基于排队论和witness的某银行服务系统分析--毕业论文

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1、 存档编号 毕 业 论 文题目 基于排队论和witness的某 银行服务系统分析 学 院 管理与经济学院 专 业 工业工程 姓 名 学 号 指导教师 完成时间 独立完成与诚信声明本人郑重声明：所提交的毕业设计（论文）是本人在指导教师的指导下，独立工作所取得的成果并撰写完成的，郑重确认没有剽窃、抄袭等违反学术道德、学术规范的侵权行为。文中除已经标注引用的内容外，不包含其他人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确的说明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。毕业设计（论文）作者签名： 指导导师签名： 签字日期： 签字日期： 毕业设

2、计（论文）版权使用授权书本人完全了解华北水利水电大学有关保管、使用毕业设计（论文）的规定。特授权华北水利水电大学可以将毕业设计（论文）的全部或部分内容公开和编入有关数据库提供检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段复制、保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交毕业设计（论文）原件或复印件和电子文档（涉密的成果在解密后应遵守此规定）。毕业设计（论文）作者签名： 导师签名：签字日期： 签字日期：目 录摘 要IAbstractII第1章 绪论11.1研究背景和意义11.2研究现状21.3本文的主要研究内容21.4本章小结3第2章 相关理论概述42.1排队论42.1.1排队论基本概念4

3、2.1.2排队过程42.1.3排队模型的分类52.1.4主要数量指标62.2到达间隔的分布和服务时间的分布72.2.1 泊松流72.2.2 负指数分布72.3 排队论的随机过程82.3.1 泊松过程82.3.2 马尔可夫过程82.3.3 生灭过程92.4 排队系统的几种经典模型92.5 拟合优度检验112.6 本章小结11第3章 基于排队论银行服务系统服务台数量的优化133.1 银行服务系统概述133.1.1 银行服务系统特征133.1.2 银行服务系统模型假设133.1.3 银行排队系统优化模型的建立143.2 某银行服务系统排队优化153.2.1 数据的收集整理153.2.2 顾客到达数服

4、从分布的研究203.2.3 服务时间服从分布的研究213.2.4 系统指标计算223.2.5 系统优化243.3 本章小结25第4章 基于witness的银行服务系统仿真264.1 witness仿真概述264.1.1 witness仿真元素264.1.2 witness分布函数274.1.3 witness仿真规则274.2 银行服务系统仿真分析284.3本章小结32第5章 结论与展望33参考文献35致 谢37附 录38附 录1：英文文献38附 录2：中文译文42附 录3：毕业论文任务书45附 录4：毕业论文开题报告47附 录5：调查问卷52基于排队论和witness的某银行服务系统分析摘

5、要我国加入世贸组织以后,国内银行越来越重视集约化经营,加强拆并了经营效益不高的银行经营网点。银行经营点资源减少后,顾客向目前的网点集中,从而致使顾客排长队的现象相对突出,顾客等待接受服务的时间增长。特别近些年来,股票和基金，期货，现货的发展使得银行证券交易业务大大增加,银行排队问题更加凸显出来。据统计,在调查顾客对银行服务的满意度中,客户最不满意的地方是等待时间过长。很好地解决顾客排队问题，从而有效的节约顾客与银行在交易过程中的成本，提高顾客对银行服务的满意度，对于银行提高服务质量来说势在必行。本文以郑州某银行的排队服务系统作为研究对象，实地调查统计了到银行接受服务的顾客的数据，其中包括到达银

6、行排队系统的顾客数、银行柜员的服务时间以及顾客所能容忍的最长等待时间和最长等待队长。采用拟合优度检验方法对数据进行分析，求解出平均到达顾客数和银行柜员的平均服务时间所服从的分布；并对银行工作日和节假日期间的服务高峰期与非高峰的各时间段的数据进行分析，根据计算的结果来研究银行服务系统，结合顾客所能容忍的最长平均等待时间和最长平均等待队长得到工作日高峰期、非高峰期和节假日高峰期最少开设的服务窗口数；运用 Witness 仿真软件对银行排队系统进行优化前后的对比分析，对银行服务系统的服务窗口数的开放情况进行仿真，为该银行的服务窗口数的合理开放提供了参考和依据。关键词：排队论；排队系统成本；系统优化；

7、Witness 仿真Analysis based on queuing theory and witness of banking systemAbstractAfter Chinas accession to the WTO, domestic banks increasing emphasis on intensive management, demolition and strengthen the operating efficiency is not high bank business outlets. After reducing the banks point resource

8、s, customer focus to the current network, thereby resulting in long queues of customers is relatively prominent, awaiting customer service time increases. Especially in recent years, stocks and mutual funds, futures, spot makes the development of banking, securities trading business increased signif

9、icantly, the banks queuing problem is more prominent. According to statistics, in the customer satisfaction survey of banking services, the customer is not satisfied with the waiting time. A good solution to customer queuing, thereby effectively saving the cost of the customer，the bank in the transa

