中考数学 31 图形的相似复习课件1.ppt

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1、图形的相似 数学 比例式 第四比例项 比例中项 1 比和比例的有关概念 (1) 表示两个比相等的式子叫做 _ _ _ _ ， 简称比例 (2 ) 第四比例项：若 a b c d 或 a b c d ， 那么 d 叫做 a ， b ， c 的 _ _ _ _ _ (3) 比例中项：若 a b b c 或 a b b c ， 那么 b 叫做 a ， c 的 _ _ _ _ 黄金分割 ABBC 0.618 (4 ) 黄金分割：把一条线段 ( AB ) 分成两条线段 ， 使其中较长线段 ( AC ) 是原线段 ( AB ) 与较短线段 ( BC ) 的比例中项 ， 就叫做把这条线段 _ _ _ _ _

2、 即 AC 2 _ _ _ _ _ ， AC _ _ _ _ AB _ _ _ _ _ _ AB . 一 条 线 段 的 黄 金 分 割 点 有 _ _ _ _ 个 5 1 2 两 2 比例的基本性质及定理 (1 ) a b c d ad bc ； (2 ) a b c d a b b c d d ； (3 ) a b c d m n ( b d n 0) a c m b d n a b . 比例 比例 相似三角形 3 平行线分线段成比例定理 (1)两条直线被一组平行线所截 ， 所得的对应线段成 _； (2)平行于三角形一边截其他两边 (或两边的延长线 )， 所得的对应 线段成 _； 4 相似

3、三角形的定义： 对应角相等、对应边成比例的三角形叫 做 _ 相似比：相似三角形的对应边的比 ， 叫做两个相似三角形的 _ 相似比 5 相似三角形的判定 (1)平行于三角形一边的直线和其他两边 (或两边的延长线 )相交 ， 所截得的三角形与原三角形相似； (2)两角对应相等 ， 两三角形相似； (3)两边对应成比例且夹角相等 ， 两三角形相似； (4)三边对应成比例 ， 两三角形相似； (5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例 ， 两直角三 角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形 相似 6 相似三角形性质 相似三角形的对应角相等 ， 对应边成比例 ， 对应

4、高 、 对应中线 、 对应角平分线的比都等于相似比 ， 周长比等于相似比 ， 面积比等 于相似比的平方 7 射影定理： 如图 ， ABC中 ， ACB 90 ， CD是斜边 AB上 的高 ， 则有下列结论 (1)AC 2 ADAB； (2)BC 2 BDAB； (3)CD 2 ADBD； (4)AC 2 BC 2 AD BD； (5)ABCD ACBC. 8 相似多边形的性质 (1)相似多边形对应角 _， 对应边 _ (2) 相似多边形周长之比等于 _ ， 面积之比等于 _ 相等 成比例 相似比 相似比的平方 9 位似图形 (1)概念：如果两个多边形不仅 _， 而且对应顶点的连线相 交于 _

5、， 这样的图形叫做位似图形 这个点叫做 _ (2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等 于 _ (3)在平面直角坐标系中 ， 如果位似变换是以原点为中心 ， 相似 比为 k， 那么位似图形对应点的坐标比等于 k或 k 相似 一点 位似中心 位似比 1 两个注意 (1 ) 求两条 线 段的比 时 ， 对 两条 线 段要采用同一 长 度 单 位 如 果 单 位不同 ， 那么必 须 先化成同一 单 位 ， 且两条 线 段的比是一个 实 数 ， 没有 单 位 (2 ) 四条 线 段成比例与它 们 的排列 顺 序有关 ， 线 段 a ， b ， c ， d 成比例表示成 a b c d

