知识点057-完全平方公式几何背景(解答)

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1、1、（）请你根据中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2（）如图（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标它是由四个全等的如图（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形请你根据图（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：（1）根据大正方形的面积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解解答：解

2、：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2推导如下：中间小正方形的边长为（ba），大正方形的面积可表示为：c2=4ab+（ba）2，整理得，c2=2ab+b22ab+a2，即c2=a2+b2点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题的关键2、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（ab）2或（a22ab+b2）；（2）根据图案，利

3、用面积关系，你能得到一个等式为（ab）2=a22ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可解答：解：（1）小正方形的边长为：（ab），面积为（ab）2，小正方形的面积=大正方形的面积4长方形的面积=（a+b）24ab=（a22ab+b2），小正方形面积为：（ab）2或（a22ab+b2）；（2）小正方形的面积是同一

4、个图形的面积，（ab）2=a22ab+b2；（3）小正方形的面积为：162463=256252=4，小正方形的边长为2故答案为：（1）（ab）2或（a22ab+b2）；（2）（ab）2=a22ab+b2；（3）2点评：本题考查了完全平方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大3、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图）（1）用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图所示的四块矩形板

5、材铺成如图的大正方形或如图的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；请用含a、b的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积；试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）四块正方形，即可拼成一个大的正方形；（2）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0的大小关系即可判断大小关系解答：解：（1）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2（2）图的面积是：（ab）2；图的面积是：a（a2b），（ab）2a（a2b）=a22ab+b2a2+2ab=b20，则：（ab）2a（a2b）故图的面积较大点评：本题主要考查了图

6、形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法4、我们已经知道，利用图形面积可以解释代数恒等式的正确性如完全平方公式可以用图1的面积表示（1）根据图2写出一个代数恒等式2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）；（2）其实图形的面积也可以解释不等式的正确性如已知正数a、b、c和m、n、l，并且满足a+m=b+n=c+l=k试构造边长为k的正方形，利用其来说明al+bm+cnk2的正确性请你画出图形，并简单解释考点：完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式。专题：几何图形问题。分析：本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积解答：解：（1）图2的面积为

7、：2a2+3ab+b2=图1的面积为：（2a+b）（a+b），可得：2a2+3ab+b2=（2a+b）（a+b）（2）根据图形al+bm+cn是图中三个矩形的面积和而k2是正方形的面积大小关系显而易见点评：利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系5、（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积a22abb2（a+b）2（2）通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：a2+2ab+b2=（a+b）2（3）利用（2）的结论计算992+198+1的值考点：完全平方公式的几何背景。专题：几何图形问题。分析：（1）根据正方形

8、、长方形面积公式即可解答；（2）前三个图形的面积之和等于第四个正方形的面积；（3）借助于完全平方公式解答即可解答：解：（1）a2、2ab、b2、（a+b）2；（2）a2+2ab+b2=（a+b）2；（3）992+198+1=（99+1）2=10000故答案为：a2、2ab、b2、（a+b）2；（a+b）2点评：本题主要考查了完全平方公式及其应用，难易程度适中，注意掌握几种特殊几何图形的面积表达式6、小刚同学动手剪了如图所示的正方形与长方形纸片若干张观察与操作：（1）他拼成如图所示的正方形，根据四个小纸片的面积之和等于大正方形的面积，得到：a2+2ab+b2=（a+b）2，验证了完全平方公式；即

9、：多项式 a2+2ab+b2 分解因式后，其结果表示正方形的长（a+b）与宽（a+b）两个整式的积（2）当他拼成如图所示的矩形，由面积相等又得到：a2+3ab+2b2=（a+2b）（a+b），即：多项式 a2+3ab+2b2 分解因式后，其结果表示矩形的长（a+2b）与宽（a+b）两个整式的积问题解决：（1）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式：a2+4ab+3b2（画图说明，并写出其结果）（2）试猜想面积是2a2+5ab+3b2的矩形，其长与宽分别是多少？（画图说明，并写出其结果）考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）先将a2+4ab+3b2分解，然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可

10、画出图形（2）将2a2+5ab+3b2然后可得出矩形的边长，从而利用等面积法可画出图形解答：解：a2+4ab+3b2=（a+b）（a+3b），图形如下：（2）2a2+5ab+3b2的=（a+b）（2a+3b），所画图形如下：点评：本题考查运用正方形或长方形的面积计算推导相关的一些等式；运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解7、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图1的面积关系来说明根据图2写出一个等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2

