.165+(-3)-360【解析】-8850=195。+(-1080)=195+(-3)-360.【答案】B.【题目工将下列各角表示为a+左 360。(左 CZ,0。360。)的形式，并判断角在第几象限.(1)56024(2)一56024(3)2903 15f(4)-2903015,(5)3900(6)-3900【解】(1)V560o24,=20024,+360，

25、560。24与 200。24,终边相同在第三象限(2)V-56024,=15936,+(-2)-360，一560。24与 159。36终边相同在第二象限(3)V2903o15,=23o15,+8-360.,.290315与23。15,终边相同在第一象限(4)V-2903015,=33645,+(-9)-3602903。15,与 336。45,终边相同在第四象限(5)V3900=300+10-360.3900。与 300。终边相同在第四象限(6)V-3900=60+(-1 1)-360.一3 9 00。与6 0。终边相同在第一象限.【题目工与角-1 05 0。终 边 相 同 的 最 小 正 角

26、是.思路分析：由于-1 05 0。=3 0。-3*3 6 0。，所以与角-1 05 0。终边相同的最小正角是3 0。.答案：3 0。.【题目】.与19 9 5。的终边相同的绝对值最小的角是【答案】-16 5.【题目 与 角15 6 0。终边相同的角的集合中，最 小 正 角 是,最大负角是【解析】15 6 0=12 0+4 x3 6 0,15 6 0o=-2 4 0+5 x3 6 0.【答案】12 0 -2 4 0.【题目工(1)已知-9 9 0。(1-6 3 0。，且a与12 0。角的终边相同，则a=.(2)在-7 2 0。到7 2 0。之间与-1 05 0。角 终 边 相 同 的 角 是.解

27、析：(l)：a与12 0。角终边相同,故有0(=103 6 0。+12 0。,1金2.X V-9 9 00 a -6 3 0,A -9 9 00 k-3 6 0+12 0 -6 3 0,H P -1 1100 k-3 6 0o-7 5 0.当 k=-3 0t,a=(-3)-3 6 O+12 O=-9 6 O.(2)与1 05 0。角终边相同的所有的角可表示为a=k-3 6 0+(-l 05 0),k e Z,依题意得-7 2 0。妙3 6 0。-1 05 0 7 2 0,解得 11 k 4 U,I.k=l ,2,3,4.12 12所求的角为 1x3 6 00-1 05 0=-6 9 0,2 x

28、3 6 00-1 05 00=-3 3 0,3 x3 6 0-l 05 0=3 0,4 x3 6 00-1 05 0=3 9 0.答案：(1)-9 6 0(2)-6 9 0,-3 3 0,3 0,3 9 0.【题目工在一3 6 0。到3 6 0。之间与一 105 0。角终边相同的角是AA.一3 3 0和 3 0。B.一3 2 0。和 3 0 C.-3 3 0。和 2 0 D.-3 3 00和 12 0。.【题目工在0到3 6 0。范围内与一2 1。终边相同的角是班，在一3 6 0。到7 2 0。范围内与 一21。终边相同的角有 J 个；分别是一21。，339。，699.【题目工如图1-1-5,

29、写出终边落在直线 尸 岳 上的角的集合.(用0。到 360。的角表示)思路分析：先在0。到 360。之间找到两个角，使得其终边分别与射线 产 石 x(xX)、产百x(xSO)重合，再写出与其终边相同的角的集合，最后求并集.解：终边落在广 岳(xK)上的角的集合是Si=a|a=60+k-360,keZ:终边落在 y=V5x(xS0)上的角的集合是 S2=a|a=240o+k-360,keZ.于是，终边落在 尸 底 上的角的集合是$=$|12=a|a=60+k-360,keZ U a|a=240+k-360,keZ=a|a=60+2k-180,keZ U a|a=60+(2k+1)-180,ke

