《格林公式曲线积分》PPT课件.ppt

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1、返回 后页 前页 3 格林公式 曲线积分 与路线的无关性 在计算定积分时 , 牛顿 -莱布尼茨公式反映 了区间上的定积分与其端点上的原函数值之 间的联系 ; 本节中的格林公式则反映了平面 区域上的二重积分与其边界上的第二型曲线 积分之间的联系 . 一、格林公式 二、曲线积分与路线的无关性 返回 返回 后页 前页 一、格林公式 设区域 D 的边界 L 是由 一条或几条光滑曲线所 组成 .边界曲线的正方向 规定为 :当人沿边界行走 时 ,区域 D 总在它的左边 , 如图 21-12 所示 . 与上述规定的方向相反的方向称 21 12图 L D .L为负方向 ,记为 返回 后页 前页 定理 21.1

2、1 若函数 ( , ) , ( , )P x y Q x y在闭区域 D 上 有连续的一阶偏导数 , 则有 d d d , L D QP P x Q y xy (1) 这里 L 为区域 D 的边界曲线 , 并取正方向 . 公式 (1)称为 格林公式 . 证 根据区域 D 的不同形状 , 这里 对以下三种情形 (i) 若 D 既是 x 型又是 y 型区域 (图 21-13), 则可表为 作出证明 : 返回 后页 前页 12( ) ( ) , ,x y x a x b 又可表为 12( ) ( ) , .y x y y 1 ()yx 2 ()yx这里 和 分 CAE分别是曲线 和 CBE 的方程

3、. 于是 ACB AEB别为曲线 和 的方 1 ()xy 2 ()xy程 , 而 和 则 O x 1()x A b E a B C 2()x y D 图 21-13 返回 后页 前页 2 1 () () d d dy y D QQ yx xx 21( ( ) , ) d ( ( ) , ) dQ y y y Q y y y ( , ) d ( , ) dCB E CA EQ x y y Q x y y ( , ) d ( , ) dC B E E A CQ x y y Q x y y ( , ) d .L Q x y y 同理又可证得 返回 后页 前页 d ( , ) d . L D P P

4、x y x y 将上述两个结果相加即得 d d d . L D QP P x Q y xy (ii) 若区域 D 是由一条 按段光滑的闭曲线围成 , 且可用几段光滑曲线将 D 分成有限个既是 x 型 21 14图 3L 1D 2L 1L 3D 2D 返回 后页 前页 又是 y 型的子区域 (如图 21-14), 则 可逐块按 (i) 得到 它们的格林公式 , 然后 相加即可 . 如图 21-14 所示的区域 D, 可将它分成三个既是 x 型又是 y 型的区域 1 2 3,.D D D于是 d D QP xy 1 2 3 ddd D D D Q P Q P Q P x y x y x y 返回

5、后页 前页 1 2 3 d d d d d dL L LP x Q y P x Q y P x Q y d d .L P x Q y (iii) 若区域 D 由几条闭曲线 所围成 , 如图 21-15 所示 . 这 把区域化为 (ii) 的情形来处 21 15图 1L D 3L 2L C A B E F G 时可适当添加线段 ,A B C E 理 . 在图 21-15中添加了 ,AB 后 , D 的边界则由 23, , , , , ,A B L B A A F C C E L E CCE 返回 后页 前页 d D QP xy 23 ( d d )A B L B A A F C C E L E

6、C C G A P x Q y 2 3 1 ( d d )LLL P x Q y d d .L P x Q y 注 1 并非任何单连通区域都可分解为有限多个既是 x y型又是 型区域的并集 , 例如由 及 构成 . 由 (ii)知 CGA 返回 后页 前页 3 1si n , ( 0, 1 ; 1 ; 0 ; 1y x x y x x x 所围成的区域便是如此 . 注 2 为便于记忆 , 格林公式 (1) 也可写成下述形式 : d d d . L D xy PQ P x Q y 注 3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算 . 请看以下二例 : 返回 后页 前页 第一象限部分 (图 21-1