11、b2；已知等式：（x+p）（x+q）=x2+（p+q） x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明考点：完全平方公式的几何背景。专题：作图题；阅读型。分析：利用长方形的面积公式即可证明画一个长为x+p，宽为x+q的长方形即可解答：解：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；画出的图形如下：（答案不唯一，只要画图正确即得分）点评：本题主要考查了完全平方公式的几何背景，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析8、通常，我们把长方形和正方形统称为矩形如图1，是一个长为2a，宽为2b的矩形ABCD，若把此矩形沿图中的虚线用剪刀均分为4块小长方形，然后按照图

12、2的形状拼成一个正方形MNPQ（1）分别从整体和局部的角度出发，计算图2中阴影部分的面积，可以得到等式（a+b）2（ab）2=4ab（2）仔细观察长方形ABCD与正方形MNPQ，可以发现它们的周长相同，面积不同（选填“周长”或“面积”）（3）根据上述发现，猜想结论：用总长为36米的篱笆围成一个矩形养鸡场，可以有许多不同的围法在你围的所有矩形中，面积最大的矩形的面积是81米2考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：（1）整体上求出内部的小正方形的边长，然后用大正方形的面积减去小正方形的面积就是阴影部分的面积，从局部考虑，求出四个小矩形的面积就是阴影部分的面积；（2）从图2的面积比图1的

13、面积大里面小正方形的面积考虑；（3）根据（2）的结论，周长相等的情况下，正方形的面积比矩形的面积大，所以围成的正方形的面积最大，然后根据正方形进行计算即可解答：解：（1）整体考虑：里面小正方形的边长为ab，阴影部分的面积=（a+b）2（ab）2，局部考虑：阴影部分的面积=4ab，（a+b）2（ab）2=4ab；（2）图1周长为：2（2a+2b）=4a+4b，面积为：4ab，图2周长为：4（a+b）=4a+4b，面积为（a+b）2=4ab+（ab）24ab，当且仅当a=b时取等号；周长相同，面积不相同；（3）根据（2）的结论，围成正方形时面积最大，此时，边长为364=9米，面积=92=81米2故

14、答案为：（1）（a+b）2（ab）2=4ab；（2）周长，面积；（3）81点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，结合图形的特点，根据面积找出里面的规律是解题的关键9、如图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于多少？（2）请用两种不同的方法求图14中阴影部分的面积方法1：（m+n）24mn方法2：（mn）2（3）观察图2你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn（m+n）2=（mn）2+4mn（4）根据（3）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7

15、，ab=5，则（ab）2=29考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析：（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（mn）；（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；（3）由（2）即可得出三个代数式之间的等量关系；（4）将a+b=7，ab=5，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（ab）2的值解答：解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（mn）；（2）方法一、阴影部分的面积=（m+n）22m2n；方法二、阴影部分的边长=mn；故阴影部分的面积=（mn）2（3）三个代数式之间的等量关系是：（m+n）

16、2=（mn）2+4mn；（4）（ab）2=（a+b）24ab=29故答案为：（m+n）24mn、（mn）2； （m+n）2=（mn）2+4mn；29点评：本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键10、我们已经知道，完全平方公式可以用几何图形的面积来说明，实际上还有许多代数的恒等式也可以用图形来说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图1所示的面积来说明（1）请写出图2所说明的代数恒等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2（2）类似地画出一个长方形，并将其分割使它能说明（在图中作类似的字母标注）这个长方形面积为：a2

17、+5ab+6b2（3） 考点：完全平方公式的几何背景。专题：数形结合。分析：（1）本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积（2）可使长方形的长为（a+2b），宽为（a+3b）这样可以得到满足条件的等式解答：解：（1）（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2（2）长方形的边长分别为（a+2b）及（a+3b）点评：本题考查完全平方公式的几何背景，难度不大，注意利用几何图形推导代数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系11、如图，大正方形是由两个小正方形和两个长方形拼成的（1）请你用两个不同形式的代数式表示这个大正方形的面积；（2）由（1）可得

18、到关于a、b的等式，利用得到的这个等式计算：4.3232+24.3230.677+0.6772考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析：（1）根据正方形的面积公式利用大正方形的边长解答，两个阴影部分长方形的面积加上两个正方形的面积进行表示；（2）根据大正方形的面积相等可得关于a、b的等式，利用等式代入数据进行计算即可求解解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四部分的面积的和为：a2+2ab+b2；（2）等式为：（a+b）2=a2+2ab+b2，4.3232+24.3230.677+0.6772=（4.323+0.677）2=52=25（4分）点评：本题考查了完全平方公式的几何

