转动可分解设计的构造及其应用-学位论文

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1、本 科 毕 业 论 文题目转动可分解设计的构造及其应用毕业设计（论文）原创性声明和使用授权说明原创性声明本人郑重承诺：所呈交的毕业设计（论文），是我个人在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除文中特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或组织已经发表或公布过的研究成果，也不包含我为获得 及其它教育机构的学位或学历而使用过的材料。对本研究提供过帮助和做出过贡献的个人或集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。作 者 签 名： 日 期： 指导教师签名： 日期： 使用授权说明本人完全了解 大学关于收集、保存、使用毕业设计（论文）的规定，即：按照学校要求提交毕业设计（论文）的印刷本

2、和电子版本；学校有权保存毕业设计（论文）的印刷本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部分或全部内容。作者签名： 日 期： 原 创 性 声 明本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究成果.除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果.参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意. 签 名： 日 期： 本论文使用授权说明本人完全了解南通大学有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留论文及送交论文复印件,允许论文被查阅和

3、借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容.（保密的论文在解密后应遵守此规定）学生签名： 指导教师签名： 日期： 南通大学毕业设计（论文）立题卡课题名称转动可分解设计的构造及其应用出题人课题表述（简述课题的背景、目的、意义、主要内容、完成课题的条件、成果形式等）可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优k-循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域. 成果形式论文课题来源科研课题类别毕业论文该课题对学生的要求要求学生有较好的数学和计算机基础教研室意

4、见 教研室主任签名：_ _年_月_日学院意见同意立题（）不同意立题（） 教学院长签名：_ _年_月_日注：1、此表一式三份，学院、教研室、学生档案各一份. 2、课题来源是指：1.科研，2.社会生产实际，3. 其他.3、课题类别是指：1.毕业论文，2.毕业设计.4、教研室意见：在组织专业指导委员会审核后，就该课题的工作量大小，难易程度及是否符合专业培养目标和要求等内容提出具体的意见和建议.5、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改.南 通 大 学毕业设计（论文）任务书题目 转动可分解设计的构造及其应用学生姓名 陈媛 学 院 理学院 专 业 信息与计算科学 班 级 信计091 学 号 090

5、2072006 起讫日期 2013年1月8日至6月5日 指导教师 王金华 职称 教授 发任务书日期 2013 年 1 月 8 日课题的内容和要求（研究内容、研究目标和解决的关键问题）研究内容：可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优k-循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.目标和要求：(1) 查阅资料,阅读文献,理解课题的含义；(2) 研究转动可分解设计的构造方法,了解现有的结论；(3)转动可分解设计在最优循环的超饱和设计构造中的应用.

6、课题的研究方法和技术路线(1)阅读与平衡不完全区组设计(BIBD)、可分解平衡不完全区组设计(RBIBD)有关的文献；(2)正确理解转动可分解设计的构造含义,了解它和组合设计的关系；(3)构造不同构的转动可分解设计，并且探究其在超饱和设计中的应用；(4)通过使用计算机编程，求出的转动可分解设计的结果.基础条件 本课题的指导者近年来主要从事组合数学及其应用的研究,主持一项有关组合理论及其应用的国家自然科学基金项目的研究,一项南通市科技创新项目的研究对组合设计理论的前沿状况比较了解,有多年指导本科生毕业论文的经验,已在国内外核心期刊上发表相关论文30多篇；同时该课题也是国家自然科学基金项目所要研究

7、的部分内容，该生有较好的组合数学基础知识和刻苦钻研精神；学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料,同时指导老师能为学生提供相关的外文资料综上所述,已基本具备完成本课题研究的基础条件.参考文献1Liu M and Zhang et al. Construction of E(s2) optimal supersaturated designs using cyclic BIBDsJ. J. Statist. Plann Inference, 2000, 91: 139150.2Lu X and Hu et al. A systematic procedure in the construction

8、 of multi-level supersaturated designJ. J.Statist.Plann Inference, 2003, 115: 287310.3Ngyuen N K. An algorithmic approach to constructing supersaturated designsJ. Technometrics, 1996, 38: 6973.4Hanani H. On resolvable balanced incomplete block designsJ. J. Combin. Theory Ser A, 1974, 17: 275-289.5Pl