10、ction process and improve customer satisfaction with banking services, the bank is imperative to improve the queuing services.The queuing system of a bank in Zhengzhou is the research object of this paper, field survey the data of customer to accept service in the bank, including to reach the number

11、 of customers in the bank queuing system, the bank tellers servicing time, tolerable waiting time of customers in different periods as well as longest average waiting time and quering length. Using goodness of fit test methods to analyse data, solving the average number of customers arriving and the

12、 average service time bank teller obey distribution; and banking weekdays and service during peak and non-holiday peak data were analyzed for each time period, according to the results of calculations to study the banking system, combined with tolerable waiting time of customers as well as longest a

13、verage waiting time and quering length，to get the number of windows; using Witness for bank queuing system were compared before and after optimization, open the case of banking system simulation service window number, and provide a reference basis for a reasonable number of windows open in the bank.

14、Keywords: queuing theory; queuing system cost; system optimization; Witness simulation 华北水利水电大学毕业论文第1章 绪论1.1研究背景和意义在日常生活当中，排队现象处处可见，人们到超市买东西，到医院看病，到银行办理业务等等都需要排队，由于服务机构的服务率是有限的，而顾客的到达率往往都会超过这个服务率，陆续到达的顾客等待接受服务机构的服务，排队现象因此就出现了。在绝大部分的服务系统中，顾客是随机到达的，服务机构的服务时间通常也是随机的，对于这些更符合生活中实际情况随机的银行排队服务系统，正是本文所要研究的对

15、象。排队论是运筹学中重要的分支，是用来研究系统资源的优化配置，从而解决排队拥挤现象的科学 唐应辉，唐小我.排队论M.科学出版社.2006：1-6.50-52 。它通过对各种服务系统排队过程的概率分布的研究，使得排队服务系统的设计和运营达到最优。在排队论的研究当中，需要改善许多方面的内容，例如顾客队列的个数、系统服务台的个数、服务机构服务工具的分配，以及顾客的等待时间和等待队长等等。排队论起源于丹麦数学家、电气工程师爱尔朗（A.K.Erlang）等人对电话系统的研究，他们用概率论方法研究了这方面的问题，进而开创了这门学科，取得了排队轮这门学科最早的成果。随着对排队论的研究越来越深入，到现在已经发

16、展得比较成熟，并且应用到了生活中的各行各业，涉及到交通运输、航空的运输管理，城市交通 icheva T S. The Use of Queuing Theory at Research and Optimization of Traffic on the Signal-controlled Road Intersections J. Procedia Computer Science, 2015, 55:469-478. 、仓储管理Zainal Arifin, Banun Diyah Probowati, Sri Hastuti. Applications of Queuing Theory

17、in the Tobacco SupplyJ. Agriculture and Agricultural Science Procedia 3 ,2015, 255 261、银行、医院以及物流等社会生活中的各个领域。银行经营网点顾客排队接受服务处处可见。目前银行越来越重视集约化经营，因此银行拆除合并了一些经营效益不高的经营网点。银行经营点减少后,顾客向目前的经营点集中,从而使得顾客排队队列和顾客等待时间过长。这些情况的发生，都是银行受损，经营效益下降。特别近些年来,股票和基金，期货，现货的发展使得银行证券交易业务大大增加,银行排队问题更加凸显出来。根据我国的一项调查表明，仅有少数居民对银行的服

18、务水平表示认同。在对银行服务满意度调查中，大部分的顾客表示排队队长和等待时间较长是最不满意的地方。银行顾客排队问题，是一个相对较繁琐的服务管理问题。在对其分析研究中，借助于排队论，来调节银行顾客和银行利益关系，帮助银行合理配置内部资源，这其中包括：银行经营网点规模的确定；银行经营网点地理位置的选择；银行经营网点服务人员的调度。处理好这些问题，那么就能处理好顾客排队问题，从而能够有效的节约顾客和银行双方的成本，提高顾客对银行服务的满意度。1.2研究现状自从排队论问世以来，国内外的专家学者对其进行了各方面的研究和探索，例如基于排队论的优化银行服务方面的研究应用，用生灭过程进行分析，然后对窗口优化，

19、并对c个M/M/1和M/M/C 两种系统进行了数量指标的比较，得出M/M/C的效率更高杨树国，杨晓妍. 基于排队论的优化银行服务方面的研究应用J. 科技视界, 2008, 28: 89-90.；对于没有抢占排队优先权的系统，在稳态下M/M/1排队模型的研究王红蔚，彭培让. 对 M/M/1 非抢占优先权排队平稳指标的分析N. 河南大学学报（自然科学版），2014，6.42.；利用排队论的知识同仿真相结合，对系统优化问题的研究 赵建英. 排队理论中的数学模型优化仿真分析J. 科技通报, 2013, 10: 29.；还有利用计算机模拟来研究银行ATM前排队问题以及广大通信学者们对离散时间排队系统在计