19、背景，根据同一个图形的面积的不同表示方法得到等式是解题的关键12、有多张如图所示的长方形和正方形卡片（代号为，），现用这些长方形可以拼成如图的正方形，以验证公式（a+b）2=a2+2ab+b2请你选择图中相应种类的卡片若干张，拼成一个长方形，用以验证：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b），并仿照图标上每一张卡片的代号考点：完全平方公式的几何背景。分析：等式右边（2a+b）（a+2b）可理解为要做一个几何图形它的长和宽分别是（2a+b）、（a+2b），而左边代表的是分别要用的几个不同小图形的个数解答：解：如图所示：2a2+5ab+2b2=（2a+b）（a+2b）点评：本题考查的是对完

20、全平方公式的理解应用程度，用几何图形推导代数恒等式时要注意整体图形面积与部分图形面积之间的关系13、如图，求两个图形中草坪的面积，比较它们的大小，你发现了什么？考点：完全平方公式的几何背景。分析：图的面积可以表示为20220a2+a2，而图的面积可以表示为（20a）2而图一的面积通过切割法可以变为图二的模样，所以他们的面积相等解答：解：图20220a2+a2，图（20a）2发现20220a2+a2=（20a）2点评：这里是考查我们从几何意义上去证明推导完全平方公式，要求我们具备一定的平面几何形想象能力去结合几何面积去推出完全平方公式14、我们在学习完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2时

21、，了解了一下它的几何背景，即通过图来说明上式成立在习题中我们又遇到了题目“计算：（a+b+c）2”，你能将知识进行迁移，从几何背景说明（大致画出图形即可）并计算（a+b+c）2吗？考点：完全平方公式的几何背景。分析：结合原题中的几何背景，添加为边长为（a+b+c）的正方形，画出符合（a+b+c）2的几何背景，说明（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc解答：解：（a+b+c）2的几何背景如图，整体的面积为：（a+b+c）2，用各部分的面积之和表示为：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc点评：

22、本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式用图表法求解，一般用整体的面积等于各部分的面积之和表示15、还记得完全平方公式（a+b）2=a2=2ab+b2吗？当a，b0时，完全平方公式可以用图（1）来说明（1）对图（2）进行适当的分割，猜想出（a+b+c）2的展开形式，并给出其推导过程；（2）通过求解本题，你有哪些收获？考点：完全平方公式的几何背景。专题：探究型。分析：（1）画出边长为a+b+c的正方形，表示出整体的面积和各部分的面积之和，让它们相等即可（2）可得到多个数和的平方的简便求法解答：解：（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2

23、ac+2bc图中正方形的边长为：a+b+c，那么面积可表示为：（a+b+c）2，各部分的面积之和表示为：a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc（2）任几个数的和的平方，等于这几个数的平方和加上它们两两乘积的2倍点评：采用图表法求解是数学中常用的思路16、如图是用四张相同的长方形纸片拼成的图形，请利用图中空白部分的面积的不同表示方法写出一个关于a、b的等式考点：完全平方公式的几何背景。专题：开放型。分析：空白部分为一个正方形，找到边长，表示出面积；也可用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示，然后让这两个面积相等即可解答：解：空白部分为

24、正方形，边长为：（ab），面积为：（ab）2空白部分也可以用大正方形的面积减去4个矩形的面积表示：（a+b）24ab（ab）2=（a+b）24ab点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，用不同的方法表示相应的面积是解题的关键17、（1）图（1）是一个长为2m，宽为2n的矩形，把此矩形沿图中虚线用剪刀均分为四个小长方形，然后按图（2）的形状拼成一个正方形，请问：这两个图形的什么量不变所得的正方形的面积比原矩形的面积多出的阴影部分的面积用含m，n的代数式可表示为（mn）2=m22mn+n2；（2）由（1）的探索可得出的结论是：在周长一定的矩形中，长和宽相等时，面积最大；（3）若矩形的周长为24cm

25、，则当边长为多少时，该图形的面积最大？最大面积是多少？考点：完全平方公式的几何背景。专题：探究型。分析：观察图形，可得图中阴影正方形的边长=（mn），因此面积可表示为（mn）2解答：解：（1）根据面积公式可得：周长不变，（mn）2=m22mn+n2；（2）长和宽相等；（3）当边长为6cm时，最大面积为36cm2点评：本题考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力，对几何图形的整体分析，对完全平方公式的灵活应用变形整理是解此题的关键18、如图，已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac当大正方形的边长为a+b+c+d时，利用图