9、ackett R L and Burman et al. The design of optimum multifactorial experiments.J. Biometrika, 1946, 33: 305 325.6Hanani H. Balanced incomplete block designs and related designsD. Discrete Math, 1975, 11: 255-369.7 Wu X H A. Construction of optimal multi-level supersaturated designsJ. Ann. Statist., 2

10、005, 33: 28112836.8Wilson R M. An existence theory for pairwise balanced designJ. J.Combin. Theory Ser A, 1972, 13: 220-273.9Wilson D A R. Solution of Kirkmans schoolgirl problemJ. Proc. Sympos. Pure Math, 1971, 19: 187-203.10Lu J. An existence theory for resolvable balanced incomplete block designs

11、J. Acta Math. Sinica, 1984, 27: 458-468.11Chen J and Liu, et al. Optimalmixed-level k-circulant supersaturated designsJ. J. Statist. Plann Inference, 2008, 138: 41514157.12Baker R D. Resolvable BIBD and SOLSJ. Discrete Math, 1983, 44: 13-29.13Hanani H, Ray Chaudhuri D K and Wilson R. On resolvable d

12、esignsJ. Discrete Math, 1972, 3: 343 - 357.14Ray Chaudhuri D K and Wilson R. The existence of resolvable block designsJ. A Survey of Combinatorial Theory, 1973, 11: 361-375.15Fang K T and Lin, et al. Optimal mixed-level supersaturated designJ. Metrika, 2003, 58: 279291.本课题必须完成的任务：(1)介绍BIBD、RBIBD的构造方

13、法以及例子；(2)介绍转动可分解的构造方法以及不同构的转动可分解设计的构造，并且其在超饱和设计 中的应用；(3) 给出时部分或完全的转动可分解设计的结果成果形式论文进度计划起讫日期工作内容备 注1月10日2月28日选题、查阅文献资料3月1日3月5日开题报告3月6日3月19日根据开题报告情况继续查阅文献资料3月20日4月20日写出论文第一稿,并完成外文翻译4月21日5月5日指导老师批阅论文第一稿5月6日5月19日修改论文,并定稿5月20日5月31日指导教师评定成绩,评阅老师评阅论文,写出评阅意见6月1日6月15日答辩教研室审核意见该任务书的内容符合南通大学本科生毕业设计（论文）要求和本专业的培养

14、目标,同意下发.教研室主任签名： 年 月 日学院意见 教学院长签名： _ 年_月_ 日注：此表为参考表格,学院可根据专业特点,对该表格进行适当的修改.南通大学本科生毕业设计（论文）开题报告学生姓名陈媛学 号0902072006专业信息与计算科学课题名称转动可分解设计的构造及其应用阅读文献情 况国内文献 0 篇开题日期2013-03-07国外文献 15 篇开题地点理学院信息与计算科学教研室一 文献综述与调研报告：（阐述课题研究的现状及发展趋势，本课题研究的意义和价值、参考文献） 可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计在密码理论、统计设计中有广泛的应用.如不同构的转动可分解

15、设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程试验领域.构建二水平因子的超饱和设计的方法已经在许多著作中被涉及.多水平超饱和设计也已经被一些研究人员研究.Lin和Dean（2004）提出了循环设计，并且给出了他们对于二水平因子的解释.本文主要介绍转动可分解设计的定义以及构造方法，并通过计算机编程计算的Rotational RBIBD;介绍利用Rotational RBIBD构造最优循环设计，以及其在实际中的应用.定义11 设为一个有限集，为的一个子集族,则称此序对是集上的一个区组设计，的元素称为区组. 进一步，设与为给定的正整数，

16、是给定的正整数，若区组设计满足： (i)； (ii)对任意，都有； (iii)中任意一对不同的点都恰好同时包含在个区组中， 当时，则称为平衡不完全区组设计，记为.易知，的必要条件是 （1）当时，平衡不完全区组设计的存在性由Hanani14在1975年证明.定理1 (2)设都是正整数，如果，并且，则除去不存在外, 存在的必要条件(1)也是充分的. 平衡不完全区组设计的存在性问题是转动可分解设计理论中的一个基本问题，条件(1)是存在的基本必要条件，不过这些条件并不是充分的.M.Hall Jr. (1967) 提出了下面这个著名的存在性猜想.猜想1 (存在性猜想)给定正整数，对满足条件(1)的正整数