30、Z=a|a=60+180的偶数倍 U a|a=60+180的奇数倍=a|a=60+180 的整数倍=a|a=60+n-180,nWZ.巧妙变式：如图1-1-6,若角a 的终边落在y=x (xKJ)与 产-字 x(xgO)所夹的小区域内，求角a 的集合.思路点拨：应先写出终边落在y邛x(xM)与 产-冬 腔 0)上的角的集合，再运用不等式写出所在小区域内的角的集合.所夹的小区域内角a 的集合是a|30+k-3600a 150+k-360,keZ.方法归纳 若过原点的直线1 的倾斜角为a,则终边落在直线1 上的角的集合是伸忏a+kT80o,kGZ.当k 取偶数时，表示终边落在直线1所在的上半平面部

31、分；当k 取奇数时，表示终边落在直线1所在的下半平面部分.求两条射线所夹区间角的集合的关键是找出与区间的两条边界终边相同的角的集合.知识 点 三 象限角的集合.【课本例题P4例 2 .终边落在y 轴上的角的集合为。A.a|a=Z?360+90,kGZ B.a|a=A?90+90。，kZC.a|a=A?180,kRZ D.a|a=180+90,kRZ.【课本例题P5例 3 .终边落在直线尸上的角的集合为DA.a|a=k-360+45,左 6Z B.a|a=A/90+45,kZC.a|a=k-180-45,kZ D.aa=T80+45。，k&Z.【课本习题P9 A 2.终边落在x 轴上的角的集合为

32、。A.a|a=%-360+90。，左 WZ B.a|a=k90+90,A：GZC.a|a=-180,kGZ D.a|a=180+90,k 5.【题目终边落在x 轴正半轴上的角的集合为AA.a|a=Z?360。，kZ B.a|a=A?180,kGZC.a|a=A?90,左 CZ D.a|a=%-3600+90,kZ.【题目】.终 边 在 x 轴非负半轴上角的集合是a I a=k-360。,左 WZ）；终边在x轴 上 角 的 集 合 是 a I a=k*%G Z.终 边 在 第 一 象 限 的 角 的 集 合 是T Ca|A-360oa,+Arx360o/Z.【题目工用集合的形式表示与下图中的角的

33、终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：(1)从图中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0。一3 6 0。范围内，且另一个角为2 2 5。，故所求集合为：S=p|p=4 5+k-3 6 0,k G Z U p|p=2 2 5+k-3 6 0,k G Z .=P I P=4 5+2 k-18 0,k Z U p|p=4 5+l 8 0+2 k-18 0,k eZ .=p|p=4 5+2 k-18 0,k G Z U p|p=4 5+(2 k+l)-18 0,k e Z .=P I P=4 5+n-18 0,n e Z(2)从图中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求

34、集合为:S=P|p=3 0+k-3 6 0,k e Z U P|p=3 3 0+k-3 6 0,k e Z .=p|p=3 0+k-3 6 0,k e Z U p|p=-3 0+3 6 0+k-3 6 0,k e Z .=P I P=3 0+k-3 6 0,k G Z U p|p=-3 0+(k+1)-3 6 0,k G Z .=p|p=3 0+n-3 6 0,n e Z .(3)从图中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为:S=p|p=3 0+k-3 6 0,k e Z U p|p=15 0+k-3 6 0,k e Z .=P|P=3 0+k-3 6 0,k e Z U|3|p=-

35、3 0o+18 0+2 k-18 0,k GZ.=邮=3 0。+2 k 18 0。,k e Z U p|p=-3 0+(2 k+l)-18 0,k e Z .=P|p=(-1)n-3 0+n-18 0,n Z .3.任意角的概念.【题目 若角a的终边经过点尸(-1,石)，则与角a终边相同的角的集合是()A.a|a=1 3 5+k-3 6 0,ke Z B.a|a=1 50+k-3 6 0,k Z C.a|a=1 2 0+k-3 6 0,ke Z D.a|a=2 4 0+k-3 6 0,ke Z 思路分析：如图，过点P作P M，x轴于点M,在R ta P M O中，V|O M|=1,|MP|=V

