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1、2 实际问题的函数建模 自主学习 新知突破 在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这 种关系的关键 1 在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？ 提示 指数函数模型 2在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 提示 二次函数模型 3出租车的计费是采用的什么函数模型？ 提示 分段函数模型 1 了解函数模型的广泛应用 2 能利用已知函数模型求解实际问题 ( 重点 ) 3 通过对数据的合理分析，能自建函数模型解决实际问题 ( 难点 ) 4 能归纳掌握求解函数应用题的步骤 ( 重点、难点 ) 常见函数模型 (1) 一次函数模型： _ (2) 反
2、比例函数模型： _ _ (3) 二次函数模型： _ _ _ _ ( 一般式 ) (4) 指数函数模型： _ _ (5) 对数函数模型： _ _ (6) 幂函数模型： _ _ (7) 分段函数模型：这个模型是以上几类模型的综合 y kx b(k0) y ax2 bx c(a0) y bax c(a 0且 a1， b0) y mlogax n(m0， a 0且 a1) y axn b(a0) y kx b ( k 0 ) 数学建模 用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学 建模，可以用图表示数学建模的过程 强化拓展 (1) 函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的
3、实际问题进行归 纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决 (2) 解决应 用题应遵循以下步骤： 阅读理解 认真审题 引入符号 建立模型 运用数学方法 解决数学模型 代入实际问题 核查说明作答 (3) 解答应用题的关键在于审题，而要准确理解题意，又必须过好三关： 事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题 打开突破口 文理关：将实际问题的语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达数学 关系 数理关：在构建数学模型的过程中，对已有数学 知识进行检索，从而认定 或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，构建了数学模型之 后，要真正解决数学问题，就需要具备扎
4、实的基础知识和较强的数理能力 自主练习 1某林场计划第一年造林 10 000亩，以后每年比前一年多造林 20%，则第 四年造林 ( ) A 14 400亩 B 172 800亩 C 20 736亩 D 17 280亩 解析： 设年份为 x，造林亩数为 y，则 y 10 000 (1 20%)x 1， x 4时， y 17 280.故选 D. 答案： D 2 据调查，某自 行车存车处在某星期日的存车量为 2 00 0 辆次，其中变速车 存车费是每辆一次 0.8 元，普通车存车费是每辆一次 0.5 元，若普通车存车数为 x 辆次，存车费总收入为 y 元，则 y 关于 x 的函数关系式是 ( ) A
5、 y 0.3 x 800(0 x 2 000 ， x N * ) B y 0.3 x 1 600( 0 x 2 000 ， x N * ) C y 0.3 x 800 (0 x 2 000 ， x N * ) D y 0.3 x 1 6 00(0 x 2 000 ， x N * ) 解析： 由题意知，变速车存车数为 ( 2 000 x ) 辆次， 则总收入 y 0.5 x (2 000 x ) 0.8 0.5 x 1 600 0.8 x 0.3 x 1 600(0 x 2 000 ， x N * ) 答案： D 3 某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： y 4 x ， （
6、 1 x 10 ， x N * ） 2 x 10 ， （ 10 x 10 ，不合题意； 若 2 x 10 60 ，则 x 25 ，满足题意； 若 1.5 x 60 ，则 x 40 100 ，不合题意 故拟录用人数为 25 人 答案： 25 4 据市场分析，烟台某海鲜加工公司，当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产 总成本 y ( 万元 ) 可以看成月产量 x ( 吨 ) 的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本 为 20 万元；当月产量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点写 出月总成本 y ( 万元 ) 关于月产量 x ( 吨 ) 的函数关系 已知该产品销售
7、价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少 时，可获最大利润？ 解析： (1) y a ( x 15) 2 17.5 ， 将 x 10 ， y 20 代入上式， 得 20 25 a 17.5. 解得 a 1 10 . 所以 y 1 10 ( x 15) 2 17.5(10 x 25) (2) 设最大利润为 Q ( x ) ， 则 Q ( x ) 1.6 x y 1.6 x 1 10 x 2 3 x 40 1 10 ( x 23) 2 12.9 (10 x 25) 因为 x 23 10 ， 25 ， 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元 合作探究 课堂互动 二次函数模型 某商人将