7、6). 解 对半径为 r 的四分之一圆域 D, 应用格林公式 : ddL D xy d d d .O A A B B Ox y x y x y 由于 d 0 , d 0 , O A BOx y x y 因此 21dd . 4AB Dx y r 例 1 计算 d,AB xy 其中曲线 是半径为 r 的圆在 AB O x 21 16图 BL A D y 返回 后页 前页 例 2 计算 22dd ,L x y y xI xy 其中 L 为任一不包含原 点的闭区域的边界线 . 解 因为 22 2 2 2 2 2 ,() x y x x x y x y 22 2 2 2 2 2 ,() y y x y

8、x y x y 它们在上述区域 D 上连续且相等 , 于是 返回 后页 前页 2 2 2 2 d 0 , D xy xyx y x y 所以由格林公式立即可得 0.I 在格林公式中 , 令 ,P y Q x 则得到一个计算 平 面区域 D 的面积 SD 的公式 : 1d d d . 2D LDS x y y x (2) 返回 后页 前页 例 3 计算抛物线 2( ) ( 0 )x y ax a 与 x 轴所围图 形的面积 (图 21-17). 解 曲线 AMO 由函数 , 0 , y a x x x a ONA 0,y 表示 , 为直线 于是 1 dd 2DS x y y x x 21 17图

9、 O ( ,0)AaN My 11 d d d d 22O N A AM Ox y y x x y y x 返回 后页 前页 1 dd 2 AM O x y y x 01 1 ( ) d 2 2a ax ax x x ax 0 2 0 1 1 1d d . 2 2 4 6 a a aa x x x x a 返回 后页 前页 二、曲线积分与路线的无关性 在第二十章 2 中计算第二型曲线积分的开始两 个例子中 , 读者可能已经看到 , 在例 1中 , 以 A 为起点 B 为终点的曲线积分 , 若所沿的路线不同 , 则其积分 值也不同 , 但在例 2 中的曲线积分值只与起点和终 点有关 , 与路线的

10、选取无关 . 本段将讨论曲线积分在 什么条件下 , 它的值与所沿路线的选取无关 . 首先介绍单连通区域的概念 . 若对于平面区域 D 内任一封闭曲线 , 皆可不经过 D 返回 后页 前页 以外的点而连续收缩于属于 D 的某一点 , 则称此平 面区域为 单连通区域 ; 否则称为 复连通区域 . 21 18图 1D 4D3D 2D 1D 2D 3D 4D在图 21-18 中 , 与 是单连通区域 , 而 与 则 是复连通区域 . 单连通区域也可以这样叙述 : D 内任 一封闭曲线所围成的区域只含有 D 中的点 . 更通 返回 后页 前页 俗地说 , 单连通区域就是没有 “ 洞 ” 的区域 , 复连

11、通区 域则是有 “ 洞 ” 的区域 . 定理 21.12 设 D 是单连通闭区域 . 若函数 ( , ) ,P x y ( , )Q x y 在 D 内连续 , 且具有一阶连续偏导数 , 则以 下四个条件两两等价 : (i) 沿 D 内任一按段光滑封闭曲线 L, 有 d d 0 ;L P x Q y (ii) 对 D 中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分 返回 后页 前页 ddL P x Q y 与路线无关 , 只与 L 的起点及终点有关 ; ddP x Q y ( , )u x y(iii) 是 D 内某一函数 的全微分 , 即在 D 内有 d d d ;u P x Q y (iv) 在 D

12、内处处成立 .PQyx ARB ASB证 (i) (ii) 如图 21-19, 设 与 为联结点 A, B 的任意两条按段光滑曲线 , 由 (i) 可推得 d d d dA R B A SBP x Q y P x Q y 返回 后页 前页 d d d dA R B B SAP x Q y P x Q y d d 0 ,A R B SA P x Q y 所以 d d d d .A R B A SBP x Q y P x Q y 21 19图 B A R S O x 21 20图 B 0 x A D C x xx 0y y y 返回 后页 前页 D 内任意一点 . 由 (ii), 曲线积分 ddA

