任意荷载下双面半透水边界分数阶导数黏弹性饱和土层一维固结

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1、任意荷载下双面半透水边界分数阶导数黏弹性饱和土层一维 结李林忠;汪磊;李培超;孙德安【摘要】Based on one-dimensional consolidation theory of Terzaghi, this paper studies the one-dimensional consolidation problem of saturated soil layer with fractional viscoelastic model under symmetric semi-permeable boundaries subjected to arbitrary loading. B

2、y using the Laplace transform upon the one-dimensional consolidation equation of saturated soils and the fractional Kelvin-Voigt viscoelastic constitutive equation, the analytical solutions of effective stress and settlement in the Laplace transform domain are obtained. Crumps method is adopted tope

3、rform the inverse Laplace transform in order to obtain semi-analytical solutions in the time domain. It is shown that the present solution is reliable and in a good agreement with the existing solutions from literatures by reducing the proposed solution. Last, several numerical examples are provided

4、 to investigate the consolidation behavior of saturated soils with the fractional viscoelastic model under symmetric semi-permeable boundaries subjected to arbitrary loading. The results illustrate that, in the case of arbitrary loading, the consolidation rate is affected by the semi-permeable bound

5、ary parameters, fractional order, viscosity coefficient and load parameters. The final settlement of saturated soil layer is affected by the modulus of compressibility. In addition, the consolidation behavior of soil layer is consistent with the characteristics of loadings.% 基于 Terzaghi 维 固结理论,分析了考虑

6、半透水边界条件的分数阶导数黏弹性饱和土层在随时间变化 的任意荷载作用下一维固结问题首先，应用Laplace变换联立求解饱和土层一维固 结微分方程和分数阶Kelvin-Voigt黏弹性本构方程，推导出有效应力和沉降在 Laplace变换域内的解析解，采用Crump方法进行Laplace逆变换，得到了时间域 内的半解析解然后将本文得到的半解析解分别退化为半透水边界条件下基于黏弹 性假设的一维固结半解析解和双面透水边界条件下基于分数阶黏弹性假设的一维固 结半解析解，结果与已有文献的半解析解相同，验证了本研究所提出解的可靠性最后 通过算例分别考察了半透水边界参数、分数阶黏弹性模型参数和荷载参数对饱和土

7、 层固结沉降的影响研究表明,半透水边界条件参数、分数阶次与黏滞系数主要影响 饱和土层固结的发展快慢,而饱和土层的最终沉降量主要受到土层压缩模量的影响; 另外，饱和土层的固结规律与外荷载变化规律一致.期刊名称】工程地质学报年(卷),期】2018(026)006【总页数】10页(P1480-1489) 【关键词】 半透水边界;任意荷载;分数阶导数;黏弹性;饱和土层;一维固结【作 者】 李林忠;汪磊;李培超;孙德安【作者单位】 上海工程技术大学机械与汽车工程学院,上海 201620;上海工程技术 大学城市轨道交通学院,上海 201620;上海工程技术大学机械与汽车工程学院,上海 201620;上海大

8、学土木工程系,上海 200444【正文语种】 中 文中图分类】 TU4470引言Terzaghi 维固结理论(Terzaghi , 1943)的研究思想和方法为后人研究土的固结 理论发挥了重要的基础性作用。但Terzaghi 维固结理论未考虑黏土的流变性， 因此在工程中，有时并不能准确描述实际的固结过程(刘忠玉等， 2013)。陈宗基 (1958)最先建立了流变理论，赵维炳(1989)采用广义Voigt模型分析了饱和土的 维固结，蔡袁强等(2001)采用Kelvin模型分析了任意荷载下的成层地基的一维 固结问题。孙明乾等(2015)在太沙基维固结理论的基础上，建立了考虑次固结 效应的维流变固结

