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1、第三章 3.1 随机事件的概率 3.1.3 概率的基本性质 学习 目标 1.了解事件间的相互关系 . 2.理解互斥事件 、 对立事件的概念 . 3.会用概率的加法公式求某些事件的概率 知识梳理 自主学习 题型探究 重点突破 当堂检测 自查自纠 栏目 索引 知识梳理 自主学习 知识点一 事件的关系与运算 1.事件的包含关系 定义 一般地，对于事件 A与事件 B，如果事件 A发生，则事件 B ， 这时称事件 B包含事件 A(或称事件 A包含于 事件 B) 符号 BA(或 AB) 图示 注意 事项 不可能事件记作 ，显然 C(C为任一事件 )； 事件 A也包含于事件 A，即 AA； 事件 B包含事件
2、 A，其含义就是事件 A发生，事件 B一定 发生，而事件 B发生，事件 A不一定发生 一定发生 答案 2.事件的相等关系 定义 一般地，若 BA，且 AB，那么称事件 A与事件 B相等 符号 A B 图示 注意 事项 两个相等事件总是同时发生或同时不发生； 所谓 A B，就是 A， B是同一事件； 在验证两个事件是否相等时，常用到事件相等的定义 3.事件的并 (或和 ) 定义 若某事件发生当且仅当事件 A发生 事件 B发生，则称此事 件为事件 A与事件 B的并事件 (或和事件 ) 符号 A B(或 A B) 图示 注意 事项 A B B A； 例如，在掷骰子试验中，事件 C2， C4分别表示出
3、现 2点， 4 点这两个事件，则 C2 C4 出现 2点或 4点 或 答案 4.事件的交 (或积 ) 定义 若某事件发生当且仅当事件 A发生 事件 B发生，则称此事 件为事件 A与事件 B的交事件 (或积事件 ) 符号 A B(或 AB) 图示 注意 事项 A B B A； 例如，掷一枚骰子，事件 出现的点数为奇数 事件 出 现的点数为偶数 且 答案 互斥 事件 定义 若 A B为不可能事件，则称事件 A与事件 B互斥 符号 A B 图示 注意事项 例如，在掷骰子试验中，记 C1 出现 1点 ， C2 出现 2点 ，则 C1与 C2互斥 5.互斥事件和对立事件 对 立 事 件 定义 若 A B
4、为不可能事件， A B为必然事件，那么称事 件 A与事件 B互为对立事件 符号 A B ， A B 图示 注意事项 A的对立事件一般记作 思考 (1)在掷骰子的试验中 ， 事件 A 出现的点数为 1， 事件 B 出 现的点数为奇数 ， 事件 A与事件 B应有怎样的关系 ？ 答 因为 1为奇数 ， 所以 AB. (2)判断两个事件是对立事件的条件是什么 ？ 答 看是不是互斥事件； 看两个事件是否必有一个发生 .若满足这两个条件 ， 则是对立事件； 否则不是 . 答案 知识点二 概率的几个基本性质 1.概率的取值范围 (1)由于事件的频数总是小于或等于试验的次数 ， 所以频率在 0 1之间 ， 从
5、而任何事件的概率在 0 1之间 ， 即 . (2) 的 概率为 1. (3) 的 概率为 0. 2.互斥事件的概率加法公式 当事件 A与事件 B互斥时 ， A B发生的频数等于 A发生的频数与 B发生的 频数之和 ， 从而 A B的频率 fn(A B) fn(A) fn(B)， 则概率的加法公式 为 P(A B) . 0 P(A) 1 必然事件 不可能事件 P(A) P(B) 答案 3.对立事件的概率公式 若事件 A与事件 B互为对立事件 ， 则 A B为必然事件 ， P(A B) 1.再由 互斥事件的概率加法公式 P(A B) P(A) P(B)， 得 P(A) . 1 P(B) 返回 答案