26、形的面积关系可得：（a+b+c+d）2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍根据以上结论解决下列问题：（1）若a+b+c=6，a2+b2+c2=14，则ab+bc+ac=11；（2）从4，2，1，3，5这五个数中任取两个数相乘，再把所有的积相加，若和为m，求m的值考点：完全平方公式的几何背景；完全平方公式。分析：（1）把式子a+b+c=6两边平方后，再把a2+b2+c2=14代入求ab+bc+ac的值；（2）利用（1）的计算过程来计算解答：解：（1）式子a+b+c=6两边平方得，（a+b+c）2

27、=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=36，ab+bc+ac=36（a2+b2+c2）2=（3614）2=11；（2）421+3+5=1，两边平方后得，（421+3+5）2=42+22+12+32+52+2m=55+2m=1，m=（155）2=542=27点评：本题是完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2的拓展延伸：一般地，n个数的和的平方等于这n个数的平方和加上它们两两乘积的2倍19、如图1，是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）图2中阴影部分的面积为（mn）2；（2）观察图2，请你写出三个代数式（m+n）2、

28、（mn）2、mn之间的等量关系式：（mn）2+4mn=（m+n）2；（3）根据（2）中的结论，若x+y=6，xy=2.75，则xy=5（4）有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示如图3，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：（1）可直接用正方形的面积公式得到（2）数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别（3）此题可参照第二题（4）可参照图3进行画图解答：解：（1）（mn）2（3分）（2）（mn）2+4mn=（m+n）2（3分）（3）5（3分）（4）答

29、案不唯一：（4分）例如：点评：本题考查了完全平方公式的背景知识，解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式20、利用右图可以证明等式：a2+2ab+b2=（a+b）2（1）图中大正方形的面积既可以表示为：a2+2ab+b2，又可以表示为：（a+b）2，从而证明a2+2ab+b2=（a+b）2；（2）请画出一个图形来计算：（a+b+c）2（在图上标注必要的字母）考点：完全平方公式的几何背景。专题：数形结合。分析：（1）图中大正方形的面积可以用正方形的面积公式来求，也可把正方形分成四个小图形分别求出面积再相加，从而得出（ab）2=a22ab+b2；

30、（2）直接作图即可得出（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac成立解答：解：（1）边长为（ab）的正方形的面积可以直接由正方形面积公式表示为（ab）2；又可以用边长为a的正方形的面积，减去2个长为a，宽为b的长方形面积，加上边长为b的正方形的面积，结果用含a，b的式子表示为a22ab+b2；故答案为a2+2ab+b2、（a+b）2（2）已知大正方形的边长为a+b+c，利用图形的面积关系可得：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac点评：本题考查了完全平方公式的几何意义，是对（ab）2=a22ab+b2和（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2a

31、c的几何证明21、如图是由两个大小不同的正方形与两个全等的长方形拼成的一个大正方形，请用两种不同的方法表示图中空白正方形的面积；由此验证了乘法公式：（ab）2=a22ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。专题：图表型。分析：由于空白正方形的边长为（ab），长方形的长为（ab），宽为b，利用面积的割补法即可得到完全平方公式的形式解答：解：空白正方形的边长为（ab），长方形的长为（ab），宽为b，第一种方法得空白正方形面积=（ab）2，第一种方法得空白正方形面积=a22（ab）bb2=a22ab+b2，（ab）2=a22ab+b2故答案为：（ab）2=a22ab+b2点评：此题主要考查了完全平方

32、公式的几何背景，解题的关键是会利用面积的割补法得到公式22、图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线剪开，可分成四块小长方形（1）求出图1的长方形面积；（2）将四块小长方形拼成一个图2的正方形利用阴影部分面积的不同表示方法，直接写出代数式（a+b）2、（ab）2、ab之间的等量关系；（3）把四块小长方形不重叠地放在一个长方形的内部（如图3），未被覆盖的部分用阴影表示求两块阴影部分的周长和（用含m、n的代数式表示）考点：完全平方公式的几何背景；列代数式；矩形的性质；正方形的性质。分析：（1）长方形的面积为长宽，从而得解（2）可以直接求出小正方形的面积，可以用大正方形的面积减去周围四个小长