9、微分方程。经典的黏弹性模型理论具有直观易懂，物理概念清 晰的优点，其缺点是在蠕变和松弛初期与实验数据不能很好吻合(刘林超等， 2011)。而与模型复杂的黏弹性模型相比，简单的分数阶黏弹性模型可以更好地拟 合蠕变曲线或松弛曲线(刘林超等， 2011)，且引入分数阶微积分算子能更好地与 试验数据拟合(刘林超等， 2006； 孙海忠等， 2007；殷德顺等， 2007)。引入 分数阶微积分理论可表征土体从弹性状态到黏弹性状态的性质，可反映土体的多种 物质状态(王智超等， 2011)。刘林超等(2006)对经典流变模型和分数导数流变模 型进行了分析，得出了分数导数流变模型在描述软土流变特性方面具有准确

10、性和广 泛的使用性。殷德顺等(2007)利用了分数阶微积分算子理论描述土的流变特性， 孙海忠等(2007)采用分数微积分模型研究了软土蠕变模型，王智超等(2011)基于 分数阶微积分理论建立的流变本构模型能较好地吻合路基压实土的蠕变实验数据， Yin et al.(2013)研究了分数阶软土蠕变过程中的力学性能问题。然而，基于分数 阶的黏弹性流变模型尚未在固结特性分析得到充分的应用。另外，徐珊等 (2008)， 雷华阳等(2014)通过对软土的维固结压缩试验，郭彪等(2016)分析了考虑加载 过程及桩体固结变形的碎石桩复合地基固结，发现外加荷载对软土的蠕变存在较大 影响。传统的固结理论大多将土

11、层的边界条件处理成完全透水或完全不透水(李西斌等， 2004)。但实际工程中，地基处理顶面的砂垫层和底面的下卧层并非完全透水或不 透水，因此常常作为半透水边界来处理(孙举等，2007)。Xie et al.(1999)研究了 部分透水边界两层土的一维固结，此外也有学者得到了循环荷载作用下半透水边界 饱和土层的数值解与解析解(梁旭等， 2002； 李西斌等， 2005)。王奎华等 (1998)，蔡袁强等(2003)，李西斌等(2004)对半透水边界下黏弹性土层的一维固 结问题进行了研究。但这些固结研究虽然考虑了半透水边界都未能准确考虑饱和土 的流变特性，仅将土视为黏弹性材料。因此，本文将土骨架视

12、为具有分数阶Kelvin-Voigt本构关系的黏弹性体，将边界 条件考虑为双边半透水边界，基于Terzaghi 维固结模型和分数阶黏弹性 Kelvin-Voigt模型，得到了考虑任意荷载双面半透水边界条件下分数阶导数黏弹 性饱和土层固结问题的半解析解。并将退化后的本文解与文献中的解进行了比较， 验证了本文解的正确性，最后通过算例分别分析了半透水边界参数、饱和土层本构 模型参数和荷载参数对固结特性的影响，以更好地认识和描述分数阶导数黏弹性饱 和土的固结行为。图1分数阶导数黏弹性饱和土一维固结计算模型Fig. 1 1-D consolidation model of viscoelastic sa

13、turated soil with fractional order derivative1 问题描述本文分析模型如图1所示，图中2H为土层厚度，kv为渗透系数，Es为压缩模量， n为黏滞系数，q(t)为外荷载，k1、k2、L1和L2分别为上下半透水边界层的渗透 系数与厚度。除施加荷载条件外，采用一维Terzaghi固结理论中的全部假设，则土体渗流方程 为：(1)其中，O(z, t)%Z处t时刻相对于初始有效应力的增量；8(z, t)为相应的应变; YW为水的重度。将土骨架视为具有分数阶Kelvin-Voigt本构关系的黏弹性体(图2)。该模型为一个 弹簧元件H体与一个Abel黏壶N体并联而成

14、，两元件应变相同，但应力不同。 图 2 分数阶黏弹性 Kelvin-Voigt 本构模型 Fig. 2 Fractional viscoelastic Kelvin- Voigt constitutive model 根据2个元件并联时模型中各个元件应变相同，模型总应力等于各个元件应力之 和的原则，有以下应力-应变关系。对于H体有：ae=Esee对于N体有：且有：8=8e+8vo=oe+ov其中仝e和ev分别为弹簧元件H体与Abel黏壶N体的应变；oe和ov分别为 两者的应力；o为分数阶导数Kelvin-Voigt模型的有效应力；a为分数阶次。 分数阶黏弹性Kelvin-Voigt模型的本构关