6、 题型探究 重点突破 题型一 事件关系的判断 例 1 从 40张扑克牌 (红桃 、 黑桃 、 方块 、 梅花 ， 点数从 1 10各 10张 )中 ， 任取一张 . (1)“ 抽出红桃 ” 与 “ 抽出黑桃 ” ； (2)“ 抽出红色牌 ” 与 “ 抽出黑色牌 ” ； (3)“ 抽出的牌点数为 5的倍数 ” 与 “ 抽出的牌点数大于 9” . 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件 ， 是否为对立事件 ， 并说明 理由 . 解析答案 反思与感悟 跟踪训练 1 从装有 5个红球和 3个白球的口袋内任取 3个球 ， 那么下列 各对事件中 ， 互斥而不对立的是 ( ) A.至少有一个红球与都是红球 B
7、.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球 解析答案 题型二 事件的运算 例 2 在掷骰子的试验中 ， 可以定义许多事件 .例如 ， 事件 C1 出现 1 点 ， 事件 C2 出现 2点 ， 事件 C3 出现 3点 ， 事件 C4 出现 4点 ， 事件 C5 出现 5点 ， 事件 C6 出现 6点 ， 事件 D1 出现的点数不 大于 1， 事件 D2 出现的点数大于 3， 事件 D3 出现的点数小于 5， 事件 E 出现的点数小于 7， 事件 F 出现的点数为偶数 ， 事件 G 出现的点数为奇数 ， 请根据上述定义的事件 ， 回答下列问题：
8、(1)请举出符合包含关系 、 相等关系的事件； 解 因为事件 C1， C2， C3， C4发生 ， 则事件 D3必发生 ， 所以 C1D3， C2D3， C3D3， C4D3. 同理可得 ， 事件 E包含事件 C1， C2， C3， C4， C5， C6； 事件 D2包含事件 C4， C5， C6； 事件 F包含事件 C2， C4， C6； 事件 G包含事件 C1， C3， C5. 且易知事件 C1与事件 D1相等 ， 即 C1 D1. 解析答案 (2)利用和事件的定义 ， 判断上述哪些事件是和事件 . 解 因为事件 D2 出现的点数大于 3 出现 4点或出现 5点或出现 6点 ， 所以 D2
9、 C4 C5 C6(或 D2 C4 C5 C6). 同理可得 ， D3 C1 C2 C3 C4， E C1 C2 C3 C4 C5 C6， F C2 C4 C6， G C1 C3 C5. 解析答案 反思与感悟 跟踪训练 2 盒子里有 6个红球 ， 4个白球 ， 现从中任取 3个球 ， 设事件 A 3个球中有一个红球 ， 两个白球 ， 事件 B 3个球中有两个红球 ， 一个白球 ， 事件 C 3个球中至少有一个红球 ， 事件 D 3个球中既 有红球又有白球 .则： (1)事件 D与事件 A、 B是什么样的运算关系 ？ 解 对于事件 D， 可能的结果为 1个红球 2个白球或 2个红球 1个白球 ，
10、 故 D A B. (2)事件 C与事件 A的交事件是什么事件 ？ 解 对于事件 C， 可能的结果为 1个红球 2个白球 ， 2个红球 1个白球或 3 个红球 ， 故 C A A. 解析答案 题型三 对立事件 、 互斥事件的概率 例 3 同时抛掷两枚骰子 ， 求至少有一个 5点或 6点的概率 . 解析答案 反思与感悟 跟踪训练 3 某射手在一次射击中 ， 射中 10环 、 9环 、 8环 、 7环的概率 分别为 0.21,0.23,0.25,0.28， 计算这个射手一次射击中射中的环数低于 7 环的概率 . 解 设 “ 低于 7环 ” 为事件 E， 则 事件 为 “ 射中 7环或 8环或 9环
11、或 10环 ” ， E 而事件 “ 射中 7环 ”“ 射中 8环 ”“ 射中 9环 ”“ 射中 10环 ” 彼此互斥 ， 故 P( ) 0.21 0.23 0.25 0.28 0.97， E 从而 P(E) 1 P( ) 1 0.97 0.03. E 所以射中的环数低于 7环的概率为 0.03. 解析答案 求复杂事件的概率 一题多解 例 4 玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共 12 个，从中任取 1 球， 设事件 A 为 “ 取出 1 个红球 ” ，事件 B 为 “ 取出 1 个黑球 ” ，事件 C 为 “ 取出 1 个白球 ” ，事件 D 为 “ 取出 1 个绿球 ” . 已知 P ( A