6、， 而 线 段 b ， a ， c ， d 成比例 则 表示成 b a c d . 2 “ 三点定形 ” 法 证 明比例式或等 积 式的方法主要有 “ 三点定形 ” 法： ( 1) 横向定形：欲 证 AB DE BC EF ， 横向 观 察 ， 比例式中分子的两条 线 段是 AB 和 BC ， 三个字母 A ， B ， C 恰 为 ABC 的 顶 点；分母的两条 线 段是 DE 和 EF ， 三个字母 D ， E ， F 恰 为 DEF 的三个 顶 点 因此只需 证 ABC DEF ； (2) 纵 向定形：欲 证 AB BC DE EF ， 纵 向 观 察 ， 比例式中左 边 的两条 线 段

7、AB 和 BC 中的三个字母 A ， B ， C 恰 为 AB C 的 顶 点；右 边 的两条 线 段 D E 和 EF 中的三个字母 D ， E ， F 恰 为 DE F 的三个 顶 点 因此只需 证 ABC D EF ； (3)由于运用三点定形法 时 常会碰到三点共 线 或四点中没有相同点的 情况 ， 此 时 可考 虑 运用等 线 、 等比或等 积进 行 变换 后 ， 再考 虑 运用 三点定形法 寻 找相似三角形 ， 这 种方法就是等量代 换 法 在 证 明比 例式 时 ， 常常要用到中 间 比 3 判定两个三角形相似的技巧： (1)先找两 对对应 角相等 ， 一般 这 个条件比 较简单

8、； (2)若只能找到一 对对应 角相等 ， 则 判断相等角的两 夹边 是否 对应 成 比例； (3)若找不到角相等 ， 就判断三 边 是否 对应 成比例； (4)若 题 目出 现 平行 线 ， 则 直接运用基本定理得出相似的三角形 4 五种基本思路 (1)条件中若有平行 线 ， 可采用相似三角形的基本定理； (2)条件中若有一 对 等角 ， 可再找一 对 等角或再找 夹边 成比例； (3)条件中若有两 边对应 成比例 ， 可找 夹 角相 等； (4)条件中若有一 对 直角 ， 可考 虑 再找一 对 等角或 证 明斜 边 、 直角 边对应 成比例； (5)条件中若有等腰三角形 ， 可找 顶 角相

9、等 ， 或找一 对 底角相等 ， 或找底和腰 对应 成比例 C 1 (2015眉山 )如图 ， AD BE CF， 直线 l1、 l2与这三条平行线 分别交于点 A， B， C和点 D， E， F.已知 AB 1， BC 3， DE 2， 则 EF的长为 ( ) A 4 B 5 C 6 D 8 2 ( 20 1 5 永州 ) 如图 ， 下列条件不能判定 A DB ABC 的是 ( ) A AB D ACB B ADB ABC C AB 2 AD AC D. AD AB AB BC D B 3 (2015铜仁 )如图 ， 在平行四边形 ABCD中 ， 点 E在边 DC上 ， DE EC 3 1，

10、 连接 AE交 BD于点 F， 则 DEF的面积与 BAF 的面积之比为 ( ) A 3 4 B 9 16 C 9 1 D 3 1 4 (2015营口 )如图 ， ABE和 CDE是以点 E为位似中心的位似 图形 ， 已知点 A(3， 4)， 点 C(2， 2)， 点 D(3， 1)， 则点 D的对应点 B 的坐标是 ( ) A (4， 2) B (4， 1) C (5， 2) D (5， 1) C B 5 (2015南通 )如图 ， AB为 O的直径 ， C为 O上一点 ， 弦 AD平 分 BAC， 交 BC于点 E， AB 6， AD 5， 则 AE的长为 ( ) A 2.5 B 2.8

11、C 3 D 3.2 比例的基本性质、黄金分割 D 【 点评 】 此 题 考 查 了比例的性 质 此 题 比 较简单 ， 解 题 的关 键 是注意掌握比例的性 质 与比例 变 形 【例 1 】 ( 2015 东营 ) 若 y x 3 4 ， 则 x y x 的值为 ( ) A 1 B. 4 7 C. 5 4 D. 7 4 A 对应训练 1 (1 ) ( 2015 六盘水 ) 已知 c 4 b 5 a 6 0 ， 则 b c a 的值为 _ _ _ (2 ) 已知 a 2 b 5 c 7 ， 且 a b c 0 ， 则 2 a 3 b 2 c a b c 的值为 ( ) A. 5 14 B. 5

