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1、高中数学难点解析难点28 求空间距离空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.难点磁场 ()如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.求：(1)Q到BD的距离；(2)P到平面BQD的距离.案例探究例1把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：(1)EF的长；(2)折起后EOF的大小.命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属级题目.知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.错解分析：建立正确的空间
2、直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，a,0),B(a,0,0),C(0, a,0),D(0,0, a),E(0,a, a),F(a, a,0)1 / 8EOF=120例2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属级题目.知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求
3、得.错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，A1C1AC,A1C1平面AB1C，A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.连结B1D1、BD，设B1D1A1C1=O1,BDAC=OACBD，ACDD1，AC平面BB1D1D平面AB1C平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C平面BB1D1D=B1O作O1
4、GB1O于G，则O1G平面AB1CO1G为直线A1C1与平面AB1C间的距离，即为异面直线A1C1与AB1间的距离.在RtOO1B1中，O1B1=，OO1=1，OB1= O1G=，即异面直线A1C1与AB1间距离为.解法二：如图，在A1C上任取一点M，作MNAB1于N，作MRA1B1于R，连结RN，平面A1B1C1D1平面A1ABB1，MR平面A1ABB1，MRAB1AB1RN，设A1R=x,则RB1=1xC1A1B1=AB1A1=45，MR=x,RN=NB1=(0x1当x=时，MN有最小值即异面直线A1C1与AB1距离为.锦囊妙记空间中的距离主要指以下七种：(1)两点之间的距离.(2)点到直
5、线的距离.(3)点到平面的距离.(4)两条平行线间的距离.(5)两条异面直线间的距离.(6)平面的平行直线与平面之间的距离.(7)两个平行平面之间的距离.七种距离都是指它们所在的两个点集之间所含两点的距离中最小的距离.七种距离之间有密切联系，有些可以相互转化，如两条平行线的距离可转化为求点到直线的距离，平行线面间的距离或平行平面间的距离都可转化成点到平面的距离.在七种距离中，求点到平面的距离是重点，求两条异面直线间的距离是难点.求点到平面的距离：(1)直接法，即直接由点作垂线，求垂线段的长.(2)转移法，转化成求另一点到该平面的距离.(3)体积法.求异面直线的距离：(1)定义法，即求公垂线段的
6、长.(2)转化成求直线与平面的距离.(3)函数极值法，依据是两条异面直线的距离是分别在两条异面直线上两点间距离中最小的.歼灭难点训练一、选择题1.()正方形ABCD边长为2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角(如图)，M为矩形AEFD内一点，如果MBE=MBC，MB和平面BCF所成角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为( )2.()三棱柱ABCA1B1C1中，AA1=1，AB=4，BC=3，ABC=90,设平面A1BC1与平面ABC的交线为l，则A1C1与l的距离为( )A. B. C.2.6D.2.4二、填空题3.()如左下图，空间四点A、B、C、D中，每两点所连线段
7、的长都等于a，动点P在线段AB上，动点Q在线段CD上，则P与Q的最短距离为_.4.()如右上图，ABCD与ABEF均是正方形，如果二面角EABC的度数为30，那么EF与平面ABCD的距离为_.三、解答题5.()在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，如图：(1)求证：平面A1BC1平面ACD1；(2)求(1)中两个平行平面间的距离；(3)求点B1到平面A1BC1的距离.6.()已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，点E在棱D1D上，截面EACD1B且面EAC与底面ABCD所成的角为45,AB=a,求：(1)截面EAC的面积；(2)异面直线A1B1与AC之间的距离；(