20、算机科学技术的发展背景下的研究等等。总之，随着排队论的发展，我国学者在排队服务领域取得了丰硕的成果，为我国服务行业的发展提供了可靠的参考。随着排队论的发展，对排队系统的优化也发展起来。排队系统的优化一般有三部分。（1）性态问题，即研究不同排队系统的概率分布，研究排队长度和顾客等待时间的分布等，包括了瞬时状态和稳定状态。（2）最优化问题，分为静态最优和动态最优，前者是指设计方面的最优，后者是指现有系统运营的最优。有很多的专家学者们对此进行了研究分析，有对超市收银排队系统优化研究陈彦策. 基于排队论的超市收银系统优化研究J. 中北大学, 2011, 12: 51-51.，有关于排队论优化银行服务方

21、面的研究应用，排队论在银行智能排队管理中的应用研究崔尧，宋瑞敏. 排队论在银行智能排队管理中的应用研究J. 科技通报, 2014, 30: 124-130.等等，都对排队系统进行了各方面的研究。（3）确定排队系统的模型，即判别一个现有的排队系统是哪种排队模型，从而采用相干理论进行分析研究。1.3本文的主要研究内容本文是研究服务台最优设计的问题，借助大量参考文献、排队模型、顾客满意度模型和实例研究，通过分析郑州某银行的顾客到达情况以及银行柜员服务的效率，分析是什么影响了顾客对银行服务的满意度，针对这些进行分析和研究，提出合适的方法来提升银行服务效率。首先调查收集这几个方面的数据：到达银行排队系统

22、的顾客数、银行柜员的服务时间以及顾客所能容忍的最长等待时间和最长等待队长，然后采用拟合优度检验方法对数据进行分析，并计算排队系统的数量指标，最后通过Witness对银行服务窗口数的优化进行仿真分析。主要内容包括下面几个部分：（1）先介绍了排队论的相关知识，包括泊松流，负指数分布，生灭过程马尔可夫性，以及概率论与统计假设检验的知识，为后面的学习研究做铺垫。（2）根据银行排队服务系统的特点描述，在一定的假设条件下建立了银行排队服务系统的排队模型。根据实际情况建立了服务系统的优化模型。（3）最后选择郑州市某银行为来进行其服务台的优化并通过witness对服务台数的优化进行仿真分析。本文的思路如图1-

23、1所示。图1-1 论文思路图1.4本章小结本章介绍了排队论的研究背景，研究现状，研究的意义和本文的主要研究内容，发现了该银行存在的排队问题，了解了银行的基本现状和排队论现在研究的方向及主要内容。第2章 相关理论概述2.1排队论2.1.1排队论基本概念排队论是运筹学中重要的分支，是用来研究系统资源的优化配置，从而解决排队拥挤现象的科学。排队论是通过对顾客到达的时间及系统服务时间的统计研究，得出平均队长，平均排队长，平均逗留时间和平均等待时间等数量指标的统计规律，然后根据这些规律和排队理论来改进服务系统，同时又能使服务机构的成本最低的同时，效率达到最高。2.1.2排队过程图2-1就是排队过程的一般

24、模型。顾客从顾客源出发，到达服务机构，按照排队规则排队等候服务，在接受完系统的服务后离开。本文所说的排队系统就是指下图2-1中方框包括的部分胡奇英. 随机运筹学M. 北京: 清华大学出版社, 2012.。 图2-1 排队过程通常情况下，排队系统的基本组成有三个部分：输入过程；排队规则；服务机构运筹学教材编写组. 运筹学M. 北京: 清华大学出版社, 2012.。现在分别进行说明。（1） 输入过程顾客到达排队系统的过程就是输入过程。在顾客到达过程中最为重要的是顾客的到达间隔时间。这个量越小，则同一时刻内到达的顾客就越多，从而需要的服务员也就越多。分别有以下几种情况：顾客源的组成不会总是有限的，也

25、不会总是无限的。来看病的病人可以看成是无限的总体，工厂内停机待修的机器是有限的总体。 顾客到来的方式可能是单个到达的，也有可能是一批批得到达。到餐厅就餐就有单个的到来的顾客和受邀来参加宴会的成批顾客。顾客陆续到达系统，他们之间的时间间隔与可能是随机的，也有可能是确定的。如准点运行的火车是确定型的，但到医院看病的病人是随机到达的。顾客到达可以是相互独立的，也可以是相互关联的。本文中只讨论相互独立的情况。输入过程可以是平稳的，也可以使非平稳的。（2） 排队规则顾客在到达系统时，如果服务台都处于忙碌状态，那么顾客可以选择马上离去，这称为即时制或称损失制，许多顾客都会因此损失；顾客也可以选择继续排队等