12、11 C. 14 5 D. 16 17 3 2 解析：设 a 2k ， b 5k ， c 7k ， 则 2a 3b 2c a b c 4k 15k 14k 2k 5k 7k 5k 14k 5 14 三角形相似的性质及判定 【 例 2】 (2015湘潭 )如图 ， 在 Rt ABC中 ， C 90 ， ACD 沿 AD折叠 ， 使得点 C落在斜边 AB上的点 E处 (1)求证： BDE BAC； (2)已知 AC 6， BC 8， 求线段 AD的长度 解：证明： (1) C 90 ， ACD 沿 AD折叠 ， C AED 90 ， DEB C 90 ， B B ， BDE BAC 【 点评 】

13、本 题 考 查 了相似三角形的判定和性 质 ， 关 键 是根据 (1) 、 折叠的性 质 ：折叠是一种 对 称 变换 ， 它属于 轴对 称 ， 根据 轴对 称的性 质 ， 折叠前后 图 形的形状和大小不 变 ， 位置 变 化 ， 对应边 和 对应 角相等； (2)、 勾股定理求解 ( 2 ) 由勾股定理得 ， AB 10. 由折叠的性质知 ， AE AC 6 ， DE CD ， AED C 90 . BE AB AE 10 6 4 ， 在 Rt BDE 中 ， 由勾股定理得 ， DE 2 BE 2 BD 2 ， 即 CD 2 4 2 ( 8 CD ) 2 ， 解得： CD 3 ， 在 Rt A

14、C D 中 ， 由勾股定理得 AC 2 CD 2 AD 2 ， 即 3 2 6 2 AD 2 ， 解得： AD 3 5 对应训练 2 ( 20 15 南京 ) 如图 ， ABC 中 ， CD 是边 AB 上的高 ， 且 AD CD CD BD . (1 ) 求证： ACD CB D ； (2 ) 求 ACB 的大小 解： ( 1 ) 证明： CD 是边 AB 上的高 ， AD C CD B 90 ， AD CD CD BD . ACD CBD ( 2 ) 解： ACD CBD ， A BC D ， 在 ACD 中 ， ADC 90 ， A ACD 90 ， B CD A CD 90 ， 即 A

15、CB 90 相似三角形综合问题 【例 3 】 ( 2015 凉山州 ) 如图 ， O 的半径为 5 ， 点 P 在 O 外 ， PB 交 O 于 A ， B 两点 ， PC 交 O 于 D ， C 两点 (1 ) 求证： P A PB PD PC ； (2 ) 若 PA 45 4 ， AB 19 4 ， PD DC 2 ， 求点 O 到 PC 的距离 解： ( 1 ) 连接 AD ， BC ， 四边形 ABD C 内接 于 O ， P AD PCB ， P DA PBC ， P AD P CB ， PA PC PD PB ， PA PB PC PD ( 2 ) 连接 OD ， 作 OE DC

16、， 垂足为 E ， PA 45 4 ， AB 19 4 ， PD DC 2 ， PB 16 ， PC 2D C 2 P A PB PD PC ， 45 4 16 ( DC 2 ) ( 2 DC 2 ) ， 解得： DC 8 或 DC 11 ( 舍去 ) ， DE 4 ， OD 5 ， OE 3 ， 即点 O 到 PC 的距离为 3 【 点评 】 本 题 考 查 的是相似三角 形的判定与性 质 、 圆 内 接四 边 形的性 质 以及垂径定理 ， 根据 题 意判断出 PAD PCB是解答 此 题 的关 键 对应训练 3 ( 2015 武汉 ) 已知 锐角 ABC 中 ， 边 BC 长为 12 ，