33、方形的面积（3）求出上面部分阴影的周长和下面部分阴影的周长，从而求出和解答：解：（1）（a+a）（b+b）=4ab（3分）（2）（a+b）2=（ab）2+4ab（6分）（3）上面部分的阴影周长为：2（na+ma） （7分）下面部分的阴影周长为：2（m2b+n2b） （8分）总周长为：4m+4n4a8b（9分）又a+2b=m（11分）总周长为4n（12分）点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，列代数式和矩形的性质和正方形的性质等知识点23、如图，四边形ABCD是正方形，P是对角线BD上一点，过P点作直线MN和EF，分别平行于AB、BC，交两组对边于点M、N、E、F，则四边形PFDN、PEBM都

34、是正方形，四边形PEAN、PMCF都是矩形，设正方形PEBM的边长为a，正方形PFDN的边长为b（ab）（1）用代数式分别表示正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和以及矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和，并判定两个面积之和的大小（2）当点P在什么位置时，它们的面积之和相等？（3）用含a、b的代数式表示SEMD考点：完全平方公式的几何背景。专题：计算题。分析：（1）根据正方形及矩形的面积公式即可得出答案；（2）当a=b时面积相等；（3）根据直角三角形面积公式即可求解解答：解：（1）正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和为：a2+b2；矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和为：ab+ab=2a

35、b；a2+b22ab=（ab）20，正方形PEBM和正方形PFDN的面积之和大于矩形PEAN与矩形PMCF的面积之和；（2）当点P在中点时，它们的面积之和相等；（3）SEMD=（a+b）2b（a+b）=a2+ab+b2abb2=a2+ab点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，关键是围绕图形面积展开分析24、动手操作：如图是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中的虚线剪开分成四个大小相等的长方形，然后按照图所示拼成一个正方形提出问题：（1）观察图，请用两种不同的方法表示阴影部分的面积；（2）请写出三个代数式（a+b）2，（ab）2，ab之间的一个等量关系问题解决：根据上述（2）中得

36、到的等量关系，解决下列问题：已知：x+y=6，xy=3求：（xy）2的值考点：完全平方公式的几何背景。专题：几何图形问题。分析：（1）第一种方法为：大正方形面积4个小长方形面积，第二种表示方法为：阴影部分正方形的面积；（2）利用（a+b）24ab=（ab）2可求解解答：提出问题：解：（1）（a+b）24ab或（ab）2（2）（m+n）24mn=（mn）2问题解决：（3）（xy）2=（x+y）24xyx+y=6，xy=3（xy）2=369=25点评：本题考查了完全平方公式的几何背景解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系本题更需注意要根据所找到的规律做题25、阅读材料并解答问题：很多代数

37、原理，可以用几何模型来表示例如：代数恒等式（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，可以用图1或图2等图形的面积表示（1）请写出图3所表示的代数恒等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2（3）下列有几张如图所示的卡片，用它们拼一些新的图形，验证下列两个公式：（1）（ab）2=a22ab+b2 （2）（a+b）2（ab）2=4ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，即可写出；（2）根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，可以作一个一边是a+b，另

38、一边是a+3b的矩形；（3）同理即可作出图形解答：解：（1）答案是：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2（2）（3）每个图（3分）点评：本题主要考查了乘法公式的几何表示，正确理解例题的意义：根据图形的总面积等于各个部分的面积的和，是解题的关键26、在数学课的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用图形的面积来解释这些代数恒等式如图可以解释恒等式（2b）2=4b2；（1）如图可以解释恒等式a2+2ab+b2=（a+b）2（2）如图是由4个长为a，宽为b的长方形纸片围成的正方形，利用面积关系写出一个代数恒等式：（a+b）2=（ab）2+4ab或 （a+b）2（ab）2=4ab或

39、（ab）2=（a+b）24ab若长方形纸片的面积为1，且长比宽长3，求长方形的周长（其中a、b都是正数，结果可保留根号）考点：完全平方公式的几何背景；完全平方式。分析：（1）根据图形面积可以得出公式；（2）根据面积关系可以得出公式（a+b）2=（ab）2+4ab或 （a+b）2（ab）2=4ab或（ab）2=（a+b）24ab；再利用长方形纸片的面积为1，长比宽长3，得出a，b关系求出即可解答：解：（1）（a+b）2，（2）（a+b）2=（ab）2+4ab或 （a+b）2（ab）2=4ab或（ab）2=（a+b）24ab；（2）由得：（a+b）2=（ab）2+4ab，依题意得ab=3，ab=1

