人教A版（2019）选择性必修第一册 空间向量的应用 同步练习（含解析）

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1、人教A版（2019）选择性必修第一册 1.4 空间向量的应用 同步练习一、单选题1平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（）A平行B重合C平行或重合D垂直2在空间直角坐标系中，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则（）ABC或Dl与斜交3在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（）ABC5D74设、是空间中两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若，则D若，则5在正方体中，E，F，G分别是，的中点，则（）A平面B平面C平面D平面6若在正方体中，点E是的中点，则二面角的平面角的正切值为（）AB2CD7直角梯形

2、中，是边的中点，将三角形沿折叠到位置，使得二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（）ABCD8已知四棱锥底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点(不含端点)，若线段上存在点(不含端点)，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（）ABCD9已知直线过定点，且方向向量为，则点到的距离为（）ABCD10已知动点P在正方体的对角线(不含端点)上.设，若为钝角，则实数的取值范围为（）ABCD11如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点有下列结论：三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；直线平面；在棱BC上存在一点E，使得平面平面；若F为棱AB的中点，且三棱

3、锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为其中正确结论的个数是（）A0B1C2D312如图，在圆锥中，为底面圆的两条直径，且，异面直线与所成角的正切值为（）ABCD二、填空题13已知分别是平面，的法向量，则，三个平面中互相垂直的有_对14如图所示，点、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，平面的一个法向量为，平面与平面的夹角为，则_.15在空间直角坐标系中，点，则到直线的距离为_16如图，在棱长为4的正方体中，E为BC的中点，点P在线段上，点到直线的距离的最小值为_.17如图，在正四棱柱中，底面边长为2，直线与平面所成角的正弦值为，则正四棱柱的高为_三、解答题18如图，四边形中，满足，将沿翻折至，

4、使得.（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.19如图，在长方体中，点分别在棱上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值20如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，D为的中点（1）证明：平面；（2）若，求二面角的余弦值21已知直三棱柱中，侧面为正方形，E，F分别为和的中点，D为棱上的点 （1）证明：；（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?试卷第6页，共6页参考答案：1C由题设知，根据空间向量共线定理，即可判断平面与平面的位置关系.【详解】平面的一个法向量是,，平面的一个法向量是,6,，平面与平面的关系是平行或重合故选：C2C由可得，所以或，即可得正确选项.【

5、详解】直线l的方向向量为，平面的法向量为，因为，所以，所以或，故选：C.3D求出，利用与数量积为0，求解即可.【详解】，可得，故选：D4A利用空间向量法可判断A选项；根据已知条件判断线线、面面位置关系，可判断BCD选项的正误.【详解】对于A选项，设直线、的方向向量分别为、，因为，则平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，因为，则，故，A对；对于B选项，若，则、平行或异面，B错；对于C选项，若，则、的位置关系不确定，C错；对于D选项，若，则、平行或相交，D错.故选：A.5A取、的中点分别记为、，画出图形根据线面平行的判定定理及空间向量法证明即可；【详解】解：取、的中点分别记为、，连接、，根据正方

6、体的性质可得面即为平面，对于A：如图，平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：如图，在平面中，则平面，所以B错误；对于C、D：如图，平面，因为过平面外一点作（）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中平面可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，则，所以，所以，即，又，平面，所以平面；故选：A6B建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值，进而求出正切值.【详解】以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为a，则，设平面的法向量为，则，解得：，令，则，所以，平面的法向量为，设二面角的平面角为，可以看出为锐

7、角，则，则，故.故选：B7D建立空间直角坐标系求解即可【详解】建如图所示空间直角坐标系，得，所以，所以.故选：D8B先依题意建立空间直角坐标系，用未知量设点E，F，注意范围，利用异面直线与成角构建关系，解出范围即可.【详解】由是以为斜边的等腰直角三角形，平面，取中点，建立如图空间直角坐标系， 依题意，设，设，故，又，异面直线与成的角，故，即，即，故，又，故.故选：B.9A本题首先可根据题意得出，然后求出与，最后根据空间点到直线的距离公式即可得出结果.【详解】因为，所以，则，由点到直线的距离公式得，故选：A.10C建立空间直角坐标系，【详解】由题设，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标法计算，利

8、用不是平角，可得为钝角等价于，即，即可求出实数的取值范围.设正方体的棱长为1，则有，设，由图知不是平角，为钝角等价于，解得的取值范围是故选：C.11D对于，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.【详解】对于，设的中点为，连接，如图，为的中点，又平面，平面，点，在平面上的正投影分别为，且点在平面上的正投影分别为其本身，三棱锥在平面上的正投

9、影图为，又，即为等腰三角形，正确；对于，以点为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，则，即， ，即，又，平面，平面，平面，即是平面的一个法向量，而，与不垂直，不与平面平行，错误；对于，如图设的中点为，连接，由知，即，即，又，平面，平面，平面，又平面，平面平面，正确；对于，如图，若为棱AB的中点，又为棱的中点，平面，平面，平面，又，和有公共的斜边，设的中点为，则点到的距离相等，为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，该球的体积为，正确.综上所述，正确的结论为.故选：D.12D以为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求异面直线所成的角的余弦值，再得正弦值【详解】由题意以为轴建立空间直角坐标