17、，除去有限个例外, 都存在.Wilson3对上诉存在性猜想给出了证明，有下述“渐进存在性定理”.定理2 (3)给定正整数和，存在常数，使得当时，存在的必 要条件(1)也是充分的.定义24 设是一区组设计，若构成的一个划分，则称为此设计的一个平行类. 如果区组能被划分成平行类，则称此设计为可分解的.如果一个是可分解 的,则称为可分解平衡不完全区组设计，记为.易知，存在的必要条件为 （2）时，的存在性主要依赖于的情形.的存在性问题，也是历史上著名的Kirkman女生问题，经过一百多年的研究，于1971年由Ray-Chaudhuri和Wilson5 解决.而的情形由Hanani6于1974年解决.定

18、理3 (7)当且仅当下列条件之一成立时，存在. 1.,且; 2.,且; 3.,且. 时，的存在性主要依赖于的情形.1972年，Hanani等解决了时的情形，即的存在性.Baker解决了(k,)=(4,3)的情形，即的存在性.定理4 (8)当且仅当下列条件之一成立时，存在. 1.,且； 2.，且; 而的存在性问题在国内外多位学者的共同努力下，已接近完整解决.定理5 (9)当且v45,345,465,645时，存在.对一般的，Ray-Chaudhuri和Wilson10和Lu证明了的“渐近存在性”.定理6 (10)对给定的正整数和，除了有限多个正整数v外，存在的必 要条件(2)也是充分的.定义3

19、若D=（X，B）为，其中，令，为的映射，B，；令BB，若BB，则称为的一个自同构.此时称为Rotational BIBD.进一步，B在的作用下，产生轨道，轨道长度为.每个轨道中取一个代表，构成的一个基区组.如果这个基区组构成了的一个划分，即基区组是的一个平行类，称此平行类为的基平行类.此时-Rotational BIBD是可分解的.称其为-Rotational RBIBD. 本文提供了一个系统的构造转动可分解设计的方法.二级水平设计同样包含于这个系统方法.这个系统的方法是基于利用满足某些特性的一系列初始区组的循环生成法的可分解的平衡不完全区组设计(RBIBDs).有些循环设计的其他可供选择的方

20、法同样也包含于Lu et al.(2003)11中.然而，本文呈现最优K-循环超饱和设计的一个广泛比较方法，其包含在有关计算机的基础方法著作中或者在Lu et al.(2003)中.在实际中，超饱和设计对于因子筛选试验很有帮助现有的超饱和设计的构造方法主要是针对二级水平和多级水平情形的但是实际中，混和水平超饱和设计有着更广泛的用途，此不部分可做一项独立研究，在此不做论述.参考文献：1Liu M and Zhang et al. Construction of E(s2) optimal supersaturated designs using cyclic BIBDsJ. J. Statist

21、. Plann Inference, 2000, 91: 139150.2Lu X and Hu et al. A systematic procedure in the construction of multi-level supersaturated designJ. J.Statist.Plann Inference, 2003, 115: 287310.3Ngyuen N K. An algorithmic approach to constructing supersaturated designsJ. Technometrics, 1996, 38: 6973.4Hanani H

22、. On resolvable balanced incomplete block designsJ. J. Combin. Theory Ser A, 1974, 17: 275-289.5Plackett R L and Burman et al. The design of optimum multifactorial experiments.J. Biometrika, 1946, 33: 305 325.6Hanani H. Balanced incomplete block designs and related designsD. Discrete Math, 1975, 11:

23、 255-369.7 Wu X H A. Construction of optimal multi-level supersaturated designsJ. Ann. Statist., 2005, 33: 28112836.8Wilson R M. An existence theory for pairwise balanced designJ. J.Combin. Theory Ser. A, 1972, 13: 220-273.9Wilson D A R. Solution of Kirkmans schoolgirl problemJ. Proc. Sympos. Pure M

24、ath, 1971, 19: 187-203.10Lu J. An existence theory for resolvable balanced incomplete block designsJ. Acta Math. Sinica, 1984, 27: 458-468.11Chen J and Liu, et al. Optimal mixed-level k-circulant supersaturated designsJ. J. Statist. Plann Inference, 2008, 138: 41514157.12Baker R D. Resolvable BIBD a

25、nd SOLSJ. Discrete Math, 1983, 44: 13-29.13Hanani H, Ray Chaudhuri D K and Wilson R. On resolvable designsJ. Discrete Math, 1972, 3: 343 - 357.14Ray Chaudhuri D K and Wilson R. The existence of resolvable block designsJ. A Survey of Combinatorial Theory, 1973, 11: 361-375.15Fang K T and Lin, et al.