40、，（a+b）2=32+41=13，a、b都是正数，a+b0a+b=点评：此题考查了对完全平方公式几何意义的理解，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析27、（）请你根据中的面积写出它所能说明的乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2（）如图（2）所示是2002年8月20日在北京召开的国际数学家大会的会标它是由四个全等的如图（1）所示的直角三角形（每个直角三角形两直角边分别是a和b，斜边长为c）与中间的小正方形拼成的一个大正方形请你根据图（2）中的面积写出它所能说明的等式，并写出推导过程考点：完全平方公式的几何背景。专题：常规题型。分析：（1）根据大正方形的面

41、积等于被分成的四部分的面积的和进行解答；（2）先根据图（2）表示出中间小正方形的边长，然后根据大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积列出等式，然后整理即可得解解答：解：（1）大正方形的面积为：（a+b）2，四个部分的面积的和为：a2+2ab+b2，能说明的乘法公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）它能说明的等式为：c2=a2+b2推导如下：中间小正方形的边长为（ba），大正方形的面积可表示为：c2=4ab+（ba）2，整理得，c2=2ab+b22ab+a2，即c2=a2+b2点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据同一个图形的面积的不同表示相等进行列式是解题

42、的关键28、先阅读后作答：我们已经知道，根据几何图形的面积关系可以说明完全平方公式，实际上还有一些等式也可以用这种方式加以说明，例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图2的面积关系来说明根据图2写出一个等式（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：根据数据表示出矩形的长与宽，再根据矩形的面积公式写出等式的左边，再表示出每一小部分的矩形的面积，然后根据面积相等即可写出等式解答：解：根据题意，大矩形的面积为：（2a+b）（2b+a），又各部分的面积之和=2a2+5ab+2b2，等式为（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2故答

43、案为：（2a+b）（2b+a）=2a2+5ab+2b2点评：本题考查了完全平方公式的几何背景，根据矩形的面积公式分整体与部分两种思路表示出面积，然后再根据同一个图形的面积相等即可解答29、用四个相同的长方形与一个小正方形无重叠、无缝隙地拼成一个大正方形的图案（如图）（1）若长方形的长为a，宽为b，则小正方形面积为（ab）2或（a22ab+b2）；（2）根据图案，利用面积关系，你能得到一个等式为（ab）2=a22ab+b2；（3）若这个大正方形边长为16，每个长方形的面积为63，求小正方形的边长考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）根据图形先求出小正方形的边长即可得到面积，或者先求出大正方形

44、的面积，然后再减去四个长方形的面积；（2）根据同一个小正方形的面积，利用两种不同的求法得出，应该相等即可得到等式；（3）代入等式计算求解即可解答：解：（1）小正方形的边长为：（ab），面积为（ab）2，小正方形的面积=大正方形的面积4长方形的面积=（a+b）24ab=（a22ab+b2），小正方形面积为：（ab）2或（a22ab+b2）；（2）小正方形的面积是同一个图形的面积，（ab）2=a22ab+b2；（3）小正方形的面积为：162463=256252=4，小正方形的边长为2故答案为：（1）（ab）2或（a22ab+b2）；（2）（ab）2=a22ab+b2；（3）2点评：本题考查了完全平

45、方公式的几何解释，根据同一个图形的面积利用不同的方法求解，结果相等解答即可，难度不大30、某镇正在建造的文化广场工地上，有两种铺设广场地面的材料，一种是长为acm，宽为bcm的矩形板材（如图），另一种是边长为ccm的正方形地砖（如图）（1）用几块如图所示的正方形地砖能拼出一个新的正方形？并写出新正方形的面积（写出一个符合条件的答案即可）；（2）用如图所示的四块矩形板材铺成如图的大正方形或如图的大矩形，中间分别空出一个小正方形和小矩形（即图中阴影部分）；请用含a、b的代数式分别表示图和图中阴影部分的面积；试比较图和图中阴影部分的面积哪个大？大多少？考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）四块正

46、方形，即可拼成一个大的正方形；（2）根据矩形以及正方形的面积公式即可表示，然后利用两个的差与0的大小关系即可判断大小关系解答：解：（1）能四块即可拼成一个边长的2c的正方形，则面积是4c2（2）图的面积是：（ab）2；图的面积是：a（a2b），（ab）2a（a2b）=a22ab+b2a2+2ab=b20，则：（ab）2a（a2b）故图的面积较大点评：本题主要考查了图形面积的表示，比较两个式子的大小关系可以利用求差的方法12、图是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）图中的阴影部分的面积为（mn）2；（2）观察图，三个代数式（m+

