241函数的单调性

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1、 3.63.6 函数的单调性函数的单调性yyyyyyyy年年M M月月d d日星期日星期（1）增函数和减函数）增函数和减函数.如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两内某个区间上的任意两个自变量的值个自变量的值 x1，x2，当当 x1 f(x2)，那么就说那么就说 f(x)在这个区间上是减函数在这个区间上是减函数.定义：设函数定义：设函数 f(x)的定义域为的定义域为 I:如果对于属于定义域如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个内某个区间上的任意两个自变量的值自变量的值 x1，x2，当当 x1 x2 时，时，都有都有 f(x1)f(x2)，那么就说那么就说 f(x

2、)在这个区间上是增函数在这个区间上是增函数；复复 习习 回回 顾顾（2）单调性和单调区间）单调性和单调区间.定义定义：如果函数如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数在某个区间是增函数或减函数，那么就说函数或减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具在这一区间具有（严格的）有（严格的）单调性单调性，这一区间，叫做这一区间，叫做 y=f(x)的的单调区间单调区间.（3）导数的几何意义：）导数的几何意义：函数函数 y=f(x)在点在点 x0 处的导数的几何意义，就处的导数的几何意义，就是曲线是曲线 y=f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.曲线曲线 y=f(x)在

3、点在点 P(x0，f(x0)处的切线的方处的切线的方程为程为 也就是说，曲线也就是说，曲线 y=f(x)在点在点 P(x0，f(x0)处的处的切线的斜率是切线的斜率是 函数的单调性：函数的单调性：1.问题的引入：问题的引入：我们知道，如果函数我们知道，如果函数 f(x)在某个区间是增函数或在某个区间是增函数或减函数，那么就说减函数，那么就说 f(x)在这一区间具有单调性在这一区间具有单调性.那么那么怎样判断函数的单调性呢？怎样判断函数的单调性呢？如如果果用用定定义义判判断断函函数数的的单单调调性性.在在假假设设 x1 x2 的的前前提提下下，比比较较 f(x1)与与 f(x2)的的大大小小，在

4、在函函数数 y=f(x)比比较较复复杂杂的的情情况况下下，比比较较 f(x1)与与 f(x2)的的大大小小并并不很容易不很容易.下面我们利用导数来判断函数的单调性下面我们利用导数来判断函数的单调性.新新 课课 教教 学学2.利用导数判断函数的单调性：利用导数判断函数的单调性：以函数以函数 y=f(x)=x2-4x+3 为例为例.因为曲线因为曲线 y=f(x)的切线的的切线的斜率就是函数斜率就是函数 y=f(x)的导数的导数.由函数的图象可以看出，在由函数的图象可以看出，在区间区间(2，+)内，切线的斜率为内，切线的斜率为正，即正，即 f(x)为增函数；为增函数；在区间在区间(-，2)内，切线的

5、内，切线的斜率为负，即斜率为负，即 f(x)为为减函数减函数.y=x2-4x+3 利用导数判断函数单调性的结论利用导数判断函数单调性的结论：用导数求函数单调区间的步骤：用导数求函数单调区间的步骤：求函数求函数f(x)的导数的导数f(x).令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范围就是递增区间的范围就是递增区间.令令f(x)0解不等式，得解不等式，得x的范围，就是递减区间的范围，就是递减区间.例例 1 确定函数确定函数 f(x)=x 2 2x+4 在哪个区间内是增在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数函数，哪个区间内是减函数.y=x2 2x+4函数图象如图函数图象如图.解：解：f(x)=(

6、x2-2x+4)=2x-2.令令2x-20，解得，解得x1.当当x(1，+)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.令令2x-20，解得，解得x1.当当x(-，1)时，时，f(x)0，f(x)是减函数是减函数.例例 题题 解解 析析例例 2 确定函数确定函数 f(x)=2x 3 6x 2+7 在哪个区间内是在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数增函数，哪个区间内是减函数.y=2x3-6x2+7函数图象如图函数图象如图.解解：f(x)=(2x3-6x2+7)=6x2-12x令令6x2-12x0，解得，解得x2或或x0当当x(-，0)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.当当x(2

7、，+)时，时，f(x)0，f(x)是增函数是增函数.令令6x2-12x0，解得，解得0 x2.当当x(0，2)时，时，f(x)0，f(x)是减函数是减函数.例例3、求函数求函数y=x2(1x)3的单调区间的单调区间.解：解：y=x2(1-x)3=2x(1-x)3+x23(1-x)2(-1)=x(1-x)22(1-x)-3x=x(1-x)2(2-5x)令令x(1x)2(25x)0，解得，解得0 x y=x2(1x)3的的单调单调增区增区间间是是(0，)令令x(1x)2(25x)0，解得，解得x0或或x 且且x1.（x=1为为拐点，拐点，)y=x2(1x)3的的单调单调减区减区间间是是(-，0)，

8、(，+)注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.1确定下列函数的单调区间确定下列函数的单调区间 (1)y=x39x2+24x (2)y=xx3 练练 习习（1）y=x39x2+24x的单调增区间是的单调增区间是(4，+)和和(-，2)，单调减区间是单调减区间是(2，4)（2）y=xx3的的单调单调增区增区间间是是(-，)单调单调减区减区间间是是(-，-)和和(，+)解解：y=(ax2+bx+c)=2ax+b,令令2ax+b0，解得，解得x y=ax2+bx+c(a0)的的单调单调增区增区间间是是(，+)令令2ax+b0，解得，解得x2.讨论二次函数讨论二次函数y=ax2+bx+c(a0)的单调区间的单调区间.y=ax2+bx+c(a0)的的单调单调减区减区间间是是(，)f(x)在某区间内可导，可以根据在某区间内可导，可以根据f(x)0或或f(x)0求函数的单调区间，或判断函数的单调求函数的单调区间，或判断函数的单调性，或证明不等式性，或证明不等式.当在某个区间上当在某个区间上f(x)=0，那么，那么f(x)在这个区在这个区间上是常数函数间上是常数函数 小小 结结