26、Optimal mixed-level supersaturated designJ. Metrika, 2003, 58: 279291.二 本课题的基本内容，预计解决的难题 基本内容：本课题将研究不同构转动可分解设计的构造及其应用. 首先，理解设计、BIBD、RBIBD以及转动可分解设计（Rotational RBIBD）的定义，以及不同构的转动可分解设计的构造方法.可分解设计是组合数学中研究的经典问题.具有特殊结构的可分解设计密码理论、统计设计中有广泛应用.如了解不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优的K-循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和

27、生物工程试验领域.其次了解转动可分解的定义.本课题主要研究转动可分解设计（Rotational RBIBD）的构造，并讨论它在超饱和设计的应用,同时利用计算机编程计算的转动可分解设计. 预计解决的难题：对于此类最优超饱和设计未知结论的构造，可能需要较长时间的寻找，对于计算机运算，需要时间的调整.三、课题的研究方法、技术路线研究方法： 1.查阅文献；2.向学长及老师请教；3. 网上搜集资料；4.自我归纳总结.技术路线：(1) 阅读与转动可分解设计的构造问题有关的文献；(2) 正确理解转动可分解设计的构造含义,了解它和组合设计的关系；(3) 研究转动可分解设计的构造方法,以及理解通过不同构的转动可

28、分解设计构造最优循环设计，并且论述其在实际中的具体应用.(4)通过使用计算机程序，求出一类Rotational RBIBD的最优解.四、研究工作条件和基础 本课题的指导者近年来主要从事组合数学及其应用的研究,主持一项有关组合理论及其应用的国家自然科学基金项目的研究,一项南通市科技创新项目的研究对组合设计理论的前沿状况比较了解,有多年指导本科生毕业论文的经验,已在国内外核心期刊上发表相关论文30多篇；同时该课题也是国家自然科学基金项目所要研究的部分内容，该生有较好的组合数学基础知识和刻苦钻研精神；学校图书馆和校园网有比较丰富的图书资料,同时指导老师能为学生提供相关的外文资料综上所述,已基本具备完

29、成本课题研究的基础条件.五、进度计划起讫日期工作内容1月10日2月28日选题，查阅文献资料3月1日3月5日开题报告3月6日3月19日根据开题报告情况继续查阅文献资料，搜集数据3月20日4月20日写出论文第一稿，并完成外文翻译.4月21日5月5日指导老师批阅论文第一稿5月6日5月19日修改论文，并定稿5月20日5月31日指导教师评定成绩，评阅老师评阅论文，写出评阅意见.6月1日6月15日学生进行答辩论文阶段完成日期文献调研完成日期3月10日论文实验完成日期撰写论文完成日期5月18日评议答辩完成日期6月05日指导教师评语该生能按任务书计划完成课题研究，研究进展顺利，已经取得了部分研究成果，论文翻译

30、已经完成，下一步的研究计划可行，有望准时完成课题研究，同意开题. 导师签名： 年 月 日教研室意见 教研室主任签名： 年 月 日学院意见通过开题（）开题不通过（） 教学院长签名： 年 月 日注：1、学院可根据专业特点，可对该表格进行适当的修改.南 通 大 学毕 业 论 文题目： 转动可分解设计的构造及其应用姓 名： 陈媛 指导教师： 王金华 专 业： 信息与计算科学 南通大学理学院 2013年5月XV南通大学毕业论文 摘 要 超饱和设计在许多领域有广泛的应用，如计算机实验、软件测试、医药、工业和工程试验，以及生物识别应用领域.构建二水平因子的超饱和设计的方法已经受到广泛关注.多水平超饱和设计也