17、高 AD 长为 8. (1) 如图 ， 矩形 EF G H 的边 GH 在 BC 边上 ， 其余两个 顶点 E ， F 分别在 AB ， AC 边上 ， EF 交 AD 于点 K. 求 EF AK 的值； 设 EH x ， 矩形 EF GH 的面积为 S ， 求 S 与 x 的函数关系式 ， 并求 S 的最大值； (2) 若 AB AC ， 正方形 P QMN 的两个顶点在 AB C 一边上 ， 另两个 顶点分别在 ABC 的另两边上 ， 直接写出正方形 P Q MN 的边长 解： ( 1 ) EF BC ， AK AD EF BC ， EF AK BC AD 12 8 3 2 ， 即 EF

18、AK 的 值是 3 2 EH x ， KD EH x ， AK 8 x ， EF AK 3 2 ， EF 3 2 ( 8 x ) ， S E H EF 3 2 x ( 8 x ) 3 2 ( x 4 ) 2 2 4 ， 当 x 4 时 ， S 的最大值是 24 ( 2 ) 设正方形的边长为 a ， 当正方形 PQMN 的两个顶点在 BC 边上时 ， 8 a a 8 12 ， 解得 a 24 5 当正方形 PQM N 的两个顶 点在 AB 或 AC 边上时 ， AB AC ， AD BC ， BD CD 12 2 6 ， AB AC AD 2 BD 2 6 2 8 2 10 ， AB 或 AC

19、边上的 高等于： AD BC A B 8 12 10 48 5 48 5 a a 48 5 10 ， 解得 a 240 49 . 综 上 ， 可得正方形 PQMN 的边长是 24 5 或 240 49 相似多边形与位似图形 【 例 4】 (2015漳州 )如图 ， 在 10 10的正方形网格中 ， 点 A， B ， C， D均在格点上 ， 以点 A为位似中心画四边形 ABCD， 使它与 四边形 ABCD位似 ， 且位似比为 2. (1)在图中画出四边形 ABCD； (2)填空： ACD是 _三角形 解： (1)如图所示 (2) AC2 42 82 16 64 80， AD2 62 22 36

20、4 40， CD2 62 22 36 4 40， AD CD， AD2 CD2 AC2， ACD是等腰直角三角形 故答案 为等腰直角 等腰直角 【 点评 】 画位似 图 形的一般步 骤为 ： 确定位似中心 ， 分 别 连 接并延 长 位似中心和能代表原 图 的关 键 点； 根据相似比 ， 确 定能代表所作的位似 图 形的关 键 点； 顺 次 连 接上述各点 ， 得到放 大或 缩 小的 图 形 同 时 考 查 了勾股定理及其逆定理等知 识 熟 练 掌握网格 结 构以及位似 变换 的定 义 是解 题 的关 键 对应训练 4 ( 2014 南通 ) 如图 ， 点 E 是菱形 AB CD 对角线 CA

21、 的延长线上 任意一点 ， 以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG ， 且菱形 AE FG 菱形 ABCD ， 连接 EB ， G D. (1 ) 求证： EB GD ； (2 ) 若 DA B 60 ， AB 2 ， AG 3 ， 求 GD 的长 解： (1)证明： 菱形 AEFG 菱形 ABCD， EAG BAD， EAG GAB BAD GAB， EAB GAD， AE AG， AB AD， AEB AGD， EB GD ( 2 ) 解：连接 BD 交 AC 于点 P ， 则 BP AC ， DAB 60 ， P A B 30 ， BP 1 2 AB 1 ， AP AB 2 BP 2 3