26、候，称为等待制。对于等待制，可以有以下服务方式进行选择：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务和随机服务等。具体来讲：先到先服务，接受服务的次序是按到达的次序，在银行、超市都是按照这种规则来排队；后到先服务是后到达系统的顾客先接受服务，如乘电梯时就是后到的乘客站在门口从而先出来，对于仓库存放货物也是如此；随即服务，指服务机构或服务员随机选取一个等待的顾客进行服务，不管到达的先后次序；有优先权的服务，如医院的急诊机制确保危及的病人先就诊治疗。（3） 服务机构根据服务机构的类型以及该服务机构人员的服务情况可以分为以下几种情况：服务机构可以没服务员，也可以有一个或多个服务员，如在乘坐地铁时，顾客选择

27、自动售票机就没有服务员，但在选择人工服务窗口时可能有多个服务员。在多个服务台的情形下，他们的排列顺序包括前后排列、并行排列和混合排列。服务方式可以对对单个顾客进行，也可以成批的顾客。机构的服务时间有可能是随机的，也有可能是确定的。假定服务时间的分布总是平稳的。2.1.3排队模型的分类根据DGKendall提出排队模型分类方法，有三大重要的特征：服务台的个数、顾客到达间隔时间的分布、服务时间的分布。按照这三个特征对并列的服务台的情形分类，并用一定的符号表示，称为Kendall记号，符号形式是X/Y/Z,其中X表示时间间隔的分布；Y表示服务时间的分布；Z表示服务台个数。顾客到达时间间隔和系统服务时

28、间服从一定的分布，它们的表示符号是：M表示负指数分布；D表示确定型；表示k阶爱尔朗分布；GI表示互相独立的时间间隔的分布；G表示服务时间的分布。在后来的排队论符号标准化会议上，进一步扩充了Kendall符号：X/Y/Z/A/B/C形式，X、Y、Z的意义不变，A、B、C的意义分别是：A处填写系统容量限制N；B处填写顾客源数目m；C处填写服务规则。并约定，略去后三项，即指X/Y/Z/FCFS的情形。本文只研究了先到先服务FCFS的排队系统，因此省略了最后一项。2.1.4主要数量指标排队论是为了实现排队系统的最优控制和设计，对于一个排队系统来讲，它的优劣应该依据一些既定的指标来进行分析，主要依据四个

29、关键的运行指标：平均队长Ls指排队系统的顾客平均数，平均排队长Lq指在系统中等待服务的顾客平均数，平均逗留时间Ws指一个顾客在系统逗留时间的平均值，平均等待时间Wq指一个顾客在系统中等待时间的平均值。这几个运行指标值越小，说明系统队长越短，顾客的等待时间越少，系统的性能也就越好。并且当系统处于稳态的情况下时，这四个数量指标之间的关系可以应Little公式(2-1),(2-2),(2-3),(2-4)表示。(1)Ls=Ws (21)(2)Lq=Wq (22)(3)Ws=Wq (23) (4)Ls=Lq+ (24)Little公式的直观意义：公式2-1表明排队系统的队长等于一个顾客平均逗留时间内到

30、达的顾客数，公式2-2表明排队系统的等待队长等于一个顾客平均等待时间内到达的顾客数。在计算这四个关键指标的同时，还需要计算以下指标作为辅助：（1）平均到达率是指单位时间内到达服务系统的平均顾客数。相邻两个顾客到达系统的平均间隔时间用1/来表示。（2）平均服务率是表示在单位时间内，接受过系统的服务后，进而离开系统的顾客的平均数。1/表示每个顾客的平均服务时间。(3)服务强度 是指每个服务台在单位时间内的平均服务时间，一般有=/c，其中c为系统中并列服务台的数目。(4)有效到达率e是指单位时间内平均进入服务系统的顾客人数。对于等候制的排队系统，平均到达率和有效到达率是一致的，因为不存在顾客未经服务

31、而离开的情况。(5)忙期是指顾客到达一个空闲服务机构时，该服务机构从该次空闲到下次空闲的时间间隔。忙期和忙期中的平均完成服务顾客数都可以用来作为研究系统的服务效率的参考。服务强度=忙期/服务总时间。2.2到达间隔的分布和服务时间的分布2.2.1 泊松流随机质点流，简称流，是由源源不断地出现的许多随机的质点构成的。如，到某商店去的顾客形成的一个顾客流等。设Xt为时间区间0到t内的质点总数，并且Xt服从一定的分布。泊松流有三个性质，并以这三个性质为满足条件，包括：（1）无后效性：在任意n个不相交的区间中，各自出现的质点个数是独立的，即对任意n个非负整数，各个事件之间是独立的。（2）平稳性：在长为t