15、系为：(2)对于应用分数阶Kelvin-Voigt本构关系的黏弹性体描述饱和土的蠕变过程已有大 量研究，其中孙海忠等(2007)在对珠江三角洲南沙地区典型软土进行大量单向压 缩固结试验的基础上，提出了用分数阶导数Kelvin-Voigt模型模拟软土的蠕变过程，并应用该模型拟合了单向压缩固结试验曲线。 对于双面半排水情况，初始条件和边界条件为： o(z, 0)=0(3)=0， z=-H， t0(4)=0， z=H， t0(5)其中， R1=2Hk1/(L1kv)，R2=2Hk2/(L2kv)。2 一维固结问题求解本文引入Laplace变换求解双面半透水边界条件单层饱和土一维固结问题，Laplac

16、e变换及其逆变换定义为：(6a)(6b)式中，s为Laplace变换的参数。对式(1)和式(2)分别进行Laplace变换，则有：式中，为 O(z, t)的 Laplace 变换式；为 s(z, t)的 Laplace 变换式，(z, 0)=0。 将式(8)整理有：(9) 式(9)代入式(7)得：(10)求解式(10)得：(11)其中，m二SYw/kv(Es+nsa), C1和C2为含有s的任意函数，可通过边界条件 确定。对式(11)关于z求一阶导得：(12)将边界条件式(4)和式(5)进行Laplace变换得：(13)(14)其中，Q(s)为q(t)的拉氏变换式。将式(11)和式(12)分别

17、代入式(13)和式(14)，求得C1和C2 :其中，将C1和C2代入式(11)得:(15)其中，x1邙1R2-P2R1，x2邙3R1-04R2。考察任意荷载作用下分数阶Kelvin-Voigt黏弹性模型饱和土一维固结的沉降量，对于本文所讨论的单层土，其固结沉降量可表示为:W(t)=z(z, t)dz(16)经过Laplace变换得：(17)将式(9)代入式(17)得：(18)将式(15)代入式(18)得：(19)其中，imH2+R1R2)。 式(15)和式(19)即为任意荷载下双面半透水边界分数阶导数黏弹性饱和土层一维固 结在 Laplace 变换域内的解析解。改变分数阶黏弹性 Kelvin-

18、Voigt 本构模型参数， 当a=1时退化为黏弹性条件下的解，当a=0或n=0时退化为线弹性条件下的解， 当Ovavl时为分数阶黏弹性条件下的解。改变边界条件边界参数R1或R2,当 R1=0时退化为不透水边界条件下的解，当R1-8时退化为透水边界条件下的解， 当OvR1v8时即为半透水边界条件下的解。分别对式(15)和式(19)求Laplace逆变换即可得到时间域内的有效应力J(z, t)与 沉降量W(t)。本文采用Crump方法(Crump , 1976)进行Laplace逆变换，分别 得出的有效应力和沉降反演表达式为：。匕 t)二(20)W(t)=(21)3证明3.1 退化为标准的黏弹性模

19、型将本文所采用的分数阶导数Kelvin-Voigt黏弹性模型退化为标准的黏弹性模型， 即将a=1代入式(15)得：(22)其中， 屮 1=eH0(R1/2H+0)R2-e-H0(R2/2H-0)R1,屮 2=eH0(R2/2H+0)R1-e-H0(R1/2H-0)R2,屮 3=e2H0(R1/2H+0)(R2/2H+0),屮 4=e-2H0(R1/2H-0)(R2/2H-0),式(22)表示土体假设为黏弹性体时，考虑任意荷载作用影响的双面半透水边界下饱 和土一维固结关于有效应力的半解析解。可见，本文的退化解与蔡袁强等(2003) 推导出的适用于任意荷载下的Laplace变换域内有效应力的解析解