36、 3,t an Z PO M=PMOM：.Z PO M=6 0.，与角a终边相同的角的集合是 砸=1 2 0。+1 0 3 6 0。,1 4 2.答案：C【题目工 若a=-2 1。，则与a终边相同的角可以表示为A.k-36Q0+2(kGZ)B.M80+2 1 QkGZ)C.Z r-3 6 0-2 1 (左C Z )D.左 1 80 2 1 (左G Z)【答案】C.【课本习题P5.5,写出与一2 2 5。终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一72(T W B 3 6 0。的元素B写出来：【解】.-2 2 5。=1 3 5。-3 6 0。.与3 70。2 3,终边相同角的集合为S=B I B

37、=1 3 5+左3 6 0。，左 CZ在一72 0。3 6 0。范围内的角分别是1 3 5,1 3 5-3 6 0,1 3 5-72 0.即 1 3 5,-2 2 5,-585.【课本习题P9 A 3写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一3 6 0。忘B 3 6 0。的元素B写出来：(1)6 0；(2)-75；(3)-82 4 3 0 ；(4)4 75；(5)9 0；(6)2 70；(7)1 80；(8)0 .【解】B(2)(B(3)(3(4)(B(5)BB =6 0。+上-3 6 0,左W Z,-3 0 0,6 0；B =-75。+左3 6 0 ,kSZ,-75,2 85；

38、8=-82 4 3 0 +卜3 6 0。，k O,一 1 0 4。3 0 ,-82 4 3 0；B =4 75+左-3 6 0。，左6 Z,-2 4 5,4 75；p =9 0+-3 6 0,kRZ,-2 70,9 0；(6)P I B=270+左 360,左 GZ,-90,270；(7)3 I B =180+左-360。，k l,-180,180；(8)P I 6=左 360,kZ,-360,0.【题目工与一460。终边相同的角可以表示成A.460+-360（左 C Z）B.100。+左 360（左 GZ）C.260+左-360（AdZ）D.-260。+七360。Q g Z）【解析】V-46

39、0=-2x360o+260一460。与260。角终边相同，.与一460。角终边相同的角可表示成260。+上360。（左 GZ）.【答案】C.【题目 与-457。角终边相同角的集合是（）A.a|a=k,360+457,kGZC.a|a=k-360+263,keZ解法 1：-457=-2x360+263,/.应选 C.解法2：-457。角与-97。角终边相同，又-97。角与263。角终边相同，又 263。角与好360。+263。角终边相同，二应选C.答案：CB.a|a=k-360+97,kGZD.a|a=k-360-263,kGZ.【题目 与-457。终边相同的角的集合是（）A.a|a=k-360

40、+457,kZ B.a|a=k-360+97,keZC.a|a=k-360+263,kGZ D.a|a=k-360-263,keZ思路分析：本题考查终边相同的角的表示方法，可用特殊值法来研究.解法一：当k=-2时，有 457。=-2、360。+263。；也可采用定义分析.解法二：因为-457。角与-97。角终边相同，-97。角 与 263。角终边相同，所以-457。角与 263。角终边相同；还可用排除法加以排除.解法三：因为R57。角与-97。角终边相同，容易排除A、B、D.答案：C【题目 写出与370。23,终边相同角的集合S,并把S 中在一720。360。间的角写出来.【解】V37023,

41、=10o23,+360.与370。23,终边相同角的集合为S=a I a=1023+左 360,kGZ)在一 720。360。之间的角分别是1023 1023360,1023720.即 1023,-34937,-70937.【题目】.如 果 a 与x+45。具有同一条终边，角 0 与x-45。具有同一条终边，那么a与 B间的关系是()A.a+p=0 B.a-p=0C.a+p=k-360,keZ D.a-p=k-360+90,keZ思路解析：利用终边相同的角的关系，分别写出a、0,找出它们的关系即可.由题意，w a=k-3600+x+45,kez；|止 360。+*-45。,112.两式相减，得