47、n）2，（mn）2，mn之间的等量关系是（mn）2+4mn=（m+n）2；（3）若x+y=6，xy=2.75，则xy=5；5（4）观察图，你能得到怎样的代数恒等式呢？（5）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）可直接用正方形的面积公式得到（2）数量掌握完全平方公式，并掌握和与差的区别（3）此题可参照第二题（4）可利用各部分面积和=长方形面积列出恒等式（5）可参照第四题画图解答：解：（1）（mn）2（3分）（2）（mn）2+4mn=（m+n）2（3分）（3）5（3分）（4）（m+n）（2m+n）=2m2+3mn+

48、n2（3分）（5）答案不唯一：（4分）例如：点评：解题关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式13、阅读材料并回答问题：我们知道，完全平方式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数恒等式也可以用这种形式表示，如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2，就可以用图（1）或图（2）等图形的面积表示（1）请写出图（3）所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画一个几何图形，使它的面积表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a，b的代数恒等式，并画出与它对应

49、的几何图形考点：完全平方公式的几何背景。专题：阅读型。分析：本题考查用平面几何图形的面积来表示一些代数恒等式，如图（3）中长方形的面积=长宽=（2a+b）（a+2b），长方形的面积还可以把几个小图形的面积相加，即a2+a2+ab+ab+ab+ab+ab+b2+b2=2a2+5ab+2b2解答：解：（1）（2a+b）（a+2b）=2a2+5ab+2b2；（2）（答案不唯一）；（3）恒等式是（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2，如图所示（答案不唯一）点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解14、阅读材料并解答

50、问题：我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数等式也可以用这种形式表示例如：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2就可以用图或图等图形的面积来表示（1）请写出图所表示的等式：（a+2b）（2a+b）=2a2+5ab+2b2；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）=a2+4ab+3b2（请仿照图或图在几何图形上标出有关数量）考点：完全平方公式的几何背景。专题：阅读型。分析：本题主要考查完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，根据图形先用不同的形式表示图形的面积，再由面积不变，列出等式即可解答：解：（1）（a+2b）（2a+

51、b）=2a2+5ab+2b2；（2）如图所示点评：本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式注意积的2倍的符号，避免漏解25、（1）有若干块长方形和正方形硬纸片如图1所示用若干块这样的硬纸片拼成一个新的长方形，如图2用两种不同的方法，计算图2中长方形的面积；我们知道：同一个长方形的面积是确定的数值由此，你可以得出的一个等式为：（a+1）2=a2+2a+1（2）有若干块长方形和正方形硬纸片如图3所示请你用拼图等方法推出一个完全平方公式，画出你的拼图并说明推出的过程考点：完全平方公式的几何背景；作图代数计算作图。专题：阅读型。分析：根据长方形的面积公式

52、=长乘以宽，长方形的长和宽都是a+1，可求出其面积所拼成的图形的面积等于几个长方形和正方形的面积之和，可以推导出完全平方公式解答：解：（1）长方形的面积=（a+1）（a+1）=（a+1）2或a2+2a+1，（a+1）2=a2+2a+1；（2）如下图，把该长方形视为一个边长为a+b的正方形时，其面积为（a+b）2；该长方形可视为四个长方形的拼图四个长方形指两个边长分别为a和b的正方形，以及两个相同的小长方形（长和宽分别为a和b）此时，其面积为a2+2ab+b2，由此，可推导出（a+b）2=a2+2ab+b2点评：解决本题的关键是根据面积公式来求16、如图，四边形ABCD是校园内一块边长为a+b的

53、正方形土地（其中ab）示意图，现准备在这块正方形土地的正中修建一个边长为ab的小正方形花坛，其余的部分为空地留作道路（1）画出花坛的示意图，并写出图中各部分面积的表达式；（2）用等式表示大，小正方形及空地的面积关系，（ab）2=（a+b）24ab考点：完全平方公式的几何背景。分析：在图中作一个边长为ab的正方形后，写出各个面积的表达式解答：解：（1）如图：正中小正方形的面积是（ab）2，留作道路的空地的面积是4ab，原正方形土地的面积是（a+b）2；（2）（ab）2=（a+b）24ab点评：本题通过数形结合得到：（ab）2=（a+b）24ab成立17、如图，有A、B、C三种不同型号的卡片若干，