12、 ) 5 12 ， P ( B ) 1 3 ， P ( C ) 1 6 ， P ( D ) 1 12 . (1)求 “ 取出 1个球为红球或黑球 ” 的概率； (2)求 “ 取出 1个球为红球或黑球或白球 ” 的概率 . 分析 事件 A， B， C， D为互斥事件 ， A B与 C D为对立事件 ， A B C与 D为对立事件 ， 因此可用两种方法求解 . 解析答案 与 解后反思 分析 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 1.给出以下结论： 互斥事件一定对立； 对立事件一定互斥； 互斥 事件不一定对立； 事件 A与 B的和事件的概率一定大于事件 A的概率； 事件 A与 B互斥 ， 则有 P(A
13、) 1 P(B).其中正确命题的个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 对立必互斥 ， 互斥不一定对立 ， 正确 ， 错； 又当 A B A时 ， P(A B) P(A)， 错； 只有事件 A与 B为对立事件时 ， 才有 P(A) 1 P(B)， 错 . C 解析答案 1 2 3 4 5 2.对同一事件来说 ， 若事件 A是必然事件 ， 事件 B是不可能事件 ， 则事 件 A与事件 B的关系是 ( ) A.互斥不对立 B.对立不互斥 C.互斥且对立 D.不互斥 、 不对立 解析 必然事件与不可能事件不可能同时发生 ， 但必有一个发生 ， 故 事件 A与事件 B的关系是互斥且对立
14、. C 解析答案 1 2 3 4 5 3.对空中飞行的飞机连续射击两次 ， 每次发射一枚炮弹 ， 设事件 A 两 弹都击中飞机 ， 事件 B 两弹都没击中飞机 ， 事件 C 恰有一弹击 中飞机 ， 事件 D 至少有一弹击中飞机 ， 下列关系不正确的是 ( ) A.AD B.B D C.A C D D.A B B D 解析 “ 恰有一弹击中飞机 ” 指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第 二枚击中 ， “ 至少有一弹击中 ” 包含两种情况：一种是恰有一弹击中 ， 一种是两弹都击中 ， A B B D. D 解析答案 1 2 3 4 5 4.从集合 a， b， c， d， e的所有子集中任取一个 ，
15、 若这个子集不是集 合 a， b， c的子集的概率 是 ， 则该子集恰是集合 a， b， c的子集的 概率是 ( ) 3 4 A. 3 5 B. 2 5 C. 1 4 D. 1 8 解析 该子集恰是 a ， b ， c 的子集的概率为 P 1 3 4 1 4 . C 解析答案 1 2 3 4 5 5.从几个数中任取实数 x， 若 x ( ， 1的概率是 0.3， x是负数的概 率是 0.5， 则 x ( 1,0)的概率是 _. 解析 设 “ x ( ， 1” 为事件 A， “ x是负数 ” 为事件 B， “ x ( 1,0)” 为事件 C， 由 题意知 ， A， C为互斥事件 ， B A C， P(B) P(A) P(C)， P(C) P(B) P(A) 0.5 0.3 0.2. 0.2 解析答案 课堂小结 返回 1.互斥事件和对立事件既有区别又有联系 .互斥 ， 未必对立；对立 ， 一 定互斥 . 2.互斥事件的概率加法公式是一个很基本的计算公式 ， 解题时要在具 体的情景中判断各事件间是否互斥 ， 只有互斥事件才能用概率加法公 式 P(A B) P(A) P(B). 3.求复杂事件的概率通常有两种方法： (1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件； (2)先求其对立事件的概率 ， 再求所求事件的概率 .
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