新课标数学(理)一轮复习讲义--第4讲-函数的奇偶性及周期性

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1、第4讲函数的奇偶性及周期性1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数(x)的定义域内任意一种x,均有(-x)=f(x)，那么函数f（x)是偶函数有关y轴对称奇函数如果对于函数f()的定义域内任意一种x，均有（x)f（x)，那么函数f（）是奇函数有关原点对称 .周期性(1)周期函数:对于函数yf(x）,如果存在一种非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，均有(xT)f()，那么就称函数yf()为周期函数，称T为这个函数的周期.(2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一种最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.做一做（高考重庆卷)下列函数为偶函数的是(

2、）A(x)=x-1 B.f（x)x2+C(x)=-2x D.f(x）=2x+2-x答案:D(高考四川卷）设(x)是定义在R上的周期为2的函数，当1,1)时,f（)=则f_解析：函数的周期是2,因此f，根据题意f-+=1.答案：1.辨明三个易误点()应用函数的周期性时,应保证自变量在给定的区间内(2）判断函数的奇偶性，易忽视函数定义域与否有关原点对称定义域有关原点对称是函数具有奇偶性的一种必要条件.（3)判断函数f(x)是奇函数，必须对定义域内的每一种，均有(-x)-f(x），而不能说存在x使f(-0)f（x0)，对于偶函数的判断以此类推2活用周期性三个常用结论对f（x)定义域内任一自变量的值：

3、()若（xa)-（），则T2a;（2)若(x+a)=，则T=；（)若(xa)=,则T=2a.做一做3已知定义在上的奇函数f（x)满足(x4)=，则f(8）的值为( )A1 B.C.1 解析:选.由(+4）=，则T=8,f(8）f(）=0.已知f（x)=ax2b是定义在，2上的偶函数,那么b的值是（ )-B.C. D.解析：选.(x)=ax2+bx是定义在a1，2a上的偶函数，-1a=，a.又f（x)=f(x)，b0，a+b._函数的周期性_（1)已知函数(x)是定义域为R的偶函数，且f（x+1)=，若f(x）在-1，0上是减函数,那么f（x)在2,3上是( ).增函数 .减函数C.先增后减的函

4、数 .先减后增的函数（2）(高考安徽卷)若函数f（x)（x)是周期为4的奇函数,且在0，2上的解析式为f（x)=则f_解析（1)由题意知(x+2)(x）,因此(x)的周期为2,又函数f(x)是定义域为R的偶函数，且(x）在-1，上是减函数,则f(x）在0,1上是增函数,因此f(x)在2,上是增函数(2)f(x）是以4为周期的奇函数，f=f,f=ff.当x1时,f(x)x(1x)，f=当10时，f（-)-(-x)2-2-(x22)f(x);当x0时,f()(-)2-(x2-)-（x);当=0时，f(0),也满足f（)=（）.故该函数为奇函数.规律措施 1.鉴定函数奇偶性的常用措施及思路：(1)定

5、义法(2)图象法2.分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x取值的任意性,应分段讨论,讨论时可根据的范畴取相应的解析式化简，判断()与f(-x)的关系,得出结论,也可以运用图象作判断. 2.判断下列函数的奇偶性()f(）；(2)f（x)=；(）f(x)=(4)(x)x|xa|+2.解:()函数f(x)的定义域为,不有关坐标原点对称，函数f（）既不是奇函数，也不是偶函数.()由,得2且x0,f(x)的定义域为2,0)(0,2,有关原点对称f(x)=.f(x)f()，f(x）是奇函数.()易知函数的定义域为(,0）（0,),有关原点对称,又当x0时，(x)=x2x，则当x时，-0,故f（-)x2-f

6、(x);当x时，(x）=x2x,则当x0时，-x0,故f(x)x2+xf()，故原函数是偶函数.(4)函数f(x)的定义域为R.当a时，f(-x)=f(x)，f（x)是偶函数当a0时，f(a)=a2，f(-a)=a2-2|a,(a)f（)，且f(a)(-a)2(2|a|2)=2+0，f(x）是非奇非偶函数.函数奇偶性的应用(高频考点)_函数的奇偶性是函数的重要性质，常与函数的单调性及周期性相结合命题,以选择题或填空题的形式考察，难度稍大，为中高档题高考对函数奇偶性考察重要有如下四个命题角度：（1)求函数值;（)求函数解析式；（)求函数解析式中参数的值;（4)作函数图象或判断单调性 (1）(高考