31、已经被一些研究人员研究.Lin和Dean（2004）提出了循环设计，并且给出了二水平因子超饱和设计的构造. 本文给出了由差方法得到的RBIBD构建最优循环设计的生成列的方法.这样的RBIBDs被称为可分解的转动平衡不完全区组设计.如果在两个可分解转动BIBD之间存在一个同构映射保持初始区组集不变，则称之为同构的.当个不同构的可分解的转动BIBDs存在，则可以构造个最优循环设计其列是非完全别名的.如果一列通过水平置换可以得到另一列，那么这两列完全的别名.此时，可以通过把这个循环设计列并列得到最优循环设计.本文描述了可分解1转动平衡不完全区组设计的概念，利用差的方法给出了不同构的可分解1转动平衡不

32、完全区组设计的构造方法.在计算计的辅助下，得到了区组大小为4指数为3的不同构的可分解1转动平衡不完全区组设计对.直接应用获得了一些新的最优2- 循环设计其中 . 关键词：平衡不完全区组设计，转动可分解平衡不完全区组设计，最优k-循环设计 ABSTRACT Supersaturated designs are important in various fields including computer experiments, software testing, medical, industrial and engineering experiments, and biometric appl

33、ications. Methods for constructing supersaturated designs for two-level factors have received considerable attention. Multi-level supersaturated designs have also been studied by several authors. Liu and Dean(2004) introduced k-circulant designs and gave their constructions for two-level factors. Th

34、is paper presents a method for constructing the generating column of an optimal 1-circulant design using a RBIBD obtained through the method of differences. Such RBIBDs are called resolvable 1-rotational balanced incomplete block designs. Two resolvable 1-rotational BIBDs are called isomorphic if th

35、ere is an isomorphism between them that preserves the set of initial blocks. When nonisomorphic resolvable 1-rotational BIBDs exist, then k such optimal 1-circulant designs with no fully aliased columns can be constructed. Two columns are fully aliased if one column can be obtained by permuting leve

36、ls in another column. An optimal k-circulant design is then obtained by column juxtaposition of these k 1-circulant designs. This paper describes the definitions of resolvable 1-rotational balanced incomplete block designs and gives constructions of 1-rotational RBIBDs by the method of differences .

37、 With help of computer, we obtain some pairs of nonisomorphic resolvable 1-rotational BIBDs with bock size 4 and index 3 for . As its application, we obtain some new optimal 2- circulant designs for .keyword: BIBD，Rotational RBIBD ,Optimal k-circulant design目 录摘 要XVIABSTRACTXVII第一节 引言1第二节 转动可分解设计的构造

38、3第三节 转动可分解设计的应用10第四节 结束语16参考文献17致 谢18XVIII第一节 引言 一个区组设计是一个二序组，其中为一个有限集，为的一个子集族，的元素称为区组.进一步，设与为给定的正整数，是给定的正整数，若区组设计满足：(i)； (ii)对任意，都有；(iii)中任意一对不同的点都恰好同时包含在个区组中，当时，则称为平衡不完全区组设计，记为.易知，的必要条件是 （1）当时，平衡不完全区组设计的存在性由Hanani6在1975年证明.若是一区组设计，若构成X的一个划分，则称为此设计的一个平行类.如果区组能被划分成平行类，则称此设计为可分解的.如果一个是可分解的，则称为可分解平衡不完

39、全区组设计，记为12.易知，存在的必要条件为 （2）时，的存在性主要依赖于的情形.的存在性问题，也是历史上著名的Kirkman女生问题，经过一百多年的研究，于1971年由Ray-Chaudhuri和Wilson9解决.而的情形由Hanani4于1974年解决.时，的存在性主要依赖于的情形.1972年，Hanani13等解决了时的情形，即的存在性.Baker解决了的情形，即的存在性.而的存在性问题在国内外多位学者的共同努力下，已接近完整解决.对一般的，Ray-Chaudhuri和Wilson14和Lu10证明了的“渐近存在性”.若为，其中，令，为的映射，；令，若，则称为的一个自同构.此时称为Ro