10、系，如图，又，则，设异面直线与所成角为，则，为锐角，所以故选：D130计算每两个向量的数量积，判断该两个向量是否垂直，可得答案.【详解】因为，.所以中任意两个向量都不垂直，即，中任意两个平面都不垂直故答案为：0.14分析可知平面的一个法向量为，利用空间向量法可求得的值.【详解】由题意可知，平面的一个法向量为，所以，.故答案为：.15利用点到直线距离的向量公式即可求解【详解】依题意得，则到直线的距离为故答案为：16#建立空间直角坐标系，借助空间向量求出点到直线距离的函数关系，再求其最小值作答.【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系，则，因点P在线段上，则，向量在向量上投影长为，而，则点

11、到直线的距离，当且仅当时取“=”，所以点到直线的距离的最小值为.故答案为：174以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系, 设，求出平面的一个法向量，则，则可以得到答案.【详解】解：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，故，设平面的一个法向量为，则，可取，故，又直线与平面所成角的正弦值为，解得故答案为：4本题考查根据线面角，利用向量法求柱体的高，属于中档题.18（）证明见解析；（）.（）过作，垂足为，连，作，垂足为，易得，通过勾股定理可得，即可得平面，进而可得结果；（）建立如图所示的空间直角坐标系，平面的法向量，利用向量法即可得结果.【详解

12、】（）过作，垂足为，连，则，作，垂足为，则，所以，即又，所以平面，又平面，所以平面平面；（）以为坐标原点，所在的直线为，轴建立空间直角坐标系则，设平面的法向量为，则取法向量，设直线与平面所成角为，则.19（1）证明见解析；（2）.（1）方法一:连接、，证明出四边形为平行四边形，进而可证得点在平面内；（2）方法一：以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可计算出二面角的余弦值，进而可求得二面角的正弦值.【详解】（1）方法一【最优解】：利用平面基本事实的推论在棱上取点，使得，连接、，如图1所示.在长方体中，所以四边形为平行四边形，则，而，所以，所以四边形为平行四边形，

13、即有，同理可证四边形为平行四边形，因此点在平面内.方法二：空间向量共线定理以分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图2所示设，则所以故所以，点在平面内方法三：平面向量基本定理同方法二建系，并得，所以故所以点在平面内方法四：根据题意，如图3，设在平面内，因为，所以延长交于G，平面，平面，所以平面平面延长交于H，同理平面平面由得，平面平面连接，根据相似三角形知识可得在中，同理，在中，如图4，在中，所以，即G，H三点共线因为平面，所以平面，得证方法五：如图5，连接，则四边形为平行四边形，设与相交于点O，则O为的中点联结，由长方体知识知，体对角线交于一点，且为它们的中点，即，则经过点O，故点在

14、平面内（2）方法一【最优解】：坐标法以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，如图2.则、，设平面的一个法向量为，由，得取，得，则，设平面的一个法向量为，由，得，取，得，则，设二面角的平面角为，则，.因此，二面角的正弦值为.方法二：定义法在中，即，所以在中，如图6，设的中点分别为M，N，连接，则，所以为二面角的平面角在中，所以，则方法三：向量法由题意得，由于，所以如图7，在平面内作，垂足为G，则与的夹角即为二面角的大小由，得其中，解得，所以二面角的正弦值方法四：三面角公式由题易得，所以设为二面角的平面角，由二面角的三个面角公式，得，所以【整体点评】（1）方法一：通过证

15、明直线，根据平面的基本事实二的推论即可证出，思路直接，简单明了，是通性通法，也是最优解；方法二：利用空间向量基本定理证明；方法三：利用平面向量基本定理；方法四：利用平面的基本事实三通过证明三点共线说明点在平面内；方法五：利用平面的基本事实以及平行四边形的对角线和长方体的体对角线互相平分即可证出（2）方法一：利用建立空间直角坐标系，由两个平面的法向量的夹角和二面角的关系求出；方法二：利用二面角的定义结合解三角形求出；方法三：利用和二面角公共棱垂直的两个向量夹角和二面角的关系即可求出，为最优解；方法四：利用三面角的余弦公式即可求出20（1）证明见解析；（2）（1）证明，则平面即得证；（2）取中点为

16、E，连结，证明平面，以E为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【详解】（1）由，则有，又D为的中点，所以，由，则有，又，所以，则可知，又有，平面，所以平面；（2）取中点为E，连结，由，则有，又易知，则有，所以，又可知，平面，则平面，如图，以E为坐标原点，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，有，由，则有平面，所以，又，所以平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则有，即，可取，记二面角为，则.故二面角的余弦值为21（1）证明见解析；（2）（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：

17、建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）方法一：几何法因为，所以又因为，所以平面又因为，构造正方体，如图所示，过E作的平行线分别与交于其中点，连接，因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，易证，则又因为，所以又因为，所以平面又因为平面，所以 方法二 【最优解】：向量法因为三棱柱是直三棱柱，底面，又，平面所以两两垂直以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图，由题设（）因为，所以，所以 方法三：因为，所以，故，所以，所以（2）方法一【最优解】：向量法设平面的法向量为，因为，所以，即令，则因为平面的法向量为，设平面与平面的

18、二面角的平面角为，则当时，取最小值为，此时取最大值为所以，此时 方法二 ：几何法如图所示，延长交的延长线于点S，联结交于点T，则平面平面作，垂足为H，因为平面，联结，则为平面与平面所成二面角的平面角设，过作交于点G由得又，即，所以又，即，所以所以则，所以，当时，方法三：投影法如图，联结，在平面的投影为，记面与面所成的二面角的平面角为，则设，在中，在中，过D作的平行线交于点Q在中，在中，由余弦定理得，当，即，面与面所成的二面角的正弦值最小，最小值为【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.第二问：方法一建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面与面所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面在面上的投影三角形的面积与面积之比即为面与面所成的二面角的余弦值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维答案第26页，共26页