7、湖南卷)已知f(x），g（)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)g（x)x3x1，则f(1）+g(1）()A3 B-1C. D3（)已知奇函数f(）的定义域为，2,且在区间-2,0上递减，则满足f(-m)+(1m2)m2,即-2m1综合可知，-m.即实数m的取值范畴是1,1)（3)f(x)为奇函数，f(x)(x),，(x+2)(+)=(2-）(kx),x2+2x+k=kx-2xx2，k-.答案(1）C(2)-1，1)(3)2规律措施与函数奇偶性有关问题的解决措施()已知函数的奇偶性，求函数值将待求值运用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解(2)已知函数的奇偶性求解析式将待求区间上的自变量

8、，转化到已知区间上,再运用奇偶性求出，或充足运用奇偶性构造有关f()的方程(组),从而得到f(x)的解析式(3)已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的值常常运用待定系数法:运用f()f(-x)=0得到有关待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程求解()应用奇偶性画图象和判断单调性运用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性. 3.（1)（唐山高三年级统一考试）f()是R上的奇函数，当x时,f()=x3ln(1x),则当x0时，f(x)( )A.-ln(x）B.3+l(1-)Cx3ln（1) D.x+ln(1-x)()(石家庄市第一次模拟)已知f(x)是定义在R上的以为周

9、期的偶函数，若f(1）1,f(5)，则实数的取值范畴为( ).-1a4 B-2a1-1a0 D.1a0，f（-x)=(-x)3n(1x)，f(x)是R上的奇函数,当x0时,(x)=-f()=(-x）3+l(1)，f（x）x3-ln(1x)(2）f(x）是定义在R上的周期为3的偶函数，()=(56）f(1）f(1）,f（1）1，f（5),1,即，解得-1a4，故选A.（3)f（x)的图象有关直线x=2对称,f(x）=f(x)，(4-）(1)f（3),即f()=3.(x）是偶函数,f(-)f(),f(-）=f（1)=答案：(1) ()A (3)3考题溯源对函数(x)的再理解 (高考湖北卷)为实数,

10、x表达不超过的最大整数，则函数f(x)x在R上为( )奇函数 偶函数C.增函数 D周期函数解析当x,1)时，画出函数图象（图略)，再左右扩展知f(x）为周期函数答案D考题溯源本考题源于教材人教A版必修1 P2习题B组T3,“函数f(x)x的函数值表达不超过x的最大整数，例如，-34，2.1=2.当(25，时,写出函数f(x）的解析式,并作出函数的图象”的变式.1.（高考陕西卷)设表达不不小于x的最大整数, 则对任意实数,有( ）A.-xx BxxC.2x=2x Dx+2x解析：选D.选项A，取x=1.5,则15=-2，x=1.5，显然-xx.选项B,取x1.5,则+=21.5=1.选项C,取.

11、5，则2x3=3,2x=21.52，显然22x.2已知x表达不超过实数x的最大整数（R),如：.3=-2，0,3.43定义=x-,则=( ).2 01B.1 07D. 15解析:选C,，=,0，因此原式=+1 07.1.(高考湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(-，)上单调递增的是( ).f（x) B（x)=2+.f(x)=x .（)2-解析:选A.A中f(x)是偶函数,且在(-,0)上是增函数，故A满足题意.B中（x)x2+1是偶函数,但在(,0)上是减函数.C中f(x）=3是奇函数D中(x)2-是非奇非偶函数.故，D都不满足题意.2.设f(x)是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表达

12、该函数在区间(2，1上的图象，则( 014)f(205）（ )A3 B.21 D0解析：选A.由于f()是定义在上的周期为的周期函数，因此f(2 01)f（2 15)f(6713+1)+f(672-1)=f()+f(1)，而由图象可知（）=1,f（-1)2,因此f(2 14)f(2 015）=12=3.3.(高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R,且f（x)是奇函数，g（x)是偶函数，则下列结论中对的的是()A(x)()是偶函数B|f(x)|（x）是奇函数f(x）|g（x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数解析:选C.A:令h(x)f(x）g(x)，则h（x）(-x）g

13、()=(x）g(x)=-h(x),(x)是奇函数，A错:令（）|f(x)g(x)，则(-x)(x)|g(x）=|-f（x)|g(）=f(x)|g(x)h（x)，h(x)是偶函数,错.：令h(x)=f(x)g（）|,则h(x)f(-x)|g(-x)|f(x）g(x)|,h(x)是奇函数,C对的.D：令(x)=(x)（）|,则h（x)=|(-x)g(-x)|=|f(）()|=（x）(x）=h（x),h（)是偶函数，D错4定义在R上的偶函数（)满足：对任意的1,x2，)(x1x)，有0，则( )f(）(）f(1) .f(1)f(-2)f(3)C.()f()f(3) D.f（3)f()(2)f（3)，