22、 ， AE AG 3 ， EP 2 3 ， EB EP 2 BP 2 12 1 13 ， GD 13 试题 如图 ， ABC 中 ， D ， E 分别为 AB ， BC 上的点 ， AE ， CD 相交于点 O . AD DB 2 3 ， BE EC 5 4 ， 求 AO OE 和 DO OC 的值 审题视角 三角形内从两个 顶 点出 发 ， 分 别 与其 对边 相交的 线 段 ， 它 们 又相交于一 点 这时 ， 三角形的两 边 、 上述两条相交 线 段均被有关分点分成不同的 线 段比 ， 这 些 线 段的比之 间 存在相互依存和制 约 的关系 ， 知道其中任意 两条 线 段被分点分成的比

23、， 就可以求出其他任一 线 段被分点所分成的 比 这 一 问题 的解决 办 法 ， 主要是利用平行 线 (作 辅 助 线 ) 辅 助 线 的作法：主 要是 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 ， 构成两 对 相似三角 形 本 题 可以 过 点 E作 EG CD交 AB于点 G， 则 有 BEG BCD， ADO AGE.本 题 也可 过 点 D作 AE的平行 线 ， 同 样 也可以求得相关的 比 值 规范解题 解：过点 E 作 EG CD 交 AB 于点 G ， 则 BEG BCD ， BG GD BE EC 5 4 ， BG GD GD 5 4 4 ， 即 BD GD 9 4

24、 ， AD GD 2 3 DB GD 2 3 9 4 3 2 ， 又 AD O AGE ， AO OE AD DG 3 2 ， DO GE AD AG 3 5 ， GE DC BE BC 5 9 ， DO GE GE DC 3 5 5 9 1 3 ， 即 DO DC 1 3 ， DO OC 1 2 . 答题思路 第一步： 审题 ， 理解 问题 ， 清楚 问题 中的已知条件与未知 结论 ； 第二步： 过 三角形 边 上的点作欲求分比 线 段的平行 线 ， 构成两 对 相似三角形； 第三步：根据相似三角形的性 质 ， 得出与欲求分比 线 段相关 联 的 两 线 段的比 值 ； 第四步：根据比例的性

25、 质 逐步求得欲求分比 线 段的比 值 ； 第五步：反思回 顾 ， 查 看关 键 点 、 易 错 点 ， 完善解 题 步 骤 试题 如图 ， 在 Rt AB C 与 Rt AD C 中 ， A C B ADC 90 ， AC 6 ， AD 2 ， 问：当 AB 的长为多少时 ， 这两个直角三角 形相似？ 错解 在 Rt ADC 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使这两个三角形相似 ， 有 AC AD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3. 故当 AB 的长为 3 时 ， 这两个直角三角形相似 剖析 (1)此 题 中 ， Rt ABC

26、与 Rt ADC中 ， ACB ADC 90 ， B可能与 ACD相等 ， 也可能与 CAD相等 ， 三角形 ABC与 ADC相似可能是 ABC ACD或 ABC CAD.根据 对应边 成比例 ， 有两种情况需要分 类讨论 (2)分 类讨论 在几何中的 应 用也很广泛 ， 可以 说 整个平面几何的知 识结 构 贯 穿了分 类讨论 的思想方法 (3)在解 题过 程中 ， 不 仅 要掌握 问题 中的条件与 结论 ， 还 要在推理 的 过 程中不断地 发现题 目中的 隐 含条件 ， 以便全面 、 正确 、 迅速 地解决 问题 忽 视 已知条件 ， 实质 上是 对 概念理解不 详 、 把握不 准的表 现 正解 在 Rt ADC 中 ， AC 6 ， AD 2 ， CD AC 2 AD 2 2 . 要使这两个三角形相似 ， 有 AC AD AB AC 或 AC CD AB AC ， AB AC 2 AD （ 6 ） 2 2 3 ， 或 AB AC 2 CD （ 6 ） 2 2 3 2 . 故当 AB 的长为 3 或 3 2 时 ， 这两个直角三角形相似