40、tational BIBD.进一步，在的作用下，产生轨道，轨道长度为.每个轨道中取一个代表，构成的一个基区组.如果这个基区组构成了的一个划分，即基区组是的一个平行类，称此平行类为的基平行类.此时-Rotational BIBD是可分解的.称其为-Rotational RBIBD.例1.1 设，取基区组为, ,，利用上面给出的定义，我们可以得到： : : : : : 此时，称-BIBD为-Rotational RBIBD. 本文主要介绍不同构的转动可分解的构造及其应用，不同构的转动可分解设计能在统计试验的超饱和设计中设计最优的k-循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生

41、物工程试验领域.在实际中，超饱和设计对于因子筛选试验很有帮助现有的超饱和设计的构造方法主要是针对两水平和高水平情形的但是实际中，混水平超饱和设计有着更广泛的用途本文对此部分不做研究.第二节 转动可分解设计的构造 这一节主要介绍不同构的转动可分解设计的定义及其构造方法，同时利用计算机编程计算出了一些不同构的转动可分解设计的例子.定义2.1设为的子集族，若，其中称为的差.,则称为差族，记为.特别地，当时，称其为差集，记为.例2.1在中，称为 . 有了差族的定义，下面我们利用差族的定义来给出Rotational RBIBD的构造方法.构造方法：设为上的个元子集族，其中，令，若，则为一个 RBIBD，

42、其中为其平行类.证明：令，由，有为Rotational BIBD.又构成的一个平行类.可以划分为个平行类.所以为Rotational RBIBD. 因为本节研究的是不同构的转动可分解设计，所以下面我们给出不同构的概念.定义2.2设，是两个Rotational RBIBD，其中分别是的平行类.若存在的一个双射,并且满足和，则与是同构的.若不存在这样的，则与是不同构的. 以下是通过上面的构造方法，同时利用计算机编程计算出了一些不同构的转动可分解设计的例子.引理2.1 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类，其基区组见下表：序号基区组1基区组2初

43、始区组(0,1,2,5)(0,2,3,7)(3,8,11,12)(1,4,8,13)(4,6,10,13)(5,9,10,11)(7,9,14,)(6,12,14,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.2 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(3,4,5,18)(6,10,12,16)(1,2,8,12)(5,9,14,17)(0,7,10,14)(0,2,11,18)(6,9,15,17)(1,3,4,15)(11,13,16，)(7,8,13

44、,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.3 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(4,7,11,15)(4,10,15,19)(0,3,5,17)(2,9,12,21)(2,10,12,19)(0,3,11,16)(1,6,13,16)(1,5,14,22)(8,9,14,18)(6,7,8,13)(20,21,22，)(17,18,20,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.4 存在一对不同构的R

45、otational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(1,4,9,21)(13,17,22,25)(8,10,23,26)(1,2,4,14)(3,7,11,16)(10,12,16,23)(2,5,18,22)(0,7,21,26)(0,6,15,17)(3,11,18,20)(12,13,14,20)(5,6,9,15)(19,2,25,)(8,19,24,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.5 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在

46、上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(8，13，17,23)(2,3,4,12)(7,11,18,30)(0,1,6,20)(5,10,14,26)(7,13,22,26)(0,1,3,21)(11,21,24,27)(2,9,15,16)(5,9,16,23)(4,19,22,24)(8,10,15,18)(6,12,20,29)(14,19,28,30)(25,27,28，)(17,25,29，)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.6 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造

47、基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(9,18,31,33)(15,19,26,34)(3,7,10,34)(11,20,27,33)(0,19,20,25)(8,17,22,32)(5,13,17,30)(0,1,2,3)(4,14,16,23)(4,7,12,18)(1,6,24,27)(5,23,25,28)(2,8,29,32)(6,10,16,29)(11,12,26,28)(9,13,21,30)(15,21,22，)(14,24,31，)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.7 存在一对不同构的Rotational

48、RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(11,16,24,30)(3,20,22,28)(5,22,23,34)(2,17,24,26)(1,7,10,27)(1,4,19,29)(8,9,12,18)(13,15,18,36)(6,17,20,21)(5,12,16,32)(0,14,19,32,)(0,9,10,23)(2,4,25,33)(6,11,33,37)(3,15,26,38)(7,8,14,34)(13,28,35,37)(21,25,30,31)(29,31,36,)(27,35,38)通过验证，满足不同构.所以存