20、是完全一致。3.2 退化为双边透水边界 将本文所讨论的双面半透水边界条件退化为双面透水边界条件，即对于式(19)，若 R1二R2f8,有：(23) 式(23)表示顶面和底面边界条件均为透水边界条件时，任意荷载作用下分数阶导数 Kelvin-Voigt黏弹性模型饱和土一维固结沉降在Laplace变换域内的解析解。可 见，本文的退化解与Wang et al.(2017)推导出的适用于任意荷载下的Laplace变 换域内沉降的解析解完全一致。因此，基于半透水边界和分数阶黏弹性理论所获得的半解析解更具通用性。通过改 变半透水边界参数得到任意随时间变化的荷载作用下，单面透水边界、双面透水边 界、半透水边

21、界与透水、半透水混合边界条件下的半解析解。通过改变分数阶次可 得到考虑任意荷载作用的半透水边界下分数阶黏弹性饱和土层与传统黏弹性饱和土 层的半解析解。4参数分析 本文分别以指数荷载、施工荷载和周期荷载为例考察半透水边界和分数阶黏弹性模 型参数对固结沉降量的影响。所考察的外荷载形式见表 1。表1夕卜荷载Tablei Loadings外荷载荷载形式指数荷载q(t)二qO(1-Ae-Bt)施工荷载 q(t)二CT,0vts0.1/C0.1, t0.1/C 周期荷载 q(t)二q1(1+sinwt)q0=0.1iMPa , A=1 , B=4.32/d ; C=0.01iMPad-1 为施工荷载速率；

22、q1=0.1iMPa ,w=2n/T, T=10id 为周期参考蔡袁强等(2001， 2003)在任意荷载下成层黏弹性地基的一维固结与半透水边 界条件下的黏弹性土层在循环荷载下的一维固结的部分参数，分数阶黏弹性饱和土 层算例的具体参数如下：假定H=2.5im, L1二L2=0.5im, k1=k2=2x10-10i kv=5x10-10ims-1, Es=6iMPa, n = 113Pas, Yw=10ikNm-3。因此，计 算得到边界参数R1=R2=4。由王奎华等(1998)在双边半透水边界的一维黏弹性固 结理论一文中对半透水边界参数的分析可知，顶面和底面的边界参数对固结过程影 响基本相同，

23、且底面边界参数R2 = 1或R2 = 100时，顶面边界参数R1的变化对 饱和土一维固结的影响规律基本一致。因此，对于边界参数的分析，本文仅考察底 面边界参数R2 = 1时，分析顶面边界参数R1的变化对饱和土一维固结的影响。此 外，分析分数阶黏弹性模型参数和荷载参数对饱和土层固结沉降的影响，以更好地 认识和描述任意荷载作用下分数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层的固结 行为。参考Wang et al.(2017)的分析，考察边界参数R1、压缩模量Es、黏滞系 数n指数参数B周期T和施工速率C变化对固结沉降的影响时，a=0.7。4.1顶面边界参数R1图 3 半透水边界参数 R1 的

24、影响(R2=1)Fig. 3 The influence of the semi- permeable drainage boundary parameter R1(R2=1)a. 指数荷载； b. 施工荷 载；c.周期荷载图表示指数荷载、施工荷载、周期荷载作用下，底面边界参数R2=1,顶面边界参 数R1的变化对分数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的影 响。其中，H=2.5iiikNm-3 , q0=0.1iMPa , A=1 , B=4.32id-1 , C=0.01iMPad-1, q1=0.1iMPa , T=10id , a=0.7。从图 3 中可以看出：R

25、1 的增大使饱和土层一维固结的发展速率增大，但当R1达到50后，其继续增加对 饱和土一维固结的发展速率已基本没有影响。由蔡袁强等(2003)对黏弹性土层一 维固结的半透水边界分析可知，半透水边界参数越大，地基土能在较短时间内固结， 且半透水边界参数增加到40后可以考虑为透水边界，即R1继续增加对饱和土一 维固结的发展速率已基本没有影响。比较图3a、图3b和图3c，指数荷载与施工 荷载都是从初始的0开始发展，刚开始指数荷载的值略大于施工荷载的值，开始 固结时，指数荷载作用下饱和土层的固结沉降量略大于施工荷载作用下饱和土层的 固结沉降量。施工荷载作用下饱和土层在开始的一段时间内，边界参数R1对固结