14、故选A.5(山东威海模拟)函数f()=(x2）（ab)为偶函数,且在（0，)上单调递增,则f(2）0的解集为( )A|x2或x-2 B.x|2.x| Dx|00(-x)0,即x（x)，解得x4.故选C.6(x）=k2x2x为偶函数，则k=_，为奇函数，则k=_解析：f（x)为偶函数时,f(1）=f(1),即2k,解得k1.f(x)为奇函数时，f(0)=,即k+1=0，1(或f(）-（1),即2=-,解得k=-1).答案:1 17.函数(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)(x)，若f(1)，则f(5)_解析：由（x+2)（x)1,得f（2)，进而得(x4）(x)，因此（）f(-5)=（1)=

15、-.答案：.（高考课标全国卷)已知偶函数f（x）在,)单调递减，(2)=0若f(x-1)0,则x的取值范畴是_解析:(x)是偶函数，图象有关y轴对称.又f()=,且f(x）在，)单调递减，则f(x)的大体图象如图所示，由f（)0，得-2x1，即1f(1)，求实数a的取值范畴.解：由于f(xy）=f()+(y),且f(3），因此2=2f(3)(3)+f(3)=f（9）又f(a)f(a-1)+2,因此f(a)f(a-1)(9)，再由f(）(x)f（y)，可知f(a）f(9(a1).由于f（x)是定义在(0，+)上的增函数，从而有,解得a在-，3上的解集为( )（1，) B(-1,1)C(-1，）(

16、1，3) D(-1,0）(,1)解析:选Cf(x)的图象如图.当x（1,)时，由xf(x）0，得x（1,0)；当x（0,1）时,由f（x)，得x(，3)故x（1,0)（,).2.(皖北协作区联考)已知函数f(x）是定义在R上的奇函数，对任意x、yR,+0,均有,若2，则( ）Af(x)（y) B.f(）f（2y）C.f(）0，令x,y-,则0.又函数f(x)是奇函数，因此0,即函数f（)是定义在R上的增函数.由于2y，因此(x）(y),故选A.3已知(x),g（x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)-g(x)=,则f（),(0），g（-）之间的大小关系是_解析:在f(x)g(x)中，

17、用替代,得f(x)g(x)=2x，由于f(x）,(x)分别是定义在上的奇函数和偶函数，因此f(x)=f(x），g（x)(x),因此得-f(x)-g（)=2x.解得f（x),()=-，于是f(1)，g(0)-1,g（-1)，故f（1）g（)g(1)答案:(1）g（）(-1）已知定义在R上的奇函数f(x)满足f（x-4)-f(x）,且在区间,2上是增函数若方程f(x)m（m0)在区间-8，8上有四个不同的根1，2，x4,则x1+x2+x3+x4_.解析:(x）为奇函数并且f(x)-(x)f(x4)=(4x)f()，即(-x)f（x),且f(x8）(x-4）f(),即yf(x)的图象有关2对称,并且

18、是周期为的周期函数f(x）在0，上是增函数,f(x)在-2，2上是增函数,在2，6上为减函数,据此可画出=f(x)的图象其图象也有关x-6对称，x1+x2=-2，x34=4，x1+x2x3x4-答案：-85.已知函数f()2|-|ax（xR)有最小值()求实数a的取值范畴;（2)设g(x)为定义在R上的奇函数,且当x0,则-x0.g(x）-g(x)=（a)x4，g(x).（选做题）(山东菏泽模拟)已知函数yf(）在定义域-,1上既是奇函数,又是减函数(1)求证:对任意x，x21,1，有f(1）+(x2）(x1x2)0;()若f(1-a)(1a2)0，求实数a的取值范畴.解:(1）证明：若1x2=0,显然不等式成立.若x20,则1x1f(x)=f(x2），（1)f(x2).f(x)f(x2)(x1）0成立.若1x20,则11x-1,同理可证f(x)+f(x2)0.(x1)f（x2)(1x2)0成立综上得证，对任意x1,x2-1，1,有f()+f(2)(x1+x）0恒成立(2)（a)+f(1-a)0(1a2)f(1a)f（a-1)，由f(x)在定义域1,1上是减函数,得即解得0a1.故所求实数a的取值范畴是0，1).