49、在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.8 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(6,30 ,33,41)(7,8,9,21)(3,9,13 ,24)(3,32,36,39)(1,19,34,40)(1,18,23,41)(15,18,20,38)(4,12,14,33)(5,14,35,37)(2,13,24,29)(2,31,32,37)(0,10,26,35)(10,17,26,29)(5,11,17,37)(0,16,28,42)(6,15,30,34)(4,11,21

50、,23)(16,19,20,28)(7,8,12,25)(22,27,40,42)(22,27,36,)(25,31,38,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.9 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(4,5,23,26)(5,33,39,42)(3,33,43,44)(3,10,38,41)(1,25,27,37)(2,20,44,45)(16,19,24,28)(9,17,22,46)(8,21,36,41)(1,16,18,37)(7,1

51、2,39,45)(0,14,15,25)(10,18,20,35)(7,8,28,43)(0,2,9,31)(4,21,29,35)(6,22,29,42)(6,19,23,26)(11,32,40,46)(11,13,27,34)(13,14,17,30)(12,24,30,32)(15,34,38,)(31,36,40,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.10 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(9,25,40,48)(4,7,13,26

52、)(3,6,17,34)(20,35,14,28)(0,21,24,43)(49,22,19,38)(18,22,31,36)(9,16,27,40)(4,11,45,49)(45,29,33,47)(2,15,27,35)(21,43,12,31)(19,20,26,30)(3,5,11,39)(10,16,37,39)(0,1,17,18)(1,8,23,50)(2,41,44,48)(5,41,44,46)(6,8,30,34)(7,28,42,47)(10,24,25,50)(12,13,29,38)(15,23,36,46)(14,32,33,)(32,37,42,)通过验证，满足不

53、同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.11 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(11,14,32,44)(13,16,20,31)(7,29,46,51)(12,44,45,51)(5,22,28,52)(0,29,50,52)(21,30,31,48)(5,7,28,41)(16,17,36,40)(4,35,49,54)(15,26,27,41)(1,2,26,48)(4,9,13,20)(18,27,46,53)(0,18,47,49)(8,10,21,2

54、5)(1,6,8,42)(3,6,15,43)(2,12,25,54)(9,22,34,42)(3,10,37,45)(11,23,39,40)(19,33,35,39)(14,24,32,38)(23,38,50,53)(17,33,37,47)(24,34,43,)(19,30,36,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.引理2.12 存在一对不同构的Rotational RBIBD.证明：根据上面的构造方法，在上构造基平行类.其基区组见下表：序号基区组1基区组2初始区组(18,22,24,34)(17,18,27,49)(11,16,27,45)(

55、7,25,39,51)(4,30,39,56)(4,10,14,38)(13,28,32,55)(11,26,28,33)(8,10,38,41)(21,24,30,44)(5,42,51,52)(13,23,35,42)(15,29,47,50)(12,15,19,53)(14,23,37,44)(6,36,48,52)(6,7,43,49)(8,16,34,54)(0,3,48,54)(0,9,32,43)(1,2,21,36)(1,3,20,31)(9,17,19,57)(2,41,46,47)(12,20,25,40)(5,40,45,56)(26,33,46,58)(22,55,57

56、,58)(31,35,53,)(29,37,50,)通过验证，满足不同构.所以存在一对不同构的Rotational RBIBD.第三节 转动可分解设计的应用 本节介绍利用转动可分解设计来构造超饱和设计，基于上节介绍，转动可分解设计可用于统计试验中设计最优k-循环的超饱和设计，它广泛应用于计算机试验、软件测试、医药、工业和生物工程式验领域.多年来，大量的科研工作者致力于超饱和设计的研究，下面介绍一些前人有关最优k-循环设计以及超饱和设计的研究成果. 利用Fang et al.(2003)15中E()符号表示最优设计.符号E()1表示二水平因子，在著作中提及的其他一些用来表示的多级水平因子试验最优化标准符号与E()最优标准符号是一样的.为了本文的完整性，我们给出最优性判别、方法解释以及相关的定理证明.1 最优性判别 给定一个矩阵的处理组合，其中表示有限集中元素的个数，运行超饱和设计的初始区组的个数是，这样的最优超饱和设计用表示.这个初始区组用标号.在级处理组合中，假设所有初始区组是用同样的方法构造，则可划分为组.假设表示D的第列，.一般的二水平因子的表示符号为E()，Fang