26、 发展的速率并没有明显的影响。在周期荷载作用下饱和土层的固结在达到稳定前的 发展过程中受周期荷载的影响表现出较强的周期性，且饱和土层的最终沉降量主要 与周期荷载的平均值有关。4.2分数阶次a图 4 分数阶次 a 的影响 Fig. 4 The influence of fractional order aa.指数荷载； b. 施工荷载； c. 周期荷载图表示指数荷载、施工荷载、周期荷载作用下，分数阶次a的变化对分数阶导数 Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的影响。其中，H=2.5iiMPa , n = 1013iikNm-3 , q0=0.1iMPa , A=1 , B=4.

27、32id-1,C=0.01iMPad-1, q1=0.1iMPa , T=10id。从图4中可以看出：顶面与底面边界均为半透水边界时， 分数阶次a越大，任意荷载作用下分数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层 达到稳定沉降的时间越短，表明固结的过程越快。由Yin et al.(2013)提出分数阶 导数Abel黏壶模型针对软土蠕变过程的分析可知，随着不同阶次a的增大，达到 最终沉降所需时间更短。此外，从图4中可以看出分数阶次a较小时，达到稳定 沉降量的时间相对较长，对于土体固结而言分数阶次a较小的情况并不符合实际 情况。因此，分析图4中各分数阶次a变化时完成固结所需时间可知，分数阶次

28、 a的取值应在0.7左右，但a的具体取值应根据饱和土一维固结的实验结果进行数 据拟合获得。比较图4a、图4b和图4c,指数荷载作用下与施工荷载相比，前 15id饱和土层固结发展更快，而周期荷载作用下，饱和土层固结前期有较明显的 周期性。4.3压缩模量Es图 5 压缩模量 Es 的影响 Fig. 5 The influence of modulus of compressibilitya. 指数荷载； b. 施工荷载； c. 周期荷载图表示指数荷载、施工荷载、周期荷载作用下，压缩模量Es的变化对分数阶导数 Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的影响。其中，H=2.5iikNm-

29、3 ,A=1 , q0=0.1iMPa , B=4.32id-1,C=0.01iMPad-1, q1=0.1iMPa , T=10id , a=0.7。从图5中可以看出：顶面与底面边界均为半透水边界时，压缩模量Es越 大表明饱和土层越难被压缩，顶面与底面均为半透水边界时，在任意荷载作用下分 数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层达到的稳定沉降量越小。比较图5a 图5c可知，饱和土层开始固结时，压缩模量的变化对饱和土层的固结没有明显的 影响，改变外荷载的形式，饱和土层的固结发展在不同荷载形式下有明显区别。 4.4黏滞系数n图 6 黏滞系数 n 的影响 Fig. 6 The influ

30、ence of viscosity coefficienta.指数荷载; b. 施工荷载； c. 周期荷载图表示指数荷载、施工荷载、周期荷载作用下，黏滞系数n的变化对分数阶导数 Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的影响。其中，H=2.5iiMPa , YW=10ikNm-3 , a=0.7, q0=0.1iMPa , A=1 , B=4.32id-1 , C=0.01iMPad-1, q1=0.1iMPa, T=10id。从图6中可以看出：顶面与底面边 界均为半透水边界时，黏滞系数n越大，任意荷载作用下分数阶导数Kelvin- Voigt 模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的发

31、展越缓，达到固结稳定的时间变长。 在外荷载的作用下，饱和土层中的孔隙水逐渐排出使土层产生沉降变形，而根据何 俊等(2003)的分析可知，黏滞系数越大，结合水的连结强度越高，土颗粒克服阻 力产生运动越困难，结合水的黏滞性越强，致使饱和土层的固结过程变缓。4.5 荷载参数图 7 荷载参数的影响 Fig. 7 The influence of parameters of adopted loadingsa. 指数荷载； b. 施工荷载； c. 周期荷载 图表示指数荷载、施工荷载、周期荷载作用下，外荷载参数的变化对分数阶导数 Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固结沉降的影响。其中，H=2.