32、的区间（a，a+t）中,出现k个质点的概率与a无关，在该在有限区间（a，a+t）中，存在质点的个数为有限个，且每个质点出现的概率不恒等于1，即概率的加和为1。（3）普通性：在区间（a，a+t）中，t的高阶无穷小就是多个质点出现的概率。2.2.2 负指数分布负指数分布又称指数分布上海交通大学数学系. 概率论与数理统计M. 北京: 科学出版社, 1999.。泊松流事件的等待时间服从的分布是指数分布。通常认为系统中服务台或服务员的服务时间是符合指数分布。若存在任意随机变量T，该变量服从负指数分布，则其分布函数为： 密度函数为:其方差和均值为:负指数分布的重要性质有以下几点：（1）密度函数随时间t严格

33、递减；（2）无记忆性或马尔可夫性，说明一个顾客到达时间与过去一个顾客到来时间s无关，这种情况下顾客到达是完全随机的；（3）当顾客的到达方式是按泊松过程到达时，顾客到达时间间隔T的变化分布就是负指数分布。2.3 排队论的随机过程2.3.1 泊松过程法国著名数学家泊松（Poisson, Simeon-Denis）（17811840）证明了一种最基础的随即过程，该过程为独立增量过程，用来对发生的随机事件进行计数。泊松过程是定义在时间上的过程，设X=X(t);t0，那么该随机过程满足以下条件：P(X0=0)=1；不相交区间上增量相互独立，即对一切0t1t2s）的概率分布为泊松分布，式中 （t）为非降非

34、负函数。若X还满足X(t)-X(s）的分布仅依赖于t-s，则称X为齐次泊松过程。在实际的应用中许多情形都是泊松过程，都近似地满足这些条件。例如在银行排队服务系统中在时段0,t）内到达的人数，人数的到达是随机的，而且在充分小的区间只发生一次，和后来顾客的到达是没有关系的，相互独立的，这就可以认为是泊松过程。2.3.2 马尔可夫过程马尔可夫过程田铮,秦朝英等.随机过程与应用.科学出版社, 2007:106-108是一类随机过程。它的起始于马尔可夫链模型，是在1907年由俄国数学家A.A.马尔可夫提出。该过程具有如下特性：若当前状态已知，则未来的演变和以往的演变不具有相关性。 马尔可夫过程具有的性质

35、叫马尔克夫性，也称为无后效性。在该过程中每个阶段的发展互不相关，互不影响。也就是说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响他未来的发展，当前的状态的以往历史的总结。在银行服务系统中，现在的排队形式下，人流量的变化就是马尔可夫过程。人流量的变化只能通过当前的状态去影响将来的排队情况，不依赖过去的变化。2.3.3 生灭过程设N（t），t0为一个随机过程。若N（t）的概率分布具有以下性质；（1）假设N（t）=n，则从某一时刻t起，到下一个顾客到达为止的时间服从参数为的负指数分布，n=0,1,2,（2)假设N（t）=n，则从某一时刻t起，到下一个顾客离去为止的时间服从参数为的负指数分布，n=0,1,2

36、,（3）同一时刻时只有一个顾客到达或离开。则称N（t）t0为一个生灭过程。生灭过程是一种特殊的齐次马氏链，它的每一次状态转移都发生在相邻状态之间，生灭过程的时间既可以是离散的也可以是连续的，当生灭过程的时间连续时，它的状态变化只可能有以下的几种情况：加1，减1，不变，行和为0，主对角线及其上下两条平行斜线上有非零元素，其它所有元素均为0。若是状态的个数是有限的，则最后一个状态m，不能“生”只能“灭”。在观察银行大厅排队等待接受服务的顾客时，不仅要观察到达的顾客，还要观察接受服务后离开的顾客。顾客的到达数与离开数综合起来就是银行排队等候服务的顾客数，称之为整个系统的队长。一个顾客买完票离开后，队

37、长就减少一个，来了一个顾客，队长就增加一个，而且在一段时间内队长的增加或减少是一个一个的。如果将队长增加这一件事称为“生”，而将队长减少称为“灭”，那么队长的变化过程就是一个不断的“生”“灭”的过程，因此常将这类过程称为生灭过程。如果考察某一地区内某类动物种群数量的变化情况，那么这个种群数量的生灭的变化也是一个生灭过程。2.4 排队系统的几种经典模型（1）标准的M/M/1模型符合下列条件的排队系统的模型称为标准的M/M/1模型：输入过程顾客源是无限的，顾客的到来也是无限的，顾客之间相互独立地单个到来，在一定时间内，顾客的到达数服从泊松分布，到达过程也是平稳的，到达间隔时间和服务时间是相互独立的