8、3)三棱锥B1EAC的体积.7.()如图，已知三棱柱A1B1C1ABC的底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A与AB、AC均成45角，且A1EB1B于E，A1FCC1于F.(1)求点A到平面B1BCC1的距离；(2)当AA1多长时，点A1到平面ABC与平面B1BCC1的距离相等.8.()如图，在梯形ABCD中，ADBC，ABC=,AB= AD=a,ADC=arccos,PA面ABCD且PA=a.(1)求异面直线AD与PC间的距离；(2)在线段AD上是否存在一点F，使点A到平面PCF的距离为.参考答案难点磁场解：(1)在矩形ABCD中，作AEBD，E为垂足连结QE，QA平面ABCD，由三垂线定理得
9、QEBEQE的长为Q到BD的距离在矩形ABCD中，AB=a,AD=b,AE=在RtQAE中，QA=PA=cQE=Q到BD距离为.(2)解法一：平面BQD经过线段PA的中点，P到平面BQD的距离等于A到平面BQD的距离在AQE中，作AHQE，H为垂足BDAE,BDQE,BD平面AQE BDAHAH平面BQE，即AH为A到平面BQD的距离.在RtAQE中，AQ=c,AE=AH=P到平面BD的距离为解法二：设点A到平面QBD的距离为h，由VABQD=VQABD,得SBQDh=SABDAQh=歼灭难点训练一、1.解析：过点M作MMEF,则MM平面BCFMBE=MBCBM为EBC为角平分线，EBM=45
10、,BM=,从而MN=答案：A2.解析：交线l过B与AC平行，作CDl于D，连C1D，则C1D为A1C1与l的距离，而CD等于AC上的高，即CD=,RtC1CD中易求得C1D=2.6答案：C二、3.解析：以A、B、C、D为顶点的四边形为空间四边形，且为正四面体，取P、Q分别为AB、CD的中点，因为AQ=BQ=a,PQAB,同理可得PQCD，故线段PQ的长为P、Q两点间的最短距离，在RtAPQ中，PQ=a答案：a4.解析：显然FAD是二面角EABC的平面角，FAD=30,过F作FG平面ABCD于G，则G必在AD上，由EF平面ABCD.FG为EF与平面ABCD的距离，即FG=.答案：三、5.(1)证
11、明：由于BC1AD1，则BC1平面ACD1同理，A1B平面ACD1，则平面A1BC1平面ACD1(2)解：设两平行平面A1BC1与ACD1间的距离为d，则d等于D1到平面A1BC1的距离.易求A1C1=5，A1B=2，BC1=，则cosA1BC1=,则sinA1BC1=,则S=,由于，则Sd=BB1,代入求得d=,即两平行平面间的距离为.(3)解：由于线段B1D1被平面A1BC1所平分，则B1、D1到平面A1BC1的距离相等，则由(2)知点B1到平面A1BC1的距离等于.6.解：(1)连结DB交AC于O，连结EO，底面ABCD是正方形DOAC，又ED面ABCDEOAC，即EOD=45又DO=a
12、，AC=a，EO=a，SEAC=a(2)A1A底面ABCD，A1AAC，又A1AA1B1A1A是异面直线A1B1与AC间的公垂线又EOBD1，O为BD中点，D1B=2EO=2aD1D=a，A1B1与AC距离为a(3)连结B1D交D1B于P，交EO于Q，推证出B1D面EACB1Q是三棱锥B1EAC的高，得B1Q=a7.解：(1)BB1A1E，CC1A1F，BB1CC1BB1平面A1EF即面A1EF面BB1C1C在RtA1EB1中，A1B1E=45，A1B1=aA1E=a,同理A1F=a,又EF=a，A1E=a同理A1F=a,又EF=aEA1F为等腰直角三角形，EA1F=90过A1作A1NEF，则
13、N为EF中点，且A1N平面BCC1B1即A1N为点A1到平面BCC1B1的距离A1N=又AA1面BCC1B，A到平面BCC1B1的距离为a=2，所求距离为2(2)设BC、B1C1的中点分别为D、D1，连结AD、DD1和A1D1，则DD1必过点N，易证ADD1A1为平行四边形.B1C1D1D,B1C1A1NB1C1平面ADD1A1BC平面ADD1A1得平面ABC平面ADD1A1，过A1作A1M平面ABC，交AD于M，若A1M=A1N，又A1AM=A1D1N，AMA1=A1ND1=90AMA1A1ND1,AA1=A1D1=,即当AA1=时满足条件.8.解：(1)BCAD,BC面PBC,AD面PBC从而AD与PC间的距离就是直线AD与平面PBC间的距离.过A作AEPB，又AEBCAE平面PBC，AE为所求.在等腰直角三角形PAB中，PA=AB=aAE=a(2)作CMAB，由已知cosADC=tanADC=,即CM=DMABCM为正方形，AC=a,PC=a过A作AHPC,在RtPAC中，得AH=下面在AD上找一点F，使PCCF取MD中点F，ACM、FCM均为等腰直角三角形ACM+FCM=45+45=90FCAC,即FCPC在AD上存在满足条件的点F. -温馨提示：如不慎侵犯了您的权益，可联系文库删除处理，感谢您的关注！
高中数学难点解析教案28求空间距离