32、5iiMPa, n = 101 引Pas, Yw=10ikNm-3 , q0=0.1iMPa , A=1 , q1=0.1iMPa , a=0.7。 从图7中可以看出：顶面与底面边界均为半透水边界时，外荷载参数的变化对饱 和土层的固结沉降过程的影响均不相同。由图7a可知，顶面与底面边界均为半透 水边界时，指数参数B越小，指数项趋近0所需的时间越长，土层表面作用的外 荷载越小，且随时间增长的越缓慢，分数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土 层一维固结达到稳定沉降的时间则越长。由于外荷载随时间增长，指数项的指数越 小，外荷载增加的越慢，饱和土层开始产生明显沉降所需的时间越长。由图7b可

33、知，顶面与底面边界均为半透水边界时，施工荷载速率C的影响主要表现在荷载 从初始的0增加到最大值的这一段时间内，施工荷载的速率C越快，施工荷载达 到最大值O.liMPa所需的时间越短，饱和土层的固结发展越快。由于施工荷载经 过不同的时间后均达到稳定的外荷载O.liMPa，故施工荷载速率并不会对饱和土 层的最终沉降量产生影响。由图7c可知，顶面与底面边界均为半透水边界时，周 期T越大，周期荷载作用下分数阶导数Kelvin-Voigt模型黏弹性饱和土层一维固 结沉降的周期波动所需时间越长，沉降量越大，但荷载周期长短不影响饱和土层达 到稳定沉降量所需的时间。5结论本文基于Terzaghi 维固结理论，

34、采用Laplace变换法推导了考虑任意荷载作用 和双面半透水边界条件下分数阶导数Kelvin-Voigt黏弹性模型饱和土层一维固结 方程的半解析解，然后应用Crump法对Laplace域内的有效应力和沉降进行了数 值反演，并通过算例分析了半透水边界参数、分数阶黏弹性模型参数和外荷载参数 对饱和土层沉降发展的影响，得到的主要结论如下：(1) 本文所推导出的任意荷载下双面半透水边界分数阶导数黏弹性饱和土层一维固结半解析解更具通用性，通过改变边界条件可用于分析透水边界(R1二R2-8)、不 透水边界(R1二R2-0)或半透水边界的饱和土层的一维固结特性；通过改变分数阶 次或黏滞系数，可分别得到分数阶

35、黏弹性模型、黏弹性模型(a=1)或弹性模型(a=0 或n=0)的一维饱和土固结问题的半解析解；通过改变外荷载形式可用于任意随时 间变化的荷载作用下饱和土层的固结计算。(2) 任意荷载作用下，半透水边界参数的变化主要影响分数阶导数 Kelvin-Voigt 模 型黏弹性饱和土层的固结沉降发展速率，半透水边界参数越大，饱和土层的固结沉 降发展速率越快。(3) 半透水边界分数阶导数 Kelvin-Voigt 模型黏弹性饱和土层的本构模型中，分数 阶次a与黏滞系数n均主要影响固结沉降发展过程的速率，压缩模量Es主要影响 固结的最终沉降量。分数阶次a越大，饱和土固结沉降发展越快，取值应在0.7 左右；

36、黏滞系数 n 越大，饱和土固结沉降发展越慢； 压缩模量 Es 越大，饱和土 最终沉降量越小。(4) 不同的外加荷载参数对半透水边界分数阶导数 Kelvin-Voigt 模型黏弹性饱和土 层的固结特征影响不同。指数荷载与施工荷载两种荷载形式类似，外荷载都是从 0 逐渐增大，对固结发展的影响有相似的规律，相应的荷载参数越大，固结发展越快 周期荷载参数 T 的变化会对饱和土层固结沉降的周期性产生较明显的影响，随着 周期的 T 增大，饱和土层的固结沉降波动的周期越长，荷载周期的改变不会影响 沉降达到稳定所需的时间。参考文献相关文献】Cai Y Q，Liang X，Zheng Z F，et al. 20

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