38、。排队规则单队列，先到先服务。服务机构多服务台单对列。银行是多服务台，多服务窗口，但只有一个队列。（2）系统的容量有限制的情况（M/M/1/N/）假设系统的最大容量为N，那么在单服务台的排队系统中，最多有N-1排队等待的顾客，当顾客在某一时刻到达该系统时时，如果已有N个顾客在系统中，那么系统就拒绝这个顾客进入。（3） 标准的M/M/c模型（M/M/c/）在系统中独立且并行地进行服务的服务台有c个。当顾客到达服务系统时，如果有服务台是空闲的，则立即去接受服务，否则便排队等待，直到初相服务台空闲再接受服务。假定顾客的到达过程是泊松过程，也就是说服从泊松分布，参数为，顾客接受服务所需的时间相互独立且

39、服从负指数分布，参数为。系统的容量为无穷大并且到达服务之间是彼此独立的付馨雨，罗国旺. 多服务窗等待制M/M/n排队模型J. 重庆理工大学学报（自然科学）, 2013, 12: 140-142.。标准的M/M/c模型和M/M/1 模型两种各种特征的规定都相同。规定各服务台的工作是相互独立的并且服务率相同1=2=3=c=。整个机构的平均服务率为c。=/c称为服务强度或者服务机构的平均利用率。M/M/c模型数量指标：系统负荷水平 ：=/c用来衡量服务台承担服务和满足需要的能力； 系统概率Pn：系统在没有顾客达到，并且要求接受服务的概率； （29）系统的有n个顾客来到要求服务的概率 Pn= （210

40、）队长：顾客在排队系统中的总数，它的平均值记为Ls；队列长：顾客在系统中排队等待服务的数量，它的平均值记为Lg； 逗留时间：系统中顾客的停留时间，包括排队等待的时间和接受服务时间，它的平均值记为Ws；等待时间：顾客在系统中排队等待接受服务的时间, 用Wg来表示它的平均值。M/M/1排队系统是一种最简单的排队系统。 这三种模型是排队论中经常要用到的模型，标准的M/M/1模型是最简单最标准的一种形式，只排成一队，很多的公式都是通过它推导出来的，如利特尔公式。在系统的容量有限制的情况下，对于单服务台排队模型（M/M/1/N/），其中一些参数会发生变化，例如有效到达率和平常的到达率是不一样的。标准的M

41、/M/c模型（M/M/c/）也是排队论研究中最常用的模型，多服务台的排队模型下，到达的顾客可以根据顾客的观察，选择队最短的队进行排队，提高了效率。排队论模型的应用很广泛，一般多服务台的排队模型最为常用，例如在超市排队结账，在银行排队办理业务，在火车站自动售票机前排队买票；单服务台（系统容量无限制）的排队模型也就是一对一的服务，一般是医生给病人动手术排队，修理工人修理损坏的工具等；有限制的单服务台的排队模型一般用在系统容量有限制的理发店。2.5 拟合优度检验在事先不知道总体分布的情况下，根据样本对总体的分布或分布类型提出假设并进行检验，这种检验一般称为分布拟合检验，该小节主要介绍2分布拟合检验。

42、设离散型总体X只能取m1,m2,mr个值，现在需检验H0:P(X=mi)=pi，i=1，2，,r,这里pi =1，i从1到人r，且pi已知。令事件Ai=（X=mi），i=1，2，r，则H0:P(Ai)=pi，i=1，2，,r, H1: P(Ai)pi。设X1,X2,.,Xn为来自总体的样本，记ni为样本中取值为mi的个数（1ir），ni=n，且ni/n为Ai发生的频率。由于频率是概率的反映，故当n较大时，两者应比较接近，所以在H0成立时，ni/n应与pi非常接近。由此可知，ni/n与pi的差异的大小就可以反映出H0的真伪。皮尔逊提出用2 （211）作为检验H0的统计量 ,利用2可衡量两者差异的

43、程度，当H0不真时，2的值应较大，这时的拒绝域，2k，k为某个正数。为了得到水平为的检验，还需要知道检验统计量2在H0下的分布蔡金凤. 基于排队论的大型超市服务台数的最优设计D. 哈尔滨：中国优秀硕士论文全文数据库，2011.。皮尔逊定理，若总体的真是分布为P(X=mi)=pi，i=1，2，.,r,则上文所定义的统计量2近似的服从自由度为r-1的2分布。2.6 本章小结本章主要介绍了关于排队论的一些理论知识，几种常用的分布和过程，泊松流，负指数分布，泊松过程，马尔可夫过程，生灭过程，排队论的数量指标及其符号表示以及泊松分布和负指数分布的检验方法。第3章 基于排队论银行服务系统服务台数量的优化3

44、.1 银行服务系统概述3.1.1 银行服务系统特征由于顾客的到来并选择服务窗口去接受服务都是随机的,因此银行顾客排队服务是一个典型的随机服务系统,该系统具有如下的特征：（1）服务的对象是进入系统的顾客,顾客在正常的工作日会不间断的到来,顾客到达时间相互独立,顾客到达服务系统的时间是随机的。（2）每个银行服务窗口可以看作是系统的服务台,对每个顾客的服务时间是相互独立的。根据排队论的理论知识,该随机服务机构的等待制排队系统是一个动态过程。而且，从服务模式上讲，该服务系统是物流系统的一个子系统,银行柜员服务效率可能受到系统内其他因素的影响,比如系统故障、业务不明确的影响。在本文所讨论的银行系统中,当