8、进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时，每天可 卖出 100 个现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品 销售单价每涨 1 元，销售量就减少 10 个，问他将售价定为多少元时，才能使每天 所赚的利润最大？并求出最大值 思路探究 建立利润 y 元关于提价金额 x 元的函数关系 依据：利润销售总额进货总额，可明确所需代数式，日销售量 (100 10 x ) 个；销售总额 (10 x )(100 10 x ) 元；进货总额 8( 100 10 x ) 元 边听边记 设每个提价 x 元 ( x 0 ， x N) ，利润为 y 元 每天销售总额为 (10 x )(100 1
9、0 x ) 元， 进货总额 8(100 10 x ) 元， 显然 100 10 x 0 ，即 x 10 ， 则 y (10 x )(100 10 x ) 8(100 10 x ) (2 x )(100 10 x ) 10( x 4) 2 360 (0 x 10 ， x N) 当 x 4 时， y 取得最大值，此时销售单价应为 14 元，最大利润为 360 元 答：当售价定为 14 元 时，可使每天所赚的利润最大，最大利润为 360 元 规律方法 在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位，因为根据实际 问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方 法来求函数的最值，从而
10、解决实际问题中的最大、最小等问题 1 某地预计明年从年初开始的前 x 个月内，某种商品的需求总量 f ( x )( 万件 ) 与月份 x 的近似关系为 f ( x ) 1 150 x ( x 1)(35 2 x )( x N ，且 x 12) (1) 写出明年第 x 个月的需求量 g ( x )( 万件 ) 与月份 x 的函数关系式 (2) 求 哪个月份的需求量最大？最大值为多少？ 解析： (1) 由题意知： g ( x ) f ( x ) f ( x 1) 1 150 x ( x 1)(35 2 x ) 1 150 ( x 1) x 35 2( x 1) 1 150 x ( x 1)(35
11、2 x ) ( x 1)(37 2 x ) 1 150 x (72 6 x ) 1 25 x (12 x ) g ( x ) 1 25 x (12 x )( x N 且 x 12) (2) g ( x ) x 25 (12 x ) 1 25 ( x 2 12 x 36 3 6) 1 25 ( x 6) 2 36 1 25 ( x 6) 2 36 25 ， 当 x 6 时， g ( x ) 有最大值 36 25 . 即第六个月需求量最大，为 36 25 万件 指数、对数、函数模型 某城市现有人口总数为 100 万人，如果年自然增长率为 1.2% ，试 解答下列问题： (1) 写出该城市人口总数
12、y ( 万人 ) 与年份 x ( 年 ) 的函数关系式 (2) 计算 10 年后该城市人口总数 ( 精确到 0.1 万人 ) (3) 计算大约多少年后该城市人口将达到 120 万人 ( 精确到 1 年 )( 取 1.01 2 10 1.127 ， lo g 1 . 012 1.2 0 15) 思路探究 由于本题是增长率问题，故以指数函数为模型，底数应为 1 1.2 % ，先写出 函数解析式后，将条件代入计算求出结果 规范解答 (1)1 年后该城市人口总数为： y 100 100 1.2% 100(1 1.2 % ) ； 2 年后该城市人口总数为： y 100 (1 1.2% ) 100 1.2
13、% (1 1.2 % ) 100(1 1.2 % ) 2 ； 3 年后该城市人口总数为： y 100 (1 1.2% ) 2 100 (1 1.2 % ) 2 1.2% 100(1 1.2 % ) 3 ； x 年后该城市人口总数为： y 100 (1 1.2% ) x . (2)10 年后该城市人口数为： 100 (1 1.2% ) 10 1 12.7( 万 ) (3) 设 x 年后该城市人口将达到 120 万，即 100 (1 1.2% ) x 1 20 ， 1.012 x 1.20. x lo g 1 . 012 1.20 1 5( 年 ) 答：人口总数 y 与年份 x 间的函数关系是 y
14、 100 (1 1. 2% ) x ， 10 年后的城市人口总数约为 1 12.7 万，大约 15 年后该城市人口将达到 12 0 万人 规律方法 在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问 题可以用指数函数模型表示，通常可以表示为 y N (1 p ) x ( 其中 N 为原来的基础 数， p 为增长率， x 为时间 ) 的形式另外，指数方程常利用对数进行计算，指数、 对数在很多问题中可转化应用 2 1995 年我国人口总数为 12 亿，如果人口的自然年增长率控制在 1.25 % ， 问经过多少年我国人口总数将达到或接近 14 亿？ 16 亿 ？ 18 亿？ ( 精确到 0 .1