13、B P x Q y 与路线的选择无关 , 故当 ( , )B x y在 D 内变动时 , 其 积分值是 ( , )B x y的函数 , 即有 ( , ) d d .ABu x y P x Q y 取 x 充分小 , 使 ( , ) ,C x x y D 则函数 ( , )u x 对于 x 的 偏增量 (图 21-20) 00( , )A x y ( , )B x y(ii) (iii) 设 为 D 内某一定点 , 为 返回 后页 前页 ( , ) ( , )x u u x x y u x y d d d d .AC ABP x Q y P x Q y 因为在 D 内曲线积分与路线无关 , 所以

14、 d d d d d d .A C A B B CP x Q y P x Q y P x Q y 因直线段 BC 平行于 x 轴 , 故 d0y , 从而由积分 中 值定理可得 ddx BCu P x Q y ( , ) d ( , ) ,xxx P t y t P x x y x 返回 后页 前页 0 1 . ( , )P x y其中 根据 在 D 上连续 , 于是有 00 li m li m ( , ) ( , ) .x xx uu P x x y P x y xx 同理可证 ( , ) .u Q x yy 所以证得 d d d .u P x Q y ( , ) ,u x y(iii) (

15、iv) 设存在函数 使得 d d d ,u P x Q y 因此 ( , ) ( , ) , ( , ) ( , ) .xyP x y u x y Q x y u x y于是由 返回 后页 前页 一点处都有 ( , ) ( , ) .x y y x PQu x y u x y yx即 (iv) (i) 设 L 为 D 内任一按段光滑封闭曲线 , 记 L 所围的区域为 . 由于 D 为单连通区域 , 所以区域 含在 D 内 . 应用格林公式及在 D 内恒有 PQyx的 条件 , 就得到 以及 P, Q 具有一阶连续偏导数 , 便可知道 在 D 内每 ( , ) , ( , ) ,x y y xP

16、Qu x y u x yyx 返回 后页 前页 d d d 0 . L QPP x Q y xy 上面我们将四个条件循环推导了一遍 , 这就证明了 它们是相互等价的 . 应用定理 21.12 中的条件 (iv)考察第二十章 2 中的 例 1 与例 2. 在例 1中 ( , ) , ( , ) .P x y xy Q x y y x 由于 , 1 , ,P Q P Qxy x y x 故积分与路线有关 . 在例 2 中 ( , ) , ( , ) ,P x y y Q x y x由于 返回 后页 前页 1,PQyx 所以积分与路线无关 . 例 4 计算 2 2 0.5 d 0.5 d , 0.5

17、L x y x x y y xy 其中 到点 D(0,1) 的路径 (见图 21-21). 分析 如果第二型曲线积分在某单连通区域内满足 与路径无关的条件 ,则可改变积分路径 ,使易于计算 . L 为沿着右半圆周 22 1 ( 0 )x y x 由点 A(0, -1) 返回 后页 前页 解 记 2 2 0 .5( , ) , 0 .5 xyP x y xy 22 2 2 2 ( 0.5 ) 2 ( 0.5 ) . ( 0.5 ) Q P x y y x x y x y 2 2 0 . 5( , ) . 0 . 5 xyQ x y xy 易知除去点 E(0.5, 0) 外 , 处处满足 1L (

18、0, 1)A (1, 1 ),B (1,1),C设 为由点 到点 再到点 最 图 21-21 x y O (0, 1)A (1, 1)B (1,1)C(0,1)D 1L2L L E 返回 后页 前页 2 2 0. 5 d 0. 5 d 0. 5L x y x x y y xy 1 ( , ) d ( , ) dL P x y x Q x y y ( , ) d ( , ) dA B B C C D P x y x Q x y y 1LL因为 与(0,1)D 的折线段 . 后到点 可被包含在某 一不含奇点 E 的单连通区域内 , 所以有 1 1 0 2 2 20 1 1 0 .5 0 .5 1