42、a-p=(k-n)-360+90,(k-n)e Z.答案：D.【题目】.在角的集合 a|a=k-9()o+45o,keZ 中,(1)有儿种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(-360。，360。)内的角？思路分析：本题主要考查对。=k90。+45。(1462)所表示的角的认识，从代数角度看,取 k=.,-2,-1,0,1,2,可以得 a 为，-135。，-45。，45,135,225,.从图形角度看01=1090。+45。出 2),即以角45。为基础，依次加上90。的整数倍，即依次按顺时针方向或逆时针方向旋转90。，所得各角如图1-1-7所示.图 1-1-7解：（1）在给定的角的集合中终边不

43、相同的角共有四种.a 7（2）由-360。1090。+45。360。得 11：,又 kW Z,故 k=-4,-3,-2,-1,0,1,2,3.所以在给定的角的集合中属于区间（-360。，360。）的角共有8 个.方法归纳把代数计算与对图形的认识结合起来，会使这类问题处理起来更容易些.在数学学习中，数形结合的方法始终是解决问题的最重要的方法之一，做题时要注意这种思想的应用.【题目1若一 180V aV-90,则 180。一a 与 a 的终边A.关于x 轴对称 B.关于y 轴对称C.关于原点对称 D.以上都不对【解法一】特例法，不妨取a=100。,则 180。-a=280。,这时一 100。和 2

44、80。关于丁轴对称.【解法二】,/（1 80。7+&=90。，.180。一a 与 a 终边关于90。终边所在直线即y 轴对称.【答案】B.【题目目 设2=闵 0=无 180。+(1)幺 30。,JWZ,0=a|a=M8O3O,kZ,则有A.P=Q B.PQ C.FQ D.PCQ=0【解析】P=a|a斗T800+(-1)K-30,左 GZ=a|a=w360o+30,HGZ U a|a=w360+150,WZ2=a|a=w36030,GZ U a|a=w360+180o30,Z=a|a=M-360o30,nGZ U a|a=n,360o+150,GZ U a|a=H-360+210,eZ【答案】B

45、.【题目】.若2=a I a=k-36Q0,左 WZ；B=a I a=8 0。，eZ；C=a Ia=Q90,k W Z,则下列关系中正确的是A.A=B=C B.A=B三CC.AB=C D.ABC【解析】集合Z 为终边在x 轴非负半轴上角的集合；集合8 为终边在x 轴上角的集合；集合C 为终边在坐标轴上角的集合；因此力妾的C.【答案】D.【题目】.第一象限角的集合为a|k-360oak-360+90,keZ；.【题目】.第二象限角的集合为a|k-360o+900ak-360o+180,keZ；.【题目工第三象限角的集合为a|k-360o+1800ak-360o+270,kGZ；.【题目工第四象限

46、角的集合为a|k-360o+2700ak-360o+360,kGZ.【题目工第一象限角的集合为AA.ak-360ak-360+90,kRZB.a|Q360+90VaVQ360+180,kZC.a|K360+180Vak360+270,kRZD.a|k360+270VaVA?360+360,kGZ【题目工第二象限角的集合为BA.a|k360VaA?3600+90,kRZB.a|A-360o+90oa360o+180,kZC.ak360+180Va左 3600+270。，k&ZD.a|k360+270VaV6360+360,kZ【题目工第三象限角的集合为CA.a|k-360VaA?360+90,k

47、RZB.a|360+90 a -360+180,kZC.a|k360+180Va左 360+270,kRZD.a|k360+270Vak3600+360,kGZ.【题目工第四象限角的集合为DA.aK,360VaV左 360+90,kGZB.a|Q360+90VaVk3600+180。，GZC.a|yt-3600+1800a360+2700,k&ZD.a|k360+270Vak3600+360,kZ.【题目工角。=45。+Q180。，左 WZ的终边落在A.第一或第三象限 反第一或第二象限C.第二或第四象限 D.第三或第四象限【解析】若k=2n,W Z,则a=45+-360,WZ,a 在第一象限.

