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1、实验报告三一、实验目的通过本实验的学习，各种插值法的效果，如多项式插值法，牛顿插值法，样条插值法，最小二乘法拟合（即拟合插值），了解它们各自的优缺点及插值。二、实验题目1、插值效果比较实验题目：将区间-5,5 10等份，对下列函数分别计算插值节点忑的值，进行不同类型的插值，作出插值函数的图形并与y = f（x）的图形进行比较：f (A) =r ； fg = arc tan.r ；1 + 2（1）做拉格朗口插值;（2）做三次样条插值。2、拟合多项式实验实验题目：给定数据点如卜表所示:Xi-1.5-1.0-0.50.00.51.01.5儿-4.45-0.450.550.050.440.544.55
2、分别对上述数据做三次多项式和五次多项式拟合，并求平方误差，作出离散函数和拟合函数的图形。实验【理n阶拉格朗口插值设己知X。,兀,儿及儿=/U X，= 0丄昇7）,乙（x）为不超过n次的多项式，且满足插值条件厶（兀）=儿（心0丄昇J由对厶丄的构造经验,可设厶W = ZZ （血=儿+h儿+ +/儿，1=0其中，厶（0（心0丄,“）均为n次多项式且满足/,（xJ=F = %J = 0丄，几不难验 10JH 人证，这样构造出的厶（x）满足插值条件。因此问题归结为求厶（0（/ = 0丄，“）的表达式。因0是D次多项式厶（X）的n个根，故可设W = c(x X。)(X GXx 兀+J(X ) = c fl
3、(x-X.)尸0肿再由/,(A)= c pj(x - xy) = l,z = 0,1,n,得1c打.加-心）戶OJ知故有n兀*厶-立（X）M（X）-口 . （4.13）；=0j=o、j令 i Xi Xj公式（4.13）称为11阶拉格朗口插值公式，其中/心来=0丄/）称为n阶拉格朗口插值的基函数。三次样条插值原理第一步：由人= t人+ h出w, =1-A- , Q = 3& 乩:VF + 3仏L ,其中， 人h屮第二步，用追赶法求解计算出人也0等辅助量。/（ 、叫:=:得mn-2Zt丿丿2 ZA/2 2 “2血-22”_2A ,2n1/，加第三步：判断插值点所在区间: 第四步：用S(X)= QI
4、 h.%+九00I h.叫T + hAI h.多项式的基函数一般取幕函数%(x)= l(x)=忑， (x)=丹由于 (禺，0 J = X严,(/,僉)= # y,1=1 (=1这样，法方程组为nnD2=1nD1=1ni=li=lnw+1r=i=(n1=1itf=lnitnank /=!w+1r=l2ni/=! 丿 ni /m 卩X k f=l/计算插值。四、实验内容1、第一个方程程序x=-5:0.2:5;y=l./(l+x.*x); plot(x,y；f);hold onxl=-5:l:5;yl=l./(l+xl.*xl);xx=-4.5:0.5:4.5;yy=malag(xl ,yl ,xx
5、);plot(xx,yy、屮)dy0=10J(l+25)*(l+25);dyn=-10./(l+25)*(l+25);m=niaspliiie(x 1 ,v 1 dyO、dyn、xx);plot(xx,m；ok,)第二个方程程序x=-5:0.2:5;y=atan(x);plot(x,y；f);hold onxl=-5:l:5;yl=atan(xl);xx=-4.5:0.5:4.5;yy=malag(xl ,yl ,xx);plot(xx,yy、屮)dy0=l./(l+25);dyn=l./(l+25);m=niaspliiie(x 1 ,v 1 JO,dyn.xx);plot(xx,m；ok,
6、)第三个方程程序x=-5:0.2:5;y=x.*x./(l+x.A4);plot(x,v；r,);hold onxl=-5:l:5;yl=xl.*xl./(l+xl.A4);xx=-4.5:0.5:4.5;yynialagr(xl,yl ,xx);plot(xx,yy、屮)dy0=-10.*(l-5.A4)y(l+5.A4).A2;dyn=10.*(l-5.M)y(l+5.A4).A2;m=inasplme(xl ,v 1 JyOdvn.xx);plot(xx,mok)2、程序：x=-1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5：尸445 -0.45 0.55 0.05 -0.4
7、4 0.54 4.55：plot(x,y/of);hold on%三次多项式拟合pl=mafk(xy3)；xl=-1.5:0.2:1.5;yl=pl(l)*xl.A3+pl(2)*xl.A2+pl(3)*xl+pl(4);plot(xl,yl；J)%五次多项式拟合p2=inafit(x,y5);xl=-1.5:0.2:1.5;y2=p2(l)*xl.A5+p2(2)*xl.A4+p2(3)*xl.A3+p2(4)*xl.A2+p2(5)*xl+p2(6);plot(xl,y2,g)五、实验结果1、第一个方程oo-0.5 I111111111-5-4-3-2-1012345第三个方程六、实验结果分析1、实验一表明三次样条插值比拉格朗口插值更准确。2. 在试验2中，对于拟合多项式实验表明三次多项式拟合与五次多项式拟合的效 果是差不多的。
数值计算插值法与拟合实验