19、.5d d d ( 0 .5 ) 1 0 .2 5 ( 0 .5 ) 1 x y xx y x x y x 返回 后页 前页 4 a r c t a n 0 .5 2 a r c t a n 2 . 注 1 定理 21.12 中对“单连通区域”的要求是重要 何不包含原点的单连通区域 , 已证得在这个区域内 的任何封闭曲线 L 上 , 皆有 22 dd 0. L x y y x xy (3) 的 .如本例若取沿 y 轴由点 A 到点 D 的路径 , 虽 2L 然算起来很简单 ,但却不可用 .因为任何包含 2LL与 的单连通区域必定含有奇点 E . 又如 本节例 2,对任 返回 后页 前页 2 2

20、 2 2( , ) , ( , ) yxP x y Q x y x y x y 只在剔除原点外的任何区域 D 上有定义 , 所以 L 必 含在某个复连通区域内 . 这时它不满足定理 21.12 的条件 , 因而就不能保证 (3)式成立 . 事实上 , 若取 L 为绕原点一周的圆 : c os , sin ( 0 2 ),L x a y a 则有 倘若 L 为绕原点一周的封闭曲线 , 则函数 返回 后页 前页 注 2 若 ( , ) , ( , )P x y Q x y满足定理 21.12 的条件 , 则 由上述证明可看到二元函数 ( , ) ( , ) d ( , ) dABu x y P x

21、 y x Q x y y 00 ( , ) ( , ) ( , ) d ( , ) d B x y A x y P x y x Q x y y 具有性质 d ( , ) ( , ) d ( , ) d .u x y P x y x Q x y y 2 2 2 222 2 2 200 d d c o s s in d d 2 . L x y y x a a x y a 返回 后页 前页 例 5 试应用曲线积分求 ( 2 sin ) d ( c os ) dx y x x y y 的原函数 . 解 这里 ( , ) 2 sin , ( , ) c os ,P x y x y Q x y x y 在

22、整个平面上成立 c os .PQ yyx 由定理 21.12, 曲线积分 我们也称 ( , )u x y为 ddP x Q y的一个 原函数 . ( 2 sin ) d ( c o s ) dAB x y x x y y 返回 后页 前页 为此 , 取 ( 0, 0 ) , ( , ) ,O B x y取路线为图 21-22中的折 00( , ) 2 d c o s d xyu x y t t x s s 2 si n .x x y C 注 由例 4 可见 , 若 00 , , ,x x y y D x 21 22图 ( ,0)Cx ( , )B x y O y 线段 于是有 .OCB 只与起

23、点 A 和终点 B 有关 , 而与路线的选择无关 . 则求全微分的原函数可用公式 返回 后页 前页 或 00 0 ( , ) ( , ) d ( , ) d .xyu x y P t y t Q x s s 下例介绍用“凑微分”法求全微分的原函数 . 例 6 求全微分 2 2 1 sin d sin dxI x y xy x y x xy y y y 的原函数 ( , ).u x y 解 由于 00 0 ( , ) ( , ) d ( , ) dxyu x y P t y t Q x s s 返回 后页 前页 2 2 1 sin sinxx y x y y x x y y y x y 2 1

24、sin c o s ,x y x y x y y 2 2 1 si n d si n dxx y xy x y x xy y yy 2 21d d d d si n d si n dxx x y y x y y xy x x xy yy y 因此 I 是某个函数 的全微分 . 由 ( , )u x y 返回 后页 前页 2311d d d c o s23 xx y x yy 2311d c o s , 23 xx y x y y 可见 2311( , ) c os , 23 xu x y x y xy C y 其中 C 为任意常数 . 返回 后页 前页 复习思考题 验证格林公式的另一形式 : d d c o s ( , ) c o s ( , ) d , DD PQ x y P n x Q n y s xy n D D其中 是 的边界 上任一点处的外法线向量 .