45、发生系统故障等因素影响时服务中断。3.1.2 银行服务系统模型假设因为witness仿真是通过假设模型的方法，对现实系统的发生过程进行重现,借助该模型实验对系统研究。因此需要对所研究的系统进行分析、假设、总结,其中最重要的就是要做出合理的假设把其中的实际因素合理化。根据排队系统的三要素，对银行服务系统做出以下假定。（1）输入过程顾客来源服务台的服务对象是进入系统的顾客，顾客的到达是不相关的，顾客源是无限的，即在一个正常的工作日内，顾客互不相关且不间断的进入系统。顾客到达方式 顾客的到达是随机的。本文假定顾客随机的一个个到达系统,并且相互独立。假定顾客的到达时间间隔服从指数分数,从而0，t）内到

46、达的顾客数X（t）服从泊松分布,其参数为即单位时间顾客到达的平均数。（2） 排队规则顾客在到达系统时，如果服务台都已经被占用，那么顾客可以选择马上离去，这称为即时制或称损失制，因为这将失掉许多顾客；也可以选择继续排队等候，称为等待制。对于等待制，可以选择以下服务方式：先到先服务，后到先服务，有优先权的服务和随机服务等（3）服务机构设该系统中有c个服务台，并且它们之间是相互独立的，并行的为顾客提供服务，系统对顾客的服务是单个进行的。假定每个服务台的服务效率是相同的，银行柜员对顾客的服务时间服从参数为的负指数分布王春梅 . 银行排队系统分析J. 科技创新导报, 2013, 27: 1-1.。 由此

47、可知该银行服务系统是一个等待制M/M/c/排队系统。3.1.3 银行排队系统优化模型的建立由上面的假设可知，银行排队系统是一个M/M/c/排队系统，所以建立M/M/C/模型，有c个服务台并行工作，顾客到达服从参数为的泊松分布，每个顾客的服务时间服从参数为的负指数分布杨青. 银行排队系统的统计调查与效率分析J. 淮阴师范学院学报(自然科学版)，2008年5月第7卷第2期，105-108 。在这个排队系统中，=/，=/c。据此可以求出系统的平均等待时间以及系统的平均等待队长：其中, 由于每个顾客在银行网点排队等待服务时，所能容忍的最大停留时间和最长平均队长具有一定的差异，年龄不同或者是性别不同的顾

48、客对这一指标的要求不同的。可以事先通过调查问卷的形式去获得顾客所能容忍的最大停留时间和最长平均队长，然后以此为目标对银行服务系统进行优化。这样的话，在小于顾客能容忍的最大停留时间和最长平均队长的前提下，银行开放最少的服务窗口数，不仅能够挺高顾客对银行服务的满意度，还能减少顾客和银行之间的交易成本。用Ta来表示顾客所能容忍的最大平均等待时间，La来表示顾客所能容忍的最长排队队长，那么顾客所能容忍的最长平均等待队长为c倍的La。满足条件：c的最小值就是最优的服务台数。3.2 某银行服务系统排队优化3.2.1 数据的收集整理（1）银行顾客到达率本文选择了郑州市某建设银行为例来进行实例分析，通过一周的

49、调查来获得三部分的数据：顾客的到达率，服务时间以及不同人群所能容忍的最长等待时间和最长等待队长，以周一到周五的数据代表正常情况下的数据，即工作日的情况，以周末的数据代表节假日的情况。在数据调查期间，发现该银行的营业时间是从早上9点到下午17点，总共有8个服务窗口，其中有4个窗口一直处于长期暂停服务的状态，剩下的服务窗口在营业时间内是全部开放。根据调查的数据将营业时间分为8个时间段,并将每个时间段内顾客的到达数整理出来，如表3-1所示。在对顾客到达情况的调查中，以十分钟为单位，统计了各个时间段内的顾客到达数，具体如表3-2和表3-3所示。经过对原始数据的整理和计算，可以得到节假日和工作日期间的单

50、位时间内的到达率如表3-4所示。表3-1工作日期间和节假日期间顾客的到达情况顾客到达情况时间段周一周二周三周四周五周六周日9：00-10：00917101612202410：00-11：002525382337424311：00-12：004149505446647012：00-13：003745465043596413：00-14：003846475244606614：00-15：0054656080687110015：00-16：0055676281688010216：00-17：0025433560355353求和284357348416353449522表3-2工作日期间的单位时间内的