15、) 解析： 设我国人口总数在 x 亿时，经过的年份为 y . 由题意， 12(1 1.2 5% ) y x ， 即 y lo g 1. 0 12 5 x 12 . 利用换底公式得 y lg x lg 12 lg 1.012 5 . 将 x 14 ， 16 ， 18 分别代入解析式，得 y 12.4 ， 23.2 ， 32.6. 可见，分别经过 12. 4 ， 23.2 ， 32.6 年后，人口总数达到或接近 14 ， 16 ， 18 亿 分段 函数模型 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过 4 吨时，每吨 为 1.80 元，当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3.00 元，某月甲、乙
16、两户共交水费 y 元，已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5 x ， 3 x ( 吨 ) (1) 求 y 关于 x 的函数； (2) 若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和 水费 思路探究 按 5 x 4 ， 3 x 44 确定分段条件 各段分别求两 家所交水费 确定各 段上 y 的表达式 得出分段函 数解析式 判断各段函 数取值范围 y 26.4 代入 解析式求 x 得结果 规范解答 (1) 当甲的用水量不超过 4 吨时，即 5 x 4 ，此时乙的用水量也不 超过 4 吨， y (5 x 3 x ) 1.8 14.4 x ； 2 分 当甲的用水量超过 4 吨，
17、乙的用水量不超过 4 吨时，即 3 x 4 且 5 x 4 ， y 4 1. 8 3 x 1.8 3(5 x 4) 20. 4 x 4.8 ； 4 分 当乙的用水量超过 4 吨时，即 3 x 4 ，显然甲的用水量也超过 4 吨， y 24 x 9.6.6 分 所以 y 14.4 x ， 0 x 4 5 ， 20.4 x 4.8 ， 4 5 x 4 3 ， 24 x 9.6 ， x 4 3 . 7 分 (2) 由于 y f ( x ) 在各段区间上均为单调递增， 当 x 0 ， 4 5 时， y f 4 5 26.4 ； 当 x 4 5 ， 4 3 时， y f 4 3 26.4 ； 当 x 4
18、 3 ， 时，令 24 x 9.6 26.4 ， 解得 x 1.5.9 分 所以甲户用水量为 5 x 7.5 ，付费 S 1 4 1.8 3.5 3 17.70( 元 ) ；乙 户用水量为 3 x 4.5 吨，付费 S 2 4 1.8 0.5 3 8 .70( 元 ).1 1 分 答：甲户用水量 7. 5 吨，付费 17.70 元；乙户用水量 4.5 吨，付费 8.70 元 .1 2 分 规律方法 (1) 分段函数是刻画现实问题的重要模型，由自变量变化所遵循 规律的不同决定的，函数的分段表示是建模的关键 (2) 若求分段函数值域或最值时，应对分段函数中的每段函数分别求出值域或 最值，然后再由各
19、段函数的值域或最值确定本函数的值域或最值分类讨论思想 是本类问题的主要思想方法 3 电信局为了满足客户不同需要，设有 A 、 B 两种优惠 方案，这两种方案应 付话费 ( 元 ) 与通话时间 ( 分钟 ) 之间关系如图所示 ( 其中 MN CD ) (1) 分别求出方案 A 、 B 应付话费 ( 元 ) 与通话时间 x ( 分钟 ) 的函数表达式 f ( x ) 和 g ( x ) ； (2) 假如你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择 A 、 B 两种优惠方 案？并说明理由 解析： (1) 先列出两种优惠方案所对应的函数解析式： f ( x ) 20 ， 0 x 100 ， 3 10
20、x 10 ， x 100 ， g ( x ) 50 ， 0 x 500 ， 3 10 x 100 ， x 500. (2) 当 f ( x ) g ( x ) 时， 3 10 x 10 50 ， x 200. 当客户通话时间为 200 分钟时，两种方案均可； 当客户通话时间为 0 x f ( x ) ，故选择方案 A ； 当客户通话时间为 x 200 分钟时， g ( x ) f ( x ) ，故选择方案 B . 某工厂转换机制，两年内生产的月增长率都是 a ，则这两年内第二年某月 的产值比第一年相应月的增长率是多少？ 【错解】 设第一年某月的产值为 b ，则第二年相应月 的产值是 b (1
21、a ) 11 ， 依题意所求增长率是 b （ 1 a ） 11 b b (1 a ) 11 1 或把第二年相应月的产值写成 b (1 a ) 13 . 【错因】 对增长率问题的公式 y N (1 P ) x 未能理解透彻而造成指数写错， 或者是由于审题不缜密而造成题意的理解错误若某月的产值是 b ，则此月第 x 月后的产值是 b (1 a ) x ，指数 x 是基数所在时间后所跨过的时间间隔数 【正解】 不妨设去年 2 月份的产值是 b ，则 3 月份的产值是 b ( a 1) ， 4 月 份的产值是 b (1 a ) 2 ， 以此类推，到今年 2 月份是去年 2 月份后的第 12 个月，即一个时间间隔是一 个月，而这里跨过了 12 个月， 故今年 2 月份的产值是 b (1 a ) 12 ， 又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月的增长 率为： b （ 1 a ） 12 b b (1 a ) 12 1.
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