54、其中A型是边长为a的正方形，B型是长为b，宽为a的矩形C型是边长为b的正方形（1）请你选取相应型号和数量的卡片，在下图中的网格中拼出（或镶嵌）一个符合乘法公式的图形（要求三种型号的卡片都用上），这个乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2；（2）现有A型卡片1个，B型卡片6个，C型卡片10个，从这17个卡片中拿掉一个卡片，余下的卡片全用上，能拼出（或镶嵌）一个矩形（或正方形）的都是哪些情况？请你通过运算说明理由考点：完全平方公式的几何背景。专题：网格型。分析：本题考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力：（1）中因为三种卡片的面积分别为a2，ab，b2，因此可向完全平方公式靠拢分析；（2）中

55、可根据所拿出卡片的不同，分三种情况讨论分析解答：解：（1）乘法公式是（a+b）2=a2+2ab+b2，拼成乘法公式的图形如图所示（2分）（2）从三种卡片中拿掉一个卡片，会出现三种情况：6ab+10b2由得6ab+10b2=2b（3a+5b）知用6个B型卡片，10个C型卡片，可拼成长为3a+5b，宽为2b或长为2（3a+5b），宽为b的矩形（6分）a2+6ab+9b2由得a2+6ab+9b2=（a+3b）2知用1个A型卡片，6个B型卡片，9个C型卡片，可拼成边长为a+3b的正方形（8分）a2+5ab+10b2由得a2+5ab+10b2在实数范围内不能分解因式知用1个A型卡片，5个B型卡片，10个

56、C型卡片不能拼成符合要求的图形（10分）点评：对几何图形的整体分析，对完全平方公式的灵活应用变形整理是解此题的关键18、我们已经知道，完全平方公式可以用平面几何图形的面积来表示，实际上还有一些代数等式也可以用这种形式表示，请写出图中所表示的代数恒等式：（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2考点：完全平方公式的几何背景。分析：本题根据几何图形来进行代数恒等式的推导，要注意图形各部分面积和=整个图形的面积解答：解：各部分面积和=ab+ab+ab+a2+a2+b2=2a2+3ab+b2，整个图形的面积=（2a+b）（a+b），（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2点评：利用几何图形推导代

57、数恒等式，要注意几何图形整体面积与各部分面积的关系19、图1是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（mn）；（2）请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积并写出下列三个代数式之间的等量关系吗？考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）观察图2，阴影部分的边长就是矩形的长与宽的差，即（mn）；（2）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积解答：解：（1）图2中的阴影部分的正方形的边长等于（mn）；（2）方法一：阴影部分的面积=（m

58、+n）22m2n，=m2+n2+2mn4mn，=m2+n22mn=（mn）2；方法二：阴影部分的边长=mn，故阴影部分的面积=（mn）2三个代数式之间的等量关系是：（m+n）2（mn）2=4mn点评：本题主要考查我们的公式变形能力，如何准确地确定首末两项代数式20、如图1是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个空心正方形（1）你认为图2中的阴影部分的正方形的边长是多少？（2）请用两种不同的方法求出图2中阴影部分的面积；（3）观察图2，你能写出下列三个代数式：（m+n）2、（mn）2、mn之间的关系吗？考点：完全平方公式的几何背景。分析：本题

59、考查对完全平方公式几何意义的理解应用能力，观察图形，可得图中阴影正方形的边长=（mn），因此面积可用两种方法表示为（mn）2；（m+n）24mn，再由图中几何图形之间的关系可得完全平方公式变形公式：（mn）2=（m+n）24mn解答：解：（1）图中阴影部分的正方形的边长等于（mn）；（2）用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积：（mn）2；（m+n）24mn；（3）（mn）2=（m+n）24mn点评：本题考查了完全平方公式，对几何图形的整体分析，对完全平方公式的灵活应用变形整理是解此题的关键21、如图，是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图的形状拼成一个正方形（1）观察图，你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？代数式：（m+n）2，（mn）2，mn；（2）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：若a+b=7，ab=5，则（ab）2=29考点：完全平方公式的几何背景。分析：（1）大正方形的面积减去小正方形的面积等于外围四个长方形的面积；（2）（ab）2=（a+b）24ab解答：解：（1）（m+n）2（mn）2=4mn（不唯一）；（3分）（2）（ab）2=（a+b）24ab=4920=29（6分）点评：本题要熟记有关完全平方的几