51、顾客的到达情况工作日每十分钟的平均达到率时间段10分钟前102020303040405050609：00-10：0012151298810：00-11：0029332125182211：00-12：0037454838433312：00-13：0033414435402813：00-14：0035424631442914：00-15：0055626651543915：00-16：0059606556514216：00-17：00364542272424表3-3节假日期间的单位时间内的顾客的到达情况节假日每十分钟的平均达到率时间段10分钟前102020303040405050609：00-10：

52、00910746810：00-11：0015161413121511：00-12：0026302115182412：00-13：0015282419162213：00-14：0027162023241614：00-15：0030322827252915：00-16：0037403019243216：00-17：00222014211216表3-4工作日期间和节假日期间的单位时间内的到达率和服务窗口数时间段工作日期间节假日期间开放窗口数9：00-10：0012.222410：00-11：0029.641411：00-12：0048.467412：00-13：0044.261.5413：00-14

53、：0045.463414：00-15：0061.485.5415：00-16：0065.691416：00-17：0038.2534（2）银行柜员平均服务速率由于实际工作中，客户存取款、汇款以及不同额度的现金收付业务是随机发生的，而各种业务所需的服务时间显然是不同的。银行柜员的服务速率即为顾客所接受服务的速率，选择从到银行接受服务的顾客中选取了60名顾客，调查他们所接受服务的时间，用以得到客户平均服务速率。整理如下表：表3-5 银行柜员服务顾客的时间统计表服务时间066121218182424303036364242以上频数1911875532（3）顾客所能容忍的最长等待时间为了获得在银行等待

54、服务时所能容忍的最长停留时间和最长排队队长，因此就工作日和节假日期间随机的100个顾客进行了抽样调查，整理数据后如表3-6、表3-7、表3-8和表3-9。分布情况如图3-1、图3-2、图3-3、图3-4。表3-6 工作日期间顾客所能容忍的停留时间等待时间（分钟）5以下5101015152020以上频度35481241表3-7 节假日期间顾客所能容忍的停留时间等待时间（分钟）5以下5101015152020以上频度22432870表3-8 工作日期间顾客所能容忍的等待队长队长10以下101818以上频度25714表3-9 节假日期间顾客所能容忍的等待队长队长10以下101818以上频度57817

55、通过对表3-6、表3-7、表3-8和表3-9原始数据的计算，据此可以得到在工作日期间顾客所能容忍的最长平均停留时间为6.9分钟及最长平均排队队长为10.45；在节假日期间顾客所能容忍的最长平均时间为8.5分钟及最长平均等待队长为12.11。为了更清楚更直观的观察到顾客最长容忍时间和最长排队长分布情况。绘制下面的直方图，从图3-3和图3-4中可以清楚的看到正常情况下顾客能容忍最长停留时间在5-10分钟分布的人数最多，为48，大约占总统计人数的一半，而容忍时间在20分钟的只有一人。节假日期间仍是5-10分钟的人数多，容忍时间在10-15的人数有增加。在图3-5和图3-6中可以看到不同顾客容忍的最长

56、队长在5-10人分布的比较多，节假日所能容忍的最长队长有所增加。图3-1工作日期间顾客所能容忍的等待时间图3-2 节假日期间顾客所能容忍的等待时间图3-3工作日期间顾客所能容忍的等待队长图3-4节假日期间顾客所能容忍的等待队长3.2.2 顾客到达数服从分布的研究本文以节假日下午14:00-15:00的顾客到达情况进行说明，因为顾客的到达是随机而且相互独立的，因此采用2拟合优度检验法，假设H0：顾客的到达率服从泊松分布，利用Minitab软件进行计算。下午14点到15点的每十分钟顾客到达数为30、32、28、27、25、29。图3-5按类别分组的卡方值贡献图结果: 工作表 1Poisson 分布

57、的拟和优度检验 数据列: 顾客到达数顾客到达数 的 Poisson 均值等于 28.5 顾客到达数 观测 Poisson 概率 期望 对卡方的贡献=30 2 0.413948 2.48369 0.09420N N* 自由度 卡方 P 值6 0 1 1.62653 0.2023 个单元格 (100.00%) 含小于 5 的期望值。P值=0.2020.05,故在显著水平为0.05下接受H0。那么在该时段内，单位时间顾客到达数服从参数=28.5的泊松分布，顾客是按参数=2.85人/分的泊松流到达的,顾客平均到达时间间隔服从参数为1/=0.3509分=21.054秒的负指数分布。以同样的方法进行分析，可以知道工作日和节假日的每个时段顾客的到达过程均是Poisson过程。所以，在优化服务窗口数时以不同时间段为单位进行。3.2.3 服务时间服从分布的研究根据服务时间的原始数据，去研究它是否符合负指数分布，用2拟合的方法检验。根据银行服务窗口的服务时间的原始数据，可以计算出平均服务时间T0=169.2秒=2.82分。=1/T0=1/169.2=0.0059人/秒=0.354人/分=21.24人/时。所以根据2拟合的方法检验的知识进行检验