48、若左=2+1,G Z,则 a=225+-360,GZ,a 在第三象限.【答案】A.【题目 若 a 是钝角，则 180。一。是A.第一象限角 B.第二角限角C.第三象限角 D.第四象限角【解析】V90a180,二 一 180 V a 90。，0 180 a 90,.180。一。角在第一象限.【答案】A.【题目工当a 为锐角时，一a+左 360。(左 6 Z)在第 象限，a+左180。(A：GZ)在第 象限.【解析】由 0。90。,得一90。一。0。I.-90+A：-360o -a+Z：-360oA：-360o(%eZ),.,.-a+-3600(Jte Z)在第四象限X M 80oa+M8090o

49、+M80(%GZ).，当左为偶数，设上2(W Z)时，得w3 6 0 0 a+A:1 8 0o 9 0o+w3 6 0o(k W Z).当左为奇数，设仁2+1 (G Z)时，得?7-3 6 0+1 SOa+k-1 8 0 2 7 0+n-3 6 0 (w Z).a+1 8 0。在第一或第三象限【答案】四 一 或 三.【题 目 已 知a是第一象限角，试确定金是第几象限角.2解析：；a是第一象限角，JT(y 7 T.2 k 7 iVa V2 k 7 r+(k eZ),贝U k n y k 7 r+-(k eZ).当 k=2 n 时,2 rn rV 2nn+,2 4.q为第一象限角.2当 k=2 n

50、+l 时,2 rm+7 iV 2nn+,2 4.q为第三象限角.2 为第一或第三象限角.2答案：第一象限或第三象限角.点评：已知a是第m象限角(m=l,2,3,4),求色角所在象限的问题，用“等分象限法”处7 7理较好，先将各象限分成几等份，然后从X轴正方向上方第一个区域开始，按逆时针方向依次标上1,2,3,4,1,2,3,4,周而复始，直至填完所有区域，出现数字m的区域即为所求，例如：设四、。2、。3、必分别是第一、二、三、四象限角，则&、生、幺、%分 布如图1-1-4.2 2 2 2图 1-1-4.【题目】.若 a 是第一象限角，则-a是第一象限角，180。位是第 象限角，180+a是第

51、象限角，k-36()o-a(kGZ)是第 象限角.思路分析：因为a 是第一象限角，所以-a 的终边落在第四象限，为第四象限角；180。7 的终边落在第二象限，为第二象限角；180。+(1 的终边落在第三象限，为第三象限角；上 360。虫与角-a 的终边相同，为第四象限角.答案：四二 三 四.【题目a 是第一象限的角，名是第儿象限角？2解：a 是第一象限角，则a 可以表示为k-3600ak-360+90,kez,于是可得?的2Z V范围是 k-180 上 Vk-180+45,k G Z2当k 为偶数时，？是第一象限角，当k 为奇数时，4 是第三象限角.2 2当a 是第一象限角时，9 位于第一或第

52、三象限.2知识点六终边不相同的角和区间角.【题目 设 a 是第三象限角，试讨论区所在的平面区域，并在直角坐标平面上3把它们表示出来.思路分析：；a 是第三象限角，A 180o+k-3600a270o+k-360,kGZ.k /y k：.600+-3600-90+-360,k G Z3 3 3a当 k=3n,nez 时，原式可化为 60+n-3600-90+n-360,kez；3(y当 k=3n+l,nZ 时，原式可化为 1800+n 360。V 210。+m360。,12；3当 k=3 n+2,n Z 时，原式可化为 3 0 0+n-3 6 0 0 ；它所表示的平面区域如图所示.y，-/-tf-3 3 0+n-3 6 0,k eZ.